高中数学《数列的概念与简单表示法》学案2 新人教A版必修5
【金识源】高中数学新人教A版必修5学案21数列的概念与简单表示法(第1课时).doc
2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)学习目标通过本节学习，理解数列的概念,理解数列是一种特殊的函数，把数列融于函数之中，了解数列和函数Z间的关系；理解数列的通项公式，会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据前儿项写出它的通项公式;通过探究、思考、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生大胆猜想，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.合作学习一、设计问题，创设情境阅读章头图的文字说明，“有人说，大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”，那么大口然是怎么懂数学的？都遵循了什么样的规律?插图右侧是四种不同类型的花瓣，其花瓣数目分别是3, 5, & 13.你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个.这种规律就是我们将要学习的数列.1.看儿个例子：(1)三角形数:_(2)正方形数:_(3)国际象棋屮的每个格子屮依次放入的麦粒数排成一列数(4)古语:一尺之極，日取其半，万世不竭.每日所取極长排成-列数(5)童谣:一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿;三只青蛙三张嘴，六只眼睛I•二条腿;四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿.按顺序排列起来：青蛙嘴眼睛腿1124 22483361244816二、信息交流，揭示规律2.数列的概念【注】从数列的定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，显然数列和数集有本质的区别.3.数列的记法数列的一般形式可以写成: ________ ,可简记为｛&｝.其中弘是数列的第n项.4.数列的通项公式如果数列｛缶｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a,=f (n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【注】(1)一个数列的通项公式有时不唯一.女口1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,…，它的通项公式可以是a n=,也可以是a n=.(2)通项公式的作用：①求数列屮的任意一项；②检验某数是不是该数列中的项，并确定是第几项.三、运用规律，解决问题5.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1,-(2)2, 0,2,0;(3)1,3, 5, 7; (4).6.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形.在下图五个三角形图案中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前5项,请写出这个数列的一个通项公式.五、反思小结，观点提炼⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸四、变式训练，深化提高 7. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前儿项分别是下列各数:▲ (2) -,-(4) -1, 7,-13, 19, -25,31;(6) 1, 3, 7, 15;(8) 0. 9, 0. 99, 0. 999, 0. 9999; 仃)1,0, 1,0; (3)7, 77,777,7777; (5)1,3, 3, 5, 5, 7, 7, 9,9; (7) 2,-6, 12,-20, 30, -42;⑼，3,; 仃0).1.(1) 1, 3, 6, 10, 15, 21,…(2) 1, 4, 9, 16,…(3) 1, 2, 22, 23,…,263(4),…2.按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.3.ai, aa,…，a tI,…三、运用规律，解决问题5.解：(1)时;(2) a n=2;(3)a n=2n-l; (4) a n=.6.这五个三角形川着色三角形的个数依次为1,3,9,27,81.则所求数列前5项都是3的正整数指数幕,指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a…=3n_1.四、变式训练，深化提高7.解：⑴缶二；(2) a n=(-l)n•;(3)a n=(10n-l); (4)a n= (-l)"(6n-5);(5)a n=n+; (6) a n=2n-l;(7)a n= (-l)n'"n(n+l);⑻a n=l-;(9)二；(10) %二.五、反思小结，观点提炼略。
人教A版高中数学必修五高二新课程数列的概念与简单表示法第课时教案新
高二数学（必修5） 教·学案【学习目标】1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.【学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项 【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系. 【授课类型】新授课【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板 【学习过程】 一、复习引入： 师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N * 1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1(n ∈N *［合作探究］ 数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 师 说得很好，还有其他的方法吗？ 生师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一：自上而下高二数学（必修5） 教·学案第1层钢管数为4,即＝ 第2层钢管数为5,即＝ 第3层钢管数为6,即＝ 第4层钢管数为7,即＝ 第5层钢管数为8,即＝ 第6层钢管数为9,即＝ 第7层钢管数为10,即＝若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7).师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律 生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2 依此类推：a n =a n -1+1(2≤n 师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项 师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式二、新课学习： 1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55， 递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.三、 特例示范 【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢高二数学（必修5）教·学案生这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】已知a1=2，a n+1=2a n，写出前5项，并猜想a n师由例1的经验我们先求前5项生前5项分别为2，4，8，16，师对，下面来猜想第n项生由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想a n=2n［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列{a n}中的递推公式a n+1=2a n+1无法写出数列{a n}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式四、当堂练习：学案2.1.2五、本节小结：通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项六、作业布置:课时作业3.1.2。
最新高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)教案 新人教A版必修5
2.1 数列的概念与简单表示法（第1课时）一、课标要求：（1）理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；（4）了解数列是一种特殊的函数；（5）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
二、教学重点、难点：重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
三、设计思路：新课标强调数学知识产生、发展、和应用。
教学过程中注意生活实际的引入，使学生体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重视对学生学习数列的概念及表示法的过程。
本节课通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
因此设计流程如下：四、教学过程：（一）创设情景，导入课题问题(1)多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…（图见课本）象这样，按一定次序排列的一列数叫做数列（教师板书课题）（二）讲授新课问题(2)三角形数与正方形数同数集中元素的特点有何不同？引导学生回忆、比较，并归纳：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项(3)辩析数列的概念：○1 “1，51,41,31,21”与○2 “,21,31,41,511”是同一个数列吗？ 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.（它们不是同一个数列；且 ○1中，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等） 数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
高中数学必修五导学案数列的概念与简单表示法.docx
必修五数列的概念与简单表示法【学目】1、住数列的概念，区分数列的与数；2、清数列与函数的关系，了解数列的几种分；3、能根据数列的若干写出数列的通公式；4、了解数列的推公式，能由数列的推公式求出数列的一些。
【重点和点】重点：数列的通公式；点：由数列的前若干写出通公式。
【使用明及学法指】1.先本 P28—P31内容，然后开始做学案。
2. 将中不能解决的出来，以便上交流。
案一．学1.数列是函数？若是，定域，域和法分是什么？2.数列有那些呈方式？求数列的通公式怎去找律？二．知梳理1、数列是按照排列的一列数，数列中的每一个数叫做个数列的。
数有限的数列叫做，数无限的数列叫做。
2、数列的一般形式可以写成a1 ,a2 ,a3 ,..., a n ,...,，其中称数列的第1（或称首），称第n。
如果第n与序号n 之的关系可以用一个式子来表示，那么个式子叫做个数列的。
3、增数列：从起，每一都的数列；减数列：从起，每一都的数列。
怎定常数列、数列？4、若已知数列的首，且数列中从第二起，每一与前一（或前几）的关系可用一个公式来表示，个公式称数列的，由个公式出数列的方法叫做。
三 . 自1.察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出各数列的一个通公式：（ 1）（），－ 4， 9，（）， 25，（）， 49⋯(2) 1, 2 ,( ),2, 5 ,( ),7 ⋯2.写出下列数列的通公式( 1) 2,0,2,0⋯(2) 1 1, 22,33, 44, (2345)( 3) 1,1,3,2,5,...(4) 9,99,999,9999,⋯27513n3.已知 a1 2 ，且a n 1，求数列 a n的前 5 .a nn24.根据下面数列的通公式，分作出它的像：(1) a n2n1；(2) b n2n1四 . 我的疑 ：探究案一． 合作探究探究 1.求数列的通 公式例 1、写出下列数列的一个通 公式 :( 1) 1 ，3， 7， 15，⋯；( 2) 2 ， 5， 10， 17，⋯；( 3)2, 5 ,10 , 17,...；( 4) 0.9 ， 0.99 ， 0.999 ， 0.9999 ，⋯ .49 16探究 2. 数列与函数、方程的 系例2. 已知数列的通 公式25 14(n N *) .a n n n(1) 求 a 2 , a 3 , a 4 ；(2) 判断 22 是不是 个数列的 . 若是，是第几 ?若不是， 明理由；(3)求 数列中的最小 及相 的 数.二、 堂小 ：案一、 堂 与1. 数列 1， 3， 6， 10，⋯的一个通 公式是（）A. a n =n 2-( n-1)B. a n =n 2-1C.a n =n(n1)D. a n =n(n 1)222．已知数列a n ， a n 2n 2 10n 3 ，它的最小 是第。
人教A版高中数学高二必修5学案 2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)
第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)学习目标通过本节学习,理解数列的概念,理解数列是一种特殊的函数,把数列融于函数之中,了解数列和函数之间的关系;理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;通过探究、思考、交流、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.合作学习一、设计问题,创设情境阅读章头图的文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣数目分别是3,5,8,13.你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个.这种规律就是我们将要学习的数列.1.看几个例子:(1)三角形数:(2)正方形数:(3)国际象棋中的每个格子中依次放入的麦粒数排成一列数:(4)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成一列数:(5)童谣:一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿;三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿;四只青蛙四张嘴,八只眼睛十六条腿.按顺序排列起来:二、信息交流,揭示规律2.数列的概念【注】从数列的定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.3.数列的记法数列的一般形式可以写成:,可简记为{a n}.其中a n是数列的第n项.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【注】(1)一个数列的通项公式有时不唯一.如1,0,1,0,1,0,1,0,…,它的通项公式可以是a n =1+(-1)n+12,也可以是a n =|cos (n+1)π2|.(2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项. 三、运用规律,解决问题5.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1,-12,13,-14;(2)2,0,2,0;(3)1,3,5,7;(4)22-12,32-13,42-14,52-15.6.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形.在下图五个三角形图案中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前5项,请写出这个数列的一个通项公式.四、变式训练,深化提高7.写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1)1,0,1,0; (2)-23,38,-415,524,-635;(3)7,77,777,7777; (4)-1,7,-13,19,-25,31; (5)1,3,3,5,5,7,7,9,9; (6)1,3,7,15;(7)2,-6,12,-20,30,-42; (8)0.9,0.99,0.999,0.9999;(9)13,43,3,163;(10)23,415,635,863,1099.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.(1)1,3,6,10,15,21,… (2)1,4,9,16,… (3)1,2,22,23,…,263 (4)12,(12)2,(12)3,…2.按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.3.a 1,a 2,…,a n ,…三、运用规律,解决问题5.解:(1)a n =(-1)n+1n ;(2)a n =2|cos (n+1)π2|;(3)a n =2n -1;(4)a n =(n+1)2-1n+1.6.这五个三角形中着色三角形的个数依次为 1,3,9,27,81.则所求数列前5项都是3的正整数指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.四、变式训练,深化提高7.解:(1)a n =1+(-1)n+12;(2)a n =(-1)n ·n+1(n+1)2-1;(3)a n =79(10n -1);(4)a n =(-1)n (6n -5);(5)a n =n+1+(-1)n2;(6)a n =2n -1;(7)a n =(-1)n+1n (n+1);(8)a n =1-110n; (9)a n =n 23;(10)a n =2n(2n -1)(2n+1). 五、反思小结,观点提炼 略。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_24
本节课题： 数列的概念与简单表示教学目的：1.了解数列的概念2.了解数列是一种特殊函数3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式教学重点、难点重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系教学基本流程：创设问题情境，引入数列，给出数列概念，数列的分类，了解数列是一种特殊函数，体会数列与函数的关系，根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
教学过程：一．引入观察并在括号里填上适当的数。
（1）() ，，，，，5131211 （2）1, 4， （ ）， 16，…（3）1，-1, 1，-1，（ ），-1，…（4）1, 1, 1，（ ），1，…（5）1, 3, 6, 10，（ ），…（6）1, 1, 2, 3, 5，（ ），13，…探究：在你填数的过程中,你认为它们有什么共同特征?二．新课讲授1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数探究1：数列1，2，3，…，54改为54，53，…，3，2，1，它们还是同一数列吗？ 探究2：数列1，2，3，…，54改为{}54,,3,2,1 ，两者相同吗?思考：数列跟集合有什么不同？2. 数列的项：数列中的每一个数。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项，…数列的一般形式可以写为：n a a a a ,,,,321 ，…简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
3. 数列的分类：(1) 按项数分：有穷数列和无穷数列(2) 按项的大小分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列4. 数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做此数列的通项公式。
探究：如何求前面题中数列的通项公式？例1. 求下列数列的通项公式。
（1）,41,31,21,1… （2）1，4，9，16，…（3）1，2，3，…，54（4）-1，1，-1，1，…（5）1，1，1，1，…（6）1，3，6，10，…探究：1. 任何一个数列都可以写出它的一个通项公式吗？2. 数列的通项公式存在时，它是唯一的吗？3. 若将（1）中的数列改为,41,31,21…，则它的通项公式还相同吗？通过前面的学习，你发现数列和函数有什么关系？数列的图像又是什么呢？例2.下图中的三角形图案称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像。
人教A版高中数学必修5《二章数列2.1数列的概念与简单表示法》优质课教案_0
第1讲数列的概念及简单表示法教学目标：1•了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; 2•了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数知识梳理1. 数列的概念⑴数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.⑵数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数a n= f（n）.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列｛a n｝的第n项ch与序号n之间的关系可以用一个式子a n f）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式•（2）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a n 与它的前一项a n —1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式.诊断自测1. 判断正误(在括号内打“V”或“X”) |精彩PPT 展示(1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 .(X ) (2) 一个数列中的数是不可以重复的.(X ) ⑶所有数列的第n 项都能使用公式表达.(X )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个 .(")2. (2016保定调研)在数列｛a n ｝中，已知a 1= 1, a n +1 = 2a n + 1,则其通项公式为a n =() A.2n — 1B.2n —1 +1C.2n — 1D.2( n — 1)解析 法一 由a n +1 = 2a n + 1,可求a 2= 3, a 3= 7, a 4= 15,…，验证可知a *= n 2 — 1.法二 由题意知a n +1+ 1 = 2(a n + 1),二数列｛a n + 1｝是以2为首项，2为公比的等 比数列，二 a n + 1 = 2n ，— a n = 2n — 1. 答案 A3. (2016山西四校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S n = 2a n — n ,则a n =( ) A.2n —1 — 1B.2n — 1C.2n — 1D.2 n + 1解析 当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2a n — n — 2a n -1 + (n — 1), 即 a n = 2a n -1 + 1,— a n + 1 = 2(a n -1 + 1),•••数列｛a n + 1｝是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列，二a n + 1 = 2 2n —1 = 2n ,••• a n = 2n — 1. 答案 B4. (2015江苏卷)设数列｛a n ｝满足a 1= 1,且a n +1 — a n = n +1(n € N *),贝擞列 丘 10项的和为4•已知数列｛a n ｝的前n 项和s n ,则a n ―5= 1), (n > 2)将以上n — 1个式子相加得 a n — a 1 = 2 + 3+ …+ n =(2+ n )( n —1)2,即 a n = 解析 t a 1 = 1, a n +1 — a n = n + 1，— a 2 — a 1 = 2, a 3 —a 2= 3, …,a n — a n — 1 = n ,n (n + 1)2__1 2 (1令 bn = a n ，故 bn = n (n + 1) = 1 2 3 石_市， 故 S io = b i + b 2 + …+ b io「111 1 1 、 20 21-2+ 2-3+…+忆-后二亓 20答案205. （人教A 必修5P33A5改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数 列的一个通项公式a n =考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式: (1)- 1, 7，- 13, 19, 24_ 6 .8 1023，15，35，63，99,n 9252—0 ---------2 2 ?(4)5，55，555，5 555,解（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式 （一1）n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为a n二（-1）n （6n - 5）.（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X 3, 3X 5, 5X 7, 7X 9, 9X 11,…，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通 项公式为 an =（2n - 1）2（2n + 1）-3 数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观16答案5n- 4考点突破分黄讲竦，以例求法1 4 9 16 25 n察.即2, 2, 9, 2, 25,…，从而可得数列的一个通项公式为a n = 2.5 5 5(4) 将原数列改写为9X9, 9X99, 9X999,…，易知数列9, 99, 999,…的通项5为10n-1,故所求的数列的一个通项公式为a n=|(10n-1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征•应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想•【训练"⑴数列-匕，丈，-匕，息，…的一个通项公式a n = ----------------------3 7 9⑵数列｛a n｝的前4项是3，1 , 10, 17，则这个数列的一个通项公式a n = ________解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数1项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n= (- 1)n 1 .n (n+ 1)(2)数列｛a n｝的前4项可变形为2X 1 + 1 2X2+ 1 2X 3+ 1 2X4+ 1 ” 2n+ 1 〒+厂，'亏百‘7+厂'故an=孑+7. 答案⑴日丁市讨⑵铝考点—-由Si与a n的关系求a n【例2】设数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛S n｝的前n项和为T n,满足T n = 2S n2 *—n , n € N .(1) 求a1的值；(2) 求数列｛a n｝的通项公式.解(1)令n= 1 时，2S —1,T S1 = a1，—a1 = 2a1 —1，—a1= 1.2(2)n》2 时，T n-1 = 2S-1 —(n- 1),则S n= T n- T n-1 = 2S n-[2S n-1- (n- 1)2]—2(Si —S n-1) —2n+ 1=2a n —2n + 1.因为当n—1时，a1 —Si —1也满足上式,所以 S n — 2a n — 2n + 1(n 》1),当 n 》2 时，Sn -i — 2a n -i — 2(n — 1)+ 1,两式相减得a n — 2a n — 2a n -1 — 2,所以 a n — 2a n -1 + 2(n 》2),所以 a n + 2— 2(a n -1 + 2), 因为a 〔 + 2— 3工0, 所以数列｛a n + 2｝是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以 a n + 2— 3X 2n —1,.・. a n — 3X 2n —1 — 2,当n — 1时也成立， 所以 a n — 3X 2n —1 — 2.规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n — S1, S —X 当n — 1,S n — S n -1, n 》2.时，a 1若适合S n — S n — 1,则n — 1的情况可并入n 》2时的通项a n ；当n — 1时, a 1若不适合S n — S n -1，则用分段函数的形式表示•-11 小 1当 n — 1 时，a 1 — 1工 2 X 2 — 3,【训练2】 (1)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1— 1 , S n — 2a n +1,则S n —(A.2n —1n -1B. 2n — 11D^n -12 C.21 1又 a 2 — 2，A a n —n — 23(n 》2).n -1 n -11(2)由题意得,当 n 》2 时，a n — a 〔 + (a 2 — a“+ (a 3 — a 2)+…+ (a n — a n -1) — 2+ (2 + 3 (n — 1)(2+ n ) n (n + 1)+ …+ n)— 2 + 符合上式，因此2a n —今严+ 1. + 1.又 a 1 — 2—+1,(3)法一因为a n —n — 1 —^a n -(a n -1 —n — 2 n — • a n -2,・ 以上(n — 1)个式子的等号两端分别相乘得a n — a 1 • n — 1• •• S n — 2a n +1— 2X 2X 32 1(2)由S n = 2*n + 3得当n 》2时，2两式相减，得a n = 3a n — ・••当 n 》2 时，a n = — 2a n -1,即一~ = 一 2.a n -12 1又 n = 1 时，Si = a 1 = 3*1 + 3， a 1 = 1 ,二 a n = (— 2)n 1. 答案(1)B— 2)n -1考点三由数列的递推关系求通项公式【例3] (1)在数列｛a n ｝中，a 1= 1, a n +1 = 2a n + 3,求它的一个通项公式为a n . (2)在数列｛a n ｝中，a 1 — 2, a n +1 — a n + n + 1,求 a n .n — 1⑶已知数列｛a n ｝满足 a 1— 1, a n — —^a n -1(n 》2), 求 a n .解 ⑴设递推公式a n +1 — 2a n + 3可以转化为&+1 +1 — 2(a n +1),即卩a n +1 — 2a n +1, 解得t — 3.故 a n +1 + 3 — 2(a n + 3).令 b n — a n + 3,贝U b 1 — a 1 + 3 — 4, b n + 1 a n +1 + 3 b n a n + 3所以｛b n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列 ••• b n — 4 2n —1 — 2n +1,••• a n — 2n +1-3.2.1 —n .规律方法 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法 求解•(1) 当出现a n — a n -1 + f(n)时，用累加法求解；(2)当出现旦 —f(n)时，用累乘法求a n — 1 解；(3)当出现a n +1 — pan + q 时，将a n +1 — pa n + q 的递推关系式可以化为(a n +1 + t)— p(a n +1)的形式，构成新的等比数列，其中t —p — 1【训练3】(1)(2016合肥一模)已知数列｛a n ｝满足a 1 — 1, a 2 — 4, a n +2 + 2a n — 3a n+ 1(n € N )，则数列｛a n ｝的通项公式a n — ______ .(2) 在数列｛a n ｝中，a 1 — 1， S n — n ；2a n ，则 a n — __ . 解析 (1)由 a n + 2 + 2a n — 3a n +1 — 0， 得 a n +2— a n +1 — 2(a n +1 — a n )，数列｛a n +1 — a n ｝是以a 2— a 〔一 3为首项,2为公比的等比数列，「• a n +1 — a n — 3X 2—1n 》2 时，a n — a n -1 — 3x 2n 4，…，a 3 — a 2 — 3x 2， a 2 — a 1 — 3， 将以上各式累加得a n — a 1 — 3x 2n —2+ …+ 3x 2 + 3 — 3(2n —1— 1)，.a n — 3 x 2n 1 — 2(当 n — 1 时，也满足).(2)由题设知，a 1 — 1.n + 2 n +1a n — S n — S n — 1 — ~3~ a n — ~3~ a n —1.4法二 因为 a n— a n a n —1a nT a n — 2 a n —2 a n — 3a 3 a 2n — 1 n — 2 n — 1—• — • a i ------ • •a 2 a i n n — 1n —当n 》2时, a n n +1 a n n +1a n —1 n — 1 a n -1 n — 1 a 4 5 a 3 4 a 2 小 =— =— —3a 3，a 2，a 以上(n —1)个式子的等号两端分别相乘，得到a ； - n (+^，又「a 1 -1，. a nn (n + 1)考点四 数列的单调性及应用答案 (1)3x 2n — 1— 2n (n + 1)【例4】已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2n2+ 2n,数列｛b n｝的前n项和T n= 2-b n.(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；⑵设C n= a2• b n,证明：当且仅当n A 3时，C n + 1< C n.(1)解当n= 1 时，a i = S i = 4. 对于n>2, 有a n= S n- Sn-i = 2n(n+ 1)-2(n—1)n = 4n. 综上，｛a n｝的通项公式a n = 4n.将n = 1 代入T n= 2 —b n,得 5 = 2—b1,故「= b1= 1.(求b n 法一)对于n A2,由T n—1= 2—b n—1, T n= 2—b n,1 1—n得b n= T n—T n—1 = —(b n—b n —1) , b n = ^b n —1 , b n= 2 . (求b n 法二)对于n A2,由T n= 2—b n,得T n= 2—(T n —T n-1),1 1 —n 1 —n2T n= 2 + T n—1, T n—2 = ](T n-1 —2), T n —2 = 21 n(T1 —2)= —21 n, T n= 2—21—n, b n= T n —T n-1= (2 —21 —n) —(2 —22—n) = 21 —n. 综上，｛b n｝的通项公式b n = 21 —n.(2)证明(法一)由c n = a2• b n= n225—n,得詈=舟1+ n •1 4 L当且仅当n A 3 时，1 + -< 3<.2,即C n+1< C n.n 3(法二)由C n= a in • b n= n225 n,得c n+1 —c n = 24-n[( n + 1)2—2n2] = 24-n[ —(n—1)2+ 2].当且仅当n A 3 时，C n+1 —C h < 0,即卩C n +1 < C n.规律方法(1)单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n+1与a n(n€ N )的大小，若a n+1 >a n恒成立，则｛a n｝为递增数列；若a n+1 < an恒成立，则｛a n｝为递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.(2)求数列｛a n｝的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等a n W a n+1 ,a n A a n+1 ,来确定n. On A a n —1式法，求最小项可由’来确定n,求最大项可由‘©n W a n—1若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.3 * 【训练4】已知首项为2的等比数列｛a n｝不是递减数列，其前n项和为S n(n€ N ),且S 3+ a 3， Ss + a 5， S4 + a 4成等差数列. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；1 *⑵设T n = S n -S n （n € N ），求数列｛T n ｝的最大项的值与最小项的值 解（1）设等比数列｛a n ｝的公比为q ,因为S 3+ a 3， S 5+ a s ， S 4+ a 4成等差数列，所以 S s + a s — S 3— a 3 = S 4+ a 4 — S 5-a s ，即卩 4a s = a 3， 干是 q 2_ a s —1 于疋 q — a 3 — 4.3 1又｛a n ｝不是递减数列且a 1= 2，所以q = — ~2故等比数列｛a n ｝的通项公式为1/ 1 n " + £，n 为奇数，（2）由（1）得 $= 1- - 2 =1J-艺，n 为偶数.当n 为奇数时，s n 随n 的增大而减小， 3所以 1 V S n < Si = 2， 挤c c 1 c 1 3 2 5 故0V Sn -斎亍 2-3二 6.3当n 为偶数时，s n 随n 的增大而增大，所以3= S 2< s n v 1, 11347故0>&-s n 》③-亍4-3=-佢* 71 5综上，对于n €N ,总有一12= S n -6.5 7所以数列｛T n ｝最大项的值为6，最小项的值为一［思想方法］1•由数列的前几项求数列通项，通常用观察法 （对于交错数列一般有（-1）n 或（- 1）n +1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前 几3_2n课堂总结反思归纳’感悟提升n 1 - 2X 3- 2 - n a项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.、 S 2•强调an 与3的关系：an 」S n _ S n -1 3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两 种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. ［易错防范］1. 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取 值，如数列a n = f(n)和函数y = f(x)的单调性是不同的.2. 数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n = S n -Sn-1的形式，但它只适用于n 》2的情形.课时件业分层训练'提升能力基础巩固题组 (建议用时：40分钟)、选择题1.数列0, 1, 0，- 1，0，1，0，- 1,…的一个通项公式是a n 等于( )令门=1, 2，3，…，逐一验证四个选项，易得 D 正确. 答案 D 2.设a n = — 3n 2 + 15n -18,则数列｛a n ｝中的最大项的值是(解析 I a n =- 3 n -5 + 4，由二次函数性质，得当n = 2或3时，a n 最大，最 大为0. 答案 D3. (2016黄冈模拟)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n = n 2-2n +2,则数列｛a n ｝的通项(n = 1),(n > 2)A (- 1)n+ 1A. 2n + 1C.cos —2 nn nB.cos解析 A 16 A.§ c 13BEC.4D.0公式为() A. a n = 2n— 3解析 当n = 1时，a i = S i = 1,当n 》2时，a n = S n — S n -1 = 2n — 3,由于a i 的值 不适合上式，故选C. 答案 C4.数列｛a n ｝满足 a n +1 + a n = 2n — 3,右 a 1 = 2,贝U a 8— a 4=( )A.7B.6C.5D.4解析 依题意得(a n +2+ a n +1)— (a n +1 + a n ) = [2(n + 1)— 3] — (2n — 3),即 a n + 2 — a n — 2, 所以 a 8 — a 4 — @8 — a 6)+ (a 6 — a 4)= 2+ 2 — 4. 答案 D5. (2015 石家庄二模)在数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2, a 2 — 7, a n +2 等于 a n a n + 1(n € N ) 的个位数，贝U a 2 015—() A.8B.6C.4D.2解析 由题意得 a 3 — 4, a 4 — 8, a 5 — 2,a 6 — 6,a 7 — 2,a 8 — 2,a 9 — 4, a 10= 8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6,故a 2 015— a 335x 6+5— a 5 — 2. 答案 D 二、填空题6. ....................................................................................................................... 在数列｛a n ｝中，a 1= 1,对于所有的n 》2, n € N ,都有a 1 • a 2 • a 3 ................................. a n —门2,贝U a 3 + a 5 — _____ .解析 由题意知 a 1 • a 2 • a 3 ......... a n -1 — (n — 1)5 6,5 2 解析当 n = 1 时，a 1 = S 1 — 1a 1 + 3,B.a n = 2n + 3C.a n =1 n = 1,、2n — 3, n 》2 J 1, n = 1, D.a n =2n + 3, n 》2二a n= n—h2(n》2)「a3+ a5= f+ 4 禁答案611a1 = 1.27. （2016潍坊一模）已知数列｛a n｝的前n项和S n=?a n+3,则｛a n｝的通项公式a n=8. (2015 太原二模)已知数列｛a n ｝满足 a 1 — 1, a n — a n +1— n a n a n +1( n € N )，贝U a n —三、解答题9. 根据下列条件，确定数列｛a n ｝的通项公式. (1) a 1 — 1, a n +1 — 3a n + 2； (2) a 1 — 1, a n +1— (n + 1)a n ；(3) a 1 — 2, a n +1 — a n + In 1 + 门. 解⑴：a n +1 — 3a n + 2,• - an +1 + 1 — 3(a n + 1),•数列｛a n + 1｝为等比数列，公比q — 3, 又 a 1+ 1— 2, • a n + 1 — 2 3n 1 ,• a n — 2 3n 1 — 1. a n +1 (2) a n +1 — (n + 1)a n ,.°. & — n + 1. .a na n —1当n 》2时,1 1a n — Sn 一 S n -1 — ga n —3a na n 1a n -1 21 •••数列｛a n ｝为首项a 1 —1,公比q —— 2的等比数列，故 a n—-1n —1答案-1n 一 11 1解析 由已知得一—一 —n , a n +1a n1 1 ,1 • 一一 - — n — 1, a n a n -1a n -1丄—n -2,- a n -2丄丄1 'a 2 a 1'1 1 _ n (n — 1) a n a 1—2 21 n — n + 22a n —. 2 • an —n 2- n + 2.a n + 1 +1a n + 1 3,•—n, —n —1,a n-1 a n-2累乘可得，a n = n x (n — 1)x (n — 2)x — x 3X 2 x 1 = n ! 故 a n = n !a n + In 1+1 ,,n , n — 1 , 2 an — a1= ln n —1+ ln n^+…+ ln 1 = 又 a 1 = 2，— a n = In n + 2._ itc*10. 设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n .已知 a 1 = a(a € R 且 a ^ 3), a n +1 = S n + 3 , n € N .(1) 设b n = S n — 3",求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵若a n +1》a n , n € N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n +1 — S n = a n +1 = S n + 3“， 即 S n +1 = 2S n + 3n ,由此得 S n + 1一 3“ +1 = 2(S n — 3),又S 1 — 31= a — 3(a M 3),故数列｛S n — 3n ｝是首项为a — 3,公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n = S n — 3n = (a — 3)2n 1, n € N . (2) 由(1)知 S n = 3n + (a — 3)2n —1, n € N *,于是，当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 3n + (a — 3)2n 「1 — 3n —1 — (a — 3)2n —2 = 2x 3n —1+(a —3)厂2,a n +1 — a n = 4 x 3“ 1 + (a — 3)2n 2n 一 2 当 n 》2 时，a n +1》a n ? 12 • 2 + a — 3》0? a > — 9.a 3 a 2=3, a 2a i a i = 1. …a n +1 — a n = In 1+1=lnn + 1 na n — a n — 1 =说,a n —1 — a n —2=Inn — 1n —2，a 2 — aln2In n.又a2= a1+ 3>a1. 综上，所求的a的取值范围是［—9, 3)U (3,+x).能力提升题组(建议用时：20分钟)11. 已知数列｛a n｝满足a n+1 = a n —a n-1(n》2), a i= 1, a2 = 3,记S n= a i+ a2+…+a n,则下列结论正确的是()A.a2 014=—1, S2 014= 2B.a2 014= —3, S2 014= 5C.a2 014= —3, S2 014= 2D.a2 014= —1, S2 014= 5解析由a n+1 = a n —a n—1(n》2)，知a n+2 = a n+1 —a n,贝U a n+2= —a n—1(n》2), a n+3 =—a n,…，a n+ 6= a n,又a1 = 1, a2 = 3, a3= 2, a4= —1, a5= —3, a6= —2, 所以当k€ N 时，a k+1 + a k+ 2+ a k+3+ a k+ 4+ a k+5 + a k+ 6= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0, 所以a2 014= a4=—1, S2 014= a1 + a2 + a3 + a4= 1 + 3+ 2+ (—1) = 5.答案Dn12. (2016贵阳监测)已知数列｛a n｝满足a1 = 2, a n+1= -(n€ N )，则该数列的前1 —a n2 015 项的乘积a1 • a2 • a3 ..... a2 015= ______________ .1 + a1 - 1 + a2 1 1 + a3 1 1 + a4 解析由题意可得，a2= = —3, a3 = = —2，a4= = 3, a5= :i —a1 1 —a2 2 1 —a3 3 i —a4 =2= ◎,•••数列｛a n｝是以4 为周期的数列，而2 015= 4X503+ 3, a1&a3a4= 1 , •••前 2 015 项的乘积为1503• a1a2a3= 3.答案313. 已知a n= n2+入n且对于任意的n€ N，数列｛a n｝是递增数列，则实数入的取值范围是________ .解析因为｛a n｝是递增数列，所以对任意的n€ N*，都有a n+1>a n,即(n+ 1)2+小+ 1)>n2+入n整理，得2n+ 1+ >0,即卩A> —(2n+ 1).(*)因为n》1,所以一(2n + 1) w —3,要使不等式(*)恒成立，只需A> —3.答案(—3,+^)1 n *14. 在数列｛a n｝中，a1 =1, a n a n+1 = 2 (n€ N ).⑴求证：数列｛a 2n ｝与｛a 2n —1｝( n € N )都是等比数列；(2)若数列｛a n ｝的前2n 项和为T 2n ,令5= (3 — T 2n ) n (n + 1),求数列｛b n ｝的最大项.(1)证明 因为 a n a n +1= 2 ， a n + 1a n + 2= 1 ，所以0^ 11又a 1= 1, a 2 =2，所以数列a 1, a 3,…，a 2n -1,…，是以1为首项, 等比数列；1 1数列a 2, a 4,…，a 2n ,…，是以1为首项，1为公比的等比数列.(2)解 由(1)可得 T 2n = (a 1 + a 3 + …+ a 2n — 1)+ (a 2 + a 4 + …+ a 2n ) 2 VII — 2 1 n 1 n〔n +1 所以b 1< b 2= b 3> b 4>・・・> b n >…，所以(b n ) max ==3— 3 ，所以 b n = 3n(n + 1) , b n +1 = 3(n + 1)(n + 2), 1— 1 n 1 2 门+ 1 2 所以 b n +1 — b n = 3(n + 1) 2 号—n = 3( n + 1)广1(2 — n).2 1(2)若数列｛a n｝的前n项和S n—§a n+ 3，则｛a n｝的通项公式a n —解析(1) v S n—2a n+1，—当n》2 时，S n-1 —2a n, • I a n —S n—S n —1 —2a n + 1 —2a n(n》2),a n+1 3,即—o (n》2),a n 2'1, n—1,二a n —彳 1 /3 彳 2 1 I踢，n》2,。
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第三章 数列、极限与导数
一、考试内容：
（一）数列
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
（二）极限
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
（三）导数
导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数．
两个函数的和、差、积、商和导数．复习函数的导数．基本导数公式．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
二、考试要求：
（一）数列
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并
能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际
问题．
（二）极限
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则．会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
（三）导数
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握
函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
（2）熟记基本导数公式（c,xm(m为有理数)，sinx，cosx,ex,ax,ln x,logax的导数）；掌握两
个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充
分条件（导数在极值点两则异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
数列的概念
一.知识回顾
1. 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.
2. 数列的通项公式.
3. 求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列}{na,其通项na和它的前n项和ns之间的关系是
)2()1(11nss
ns
a
nn
n
二、基本训练：
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、数列4，－１，1017，－1331 ，1649，…的一个通项公式是
A、1212)1(21nnn B、1213)1(21nnn C、1212)1(21nnn D、1213)1(21nnn
3、 已知数列{}na的通项公式为22log(3)2nan，那么2log3是这个数列的
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6
项
4、已知*2()156nnanNn，则在数列{}na的最大项为____________.
5、在数列{}na中，11nnan，且Sｎ＝9，则n＝_____________.
6、（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和
都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么
的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为
________________
三、例题分析
例１.（1）已知数列{}na的前n项和公式，求{}na的通项公式
①nnSn322；
②132nnS
③数列｛an｝中，11a，对所有的n≥2都有2321naaaan
变题：已知数列{}na满足11a，123123(1)(2)nnaaaanan，则数列
{}na
的通项na .
例2 （1）已知数列{}na，11a，112nnnaaa(*nN)，写出这个数列的前4项，
并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明.
变题：(A计划例4) 在数列{}na中，11a，11nnnaana，求an
（2）数列{}na中，12a，前n项和nS满足21(2)nnSS*nN，求数列
{}na
的通项公式.
例3 、已知数列的通项nnna)1110)(1(*nN。试问该数列{}na有没有最大项？
若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.
例4 、设函数2()loglog2xfxx(01)x，数列{}na的通项na满足
(2)2nafn
(*nN)，试讨论数列{}na的单调性.
四、作业 同步练习 数列的概念
1. 设数列2,5,22,11,,则25是这个数列的
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列{}na的前n项积为2n，那么当2n时，{}na的通项公式为
A.21nan B.2nan C.22(1)nnan D.22(1)nnan
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式
的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin22n （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列{}na中，12nnnaaa，122,5aa，则6a的值是
A.3 B.11 C.5 D.19
5.设数列{}na，cnbnaan ，其中a、b、c均为正数，则此数列
A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增
6. 数列31537,,,,,5211717的一个通项公式是 。
7. 数列{}na的前n项和223nSnn，则na 。
8. 数列{}na满足212231naaann，则4510aaa 。
9. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有___________
个点.
（1） （2） （3） （4）
（5）
10. 已知数列{}na的前n项和2nSnpn，数列{}nb的前n项和232nTnn，
（1）若1010ab，求p的值； （2）取数列{}nb中的第1项, 第3项, 第5项,
构成一个新数列{}nc, 求数列{}nc的通项公式.
11. 已知数列{}na满足11a，11(1)nnaann(2)n，求数列{}na的通项公式.
12. 已知数列的通项公式为122nnan（*nN）
①0.98是否是它的项？
②判断此数列的增减性与有界性.
13. 已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，求实数的取值范围.
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答案：
基本训练：
1、C 2、D 3、A 4、125 5、99
6、
3； 当n为偶数时，；当n为奇数时，.
例题分析：
例1、(1)41nan (2)15(1)43(2,)nnnannN (3) 22(1)(2,)(1)nnannnNn1
变题：(1)!(2,)2nnannnN1 例2、（1）121nan （2）42nan 例
3、最大项为第9、10项 例4、递增数列
作业：
1—5、BDDA A 6、232nnan 7、45nan 8、161 9、821nn、
10、（1）36 （2）1211ncn 11、12nan 12、（1）第7项 （2）
递增数列，有界数列 13、3