黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(文)试题
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试试题——数学
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A ．B ．C ．D ．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A ．B ．C ．D ．3、函数的反函数为A ．B ．C ．D ．4、在等差数列中，若，则的值为A ．20B ．40C ．60D ．805、函数的值域是A ．B ．C ．D ．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A ．3B ．2C ．1D ．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A ．B ．C ．4D ．9、若，，则A ．B ．C ．D ． 10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．11、给出下列4个命题：①在△中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A ．1B ．2 C.3 D ．412、已知为偶函数，且，在区间上，34,01()222,12x x x x f x x -⎧-⎪=⎨⎪+⎩≤≤＜≤，则函数零点的个数为 A ．4 B ．5 C.6 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数(),111x e x g x x ⎧>⎪=-≤≤ 则= ． 16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学文试题扫描含答案
大庆实验中学2019-2020学年度上学期期中考试 高三数学（文科）试题答案1-12：ABCCD BCCBC CB 532 14.1 15.3 16. ①②④ 17. 【答案】（I ）1；（II ）35. （I ）大于40岁的观众中应抽取2名观众 （II ）5名观众中任取2名有10种结果，每种结果发生的概率都是110， 是古典概型.抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含6个基本事件， 所以其发生的概率是610，既35. 18.解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，则1125163315a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，21n a n ∴=+. （II ）由（1）知()()12321S 222n n n a a n n n n +++===+， 11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅Q ， 1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111(1)(3)3n S S n n +=-=-++. 19. 【详解】()I SA ⊥Q 底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，SA CD ∴⊥，CD AD Q ⊥，AD SA A ⋂=，CD ∴⊥面SADAM ⊂Q 面SAD ，CD AM ∴⊥，又SA AD 2==，点M 是SD 的中点，AM SD ∴⊥，SD CD D ⋂=Q ，AM ∴⊥面SCD ，SC ⊂Q 面SDC ，SC AM.∴⊥()II M Q 是SD 的中点，S ACM D ACM M ADC V V V ---∴==， ∴S ACM ACD 11111V 21S SA 111323212-=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=V ， AN SC ⊥Q ，AN AM A ⋂=，SC ∴⊥面AMN ，S ACM AMN 1V S SC 3-∴=⋅V ， 222SC 1113=++=QAMN ∴V 的面积S ACM AMN 3V 3S SC -==V 20．解：（I ）由题意得222223b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （II ）方法1：由222114x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x,得28430y y +-=, 判别式2448(3)112∆=-⨯⨯-=，设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，所以127y y ∆-==， 所以AMN ∆的面积127(21)12y y S -⨯-== 方法2：由22112214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y,得22230x x --=, 判别式2(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=，设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，所以2211281()1()222MN ∆=+=+⋅， 又因为点()2,0A 到直线11:22l y x =-的距离21211()2d =+， 所以AMN ∆的面积221128721()211()211||22S MN d =+⋅=⋅=+. 21. （I ）的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，无极值点，当时，解，得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点.（II ）由条件可得恒成立，则当时，恒成立， 令，则， 令， 则当时，，所以在上为增函数. 又，所以在上，；在上，. 所以在上为减函数；在上为增函数. 所以，所以.，故k 的取值范围是(,1]-∞.22.解：（I ）将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 330x y -+=.由4ρ=，得2216x y +=，则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.（II ）将直线l 的参数方程变为1223x s y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），代入2216x y +=，得22120s s --=，则1212s s =-， 故121212PA PB s s s s ⋅=⋅==.23. 【答案】(I)[4,0]- ;(II)（-3,1）解：（I ）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，①当1x ≥时，31x +≤得：无解，②当11x -<<时，311x +≤，解得：10x -<≤，③当1x ≤-时，31x --≤，解得：41x --≤≤，综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤；（II ）若()f x x a =-有两个不同的解，即()y f x =的图象与直线y x a =-有两个交点，当y x a =-过点(1,2)--时，1a =，当y x a =-与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩中的第一段重合时，3a =-结合图象可得31a -<<．故a 的取值范围是（-3,1）.。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期末考试试题 文
大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末高三年级数学试题（文）说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B I =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}42．在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( ) A ．13B ．13C ．213D ．2103．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 4. 已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）A ．80B ．40C ．20D ．105．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ=I ，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥6．在右侧的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（ ）A.2014x x e xe +B.2012x x e xe +C.2013x x e xe +D.2013xe x +7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223,sin 23sin a b bc C B -==，则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．35 C ．32 D ．09．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．22B ．5C ．6D ．310. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如右图所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最A ．24πB ．12πC ．6πD ．3πyxO1π611π1211．在等腰梯形ABCD 中，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等式A 13．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = . 14．若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= .15. D C B A ,,,是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC ，6AD =，32=AB ,则该球的表面积为 .16．已知函数()1f x =，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1=i ，n θ是向量n OA u u u u r 与i 的夹的值为 ．17. (本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项和为2n S n= ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.(本小题满分12分) 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （1）求,m n 的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.19.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ，ο90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N .（1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.20. (本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>l与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E 的坐标为，点A 连结点点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 求出该定值；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 已知函数b ax x x x f +++=2325(）（b a ,为常数），其图象是曲线C ． （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调减区间；（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，PA 是O e 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O e 的直径，PC 与O e 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD . (1) 求证：PAD CDE ∠=∠；(2) 求证：2PA BDPC PE AD=⋅. P23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数)， （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求实数a 的取值范围.大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末高三年级数学试题（文）参考答案一、1—12二、13. e 14.15. 60π 16. 三、17.（1）2n ≥时121n n n a S S n -=-=-，当1n =时111a S ==综上21n a n =-11221111,2842b b b b q ==∴=∴=Q 12n n b ∴=（2） ()212nn c n =-()()()()()()()2231123221221232212n n n n T n T n +∴=⨯+⨯++-∴=⨯+⨯++-L L两式相减得62)32(1+-=+n n x n T解得：m=0.20.——————4分 （210家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b ，则从中抽取2家公司，不同的结2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：…共6种，所——————12分 SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥， BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB =Q ，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥， 又已知SC AN ⊥，⊥∴SC 平面AMN ； ———————6分 （2）SC ⊥Q 平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ，而1SA AB BC ===，AC ∴=SC =又AN SC ⊥Q ，3AN ∴=， 又AM ⊥Q 平面SBC ，AM AN ∴⊥，而2AM =，6MN ∴=，12AMB S ∆∴==，11336S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=， 361==∴--AMN S SAN M V V . ————————12分20. （1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =，所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即A B x x =，代入椭所以椭圆C 的方程为22162x y += ————————3分 （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ， 由点E的坐标为，所以AB k =，直线AB的方程为y x =， 联立直线AB 与椭圆C的方程，解得7()5B -， 又PA过原点O ，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA 的方程为0x =，所以点B 到直线PA的距离h ==， 故14255PAB S ∆=⋅⋅= . ——————8分 （3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E ，此时(E ，2211EB+为定值2． 根据对称性，只需考虑直线AB 过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B xy ，又设直线AB 的方程为x my =+C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以1223y y m-+=+，12233y y m -=+， 又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值. ————————12分21. （1）当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+．令0)('<x f ，解得123x -<<，)(x f 的单调减区间为1(2,)3-． ——————2分（Ⅱ） 2()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解．令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，以()g x 在区间1(,)2-∞-，1(,)3-+∞上是增函数，在11(,)23--上是减函数，又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-∞--+∞U ． ————————6分（Ⅲ） 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+．由题意知，a x x x f k ++==0200'153)(，a x x x f k +++=--=4252012)252(0200'1，若存在常数λ，使得12k k λ=，则λ=+++a x x 4252012020)53(02a x x ++，即常数λ使得425)1()4)(53(020--=-+a x x λλ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0425)1(04a λλ，解得1225,4==a λ．故当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当1225≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=． ————————12分22. (1) 由PA 是圆O 的切线，因此弦切角PAD ∠的大小等于夹弧所对的圆周角ACD ∠，在等腰OCD ∆中，OD OC =，可得ACD CDE ∠=∠，所以PAD CDE ∠=∠. ——————5分(2) 由PBD ∆与PEC ∆相似可知，PB BD PE CE=，由切割线定理可知，2PA PB PC =⋅，则2PA PB PC =，又EC AD =，可得2PA BDPC PE AD=⋅. ———————— 10分23. （1）2ρ=Q ，故圆C 的方程为224x y +=Q 直线L的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线L20y -=.———————5分（2）由''12x xy y⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C ：2214x y +=. 设点M 为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩则22232cos(2)3x y πθ+=++所以当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，M 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--231，M 时，原式的最小值为1. ———————— 10分24. (1）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立； 当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得512x -≤<-； 当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为5[,)2-+∞． ———————— 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]．———————— 10分。
【精品】2015-2016年黑龙江省大庆中学高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
11． （5 分）过原点的直线 l 与双曲线 别相交于 A，B 两点，F（﹣ • A．
=1（a＞0，b＞0）的左、右两支分
，0）是此双曲线的左焦点，若|FA|+|FB|=4， ） B． ﹣ =1
=0 则此双曲线的方程是（ ﹣y2=1
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C．
﹣y2=1
D．
﹣
=1
12． （5 分）设函数 f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中 x＞0，a∈R，存在 x0 使得 f（x0） A． 成立，则实数 a 值是（ B． C． ） D．1
8． （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（
A．2
B．1
C．
D．﹣1 ）
9． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
A．12+
B．10+
C．10
D．11+ ，AB=1，
10． （5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA=2 AC=2，∠BAC=60°，SA⊥面 ABC，则球 O 的表面积为（ A．4π B．12π ﹣ C．16π ） D．64π
②命题 p：∀ x∈R，x2﹣1＞0，则命题 p 的否定是∃ x∈R，x2﹣1≤0； ③p：a+b≥2 为假命题；
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（a，b∈R）q：不等式|x|＞x 的解集是（﹣∞，0） ，则‘p∧q’
④已知 ξ 服从正态分布 N（0，σ2） ，且 P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则 P（ξ＞2）=2． 其中正确判断的个数有（ A．3 个 B．0 个 ） C．2 个 D．1 个 ）
二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）已知向量 =（ 线，则 k= 14． （5 分）已知 a= ． 2xdx，则（x﹣ ）a 的二项展开式中常数项为 ． 交于 A，B 两点，O 为 ． ． ，1） ， =（0，﹣1） ， =（k， ） ．若 与 共
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．1006．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．17．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜29．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）11．已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为．14．dx+=．15．已知，，则=．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．+2n（n≥2，n∈N*）20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出关于集合A，B的不等式，求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|2x＞8}={x|x＞3}，∴集合（∁U A）={x|﹣1≤x≤4}∴（∁U A）∩B={x|3＜x≤4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．100【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9=．故选D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题．6．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，=F（1，1）=﹣1，∴z最大值故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，然后根据函数的周期性和奇偶性进行求值转化即可．【解答】解：∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，且f（0）=0，f（2）=﹣f（0）=0．则f（2012）=f（0）=0，f（2013）=f（1）=8，f（2014）=f（2）=0，∴f（2012）+f（2013）+f（2014）=8，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据条件得到函数是周期性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．8．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合．【分析】由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A【点评】本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；规律型；分类讨论；简易逻辑．【分析】求解命题P，通过讨论a的取值，从而解出不等式（x+a）（x﹣1）＞0，判断所得解能否使p是q的充分不必要条件，或限制a后能使p是q的充分不必要条件，综合以上求得的a的范围求并集即可．【解答】解：命题p：可得，，即：x＜1或x＞2，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x+a）（x﹣1）＞0，若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x≠1，符合p是q的充分不必要条件；若﹣a＞1，即a＜﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x＞﹣a，或x＜1，由x＜1或x ＞2，得到﹣a＜2，符合p是q的充分不必要条件；若﹣a＜1，即a＞﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x＞1，或x＜﹣a，∵p是q的充分不必要条件，q：x＜1或x＞2，不满足P是q的充分条件；综上得a的取值范围是（﹣2，﹣1]．故选：A．【点评】考查充分不必要条件的概念，解一元二次不等式．分类讨论思想的应用．11．已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【考点】导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知想到构造函数F（x）=xf（x），求导后判断出其单调性，然后比较的绝对值的大小，最后借助于F（x）是偶函数和其单调性得到答案．【解答】解：令F（x）=xf（x），∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴F（x）为定义在实数集上的偶函数．由F′（x）=f（x）+xf′（x），∵当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．∵，，∴．则．即a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了导数的运算法则，训练了函数构造法，解答的关键是掌握偶函数的性质f（x）=f（|x|），是中档题．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4，再利用倒序相加，即可得到结论．【解答】解：由题意要求的值，易知+=+= (2)所以函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4∴=（﹣4×4025）=8050，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，令x=0，可得y′=2，∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14．dx+=2π+1．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数积分的公式以及积分的几何意义，即可得到函数的积分值．【解答】解：∵dx=lnx|=lne﹣ln1=1，的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即=，即dx+=2π+1；故答案为：2π+1【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式以及积分的几何意义．15．已知，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】α+=（α+β）﹣（β﹣），进而通过正弦函数的两角和公式得出答案．【解答】解：已知，，，，∴，，∴===故答案为：﹣【点评】本题主要考查正弦函数两角和公式的运用．注意熟练掌握公式．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是2．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意易得向量与的夹角为120°，设=，=，=，易证A、O、B、C四点共圆，由正弦定理和圆的知识可得结论．【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，∴向量与的夹角为120°，设=，=，=，则=，=，则∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，∴A、O、B、C四点共圆，∵=，∴||==，由正弦定理可得外接圆直径2R==2，当OC为直径时，||取最大值2故答案为：2【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理和圆的知识，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）a n=2n+1，可得b n=﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．【点评】本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n+2n（n≥2，n∈N*）﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】计算题．+2n的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，利用对【分析】（I）在等式a n=2a n﹣1称数列的通项公式求出，进一步求出数列{a n}的通项公式．（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．+2n∴=【解答】解：（I）∵a n=2a n﹣1即∴数列是等差数列，公差为=1，首项为∴∴a n=（2n﹣1）•2n﹣1（II）S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1∴2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n两式相减得﹣S n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）2n=（3﹣2n）•2n﹣3∴S n=（2n﹣3）•2n+3【点评】求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x ＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h （x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…【点评】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．1006．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．17．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜29．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）11．已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为．14．dx+=．15．已知，，则=．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．+2n（n≥2，n∈N*）20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出关于集合A，B的不等式，求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|2x＞8}={x|x＞3}，∴集合（∁U A）={x|﹣1≤x≤4}∴（∁U A）∩B={x|3＜x≤4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．100【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9=．故选D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题．6．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，=F（1，1）=﹣1，∴z最大值故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，然后根据函数的周期性和奇偶性进行求值转化即可．【解答】解：∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，且f（0）=0，f（2）=﹣f（0）=0．则f（2012）=f（0）=0，f（2013）=f（1）=8，f（2014）=f（2）=0，∴f（2012）+f（2013）+f（2014）=8，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据条件得到函数是周期性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．8．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合．【分析】由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A【点评】本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；规律型；分类讨论；简易逻辑．【分析】求解命题P，通过讨论a的取值，从而解出不等式（x+a）（x﹣1）＞0，判断所得解能否使p是q的充分不必要条件，或限制a后能使p是q的充分不必要条件，综合以上求得的a的范围求并集即可．【解答】解：命题p：可得，，即：x＜1或x＞2，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x+a）（x﹣1）＞0，若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ≠1，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＞1，即a ＜﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞﹣a ，或x ＜1，由x ＜1或x ＞2，得到﹣a ＜2，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＜1，即a ＞﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞1，或x ＜﹣a ，∵p 是q 的充分不必要条件，q ：x ＜1或x ＞2，不满足P 是q 的充分条件； 综上得a 的取值范围是（﹣2，﹣1]． 故选：A ．【点评】考查充分不必要条件的概念，解一元二次不等式．分类讨论思想的应用．11．已知函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，f ′（x ）是f （x ）的导函数，且当x＞0，f （x ）+xf ′（x ）＞0，设a=（log 4）f （log4），b=f （），c=（lg ）f （lg ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b【考点】导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式． 【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知想到构造函数F （x ）=xf （x ），求导后判断出其单调性，然后比较的绝对值的大小，最后借助于F （x ）是偶函数和其单调性得到答案．【解答】解：令F （x ）=xf （x ），∵函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴F （x ）为定义在实数集上的偶函数． 由F ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）， ∵当x ＞0，f （x ）+xf ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，+∞）上为增函数．∵，，∴．则．即a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了导数的运算法则，训练了函数构造法，解答的关键是掌握偶函数的性质f（x）=f（|x|），是中档题．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4，再利用倒序相加，即可得到结论．【解答】解：由题意要求的值，易知+=+= (2)所以函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4∴=（﹣4×4025）=8050，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，令x=0，可得y′=2，∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14．dx+=2π+1．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数积分的公式以及积分的几何意义，即可得到函数的积分值．【解答】解：∵dx=lnx|=lne﹣ln1=1，的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即=，即dx+=2π+1；故答案为：2π+1【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式以及积分的几何意义．15．已知，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】α+=（α+β）﹣（β﹣），进而通过正弦函数的两角和公式得出答案．【解答】解：已知，，，，∴，，∴===故答案为：﹣【点评】本题主要考查正弦函数两角和公式的运用．注意熟练掌握公式．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是2．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意易得向量与的夹角为120°，设=，=，=，易证A、O、B、C四点共圆，由正弦定理和圆的知识可得结论．【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，∴向量与的夹角为120°，设=，=，=，则=，=，则∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，∴A、O、B、C四点共圆，∵=，∴||==，由正弦定理可得外接圆直径2R==2，当OC为直径时，||取最大值2故答案为：2【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理和圆的知识，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）a n=2n+1，可得b n=﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．【点评】本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n+2n（n≥2，n∈N*）﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】计算题．+2n的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，利用对【分析】（I）在等式a n=2a n﹣1称数列的通项公式求出，进一步求出数列{a n}的通项公式．（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．+2n∴=【解答】解：（I）∵a n=2a n﹣1即∴数列是等差数列，公差为=1，首项为∴∴a n=（2n﹣1）•2n﹣1（II）S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1∴2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n两式相减得﹣S n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）2n=（3﹣2n）•2n﹣3∴S n=（2n﹣3）•2n+3【点评】求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x ＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h （x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…【点评】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学理试卷含答案
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则知足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 别离为5π6、π6，相应输出的y 别离为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法肯定5.已知数列{a n }知足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．56．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )7.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )8. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ）A. 1(,)2-∞-B. 1(,)4-+∞C. (0,)+∞D.1(,)4-∞-9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右核心别离是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．2B ．2C．21+D．210.函数|1|||ln--=xey x的图象大致是（）11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，按照图中的数据可得几何体的体积为()＋12＋16＋16＋1212. 已知O是平面上的必然点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P知足()2||cos||cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ+=++, Rλ∈, 则动点P的轨迹必然通过△ABC的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 心里第Ⅰ卷(非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13. 圆心在直线32=-yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设x y，知足约束条件：222y xx yx⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则yxz3-=的最小值．15. 若数列{a n }知足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(2),,2,_____.x x S x S -==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地域有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方式从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中别离抽取的学校数量；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求掏出的3所学校中没有小学的概率；②设掏出的小学个数为随机变量X ，求X 的散布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个核心为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是不是存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 知足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. 请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试文数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}4 【答案】D考点：集合的运算2.在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( )A ．13BC ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：复数54,12i i +-+对应的点分别为,A B ，则()()5,4,1,2A B -，则中点 ()2,3C ，点C 对应的复数为2+3i ，选B 考点：复数的代数表示法及其几何意义3.命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 【答案】D 【解析】考点：四种命题间的逆否关系4.已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：()()5542551244120a S S =-=⨯⨯+-⨯⨯+= 考点：数列的性质5.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ= ，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：A ．若//m n ，n α⊂，则//m α,错，有可能m α⊂；B ．若αβ⊥，m αβ= ，且n m ⊥，则n α⊥，错，有可能n α⊂；C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m ，错，有可能,l m A ⋂=，或,l m 异面；D.若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥，正确 考点：空间直线与平面，平面与平面的位置关系6.在右侧的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（ ）A.2014x x e xe +B.2012x x e xe +C.2013x x e xe +D.2013xe x + 【答案】C考点：程序框图7.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22,sin a b C B -==， 则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【答案】A 【解析】试题分析：由2222sin 7C B c a b b a b =⇒=∴-==⋅⇒=则()222cos 0,26b c a A A A bc ππ+-==∈∴=，选A考点：正弦定理，余弦定理8.从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35C D ．0【答案】B 【解析】试题分析：圆222210x x y y -+-+=的圆心为11M （，），半径为1，从外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M，每条切线与PM 的夹角的正切值等于12，所以两切线夹角的正切值为12421314tan θ⋅-＝＝，该角的余弦值等于35，故选B ．考点：直线与圆的位置关系9.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）ABC．3【答案】B考点：三视图，棱锥的侧面积10.的部分图象如右图所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．24πB ．12π C ．6π D ．3π【答案】B 【解析】考点： 两角和与差的正弦函数；函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换 11.在等腰梯形ABCD 中，，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等恒成立，则t 的最大值为（ ）【答案】C 【解析】试题分析：在等腰梯形ABCD 中，2222?BD AD AB AD AB cos DAB =+⋅⋅∠-14212114x x =+-⋅⋅⋅-=+（），由双曲线的定义可得1111a c e ===，由椭圆的定义可得221a c x e ===，，则12e e +==+，考点：椭圆，双曲线的简单性质【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属中档题．解题时根据余弦定理表示出BD ，进而根据双曲线的定义可得到1a 的值，再由12cAB c e a==，可表示出1e ，同样的在椭圆中用2c 和2a 表示出2e ，然后利用换元法即可求出12e e +的取值范围，即得结论. 12.则实数a 的取值范围是（）A【答案】D 【解析】22log 0a -≤≤时20log 2a ≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()22211311log log 1 log 2222a a a a --+--≤-∴≥-∴≥结合22log 0a -≤≤1a ≤≤，可知此时a ⎤∈⎥⎦；当20log 2a <≤时22log 0a -≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()()2221131log 11log log 02222a a a a ⎡⎤-+---≤-∴≤∴<≤⎢⎥⎣⎦结合20log 2a <≤即14a <≤，取交集即为1a <≤，综上 实数a 的取值范围是考点：分段函数，对数函数的性质【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题.解释由已知条件得到()g x 仍为分段函数，讨论22log 0a -≤≤和20log 2a <≤两种情况，化简不等式，解之即可.注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = 【答案】e考点：函数的导数14.若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-=【解析】 试题分析：sin cos tan tan()3tan 2tan(2)tan(2)sin cos 1tan tan()ααααβαβααβααααβ++-=∴=∴-=--=--⋅-2241223+=-=-⋅考点：两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式15.D C B A ,,,是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC ，6AD =，32=AB ,则该球的表面积为【答案】60π考点：球的表面积16.已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i的值为【解析】试题分析：由题意可得90n θ︒-是直线n OA 的倾斜角，()()901119090()()11n n n n n f n cos sin tan sin cos n n n n n θθθθθ︒-∴==︒-===-︒-++（），考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-2）62)32(1+-=+n n x n T（2） ()212n n c n =-()()()()()()()2231123221221232212n n n n T n T n +∴=⨯+⨯++-∴=⨯+⨯++-两式相减得62)32(1+-=+n n x n T考点：等差数列及等比数列的通项公式，错位相减法18.2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （1）求,m n 的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取22家公司的消防安全等级都是二级的概率. 【答案】（1）0.20m =，100n =（2【解析】试题分析：（1）由频率分布表中各小组频率和为1，求出m 的值；由现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家，可求n 的值；（Ⅱ）根据分层抽样，求出消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.，再一一列举出所有得基本事件，找到抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的基本事件数，根据概率公式计算即可．试题解析：(1)由已知可得; 0.3020.101m m +++=,解得：0.20m =.（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为…共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：…共6考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样19.如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ， 90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积. 【答案】（1）见解析；（2（2）利用（1）的结果，通过数据关系，求出AM MN SN ，，，然后求出棱锥的体积．试题解析：SCB AMN（1）证明：SA ⊥ 底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥，BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB = ，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥，又已知SC AN ⊥，⊥∴SC 平面AMN ；（2）SC ⊥ 平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ，考点： 棱锥的体积；空间中直线与直线、直线与平面之间的位置关系20.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB . （1）求椭圆C 的方程； （2）若点E 的坐标为，点A ，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22162x y +=（23）存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2. 【解析】试题解析：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=（2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ，由点E的坐标为，所以AB k =，直线AB的方程为y x =-， 联立直线AB 与椭圆C的方程，解得7()5B -， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x =，所以点B 到直线PA的距离h ，故142PAB S ∆=⋅=（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-，考点：椭圆的标准方程，直线椭圆的位置关系【名师点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题21.已知函数b ax x x x f +++=2325(）（b a ,为常数），其图象是曲线C ． （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调减区间；（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）)(x f 的单调减区间为1(2,)3-．（2） 71(,)(,)548-∞--+∞ （3）当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当1225≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=．试题解析：（1）当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+．令0)('<x f ，解得123x -<<，)(x f 的单调减区间为1(2,)3-．（Ⅱ） 2()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解．令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，以()g x 在区间1(,)2-∞-， 1(,)3-+∞上是增函数，在11(,)23--上是减函数，又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-∞--+∞ ． （Ⅲ） 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+．由题意知，a x x x f k ++==0200'153)(，a x x x f k +++=--=4252012)252(0200'1，若存在常数λ，使得12k k λ=，则λ=+++a x x 4252012020)53(020a x x ++，即常数λ使得425)1()4)(53(020--=-+a x x λλ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0425)1(04a λλ，解得1225,4==a λ．故当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当1225≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=． 考点：利用导数研究函数的性质【名师点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性，曲线的切线等知识，属难题.解题时对于方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲如图，PA 是O 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O 的直径，PC 与O 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD .(1) 求证：PAD CDE ∠=∠；(2) 求证：2PA BD PC PE AD=⋅.E【答案】见解析考点：圆的有关性质，切割线定理 23.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C '，设(,)M x y 为C '上任意一点，求222x y +的最小值，并求相应的点M 的坐标.【答案】（1）圆C 的方程为224x y +=，直线L20y --=.（2）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，M 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--231，M 时，原式的最小值为1考点：极坐标方程和参数方程24.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）5[,)2-+∞（2）[]7,7-考点：绝对值不等式：。
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学(文)试题(解析版)
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学（文）试题及解析一、选择题1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y y y =-=--≤，则A B = （ ） A ．{}|13x x << B ．{}|13x x ≤< C ．{}|13y y ≤≤ D ．{}|13x x <≤【答案】D【解析】试题分析：本题综合解简单不等式，集合的交集运算，难度较小．因为集合{|1}A x x =>，{|13}B y y =-≤≤，所以{|13}A B x x =<≤ ，故选D ．【考点】对数函数的定义域，解一元二次不等式，交集运算． 2．复数512iz i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 等于（ ） A ．﹣1﹣2i B ．1+2i C ．2﹣i D ．﹣2﹣i 【答案】D【解析】试题分析：本题考察复数的简单运算，难度较小．又题设得2z i =-+，故2z i =--，故选D ．【考点】复数的四则运算，共轭复数．3．命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<”的否定为（ ）A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞< B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞> C ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2x x x ∃∈+∞≥【答案】C【解析】试题分析：本题考察命题的否定，难度较小．原命题的否定为“()0,x ∀∈+∞，22x x ≥”，故选D ．【考点】命题的否定．4．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：本题以直线与圆的位置关系为载体考查充分必要条件，难度中等．若直线y x b =+与圆221x y +=相交，则b ，所以“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的必要不 充分条件，故选B ．【考点】充分必要条件．5．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++= 则10112a a -的值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．25 【答案】A【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A ．【考点】等差数列性质．【易错点晴】对于等差数列问题来讲，基本量思想的运用是通性通法，一般来说运算量较大，还需要整体思想来看待问题，这样运算会减少些．如果能恰时运用等差数列的足标性质，能大大提高我们的解题速度和准确率，值得我们重视，犹如本题，只需秒杀． 6．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B【答案】C【解析】试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小．由条件得1a b ⋅=-，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-⋅，故2,3a b π<>= ，故选C ． 【考点】向量的夹角．7，且α为第二象限角，则（ ）A 、7 B、7- D【答案】B【解析】试题分析：本题运用三角变换公式进行求值，难度中等．由条件得4cos 5α=-，又α为第二象限角，所以3tan 4α=-，所以1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选B ．【考点】两角和的余弦公式，同角基本关系式，两角和的正切公式．8．函数2()2ln f x x x bx a =+-+(0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A． B ．2 C．1【答案】A【解析】试题分析：本题利用导数求曲线在某点处的切线斜率，综合运用基本不等式求最值，难度中等．由条件得2()2f x x bx'=+-，所以切线斜率22()2f b b b bb b'=+-=+≥b=A．【考点】求导运算，曲线在某点处的切线斜率，基本不等式．9．函数(x)2sin(x)(0,)22fππωϕωϕ=+>-<<的图象如图所示，则AB BD→→⋅=（）A．8 B．-8 C．288π- D．288π-+【答案】C【解析】试题分析：本题以三角函数图象为背景，考查向量的数量积的计算，难度中等．由图象可知，函数的周期Tπ=，所以2ω=．由2122ππϕ⨯+=得3πϕ=．所以(,0)6Aπ-，(,2)12Bπ，7(,2)12Dπ-，所以(,2)4ABπ=，(,4)2BDπ=-，288AB BDπ⋅=-，故选C．【考点】函数(x)sin(x)f Aωϕ=+图象，向量的数量积．10．已知12,F F分别为双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，P为双曲线右支8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(]1,3B．C．D．[)3,+∞【答案】A【解析】试题分析：本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设2||PF t=，则1||2P F a t=+，t c a≥-．又22212||(2)448||PF a t at a aPF t t+==++≥，当且仅当2t a=时，等号成立．所以2c a a-≤，所以13e<≤．故选A．【考点】双曲线的离心率，函数的最值．11．如图，设,P Q为ABC∆内的两点，且，AQ＝则ABP∆的面积与ABQ∆的面积之比为（）【答案】B【解析】试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难．连Q P ，延长Q P 交AB 于E ，设A E A B λ=，21()55EP AP AE AB AC λ=-=-+ ，21()34EQ AQ AE AB AC λ=-=-+ ，又,A BA C 不共线，所以45EP EQ = ．又45ABP ABQ S EPS EQ ∆∆==．故选B ．【考点】平面向量的初等运算，平面向量的基本定理，等积法．【思路点晴】本题从面积之比来设问，需要用等积法进行等价转换，注意到1212PABP P ABQQ Q AB h S h EP S h EQ AB h ∆∆⋅===⋅，这是本题的难点之一，这样把面积之比转化为线段之比．由于点E 、P 、Q 共线，从而考虑平面向量的基本定理的运用，便是水到渠成，自然而然．12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，，若[)4,2x ∈--时，t 的取值范围是（ ） A ．[)()2,00,1- B ．[)[)2,01,-+∞ C ．[]2,1-D ．(](],20,1-∞-【答案】D【解析】试题分析：本题从不等式恒成立为载体，考查分段函数的最值，类周期函数的最值，知识的综合运用要求比较高，难度较高．若[)4,2x ∈--时，成立，只需min 1()42t f x t≥-．又当01x ≤<时，2()f x x x =- 的最小值为14-．又当12x ≤<时，| 1.5|()(0.5)x f x -=-的最小值为-1．所以当[)0,2x ∈时，()f x 的最小值为-1．又()()22f x f x +=，所以当[)4,2x ∈--时，11()(2)(4)24f x f x f x =+=+，又042x ≤+<，所以当[)4,2x ∈--时，()f x 的最小值为14-．解不等式11442t t-≥-，得2t ≤-或01t <≤．故选D ．【考点】不等式恒成立，分段函数，解不等式．【方法点晴】本题综合性较强．如分段讨论求分段函数()f x 的最值，把不等式恒成立问题转化为函数()f x 的最值问题，还有利用恒等式()()22f x f x +=，把[)4,2x ∈--时函数()f x 的最小值转化为[)0,2x ∈时()f x 的最小值，都需要扎实地基本功． 二、填空题13．已知数列{}n a 满足条件1111,n n n n a a a a a --=-=，则 【答案】101． 【解析】试题分析：本题考查等差数列的定义，数列的指定项的值，难度简单．有条件得1111n n a a --=，所以数列1{}n a 是以111a =为首项，以1为公差的等差数列，所以1nn a =，所以10110a =，所以10110a =．【考点】等差数列的定义，数列的通项．142+与-λ垂直，则实数λ的值为 ．【答案】92． 【解析】试题分析：本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由ba ⊥得0ab ⋅= ．由(2)()0a b a b λ+⋅-= 得2220a b λ-= ，所以92λ=．【考点】向量垂直，向量的数量积． 15．已知0ω>ω的取值范围是 ． 【答案】1(0,]4．【解析】试题分析：本题已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，求参数ω的取值范围，难度中等．由22242k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得32244k x k πππωπ-≤≤+，又函数()f x324224k k ππωπππωπ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即342124k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，注意到22T π≥，即02ω<≤，所以取0k =，得104ω<≤．【考点】函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．x 的取值范围，从而可得参数ω的取值范围，本题还需挖掘参数ω的隐含范围，即函数()f xT π≥，因此02ω<≤，综合题设所有条件，便可得到参数ω的精确范围．16．定义区间12[,]x x 长度为2121()x x x x ->，已知函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[m,n]，则区间[m,n]取最大长度时a 的值是 ． 【答案】3．【解析】试题分析：本题需分析发现函数()y f x =是单调递增函数，从而得(),()f m m f n n =⎧⎨=⎩，从而构造以m ，n 为根的一元二次方程，从而可求出两根之差的最大值，难度较大．因为函数2221()a a f x a a x+=-在区间[m,n]上单调递增，所以m ，n 是方程()f x x =的两个不同的实数根，即222()10a x a a x -++=．所以n m -，当且仅当3a =时，等号成立． 【考点】函数的单调性，一元二次方程，一元二次函数的最值．【方法点晴】本题先定义区间12[,]x x 长度，难度不大．本题对函数()y f x =适当变形为2221()a a f x a a x +=-，从而一眼看穿函数()y f x =的单调性，从而得(),()f m m f n n =⎧⎨=⎩，从而构造以m ，n 为根的一元二次方程，可求出两根之差关于a 的解析式n m -=然后进行变形转化为关于1a为未知数的一元二次函数，从而利用配方法可求得最大值，得出此时a 的值．17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）23B π=； 【解析】试题分析：（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把ac 作为整体求之． 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得 a R A b R B c R C ===222sin sin sin ，，将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++=，即20sin cos sin()A B B C ++=． ∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20∵sin cos A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac θ=+-得2213a c ac =++，结合4a c +=，可得3ac =，所以△ABC 的面积01sin1202S ac ==． 【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．三、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且495,54a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式与n S ； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）1n a n =+，232n n n S +=；（2）112111()93123n T n n n =-+++++．【解析】试题分析：（1）考查等差数列的通项和前n 项和．（2）利用裂项相消法求特殊数列的前n 项和，不过第（2）问的求和过程中，需要特别留意，在裂项相消过程中，该保留哪几项，否则要出差错．试题解析：（1）依题意知95954S a ==，解得56a =， ∴公差54651d a a =-=-=，14(41)2a a d =--=．∴2(1)11n a n n =+-⨯=+，2(1)32122n n n n n S n -+=+⨯=．（2）由（1）知22211()333n b n n n n ==-++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12n n T b b b =+++ 21111111(1)3425363n n =-+-+-++-+211111(1)323123n n n =++---+++211111()36123n n n =---+++ 112111()93123n n n =-+++++． 【考点】等差数列的通项，前n 项和，用裂项相消法求特殊数列和．19．已知椭圆Γ：2214x y +=．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）设直线y x m =+与椭圆Γ交于不同两点,A B ，若点()0,1P 满足=PA PB ，求实数m 的值． 【答案】；（Ⅱ）53m =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知椭圆方程求其离心率．（Ⅱ）由=PA PB 知点P 在线段AB 的垂直平分线上，从而可得m 的值．试题解析：（Ⅰ）2a =，1b =，所以c =． （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由22,440y x m x y =+⎧⎨+-=⎩得()2258410x mx m ++-=，由0∆>得(m ∈．1285mx x +=-，得1225m y y +=，故AB 的中点4,55m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭．因为PM AB ⊥，所以15145mm -=--，得53m =-满足条件．【考点】椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系．20．已知椭圆1（1）求椭圆C 的方程； （2相切的直线l 交椭圆C 与A,B 两点，求OAB ∆面积的最大值，及取得最大值时 直线l 的方程．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用题设条件可列出关于a 、b 、c 的方程组，从而可得a 、b 、c 的值．（2）因为直线l 与圆O 相切，所以欲求OAB ∆面积的最大值，只需求弦长AB 的最大值，所以可求出弦长AB 关于斜率k 的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1（2）①当k 不存在时，②当k 存在时，设直线为y kx m =+，()()1122,,,,A x yB x y2243(1)d r m k =⇒=+∴OAB ∆面积的最大值为【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式． 【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么OAB ∆的高就是圆的半径，所以欲求OAB ∆面积的最大值，只需求弦长AB 的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于AB =难点．21．设函数()ln (0)f x x x x =>． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设，)R ()()(F 2∈'+=a x f ax x )(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当0x >时，证明：1)(+'>x f e x ．【答案】（Ⅰ）)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为)1,0(e；（Ⅱ）当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对a 进行分类讨论，)(F x 的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0． 试题解析：（Ⅰ）)0(1ln )(>+='x x x f ．令0)(>'x f ，即01ln >+x ，得ex 1>，故)(x f 的增区间为),1(+∞e ；令0)(<'x f ，即01ln <+x ，得ex 1<，故)(x f 的减区间为)1,0(e ；∴)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为)1,0(e．（Ⅱ）)0(1ln )(F 2>++=x x ax x ，)0(1212)(F 2>+=+='x xax x ax x当0≥a 时，恒有0)(F >'x ∴)(F x 在),0(+∞上为增函数，故)(F x 在),0(+∞∈x 上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得a x 21-=,当)(F 0)(F )21,0(x x ax ，，>'-∈单调递增，当)(F 0)(F )21(x x ax ，，，<'∞+-∈单调递减． ∴a a x 21ln 21)21(F )(F -+=-=极大值，)(F x 无极小值； 综上所述：0≥a 时，)(F x 无极值0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+,无极小值． （Ⅲ）证明：设，)0(ln )(>-=x x e x g x 则即证2)(>x g ，只要证2)(min >x g ． ∵，x e x g x 1)(-='∴027.12)5.0(21<-<-='e g ，01)1(>-='e g 又xe x g x 1)(-='在),0(+∞上单调递增 ∴方程0)(='x g 有唯一的实根t x =，且)1,5.0(∈t ．∵当),0(t x ∈时，0(t)g )(='<'x g ．当),(+∞∈t x 时，0(t)g )(='>'x g ∴当t x =时，t e x g t ln )(min -=∵0)(='t g 即t e t 1=，则t e t -= ∴t e t x g --=ln 1)(min 12t t =+>= ∴原命题得证．【考点】求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值．【方法点睛】（1）解含参数a 的不等式，需要对a 进行分类讨论，是本题的亮点，也是本题的难点之一．（2）把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一．（3）在求最小值的过程中，对零点t 设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方．（4）本题题干简洁，但是内涵丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长．22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆中，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，O 过点A ，且和BC 切于点D ，和AB ，AC 分别交于点E 、F ，设EF 交AD 于点G 连接DF ．C D B（1）求证：//EF BC ；（2）已知2,3,DF AG ==求AE EB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AE EB =． 【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理，弦切角定理可得内错角相等，从而命题得证．（2）利用三角形相似可求得DG 的值，再利用平行线截割定理可求AE EB的值．试题解析：（1）证明：由于BC 与O 相切于D 点，故∠∠FDC=DAF.AD BAC BAD=.BAD=EFD EFD EF//BC.∠∠∠∠∠∠∠ 由于平分，故DAF 又，所以FDC=，则（2）由于DFG=DAF ∠∠，所以ADF FDG ∆∆∽ 故有AD DF =DF DG ，即AG+GD DF =DF DG将DF=AG=2，3代入，解得DG=1，AE AG EF//BC ==3EB GD 由于，所以 【考点】圆周角定理，弦切角定理，三角形相似，平行线截割定理．23．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心),4C π半径r 1.= （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若[0,]3πα∈，直线l 的参数方程为2cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），点P 的直角坐标为（2，2），直线l 交圆C 与A ，B 两点，求PA PBPA +PB ⋅的最小值．【答案】（1）2-2(sin cos )1ρρθθ+=-；（2【解析】试题分析：（1）利用直角坐标系与极坐标系相互转化，即可求之．（2）利用直线参数方程中参数t 的几何意义，进一步可求最小值．试题解析：（1）圆C 的圆心为（1,1） 直角坐标方程为22(y 1) 1.+-=(x-1)即222(x y)1x y +-+=-，将222=,cos ,sin x y x y ρρθρθ+==代入上式， 得22(sin cos ) 1.ρρθθ-+=-（2）P 点在直线l 上，将x=2+t cos y=2+tsin αα⎧⎨⎩，代入22(x 1)(y 1)1,-+-= 得22(tsin 1)1,αα++=（tcos +1）得2t 2(sin cos )t 10,αα-++=由参数方程的几何意义知P A P B =1P A +P B =24παα+（s in +c o s ）PA PB 1PA +PB 4)4πα⋅=≥+ 但且仅当+=42ππα，即=4πα时取到最值，所以最小值为4【考点】圆的极坐标方程，直线的参数方程．【一题多解】对于第（1）小题的求解，可以直接在极坐标系中求解，解法如下： 设点(,)P ρθ，在OCP ∆中，|OC|=，|CP |1=，|OP |ρ=，||4COP πθ∠=-，由余弦定理可知212cos()4πρθ=+--，即2-2(sin cos ) 1.ρρθθ+=-24．选修4-5：不等式选讲已知x ，y 为任意实数，有2,2, 1.a x y b x y c y =+=-=-（1）若4x y 2,+=求222c a b ++的最小值； （2）求,,a b c 三个数中最大数的最小值．【答案】（1）137；（2）12． 【解析】试题分析：（1）利用消元法可得关于222c a b ++x 的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值． 试题解析：（1）解：y=2-4x,a=2x+2-4x=2-2x,b=2x-2+4x=6x-2,c=1-4x,222222225134843624418165640956(x )147b c x x x x x x x x ∴++=-++-++-+=-+=-+a ∴当5x 14=时，222b c ++a 最小值为13.7 （2）设{}M ,,a b c =max ，则M ,M ,4222,b c M a b c a b c ≥≥≥++≥--= 所以1,2M ≥即a b c ，，中最大数的最小值为12【考点】配方法，绝对值不等式，最值．。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三考前得分训练(一)文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集I R =，集合{}3log ,3A y y x x ==>，{B x y ==，则（ ）A ．AB ⊆ B.A B A = C.A B =Φ D.()IAB ≠Φð【答案】A考点：集合的运算. 2.设i 为虚数单位，则复数34ii-=（ ） A. 43i + B.43i -+ C.43i -- D.43i - 【答案】C 【解析】 试题分析：原式()()i ii i i 3443--=⋅---=，故选：C.考点：复数代数形式的乘除运算.3.已知,,αβγ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则α∥γ ；命题:q 若α上 不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ） A.命题“p q ∧”为真 B.命题“p q ∨⌝”为假 C.命题“p q ∨”为假 D.命题“p q ⌝∧”为真【答案】C 【解析】试题分析：∵当γββα⊥⊥，时，α与γ可能平行与可能垂直,故命题p 为假命题；又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时，α与β可能平行也可能相交，故命题q 也为假命题，故命题“p 且q ”为假，命题“p 或q ⌝”为真，命题“p 或q ”为假，命题“p ⌝且q ⌝”为真，故选C.考点：平面与平面之间的位置关系. 4.向平面区域{}(,)0,11x y x y πΩ=≤≤-≤≤投掷一点P ，则点P 落入区域{}(,)cos ,0M x y y x x π=>≤≤的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．4π D ．2π 【答案】B考点：几何概型.5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且c =4B π=，面积2S =，则b 等于（ ）B.5 D.25 【答案】B 【解析】 试题分析：∵22sin 21===a B ac S ，∴1=a ，由余弦定理得2222sinb ac ac B =+-1322125=+-⨯⨯=，∴5=b ，故选B. 考点：正弦定理. 6.函数()sin()6f x x π=+的图象向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A.4x π=B.4x π=-C.8π=x D. 2x π=-【答案】D 【解析】试题分析：将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx x f 的图象向左平移3π个单位，得到函数x x y cos 36sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ的图象，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的21，得到函数x y 2cos =的图象，由πk x =2，得πk x 21=，Z k ∈，∴所得图象的对称轴方程为πk x 21=，Z k ∈，1-=k 时，2π-=x ，故选D. 考点：（1）正弦函数的对称性；（2）三角函数图象变换.7.如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数y kx z -=的最大值为6，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B考点：简单的线性规划. 8.如图给出的是计算401614121++++ 的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（ ）A.1,40+=>n n iB.2,20+=>n n iC.2,40+=>n n iD.2,20+==n n i 【答案】B 【解析】试题分析：①的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，分母是从2到40共20项，故条件是20>i ；②的意图为表示各项的分母，相邻分母相差2，故语句是2+=n n ．故选：B ．考点：程序框图.9.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥BCD A -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A ．22 B ．21 C ．42 D ．41【答案】D考点：简单空间图形的三视图. 10.函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D. (0,2) 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()()()()03021<--=a a f f ，解得30<<a ，故实数a 的取值范围是()3,0，故选C ．考点：函数零点的判定定理.11.设A 1，A 2分别为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得2121->∙PA PA k k ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝C ．⎫⎪⎪⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C考点：椭圆的简单性质.【思路点晴】考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及222c a b -=，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键.根据题意设()ααcos ,sin b a P ，所以根据条件2121->⋅PA PA k k 可得到2122<a b ，2b 换上22c a -从而可得到211022<-<a c ，再根据0,>c a ，即可解出离心率ac的取值范围．12.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A B ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D考点：(1)函数的值域；（2）函数的定义域及求法.【方法点晴】本题考查了函数性质的方程的运用，属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意.由题意得出()()⎩⎨⎧==nn f m m f ，故n m ,是方程()01222=++-x a a x a 的同号的相异实数根，即()()0132>-+=∆a a a 的同号的相异实数根得出21amn =，只需()()0132>-+=∆a a a ，1>a 或3-<a ，利用函数求解()343113422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-a mn n m m n ，m n -取最大值为332．此时3=a .第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n = . 【答案】90 【解析】试题分析：由题意得n187533=++，解得90=n ，故答案为：90.考点：分层抽样.14.已知向量()(),1,4,2a m b n ==-，0,0m n >>，若a ∥b ，则18m n+的最小值为 . 【答案】29考点：(1)基本不等式；（2）平面向量共线的坐标表示.15.在三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面，90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 ．【答案】π16 【解析】试题分析：∵三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H ，又三棱柱的底面为直角三角形，1=BC ， 30=∠BAC ，∴2,3==AB AC ，∴三棱柱的体积33112=⨯⨯⨯=H V ，∴32=H ，ABC ∆的外接圆半径为AB 21，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，∴外接球的半径()23122=+=R ，∴外接球的表面积ππ16242=⨯=S ．故答案为：π16．考点：球的表面积与体积.【方法点晴】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，构造出直角三角形，利用勾股定理,从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算．16.给出以下四个结论： （1）函数1()21x f x x -=+的对称中心是11(,)22--；（2）若关于x 的方程10x k x-+=在(0,1)x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； （3）已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧, 则 123>-a b ； （4）若将函数()sin(2)3f x x π=-的图像向右平移(0)φφ>个单位后变为偶函数，则φ 的最小值是12π,其中正确的结论是： . 【答案】（3）（4）考点：命题真假的判断与应用.【方法点晴】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，函数的对称性质，简单线性规划的应用，方程根与函数零点的关系，其中熟练掌握相应基础知识点的熟练应用是解答本题的关键．根据反比例函数的性质及函数图象的平移变换法则，可以判断（1）的真假；根据方程根与函数零点的关系，利用图象法，易判断（2）的真假；根据平面点与直线的位置关系，可以求出a ，b 满足的不等式，即可判断（3）的真假；根据正弦型函数的对称性，及函数图象的平移变换，可判断（4）的真假．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()()*∈++=+N n a n n S n n 12142．（1）求数列的通项公式n a ；（2）设,1nn a n b +=数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .【答案】（1）()31+=n a n ；（2）证明见解析.考点：(1)数列的求和；（2）数列的递推式.【方法点晴】本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n 项和的关系，注意分为1=n 和2≥n 两种情形，最后一定要验证1=n 时，所求通项公式是否成立.考查数列不等式的证明，根据所求()211+=n b n 的形式，注意先运用放缩法()()11111112+-=+<+=n n n n n b n 和裂项相消法求和，考查运算能力，属于中档题.18.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编 号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩 为良好的共有20+18+4=42.①若在该样本中，数学成绩优秀率是30％，求a,b 的值：②在地理成绩及格的学生中，已知10,8,a b ≥≥求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率. 【答案】(1) 785，667，199；（2）①17,14==b a ；②73.17)65()41820(30100=+-++--=b ；②314)6189()5207(100=-++-++-=+b a ，因为8,10≥≥b a ，所以b a ,的搭配：()2110，，()2011，，()1912，，()1813，，()1714，，()1615，，()1516，，()1417，，()1318，，()1219，，()1120，，()1021，，()922，，()823，，共有14种，设8,10≥≥b a 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A ，事件A 包括：()2110，，()2011，，()1912，，()1813，，()1714，，()1615，，共6个基本事件；∴73146)(==A P ，即数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为73． 考点：古典概型及其概率计算公式.19.（本题满分12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是 正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是BC PC PD ,,的中点． （I ）求平面EFG ⊥平面PAD ；（II ）若M 是线段CD 上动点，求三棱锥EFG M -的体积．【答案】（I ）证明见解析；（II ）332.考点：(1)平面与平面垂直的判定；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别 为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若 不存在，说明理由．【答案】(1)4121-=⋅k k ；（2）存在，52λ=. 所以121241B BC B y kk x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++， 所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………12分 考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆的方程和性质，在（1）中，设出B 点坐标，利用对称性得到C 点坐标，表达出斜率，利用点在椭圆上，整体代换的思想求出结果；考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点B ，考查直线方程和圆方程联立，求得交点P ,直线的斜率和方程的运用，就化简整理的运算能力，对运算能力要求较高，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知函数1()xax f x e-=． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()f t t >恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为()2,∞-，单调递减区间为()∞+，2；（2）212+>e a .设()21x e x h x -=，()023>+='x e x h x在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 上恒成立()x h ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 上单调递增 即()21x e x g x -='在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 上单调递增………………8分 042121<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e g ，()04122>-='e g ，()21x e x g x -='在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 有零点m()21x e x g x -='在⎥⎦⎤⎢⎣⎡m ，21上单调递减，在(]2,m 上单调递增……………10分 ()⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛>∴221g a g a ，即⎪⎩⎪⎨⎧+>+>2122e a e a ，212+>∴e a ……………………12分 考点：(1)利用导数研究函数的单调性；（2）函数恒成立问题.【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由()0>'x f ，得函数单调递增，()0<'x f 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()x h a >或()x h a <恒成立，即()x h a max >或()x h a min <即可，利用导数知识结合单调性求出()x h max 或()x h min 即得解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N,过N 点的切线交CA 的延长 线于P ．（1）求证：PM 2=PA ·PC ；（2）若⊙O的半径为，求：MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）做出辅助线连接ON ，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即90=∠+∠BNP ONB 且90=∠+∠BMO OBN ，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论；（2）本题是一个求线C段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即MA CM MN BM ⋅=⋅，代入所给的条件，得到要求线段的长．考点：与圆有关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23(24x tt y t=--⎧⎨=-⎩为参数）,它与曲线C ：221x -=（y-2)交 于A 、B 两点． （1）求|AB|的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为3)4π，求点P 到线段 AB 中点M 的距离．【答案】（1）107110；（2）730.【解析】试题分析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051572=--t t ，求出21t t +和21t t ⋅，根据()()()2122121224543t t t t t t AB ⋅-+=-⋅-+-=运算求得结果；（2）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为76221=+t t , 由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为 ()()764322⋅-+-=PM ，运算求得结果．考点：(1)曲线的参数方程；（2）参数的几何意义. 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a R =-+-∈． （1）当4=a 时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}50≥≤x x x 或；（2）3-≤a 或5≥a . 【解析】试题分析：（1）不等式即541≥-+-x x ，等价于⎩⎨⎧≥+-<5521x x ，或 ⎩⎨⎧≥≤≤5341x ，或 ⎩⎨⎧≥->5524x x ，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求；（2）因为()11-≥-+-=a a x x x f ，由题意可得41≥-a ，由此解得a 的值．试题解析：（1）541≥-+-x x 等价于⎩⎨⎧≥+-<5521x x 或⎩⎨⎧≥≤≤5341x 或⎩⎨⎧≥->5524x x ，解得：0≤x 或5≥x ． 故不等式()5≥x f 的解集为{}50≥≤x x x 或． ……5分考点：(1)绝对值不等式；（2）恒成立问题.：。
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- 1 - 大庆实验中学2015—2016学年度上学期期中考试 高三年级数学试题（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1．已知全集={1,2,3,4,5}U，集合={2,3,4}A，3,1B，则(CA)B=U
（ ）
A．{1} B．{1，5} C．{1，3，5} D．{1，4} 2．命题“2,320xRxx”的否定是 （ ）
A．2,320xRxx B．2,320xRxx C．2,320xRxx D．2,320xRxx 3．已知0.6log0.5a，ln0.5b，0.50.6c．则（ ） A．acb B．abc C．cab D．cba 4．过点(1,3)P且平行于直线032yx 的直线方程为（ ）
A．012yx B．052yx C．052yx D．072yx 5．已知3tan，则22cos2cossinsin等于（ ） A．1 B．45 C．43 D．54 6．直线02yx与圆22122yx相交于A，B两点，则弦|AB|=（ ）
A．22 B．32 C．6 D．2 7．若幂函数amxxf)(的图像经过点)41,21(A，则它在点A处的切线方程是（ ） A．02yx B．02yx C．0144yx D．0144yx
8．已知35tan，4tan()35，则tan()（ ） A．43 B．57 C．1 D．1 9．直线)1(xky与抛物线2xy相交于A,B两点，则线段AB的中点P的轨迹方程是（ ） A．xxy422)x或0(x B．xxy222)x或0(x - 2 -
C．xxy2222)x或0(x D．xy222)x或0(x 10．函数)sin(xAy在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（ ） A．）（32sinxy B．）（654sin2xy
C．）（32sinxy D. ）（322sin2xy
11．设21,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点Ｐ，满足212FFPF，且2F到直线1PF的距离等于a，则双曲线的离心率是（ ） A．37 B．371 C．37 D．361 12．定义在(0,)2上的函数fx，'fx是它的导函数，且恒有'tanfxfxx成立．则（ ）
A．4266ff B．11cos263ff
C．342ff D．342ff 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数2200xxfxxx，则3ff________。
14．tan70tan503tan70tan50+3的值为________。 15．在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2,)3．在以极点O为原
点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方程为tytx231（t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点)2,1(M,则|MA|·|MB|=________。 16．已知函数2221()1axafxx，其中a∈R，在x∈[0，+∞）上存在最小值，则a的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。 - 3 -
17．（本小题满分10分）已知集合034|2xxxA，集合1|ayyB， 集合2C=40xxax．命题:pAB，命题:qAC （Ⅰ）若命题p为假命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数xxxxfsin)sincos3()(，xR． （Ⅰ）求函数()fx的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）求函数()fx在0,4上的最大值与最小值．
19．（本小题满分12分）已知平面内一动点,Pxy（0x）到点)0,2(F的距离与点P到y轴的距离的差等于2， （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点,AB，求AOB面积的最小值．
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C：cossinxy（为参数），将1C上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍和2倍后得到曲线2C．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l： 6)sincos2(． （1）试写出曲线1C的极坐标方程与曲线2C的参数方程； （2）在曲线2C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
21．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点(2,3)P，且它的离心率21e． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）与圆22(1)1xy相切的直线tkxyl：交椭圆于NM，两点，若椭圆上一点C
满足OCONOM，求实数的取值范围． - 4 -
22．（本小题满分12分）已知函数21()2ln(2),2fxxaxaxaR． （Ⅰ）当a=1时，求函数()fx的最小值； （Ⅱ）当a≤0时，讨论函数()fx的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且21xx，有2121()()fxfxaxx，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由． - 5 -
大庆实验中学2015—2016学年度上学期期中考试 高三年级数学试题（文科）答案 1—5 CDABA 6—10 CDACD 11—12BC 13．18 14．0 15．334 16．（﹣∞，1]
17．【答案】（Ⅰ）4a；（Ⅱ）435a 试题解析：31|xxA,1|ayyB，240Cxxax （Ⅰ）由命题p是假命题，可得=AB，即得4a------5分 （Ⅱ） pq为真命题，pq、 都为真命题，即AB，且AC
有043904131aaa，解得435a．------10分
18．【答案】（1）T，增区间为[,],36kkkZ； （2）最小值min()(0)0fxf，最大值21)6()(maxfxf． 试题解析：21)62sin(sin)sincos3()(xxxxxf （Ⅰ）()fx的最小正周期为2ππ.2T 令222,262kxkkZ，解得36kxk， 所以函数()fx的单调增区间为[,],36kkkZ．------6分 （Ⅱ）因为04x，所以22663x， 所以1sin(2x)126 ，所以21)(0xf． 当且仅当0x时 ()fx取最小值min()(0)0fxf 当且仅当262x，即6x时最大值21)6()(maxfxf．------12分 19．【答案】（1）xy82；（2）8 试题解析：（1）∵平面内一动点P到点)0,2(F的距离与点P到y轴的距离的差等于2， ∴当0x时，点P到F的距离等于点P到直线2x的距离， ∴动点P的轨迹为抛物线，∴动点P的轨迹C的方程为xy82； -------5分 （2）设A点坐标为11(,)xy，B点坐标为22(,)xy， 过点F的直线l的方程为2myx，代入xy82，可得01682myy， 16,82121yymyy，∴AOB面积6464221myys，
∴0m时，AOB面积的最小值为8． ------12分
20．【答案】（1）曲线1C：1，曲线2C的参数方程是sin2cos3yx（是参数）． - 6 -
（2）1,23P，552 试题解析：（1）由已知得曲线1C的直角坐标方程是221xy， 所以曲线1C的极坐标方程是1， 因为曲线1C的直角坐标方程是221xy，所以根据已知的伸缩变换得曲线2C的直角坐标方
程是14322yx，所以曲线2C的参数方程是sin2cos3yx（是参数）． ------5分 （2）设)sin2,cos3(P.由已知得直线l的直角坐标方程是062yx.所以点P到直
线l的距离563sin4d.当1)3sin(即62k时. 552mind.此时点P的坐标是1,23P.所以曲线2C上的一点1,23P到直线l的距离最小，最小值是
552.---12分
21．【答案】（Ⅰ） 22186xy；（Ⅱ）(2,0)(0,2) 解:（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为)0(12222babyax
由已知得:2222243112abcacab 解得 2286ab 所以椭圆的标准方程为: 22186xy------4分 （Ⅱ） 因为直线l:ykxt与圆22(1)1xy相切 所以，22112(0)1tktkttk
把tkxy代入22186xy并整理得: 222(34)8(424)0kxktxt 设),(,),(2211yxNyxM，则有 221438kktxx
22121214362)(kttxxktkxtkxyy
因为，),(2121yyxxOC， 所以，)43(6,)43(822ktkktC 又因为点C在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)kttkk