公式法(二)
公式法2
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。
结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
能力提升
例2.分解因式：
4 (1) (2m n) 2 25 2 2 解：原式 ( ) (2m n) 2 5 2 2 ( 2m n) ( 2m n) 5 5 2 2 ( 2m n)( 2m n) 5 5
把括号看作一个整体
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)( m a) (n b)
2 2 2 2 2 2
2 2
(2)49(a b) 16(a b) (3)( x y ) 4 x y (4)3ax 3ay
4 4 2
2.简便计算： 利用因式分解计算
(1)565 435
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4 x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
把下列完全平方式因式分解
X2+14x+49
(m+n)2-6(m+n)+9
三、新知识或新方法运用
分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
=5.2×2 =10.4cm2
问题解决
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别
是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果 R=8.45cm,r=3.45cm呢？( 3.14)
《公式法解一元二次方程》教案2
《公式法解一元二次方程》教案2 安福县城关中学曹经富一、温故知新（学生活动）1.用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）2x2-8x-9=0（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2或x；解得x1，x2=2．总结用配方法解一元二次方程的步骤:（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.教师演示课件，给出题目.学生根据所学知识解答问题.【设计意图】复习用配方法解一元二次方程，归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.引导学生思考，前面方程中系数都是具体数字，我们是否可以把系数换成字母形式，根据上面的解题步骤一直推下去？从而激发了学生的兴趣.二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1x2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得：ax 2+bx =-c二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x +2b a）2=2244b ac a -，∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0，∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x +2b a=即x x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x =2b a-就得到方程的根. （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（1）当240b ac ->时， 20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1x =，2x =； （2）当240b ac -=时， 20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； （3）当240b ac -<时， 20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.【设计意图】先由学生独立完成，有困难时通过小组交流与探究解决，由于形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式与根的判别式.三、学以致用例1．用公式法解下列方程（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x +2=3x 2（3）4x 2-x +116=0 （4）4x 2-3x +1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可. 解：（1）a =2，b =-4，c =-1b 2-4ac =（-4）2-4×2×（-1）=24>0∴方程有两个不相等的实数根.x =(4)422242--±==⨯∴x 1=x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x -2=0a =3，b =-5，c =-2b 2-4ac =（-5）2-4×3×（-2）=49>0∴方程有两个不相等的实数根.x 576±= x 1=2，x 2=-13（3）a =4，b =-1，c =116b 2-4ac =（-1）2-4×4×116=0 ∴方程有两个相等的实数根.∴x 1= x 2= 18= （4）a =4，b =-3，c =1b 2-4ac =（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根.例2．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x =-3 （2）9x 2+6x +1=0（3）2x 2-9x +8=0 （4）x 2-7x -18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b -4ac 的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可.解：（1）化为16x 2+8x +3=0a =16，b =8，c =3，b 2-4ac =64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根.（2）a =9，b =6，c =1，b 2-4ac =36-36=0，∴方程有两个相等的实数根.（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根.（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根.例3．某养鸡厂的矩形鸡舍靠墙.现在有材料可以制作竹篱笆20米，若欲围成42平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成52平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由.解：（1）设鸡舍的长为x米，则宽为202x-米，由题意得：x×202x-=42，解得：x1=14（14＞10，故舍去），x2=6（此时宽大于长，舍去）. 即可得鸡舍的长为6m，宽为7米.（2）由题意得：x×202x-=52，整理得：x2-20x+104=0，△=400-4×104＜0，所以方程无解.故不可能围成面积为52平方米的矩形鸡舍.学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题.【设计意图】通过解几个具体的问题，检查学生对知识的掌握情况，发挥学生的主体作用，引导学生探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步体会一元二次方程的根与24b ac-的关系.四、小结评价1.回顾与思考（1）本节课你学习了哪些知识？（2）本节课你掌握了哪些数学方法？（3）本节课你最大的体验是什么？2.评价：本节课从以下几个方面进行教学评价：1）反映学生数学学习的成就和进步.2）诊断学生在学习中存在的困难，及时调整和改善教学过程.【设计意图】以“回顾与思考”的方式让学生总结本节课的收获，增强学生归纳总结能力. 通过评价全面了解学生数学学习的历程，帮助学生认识到自己在解题策略、思维或习惯上的长处和不足；使学生形成对数学积极的态度、情感和价值观，帮助学生认识自我，树立信心.课后作业1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程﹣4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a =﹣4，b =5，c =3B ．a =﹣4，b =﹣5，c =3C ．a =4，b =5，c =3D ．a =4，b =﹣5，c =﹣32.方程x 2﹣3x ﹣5=0的根的情况是（ ）A 、只有一个实数根B 、有两个不相等的实根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根3.方程x 2+x ﹣1=0的根是（ ）A ．1﹣5B ．152-+C ．﹣1+5D ．152-± 4.下列方程有实数根的是（ ）A 、2501x x +=-B 、12x -=-C 、x 2﹣x +1=0D 、2x 2+x ﹣1=05.已知直角三角形的三个边长为a 、b 、c ，∠C=90°，那么关于x 的方程（a +c ）x 2﹣2bx +（c ﹣a ）=0的根的情况是（ ）A 、无实数根B 、有两个相等的实数根C 、有两个不相等的实根D 、不能确定6．已知一元二次方程2x 2﹣3x =1，则b 2﹣4ac =7.方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的判别式是 ，求根公式是8.一元二次方程x 2﹣x +4=0的解是9.用公式法解方程2x 2﹣7x +1=0，其中b 2﹣4ac = ，x 1= ，x 2=10.一元二次方程a 2﹣4a ﹣7=0的解为11.关于x 的一元二次方程﹣x 2+（2k +1）x +2﹣k 2=0有实数根，则k 的取值范围是12．解方程：(1)5x (x -3)=6-2x ; (2)3y 2+1=23y ; (3)(x -a )2=1-2a +a 2(a 是常数)13．解方程x 2=4x +2时，有一位同学解答如下：解：∵a =1，b =4，c =2，b 2﹣4ac =42﹣4×1×2=8，∴x 24b b ac -±-48222-=-±即：即x 1=22-+x 2=22-分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.14.（1）解下列方程：①x 2﹣2x ﹣2=0；②2x 2+3x ﹣1=0；③2x 2﹣4x +1=0；④x 2+6x +3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式.参考答案1.B2.B3.D4.D5.B 解：∵直角三角形的三个边长为a 、b 、c ，∠C=90°， ∴c 2=a 2+b 2①∴△=4b 2﹣4×（a +c ）（c ﹣a ）=4（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴关于x 的方程（a +c ）x 2﹣2bx +（c ﹣a ）=0有两个相等的实数根.故选B .6.177. b 2﹣4ac 24b b ac -±-8. 无实数解9. 41 7414+ 7414- 10. 2+ 11 2﹣11 11. k ≥94- 12.（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a -1 13.解：有错误．没有把x 2=4x +2变成一般式，b 、c 的值是错的.正确的解题过程如下：x 2﹣4x ﹣2=0，∵a =1，b =﹣4，c =﹣2，b 2﹣4ac =（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=24＞0，∴x =24b b ac -±-＝424262±=-±. 即：x 1=2+6，x 2=2﹣6.14.解：（1）①解方程x 2﹣2x ﹣2=0①，∵a =1，b =﹣2，c =﹣2，∴x =242b b ac a -±-＝212132±=±， ∴x 1=1+3，x 2=1－3.②解方程2x 2+3x ﹣l=0，∵a =2，b =3，c =﹣1，∴x =242b b ac a -±-＝3174-±， ∴x 1=317-+=，x 2=317--=. ③解方程2x 2﹣4x +1=0，∵a =2，b =﹣4，c =1，∴x ===，x1=，x2=.④解方程x2+6x+3=0，∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，∴x1=，x2=.（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）.一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数.∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，∴n2﹣ac≥0，∴x====∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为.教学反思本节课在学生练习配方法的基础上,再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),就得到一元二次方程的求根公式,于是有了直接利用的公式,并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况..利用求根公式解一元二次方程的一般步骤:1、化成一般形式2、找出a,b,c的相应的数值3、判别式是否大于等于04、当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.学生第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.主要的有:1、a，b，c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.通过本节课的教学，总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，激发了学生思维的火花，具体有以下几个特点：1、让学生自主探究，交流合作，由浅入深，由易到难，让学生解决问题的能力得以提高，这是这节课中的一大亮点，将更多的时间留给学生，这样学生感觉到成功的机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流，相互学习，共同提高.2、课堂上多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智.3、总之通过各种激励的教学手段，帮助学生形成积极的学习态度，课堂收效大.需要改进的方面，课堂中的布局有待提高，以后应最大限度的发挥学生的主体作用.。
公式法解一元二次方程拓展练习(二)
公式法解一元二次方程拓展练习（二）
一、写出下列一元二次方程的a,b,c,并求出b 2-4ac 的值
1、2x 2-3x=0
2、3x 2
3、4x 2+x+1=0
二、填空题。
1．如果分式3
322---x x x 的值为0,则x 值为 A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
2. 已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是
A.4
B.214
C.4或2
14 D.不存在 3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm ，面积是7cm 2,求斜边的长___________.
4.两个相邻偶数的积是168，这两个偶数是_______________.
三、用公式法解下列一元二次方程。
（1）x 2+x-6=0 (2) x 2-3x-4
1 =0 (3) 3x 2-6x-2=0 (4) 4x 2-6x=0 (5) x 2+4x+8=4x+11 (6)x(2x-4)=5-8x
四、拓展提升。
1、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
2.有一根20m 长的绳，怎样用它围成一个面积为24 cm 2的长方形？
3.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm 2，求两条直角边的长。
第6课时 用公式法求解一元二次方程(2)
精典范例
例4 用公式法解方程: 2x2+x＝6.
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变式练习
4.用公式法解方程： x2－6x＋1＝0.
P有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ B ） A.m <-1 B. m <1 C.m >-1 D. m >1
6.已知方程
的一个根为3，则
3 x2 2
（3）x1=1+2 ，x2=1﹣2
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巩固提高
9.已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0. （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值. 解：（1）由题意得a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.
第二章 一元二次方程
第6课时 用公式法求解一元二次方程（2）
精典范例（变式练习） 巩固提高
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精典范例
例1:用公式法解方程：x2-4x－7＝0.
解：∵a= 1 ,b= -4 ,c= -7 .
∴b2－4ac= 44.
∴x＝
.
∴x1＝
，x2＝
.
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变式练习
1:用公式法解方程：2x2-x＝6.
2. 下列方程中没有实数根的是（A）
A、 x2 3 0 B、 x2 2x 0 C、 (x 1)2 0 D、 x2 4x 5 0
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精典范例
例3 关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相
等的实数根，则k的值是
．
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变式练习
3. 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 （ m-1 ） x2+x+m2+2m3=0有一根为0，则m的值是_-_3___．
一元二次方程的解法(二)--公式法,因式分解法 (基础)
要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.类型一、公式法解一元二次方程1．用公式法解下列方程．(1)； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1) ∵，，，∴，∴，∴，．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．【变式】用公式法解方程答案与解析【答案】原方程化为一般形式，得．∵∴∴, 即2．用公式法解下列方程：(1)；(2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)∵，，，，∴．∴，．(2)原方程可化为．∵，，，，∴，∴，．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．【变式】用公式法解下列方程：；答案与解析【答案】移项，得．∵，，，，∴，∴，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0．答案与解析【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x1＝-2，．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x1＝1，x2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根【变式】（2）答案与解析【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.（2）3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0.巩固练习一、选择题1．方程的根是( )A． B．， C． D．，2．方程的解是( )A． B． C．， D．，3．一元二次方程的解是( )A．； B．；C．； D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为( )A．6和1 B．6和-1 C．2和3 D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝76．已知，则的值为 ( )A． 2011 B．2012 C． 2013 D．2014二、填空题7．方程x2-4x＝0的解是___________；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是___________．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___________．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是___________．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x、y 满足，则________．12．已知y＝(x-5)(x+2)．(1)当x为___值时，y的值为0；(2)当x为___值时，y的值为5.三、解答题13．用公式法解方程（1）；（2）；14. 用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．的符号的关系的值(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可分解为2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，∴(x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0．∴x1＝-1，x2＝6．5.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴(x-5)(x-6-1)＝0，∴，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x＝1，∴．二、填空题7.【答案】x1＝0，x2＝4．【解析】可提公因式x，得x(x-4)＝0．∴ x＝0或x-4＝0，∴ x1＝0，x2＝4．8.【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9.【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10.【答案】4；【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11.【答案】2；【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴x2+y2＞0，∴x2+y2＝2．12.【答案】 (1) x＝5或x＝-2；(2) 或．【解析】(1)当y＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴x-5＝0或x+2＝0，∴x＝5或x＝-2．(2)当y＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴，，∴或．三、解答题13.【答案与解析】（1）原方程化为一般形式，得∵∴∴∴（2）∵∴∴∴14.【答案与解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴，．（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴y+1＝0或y+2＝0，∴y＝-1或y＝-2．当时，，；当时，，．∴原方程的解为，．15.【答案与解析】，的的符号(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；②当原方程有两个相等的实数根时，，即；③当原方程没有实数根时，，即．。
公式法解一元二次方程(2)
b2-4ac 的符号
方程的解
装
X2-2x-3=0 X2-2x+1=0 X2-2x+3=0
订
（2）观察上表，结合 b2-4ac 的符号对方程的解情况提出你的猜想
线
莱西市南墅镇中心中学
编号：NSZX12-13-B
班级：
学生姓名：
2012-2013 学年度第二学期
导学案
主备：
审核人：
签审人：
使用时间：
导
2 2 2 x x 0 3 3
案
1、一元二次方程的一般形式： 2、用公式法解一元二次方程的步骤：1、
- x2＋4x-2=0
3、用公式法解下列方程： （独立完成，组内核对答案）
装
（1）2x2+x-6=0
（2）2x2+5x=―2
订
一、第一类方程：（相信你一定行，大胆试一试，10 分钟） 例2 1、 （x+1） （3x-1）=1 2、 x2＋3=2 3 x
学
案
装
订
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注意：若一元二次方程有实数根，则必定有两个. 跟踪练习 1：（独立完成，5 分钟） 1. t (t 2 2) 2 2.（2x+1） （x+2）=3
学
【难点】综合运用公式解一元二次方程。 【学法指导】合作交流 【知识链接】 （10 分钟） 二类方程： （看看谁的方法最巧妙，5 分钟） ，求根公式： 2、 3、 4、
公式法2
课题 用公式法解一元二次方程学案 （第 1课时） 教师点拨 学习过程学习目标随堂练习：1、用公式法解下列方程（1）2630x x -+=； （2）25820x x -+=；（3）2(4)1x x +=． （4）()222-=+t t2、若两个连续奇数的积是323，求这两个数3、两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4厘米，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求这两个正方形的边长重、难点 教师点拨 学习过程学习准备：1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的求根公式是什么？3、用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？尝试、合作、探究： 解方程（1）()()1131=-+x x （2）x x 3232=+探讨：上面两个方程的解有什么不同？教师点拨课后巩固选择：1．用公式法解方程4x2－12x=3，得到（）A．x=362-±B．x=362±C．x=3232-±D．x=3232±2．（m2－n2）（m2－n2－2）－8=0，则m2－n2的值是（）A．4 B．－2 C．4或－2 D．－4或2填空1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2－8x+12的值是－4．3．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2+2m－3=0有一根为0，则m的值是____用公式法解下列方程1．3x2+5x－2=0 2．3x2－2x－1=0 3．8（2－x）=x2 拓展测试题1．如果关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx－c（1－x2）=0有两个相等的实数根，那么以a，b，c为三边的△ABC是什么三角形？请说明理由．2．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 254 45 10根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？教学反思课堂总结自我检查1、本节课还有哪些不明白的：2、做错的题目有：原因是：。
公式法解一元二次方程 (2)
公式法
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
b b2 4ac
_x_=_
2a_____，条件是 b2-4ac≥0 .
5．当x=___4___时，代数式x2-8x+12的值是-4．
6．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一 根为0，则m的值是__-_3__． 7．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
公式法
本课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况.
b b2 4ac 就得到方程的根. 2a
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
公式法
例2．用公式法解下列方程：
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）(x-2)(3x-5)=0
（4）4x2-3x+1=0
解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x= (4) 24 4 2 6 2 6
22
4
2
∴x1= 2 6 2
，x2=
2 6 2
公式法
（2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
若b2-4ac≥0且4a2>0
则 b2 4ac
4a2
≥0
公式法
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3.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
教学目标
会用完全平方公式对多项式进行因式分解；
经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作
用，渗透化归思想.
体会从正、反两个方向认识和研究事物的方法。
重点难点
重点：能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
难点：准确判断多项式是否符合完全平方公式的特点。
教学过程
一、复习导入
整式乘法与因式分解的过程是互逆的，如果把学过的乘法公式反
过来，则可以进行某些多项式的因式分解，上节课我们已经学习了用
平方差公式因式分解。想一想，我们还学习了什么乘法公式？
鼓励学生回答，完全平方公式：
222()2abaabb，222
()2abaabb
二、公式探究
1.把乘法公式反过来，就是因式分解的公式：
2222()aabbab，222
2()aabbab
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘
积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。
那么什么样的多项式可以用这个公式因式分解呢？请大家互相
交流，找出这个多项式的特点。
多项式的特点：（1）多项式是三项式；（2）其中两项可以写成
两数或两式的平方和的形式，另一项是这两数或两式乘积的2倍。
具有上述特点的多项式称为完全平方式。
如果一个多项式是完全平方式，就可以用公式因式分解。
2. 下列多项式是不是完全平方式？
（1）269xx； （2）241a； （3）221xx； （4）224xxyy
学生口答并叙述自己的判定理由。
三、典例剖析
例1 把21934xx因式分解.
教师引导学生观察，这个多项式是不是 解：
完全平方式？公式里的,ab指的是什么？
分析后板书过程，规范书写格式。
练习：
填空：（若某一栏不适用，填入“不适用”）
多项式
能否表示成2()ab或2()ab的形式
,ab
各表示什么
2
1025xx
2
24xx
2
14yy
22
4129xxyy
2
22
2
1
93411(3)23()221(3)2xxxxx
例2 把下列多项式因式分解：
（1）2()12()36xyxy； （2）224129xxyy；
（3）4222aabb； （4）(4)(1)9aaa
教师引导学生从整体上去观察多项式是不是完全平方式，或者做
适当的变形转化成完全平方式。学生思考后得到：第（1）题要把
()xy
看成一个整体；第（2）题把三项都添进带负号的括号；第（3）题把
4
a
变形成22()a；第（4）题先化简整理成一个多项式。
板书解题过程，规范书写格式。
师生共同总结分解步骤：（1）将多项式转化成完全平方式；（2）
用完全平方公式因式分解。
例3 把下列多项式因式分解：
（1）42232xyxyy； （2）224(21)xyy
学生独立思考，小组内交流后得到因式分解的一般步骤：（1）若
有公因式先提公因式（2）若没有公因式则转化成公式的形式，用公
式法进行因式分解。
注意，因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
四、课堂练习
基础训练：
1. 把下列多项式因式分解：
（1）22554xx； （2）216249yy；
（3）22139xx； （4）43224363xxyxy.
学生独立完成，小组内自主纠错，教师巡视点拨。
提高训练
2. 把下列多项式因式分解：
（1）224(21)xyy； （2）422(44)4xxy；
（3）(4)(1)3xxx； （4）2()12()36xyxy.
鼓励学生认真观察和分析，在整体和转化的思想指导下，灵活
地运用所学的方法进行因式分解。
五、小结
让学生总结本节课的收获，还存在的问题。
总结概括出：1.平方差公式的特点；
2. 完全平方公式的特点；
3. 因式分解的一般步骤；
4. 整体和转化思想方法的运用。
先让学生总结归纳，再共同概括，教师点明注意问题。
六、布置作业
教材P67第2题，第5题.