极限与连续
1.极限和连续
=2 3
一、极限
考点4、洛必达和等价无穷小求极限 （4）lim e-x - ex .
x®0 sin x
-e-x - ex
lim
= -2.
x®0 cos x
二、连续
1. 连续定义：左极限=右极限=函数值 (1) f(x)在点x0及其附近有定义； (2) f(x)在点x0的极限存在； (3) f(x)在点x0的极限值等于f(x)在点x0的函数值
高等数学
高等数学
（一）极限和连续
一、极限
1. 函数的左右极限：
函数某点极限存在的充要条件是
函数在该点的左右极限存在并且相等。
lim f x A lim f x B
xx0
xx0
2. 求极限方法 (1) 直接代入； (2) 等价无穷小； (3) 重要的极限 (4) 洛必达法则
一、极限
考点1、直接代入求极限 （1）
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
4cosx x≥0
ìx2 + 2a , x £ 0
设函数
f
(x) =
ï í sin
x
，在 x = 0 处连续，求常数 a 的值.
（3）
ïî 2x , x > 0
二、连续
考点5、连续与间断 （1）
1 （122. ）设函数 f(x)=
4
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
（等价无穷小的替换，必须是整个因式一起替换）
一、极限
常见的等价无穷小：
sin ~ ~ arcsin ~ tan ~ arctan ;
2 1 cos ~ ;
2 e 1 ~ ;
ln(1 ) ~ ;
数学公式知识：微积分中的极限与连续性
数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。
其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。
本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。
一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。
在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。
数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。
例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。
当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。
当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。
二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。
2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。
3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。
4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。
三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。
也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。
例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。
在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。
四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。
2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。
3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。
四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。
考研数学极限与连续的知识点
考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识点，理解和掌握好这部分内容对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，咱们就来详细聊聊这部分的知识。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
简单来说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的那个数。
比如，当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的极限就是 2。
极限有多种类型，比如数列的极限和函数的极限。
数列的极限就是当项数 n 无限增大时，数列的通项无限接近某个值。
对于函数的极限，又分为左极限和右极限。
左极限是指自变量从左边无限趋近于某个值时函数的极限，右极限则是从右边趋近时的极限。
函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。
二、极限的计算方法1、代入法如果函数在某点连续，那么直接将该点的数值代入函数，就可以得到极限值。
2、化简法通过对函数进行化简，比如约分、有理化等，把复杂的函数形式变得简单，从而求出极限。
3、等价无穷小替换当自变量趋近于0 时，一些函数可以用与其等价的无穷小量来替换，从而简化计算。
4、洛必达法则当遇到分子分母都趋近于 0 或者无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导，再求极限。
5、夹逼准则如果存在两个函数，在某个点附近，一个函数始终大于目标函数，另一个始终小于目标函数，并且这两个函数在该点的极限相同，那么目标函数在该点的极限就等于这个相同的值。
三、连续的概念连续是指函数在某个区间内没有断点，也就是说，函数在该区间内任意一点的极限值都等于该点的函数值。
直观地说，如果我们能一笔不间断地画出函数的图像，那么这个函数在相应区间就是连续的。
四、连续的条件1、函数在某点有定义。
2、函数在该点的极限存在。
3、极限值等于函数在该点的函数值。
只有同时满足这三个条件，函数在该点才是连续的。
五、间断点的类型1、可去间断点函数在该点的极限存在，但不等于该点的函数值。
2、跳跃间断点函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
2极限与连续
第2章 极限与连续§2.1 极 限1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x nA x n n =∞→lim 或 A x n → )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(A x f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+ 邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
（3） 左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =-→)(lim 0或 A x f x f =-=-)0()(00右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =+→)(lim 0或 A x f x f =+=+)0()(00极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→==（4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤有界性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
高等数学_第一讲__极限与连续
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n
1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
极限与连续
数列极限的概念
值无限接近常数a，就称a 是{xn}，当n →∞时的极 限，记作
如果数列{xn}，当n无限增大时，数列{xn}的取
lim xn a，
n
如果数列没有极限，称数列是发散的
收敛数列的性质
1. 收敛数列{xn}的极限是唯一的 2. 收敛的数列一定有界，但有界的数列不一 定收敛。 3.无界数列必定发散 4. 收敛数列的极限有的可以达到，有的不能 达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上 面的例子都不能达到它们的极限。
无穷大
lim 0 ，即当 x x 0 时 如果 x x f ( x)
0
1
1 f ( x)
是无穷小，
则称当 x x 时，
0
f ( x ) 为无穷大．记为
x x0
lim f ( x) 或 f ( x) ( x x0 )
0
注 当xx
( 或 x ) 时为无穷大的函数 f ( x ) 极限
，则
x x0
（1）
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0
； ，
（2） x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) AB
x x0 x x0
，就说 是比 低阶的无穷小．
定理
设 ~ ， ~ ，且 lim
存在，则 lim lim ．
定理表明，求两个无穷小之比的极限时，如果用来 代替的无穷小选取得适当，可使计算简化．
sin x lim 例 求 x 0 x 3 3 x ．
2.1极限与连续
第一章极限与连续（18学时）§1.1 函数§1.2数列的极限§1.3函数的极限§1.3无穷小（量）和无穷大（量）§1.4 函数的连续性与间断点第二节数列的极限一、概念的引入二、数列极限的定义三、数列极限的性质教学要求：1.理解数列极限的定义。
2. 了解收敛数列的性质，并会加以应用。
一、数列极限的定义例如2,4,8,,2,;n1111,,,,(),;2482n−−− }2{n})21{(n −,n n n x x 序列从小到大排列得到一个按照下标这些实数实数}.{,,,,21n n x x x x 作称这个序列为数列，记 N n ，对应着一个确定的每个如果按照某一法则，对+∈1. 数列注: 1.在几何上，数列可看作数轴上的一个动点.1x 2x 3x 4x nx 2.数列可看作自变量为正整数n 的函数+∈=Nn n f x n ),(11,1,1,,(1),;n +−− })1{(1−−n 114(1)2,,,,,;23n n n−+− })1({1nn n −−+越大，A n n 。
就越接近圆的面积S R正六边形的面积1A 正十二边形的面积2A正形的面积126−×n nA,,,,,321n A A A A S 2. 概念的引入(1) 割圆术：（圆的面积）,n A n 就无限的接近于S 。
无限增大时当但无论n 有多大，A n ≠S（2）截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211=X 第一天截下的杖长为;212122+=X 为第二天截下的杖长总和;2121212n n X n +++= 天截下的杖长总和为第nn X 211−=1•x•••43•871x 2x 3x ⋅⋅⋅12如果当n 无限地增大时，x n 无限地接近于常数a ，.1211X ,n n n 就无限地接近于无限增大时当−=越大，.11X n n 但达不到，就越接近与112n nX =−1则说，当n 趋于无穷大时，以为a 极限，记成{}n x ).( lim ∞→→=∞→n a x a x n n n 或记为n →∞，读作n 趋于无穷大记为x n →a ，读作x n 趋于a极限的直观说法:.1))1(1(lim ,021lim :=−+=∞→∞→nnn n n 直观上可以看出但是，数列3. 数列极限的定义1(1),n n x n =+210nn nx =1sin ,n x n n=当n 越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？问题1:当无限增大时, 是否无限接近于某一n x n 问题2:如何用数学语言刻化“无限接近”?确定的数值? 如果是, 如何确定?|1|−n x 所谓x n 无限接近1，就是说可以任意小.以为例来讨论数列极限的含义.(1){}{1}nn x n−=+如何用数学语言刻划上面这个变化趋势,即“无限接近于1”这个趋势？=−1n x ∵nn n 11)1(1=−−当n 越来越大时，1/n 越来越小，从而x n 越来越接近于1。
极限与连续知识点
极限与连续知识点在数学的广袤天地中，极限与连续是两个极为重要的概念，它们就像基石一样，支撑着微积分这座宏伟的大厦。
接下来，让我们一同深入探索极限与连续的神秘世界。
首先，咱们来聊聊极限。
极限这个概念呢，简单来说，就是一个变量无限接近某个固定的值。
比如说，当 x 无限接近 1 的时候，函数 f(x)的值会趋近于一个特定的数 L，那我们就说函数 f(x)在 x 趋近于 1 时的极限是 L 。
极限的计算方法有很多种。
其中一种常见的方法是通过代数运算来求解。
比如说，对于简单的分式函数，如果分子和分母都可以因式分解，那么通过约分就可能求出极限。
再比如，有的时候可以通过有理化分子或分母来简化式子，从而求出极限。
还有一种重要的方法是利用极限的性质。
比如极限的四则运算法则，两个函数的和、差、积、商的极限等于它们各自极限的和、差、积、商（在除法的情况下，分母的极限不能为 0 ）。
再来说说连续。
连续是什么意思呢？一个函数在某个点处连续，意味着当自变量在这个点附近稍微变动时，函数值的变动也很小。
具体来说，如果函数 f(x)在点 x ＝ a 处满足三个条件：函数 f(x)在点 x ＝ a处有定义；函数 f(x)在 x 趋近于 a 时的极限存在；并且这个极限等于f(a) ，那么我们就说函数 f(x)在点 x ＝ a 处连续。
连续函数具有很多很好的性质。
比如，连续函数的和、差、积、商（分母不为 0 ）仍然是连续函数。
而且，如果一个函数在闭区间 a, b上连续，那么它在这个区间上一定能取到最大值和最小值。
那极限和连续之间又有什么关系呢？其实，函数在某点处连续的前提是该点处的极限存在，并且极限值等于函数在该点的函数值。
咱们通过一些实际的例子来更好地理解这些概念。
比如说，函数f(x) ＝ x ＋ 1 ，它在整个实数范围内都是连续的。
因为对于任何一个实数 a ，当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限就是 a ＋ 1 ，而 f(a) 也是 a ＋ 1 ，两者相等，所以函数在点 a 处连续。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中的重要概念，极限和连续性则是函数理论中的基础知识。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数取值的趋势。
具体而言，给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个数a时，函数f(x)的极限表示为lim[x→a]f(x)。
如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
函数的极限有以下性质：1. 一致性：如果lim[x→a]f(x)=L，那么对于任意的从左右两侧趋近于a的数列，函数f(x)都会趋近于L。
即lim[x→a⁻]f(x)=L和lim[x→a⁺]f(x)=L。
2. 有界性：如果lim[x→a]f(x)=L，则存在正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|<M。
3. 保号性：如果lim[x→a]f(x)=L>0，那么存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0。
类似地，如果lim[x→a]f(x)=L<0，则存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。
二、函数的连续性连续性是函数的另一个重要概念，描述了函数在某一点的“平滑”程度。
如果一个函数在某一点x=a的邻域内能够连续地绘制成一条曲线，那么称该函数在该点连续。
函数的连续性有以下性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域上均连续。
2. 连续函数的运算：如果f(x)和g(x)是函数f和g的连续函数，那么它们之和、差、积以及商(分母不为零)都是连续函数。
3. 复合函数的连续性：如果f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数h(x) = g(f(x))在点x=a处连续。
函数极限与函数连续的关系
函数极限与函数连续的关系
函数极限与函数连续之间存在紧密的关系。
函数在某一点的极限存在，意味着当自变量逼近这一点时，函数的值将趋于某个确定的数值。
而函数在某一点连续意味着从左右两边逼近这一点的函数值是相等的。
具体来说，如果一个函数在某一点连续，那么该点的极限就等于函数在该点的取值。
换句话说，如果函数在某一点连续，那么该点处的极限就等于该点对应的函数值。
反之，如果一个函数在某一点的极限存在，但该点处的函数不连续，那么该点的极限将无法等于函数在该点的取值。
因此，函数极限与函数连续是密切相关的。
在数学分析中，我们常常通过研究函数的极限来判定函数在某一点的连续性，从而进一步研究函数的性质和行为。
同时，函数的连续性也能够为我们计算函数的极限提供帮助，从而更好地理解和应用数学知识。
最后，需要强调的是，函数极限与函数连续是数学中两个重要的概念，对理解函数的性质及其应用具有重要意义。
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10第二章 极限与连续本章教学内容本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识．微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的．连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念．在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象．
教学思路1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益．2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题．3．用“”、“”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的N
习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明．4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一 11
点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函数的整体性质．也可以说前者涉及的是函数微观性态，而后者则是刻画函数的宏观性态，并且，二者互相渗透，相辅相成．闭区间上连续函数的性质只作介绍，其证明略去．5．本章重点是极限定义与其等价性描述，极限的性质及运算，以及若干重要结论构成的知识层次．学好本章内容，对掌握微积分全部内容与技巧有着重要的影响作用．6．本章新概念多、难点多，又处于学生从初等数学跃上高等数学台阶的转型时期，很不习惯．因此，本章内容讲授完成后可安排一次习题课．
教学安排本章教学时数为14学时，课时分配如下：§2.1 数列的极限 2学时§2.2 函数的极限 2学时§2.3变量的极限，§2.4无穷大量与无穷小量 2学时§2.5极限的运算法则 2学时§2.6两个重要的极限 2学时§2.7函数的连续性 2学时习题课 2学时
教学目标理解数列的极限、函数的极限及函数的左、右极限的概念．了解有界变量的概念，了解变量有极限与有界的关系．了解无穷大量、无穷小量的概念及二者之间的关系．了解极限存在的两个准则．熟练掌握极限的运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及利用函数的连续性求函数极限的方法．理解函数连续的概念，会判断函数在某点的连续性．掌握讨论简单分段函数连续性的方法．理解初等函数在其定义域内都是连续的结论． 12
理解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理、介值定理及其零值性推论）及其简单应用．
§2.1 数列的极限教学内容：数列的极限，包括数列极限的概念，数列极限的定义，N
数列极限的几何意义等．教学重点：数列极限的概念及数列极限的证明．教学难点：利用“”定义证明极限．N
教法建议：1．建立极限概念时，可先从一些简单直观、容易接受的实例（如“一尺之棰，日取其半”、“刘徽割圆”等）出发，建立数学模型，引入并形成极限概念．2．在此基础上，分三步引入极限定义：第一步，先讲描述性定义；第二步，用距离、绝对值为工具，对描述性定义中的话逐一地抽象，用数学语言（四个不等式）来表示，提炼出数列极限的定义；第三步，对数列极限的N
定义给出几何解释，辅之以草图，对、等作补充说明，加深印象．NN
3．引入定义以后，可用简单的例子介绍用定义证明数列极限的论证N
方法，其关键是“由去找”，并总结出使用方法的四个步骤：0)(NN
1o ，令；0||Ayn
2o 据，分析并推出（含的式子）；||Ayn)(n
3o 取（整数部分）；)]([N4o 用定义叙述并下结论．N
应给学生指出：前三步是分析找；第四个步骤综合才是正式的证明．这N
种分析加综合的叙述方式的优点是思路清晰，不是一眼就能看出来的，所以N
要先分析找，不要把它与综合的证明混淆起来了．N
4．对于论证法，不要要求过高，这里只是让学生见识一下就可以了，N
13
随着后续内容的学习和多次运用论证法证题，使学生逐步加深体会、理N
解并接受．
§2.2 函数的极限教学内容：函数的极限，包括当时函数的极限，当时函x)(xf0xx
数的极限，左极限与右极限，函数极限的性质等．)(xf教学重点：当时函数的极限．0xx)(xf
教学难点：函数极限的定义．
教法建议：1．讲授“当时函数的极限”时，可以从数列极限的定义x)(xfN
出发，结合几何图形，引出当时函数的极限的定义．x)(xfM
2．通过两个实例引出当时函数的极限的定义，注意讲清0xx)(xf
在这个过程中变量的变化过程以及相应的函数的变化过程．x)(xf3．从的不同方式引出左极限、右极限的定义．0xx4．教材中关于函数极限的三个定理：定理2.1（当时函数的0xx)(xf极限存在的充分必要条件）；定理2.2（局部保号性定理）；定理2.3（局部保不等式性定理）的内容要求学生能熟记，证明只要能接受即可．定理2.1在证明极限不存在时更为方便．注意定理2.2，定理2.3的条件与结论中关于等号的讨论．
§2.3 变量的极限，§2.4 无穷大量与无穷小量教学内容：变量的极限，无穷大量，无穷小量，无穷大量与无穷小量的关系，无穷小量的阶等． 14
教学重点：无穷小量的概念及其运算性质．教学难点：无穷小量概念的理解．教法建议：1．在复习时数列的极限，时函数的极限，时函数的nx0xx极限的基础上概括出一般变量极限的定义．讲解过程中要特别注意对“总有那么一个时刻”的概括．这一定义只有对两种变量、三种过程都适用的情况下才能使用．2．对“变量在某一时刻后有界不一定有极限”除课本上的例子外，还可补充以下两例：（1）在附近有界，但不存在；xxf1sin)(0xxx1sinlim0
（2）在内有界，但不存在．xxfsin)(),(xxsinlim
3．讲授无穷大量与无穷小量的概念时要注意：无穷大量和无穷小量是相对
某一极限过程而言，离开极限过程，不能直接称某一变量为无穷大量或无穷小量；无穷大量和无穷小量都是一个变量，不能认为是一个非常大或非常小的数．4．无穷小量的运算性质：定理2.5, 定理2.6及其推论今后经常用到，要求学生能熟练掌握．5．无穷小量阶的比较，本次课只要学生能接受基本概念，以后再逐步熟悉，并能用于求极限即可．
§2.5极限的运算法则教学内容：极限的运算法则，包括极限的加、减、乘、除四则运算法则及其推论，利用变量极限的运算法则求一些变量的极限等．教学重点：利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．教学难点：极限的加、减运算法则（定理2.8）的证明,求未定式极限的技巧. 15
教法建议：1．极限的四则运算法则及其推论的证明不要求学生掌握，关键是通过本节的例题要求学生能熟练正确地利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．2．例1，例2是直接利用法则求多项式函数的极限．3．例3利用了无穷小量与无穷大量的关系求分式的极限．4．例4、例5、例6总结出求有理函数极限的规律．5．例7、例8开始接触利用初等变形求未定式极限，这里只要让学生认识两种未定式极限即可，初等变形的各种方法可通过作业、习题课再去逐步
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学习、掌握．6．例9是分段函数．分段函数在分段点处的极限，要分别计算左、右极限，看它们是否相等．
§2.6 两个重要的极限教学内容：极限存在的两边夹准则、单调有界准则，，1sinlim0x
x
x或，利用两个重要极限求极限等．ennn)11(limexxx)11(lim
教学重点：两个重要极限及利用两个重要极限求极限．教学难点：两个重要极限的证明及其应用．教法建议：1．本节课中两个准则是为证明两个重要极限服务的．在证明两个重要极限时要向学生讲清楚用准则证明极限的步骤与方法，以便今后能正确运用准则证明极限．2．利用两个重要极限，可以求许多型三角函数式的极限与型幂指函001数式的极限，这两个公式在下一章中建立导数公式等方面也有重要的作用．3．公式 可推广成 ，其中的单位是弧度，1sinlim0xxx1)()(sinlim0)(xxx)(x