全等三角形概念
初中数学 全等三角形的定义是什么
初中数学全等三角形的定义是什么
全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
当两个三角形的所有对应边长和对应角度都相等时，我们可以说这两个三角形是全等的。
全等三角形的定义可以更具体地描述为以下条件之一：
1. SSS准则（边边边）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS准则（边角边）：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA准则（角边角）：如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. AAS准则（角角边）：如果两个三角形的两个角和非夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
5. RHS准则（直角边斜边）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形的定义给出了判断两个三角形是否全等的方法。
通过使用这些准则，我们可以确定两个给定的三角形是否全等，从而解决与全等三角形相关的几何问题。
在实际应用中，全等三角形的概念在建筑、工程、导航、图形设计等领域起着重要的作用。
通过了解全等三角形的定义和性质，我们可以在实际问题中应用几何知识，计算未知的边长和角度，进行测量和设计工作。
总结起来，全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
全等三角形的定义包括SSS准则、SAS准则、ASA准则、AAS准则和RHS准则。
了解全等三角形的定义和性质可以帮助我们解决与几何相关的问题，并在实际应用中进行测量、设计和计算工作。
全等三角形的概念
有对顶角的，对顶角是对应角.
在找全等三角形的对应元素时一般有 什么规律？
A
A
B
CE
P
D
BF
C
D
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
寻找对应边对应角的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）最大边与最大边（最小边与最小边） 为 对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对 应角； （5）对应角所对的边为对应边；对应边所对 的角为对应角； （6）根据书写规范，按照对应顶点找对应边 或对应角．
观
同一张底片冲洗出来的两张照片
察
形状和大小有什么特征?
观察下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
能够完全重合的两个图形称为全等形.
及时反馈
观察下面两组图形，它们是不是全等形？
只有形状
(1)
相同
只有大小 相同
(2)
全等形的 形状和 大小 都相同
能够完全重合的两个三角形,叫做 全等三角形.
A
12
34 D
B
C
3．如图，若△ABC≌△CDA，对应边是 A__B_与__C_D__，__A__C_与__C__A_，___B_C_与__D__A__，对应角
是_∠__1_与__∠__2_，___∠__4_与__∠__3_，___∠__B_与___∠__D__．
A
D
13
2 4
B
C
4．已知△ABE≌△ACD，且∠1＝∠2，∠B = ∠C，指出其他的对应边和对应角．
小学三年级数学认识简单的全等三角形
小学三年级数学认识简单的全等三角形全等三角形是指具有相等的三条边和相等的三个角的两个三角形。
在学习数学的过程中，我们会遇到全等三角形的概念和性质，本文将介绍小学三年级数学中关于全等三角形的简单认识。
一、什么是全等三角形全等三角形指的是具有相等的三条边和相等的三个角的两个三角形。
在图形上，我们可以用一条双下划线连接两个相等的边来表示全等关系，例如∆ABC≌∆DEF。
二、全等三角形的性质1. 边-角-边（SAS）判定条件：当两个三角形中的两边和夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。
即如果∆ABC的边AB与∆DEF的边DE相等，边BC与边EF相等，并且∠ABC与∠DEF相等，则∆ABC≌∆DEF。
2. 边-边-边（SSS）判定条件：当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
即如果∆ABC的三条边都与∆DEF的三条边相等，则∆ABC≌∆DEF。
3. 角-边-角（ASA）判定条件：当两个三角形中的两个角和边分别相等时，这两个三角形是全等的。
即如果∆ABC的角∠BAC与∆DEF的角∠EFD相等，边AB与边DE相等，并且角∠ABC与∠DEF相等，则∆ABC≌∆DEF。
三、全等三角形的应用全等三角形的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面举几个例子来说明。
1. 利用全等三角形的性质计算高度假设一根电线杆过河，电线杆的长度为a，它的挡板在河的对岸位置，其中a的长度无法直接测量。
然而，我们可以利用三角形的全等性质来计算a。
首先，我们在电线杆上和对岸的地面上各标记一个点B和C，在这两个点分别垂直地连接一条线段AD和CD。
由于∆ABC≌∆ADC（三边相等），我们知道∠CAD与∠BCA相等。
然后，我们可以利用测量工具，如测角仪，来测量∠CAD的角度。
最后，我们可以根据∠CAD的角度和已知的∠BCA角度，利用等角关系计算出a的长度。
2. 利用全等三角形的性质解决建筑问题假设有一座高楼的高度无法直接测量，但我们可以通过测量楼底和楼顶的距离和角度来计算。
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
《全等三角形》课件
全等三角形的基本性质
1
全等三角形的所有内角相等
在全等三角形中，所有角度都是相等的。
2
全等三角形的对应边相等
在全等三角形中，对应的边都是相等的。
3
全等三角形的对应高度相等
在全等三角形中，对应的高度（垂直于底边的线段）也是相等的。
全等三角形的应用
全等三角形的概念在几何学和实际生活中具有广泛的应用。 • 在建筑设计中，全等三角形帮助确定平面图中房屋的比例。 • 在地图制作中，全等三角形用于测量和标记距离和方向。 • 在工程中，全等三角形可用于测量物体和地形的高度和间距。
全等三角形的例题
例题1
已知两个三角形的三边分别为AB, AC和BC，DE, DF 和EF。如果AB = DE, AC = DF, BC = EF，则三角形ABC 全等于三角形DEF。
角角边（ASA）判定法
当两个三角形的两个角和一个边以及它们对应 的边相等时，它们就是全等的。
直角边（HL）判定法
当两个直角三角形的一条直角边和它们对应的 斜边相等时，它们就是全等的。
全等三角形的性质
等边三角形
全等三角形的特例，三条边都相等。
等腰三角形
全等三角形的另一个特例，两条边相等。
直角三角形
全等三角形可以是直角三角形。
多边形的全等
全等的概念也可以应用到多边形上。
全等三角形的判定条件
除了通过SSS、ASA、AAS和HL判定法，我们还可以通过侧角边（SAS）和顶角和底边（VERT）来判 定全等三角形。
1 SAS判定法
当两个三角形的一条边和两个非包含边的夹角以及它们对应的边相等时，它们就是全等 的。
全等三角形基本事实
全等三角形基本事实
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
以下是全等三角形的基本事实：
- 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
- 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
- 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
- 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
- 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
这些基本事实是解决全等三角形问题的基础，也是几何学中非常重要的概念。
全等三角形PPT课件
在计算机图形学中，全等三角形被用于三维模型的构建和渲染。通过组合和变换全等三角形， 可以创建出复杂的三维物体和场景。
05
全等三角形拓展知识
相似三角形概念及性质
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
相似比
相似三角形的对应边之间的比例称 为相似比。
相似三角形概念及性质
全等三角形PPT课件
目录
• 全等三角形基本概念 • 全等三角形证明方法 • 全等三角形在几何中的应用 • 全等三角形在生活中的应用 • 全等三角形拓展知识 • 课程总结与回顾
01
全等三角形基本概念
定义与性质
01
定义
能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应 角相等。
06
课程总结与回顾
关键知识点总结
全等三角形的定义与 性质
掌握全等三角形的基 本性质，如对应边相 等、对应角相等。
能够准确描述全等三 角形的定义。
关键知识点总结
全等三角形的判定方法 掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
能够灵活运用判定方法解决相关问题。
关键知识点总结
段的中点、角的平分线等。
结合其他几何知识（如中心对称、 旋转对称等）来进一步探讨图形
的对称性质。
04
全等三角形在生活中的应 用
建筑设计中的应用
01
建筑设计中的对称美
全等三角形在建筑设计中常被用来创造对称美，如古希腊神庙的立面设
计，通过全等三角形的排列组合，形成和谐而富有节奏感的视觉效果。
02 03
地形测量
在工程测量中，全等三角形原理 被用于地形测量。通过观测两个 已知点和一个未知点构成的全等 三角形，可以计算出未知点的坐
全等三角形
第十二章全等三角形一、全等三角形1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
注：完全能重合的图形那么固然：形状完全相同，大小固然相等，对应角也相等。
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
用符号“≌”表示，读作：全等。
3、全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．注意：在写三角形全等的时候一定要把相对应角的顶点对应写，比如上图中写成△ABC≌△A'B'C'，而不能写成△ACB≌△A'B'C'，因为C对应的是C’所以这种写法是错误的。
（重点）4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．例1、下列命题错误的是（）A．全等三角形对应边上的高相等B．全等三角形对应边上的中线相等C．全等三角形对应角的角平分线相等D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等例2、在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．二、（重点）全等的判定【例1】如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．分析：要证明△ABD ≌△ACD ，可看这两个三角形的三条边是否对应相等． 证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中21EOD C BA ,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩D CB A E ∠C=∠FBC=EF∴△ABC ≌△DEF （SAS ）【例】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，•使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？证明：在△ABC 和△DEC 中∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB=DE想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE 的依据是什么？（全等三角形对应边相等）【例】如图在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：AD=AE ．证明：在△ACD 与△ABE 中，∴△ACD ≌△ABE （ASA ）∴AD=AE 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)12CA CD CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩公共角【例】如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ，求证BC=AD ．【思路点拨】欲证BC=•AD ，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里有△ABD 和△BAC ，△ADO 和△BCO ，O 为DB 、AC 的交点，经过条件的分析，△ABD 和△BAC •具备全等的条件．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥BD ，∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）．∴BC=AD ．练习2如图，AD 与CB 交于O ，AO=OD ，CO=OB ，EF 过O 与AB 、CD •分别交于E 、F ，求证：∠AEO=∠DFO ．,,AB BA AC BD =⎧⎨=⎩全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型例1、两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等．A．两边和其中一边的对角对应相等B．三个角对应相等C．两角和一组对应边相等D．两边及第三边上的高对应相等例2、下列命题错误的是（）A．全等三角形对应边上的高相等B．全等三角形对应边上的中线相等C．全等三角形对应角的角平分线相等D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等例3、考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________如右上图所示，AB CD∥，AB CD=，AD与BC交于O，∥，AC DB⊥于E，DF BC⊥于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理AE BC由．例4、如右上图所示，AB CD=，AD与BC交于O，AE BC⊥∥，AC DB∥，AB CD于E，DF BC⊥于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．BAFOEDC例5、如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．（二）角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形概念
全等三角形是指两个三角形的所有对应边长和对应角度均相等，这种相等关系称为全等。
全等三角形是几何学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程学、建筑学等领域都有广泛的应用。
全等三角形的定义
两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长和对应角度均相等，则称它们是全等三角形，记作∆ABC≌∆DEF。
在这里需要注意的是，对于两个三角形来说，如果它们的任意两边和夹角都相等，则这两个三角形也是全等的。
全等三角形的性质
1. 对于两个全等三角形来说，它们的对应边长和对应角度均相等。
2. 全等三角形具有一一对应性质。
即如果∆ABC≌∆DEF，则A与D、B 与E、C与F一一对应。
3. 全等三角形中任意一条边或者一条边上的任意一点都可以作为另一
个三角形中相同位置处的点。
4. 全等三角形中任意一个内部点到其所在边上各点距离之和相同。
5. 全等图形具有相同面积。
因为面积等于底边乘高，而对于全等三角形来说，它们的底边和高均相等，因此它们的面积也相等。
6. 全等三角形中任意一条中线、任意一条角平分线和任意一个高都可以分别作为另一个三角形中相同位置处的线段。
7. 全等三角形中对应的角度相等。
因为对于全等三角形来说，它们的对应边长相等，因此根据正弦定理、余弦定理或正切定理可以得到它们的对应角度也相等。
8. 全等三角形中对应的周长相等。
因为全等三角形的定义是两个三角形所有对应边长均相等，因此它们的周长也必然相等。
全等三角形判定方法
1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS判定法：如果两个三角形有一条边和这条边上的两个夹角分别
与另一个三角形对应，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法：如果两个三角形有一条边和与其不在同一直线上的两个夹角分别与另一个三角形对应，则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形的应用
1. 在计算几何中，全等三角形可以用来求解各种几何问题，如求解面积、周长、高、中线、角平分线等。
2. 在建筑学中，全等三角形可以用来设计各种建筑物，如房屋、桥梁、塔楼等。
3. 在物理学中，全等三角形可以用来计算力学问题，如求解杆件受力
情况、机械结构设计等。
4. 在工程学中，全等三角形可以用来设计各种工程结构，如桥梁、隧道、水坝、电站等。
总之，全等三角形是一个非常重要的几何概念，在各个领域都有广泛
的应用。
通过了解其定义和性质以及判定方法，我们可以更好地理解和应用它。