九年级上册圆的基本性质教案

课题 3.1圆 （1）

教学目标

1．经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系得过程． 2．理解圆的概念，了解点与圆的位置关系． 3．会在简单条件下判断点与圆的位置关系．

教学重点 圆、弦和弧的概念，弧的表示法和点与圆的位置关系． 教学难点 点与圆的位置关系． 教学过程

一、创设情景，引入新课

1．在小学我们已经学过一些圆的知识，并且知道圆不仅在几何中占有极其重要的地位，而且在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，你能举例说明我们周围那些物体是圆形的吗？ 在学生回答的基础上，教师总结：实际生活中圆形物体的例子很多（出示一些投影图象） 2．提问：人们为什么把车轮做成圆形的？

在学生回答的基础上，教师指出：这是因为圆具有一些特殊的性质，在这一章里我们将系统研究：什么是圆？圆有哪些性质？ 二、圆的定义和有关概念

教师示范画圆的过程，然后归纳出圆的有关概念．

（1）定义 在同一平面内线段OP 绕它的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆，定点O 叫做圆心，定长 OP 叫做半径． 以点O 为圆心的圆记作⊙O ，读作“圆O ” （2）圆的有关概念

①连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC ．经过圆心的弦是直径， 图中的AB ．直径等于半径的2倍．

②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．

小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B 、C 为端点的劣弧记做“BC ”；

大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的BAC ． ③ 半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做 等圆．例如，图中的⊙O 1和⊙O 2是等圆．

圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．（学生画同心圆）

完成课本第58页的做一做． 三、点和圆的位置关系

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算．（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）．这一现

象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，

若点在圆外，

⌒

⌒

那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径． 如图，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那么OA

＜r ，OB =r ，OC ＞r ．反过来也成立，即

若点A 在⊙O 内

OA r

<； 若点A 在⊙O 上OA r =； 若点A 在⊙O 外OA r >．

【例1】 如图所示，在A 地正北80m 的Ｂ处有一幢民房，正西100m 的C 处有一变电设施，在BC 的中点D 处是一古建筑．因施工需要，必须在A 处进行一次爆破．为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？ 思路：连结AD ，设爆破影响面的半径为r ．可求得BC=4120，AD=4110．

由题意，点A 、B 、C 应在⊙A 外，即?????>>>r DA r CA r BA ，??

?

??>>>r r r

411010080

∴4110

即爆破影响面的半径应小于4110m ． 四、巩固练习

完成课内练习1、2题． 五、课堂小结：

这节课学习了那些内容？ 1．圆的定义和有关概念； 2．点和圆的位置关系． 六、作业布置

课本作业题1、2、3、4、5、6．

课题 3.1圆（2）

教学目标

1．通过问题的解决过程，使学生明确三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”．

2．使学生能熟练掌握应用尺规“过不在同一直线上三点作圆”的方法．

3．向学生渗透转化、分类讨论等数学思想方法，为今后继续进一步学习数学打下基础．教学重点过不在一直线上的三点作圆的方法．

教学难点如何确定圆的思维过程．

教学过程

一、创设情境、提出问题

投影片出示问题：（破镜重圆）

现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问怎样去配制呢？

思考：如何解决这一实际问题？下面我们共同探寻解决这一问题的办法．

二、实践活动，探究新知

探究①：过一个已知点A能否作圆？如果能，可以作几个？（让学生动手去完成）

学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪儿（圆心不定）？半径多大（半径不定）？可以作几个这样的圆（无数个）？

探究②：过已知两点A、B能否作圆？如果能，可以作几个？圆心在哪里？（学生动手去

完成）

学生继续讨论并发现：它们的圆心到A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗(OA=OB)?圆心在哪里(在直线AB的垂直平分线上)？过点A、B两点的圆有几个(无数个)？

探究③:过同一平面内三个点A、B、C是否可以作圆？的情况会怎样呢?

分两种情况研究：

（一）求作一个圆，使它经过不在一直线上三点A、B、C，

已知：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C．（学生口述

作法，教师示范作图过程）

学生讨论并发现：这样一共可作几个圆（一个）？圆心在哪里(线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点)？到A、B、C三点的距离怎样？（OA=OB=OC）

（二）过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？（不能作出）

发现结论：由上可知，过一点可作无数个圆，过已知两点可以作无数个圆，过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

定理：过不在同一直线上的三点确定一个圆．

强调：（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽略，只有当三个点不在同一直线上才能确定一个圆．

（2）“确定”一词理解为“有且只有”．

由上可知，经过三角形的三个顶点可以做一个圆．

因此三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，这个三角形叫做圆的内接三角形。

（1）“接“是说明三角形的顶点和圆的关系，即圆经过三角形的各顶点；

（2）而“内“、”外“是相对的概念，以一个图形为准明说明另一个图形在它的里面或外面，如”三角形的外接圆“是以三角形为准，说明圆在三角形的外面．

如图：⊙O称为△ABC的外接圆，△ABC称为⊙O的内接三角形，O为三角形ABC的外心．

三、应用新知

1．解决引例的问题(让学生口述解决的办法)

①在残片上任取三点A、B、C，连结AB、AC；

②分别作AB、AC的垂直平分线，并交于一点O，O为圆心；

③连结OA，以OA为半径画圆即可．

2．精心的判一判

（1）过两点可以作无数个圆（）

（2）经过三点一定可以做一个圆（）

（3）顶点都在圆上的三角形叫做圆的外接三角形（）

（4）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）

（5）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）

（６）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）

（７）三角形的外心到三边的距离相等（）

３．仔细的填一填

如图：⊙O是△ABC的______ 圆，△ABC是⊙O的________ 三角形，O是△ABC的______ 心，它是__________ 线的交点，到三角形__________ 距离相等．

４．认真做一做：作出下列三角形的外接圆，并比较这三个三角形的外心的位置，你得到什么结论？

发现：

（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；

（2）钝角三角形的外心在三角形的外部；

（3）直角三角形的外心在斜边的中点处．

四、深化与延伸

１．如图，已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ=９０°，ＡＣ=５ｃｍ，ＢＣ=１２ｃｍ，则△ＡＢＣ的面积为．

２．如图，在等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC=13ｃｍ，BC=10ｃｍ，则△ＡＢＣ的外接圆的半径为．

五、课堂小结

通过这节课你学到哪些知识？还有哪些困惑？

六、布置作业

课本作业题1、2、3、4、5．

课题：3.2圆的轴对称性（1）

教学目标

１．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理．

３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点

垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教学关键

理解圆的轴对称性． 教学环节的设计

这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：

复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知． 一、复习提问，创设情境

1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；

２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题

1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调：

（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条．

判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）

设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习

1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；

A

B

C D

O

E

2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．

提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）

①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．

理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．

∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．

思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1）

注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． 然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言

∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）

∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．

四、应用新知，体验成功

【例1】已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念) 作法： ⒈连结AB.

⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E. 点E 就是所求弧AB 的中点．

变式一： 求弧AB 的四等分点．

思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分． （图略）

有一位同学这样画，错在哪里？ 1．作AB 的垂直平分线CD

2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）

教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．

变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？

方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．

【例2】 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ． 思路：

先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8， 在Rt △OCB

中，68102222=-=-=BC OB OC

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

A

B

C D

O

E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

O

A

B C

⌒

⌒

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

∴圆心O 到水面的距离OC 为6．

【例3】 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 思路：

作OM ⊥AB ，垂足为M ，∴CM=DM ∵OA=OB ，∴AM=BM ，∴AC=BD ． 概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结：

1．画弦心距是圆中常见的辅助线；

2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．

注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．

五、目标训练,及时反馈

1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ． 答案：24

2．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A ．∠COE=∠DOE

B ．CE=DE

C ．OE=BE

D ．BD=BC 答案：C

3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ． cm D ．9cm 答案：A

注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．

4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）

A ．3≤OM ≤5

B ．4≤OM ≤5

C ．3

D ．4

答案：A

⌒ ⌒

5． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ． 答案：2或24

注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧． 6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长．

思路：由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 所以MN=

2

1

BC=2． 六、总结回顾，反思内化 师生共同总结：

１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：

（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；

（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=． 七、布置作业， 巩固新知 P75作业题1~6，第7题选做．

课题 3.2圆的轴对称性（2）

教学目标

1．使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题．

2．使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育． 教学重点和难点

垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点． 教学过程

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论．(由学生叙述)

2．结合图形，教师引导学生写出垂径定理的下述形式：

题设 结论

指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.

提问：如果把题设和结论中的3条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题

二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1．引导学生观察图形，选①③为题设，可得：

由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB 不是直径”这一条件．

这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出．

已知：如图，在⊙O 中，直径CD 与弦AB(不是直径)相交于E ，且E 是AB 的中点．

求证：CD ⊥AB ，AD=BD ，AC=BC ．

分析：要证明CD ⊥AB ，即证OE ⊥AB ，而

E 是

AB 的中点，即证OE 为AB 的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

知AC=BC ，AD=BD ．

证明：连结OA ，OB ，则OA ＝OB ，△AOB 为等腰三角形． 因为E 是AB 中点，所以OE ⊥AB ，即CD ⊥AB ，

又因为CD 是直径，所以AD=BD ，AC=BC 2． 若选①④为题设，

以上命题可由老师引导学生自己证出

3．根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的二个命题，教师板书出垂径定理的推论1．

推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧． 按图填空：在⊙O 中

(1)若MN ⊥AB ，MN 为直径；则 ， ， ；

(2)若AC=BC ，MN 为直径；AB 不是直径，则 ， ， ； (3)若MN ⊥AB ，AC=BC ，则 ， ， ；

(4)若BM=MN ，MN 为直径，则 ， ， ． 此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论． 三、应用举例

【例2】1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.02米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.23米，求桥拱的半径.(精确到0.01米)

首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，同时也可激发学生学习数学的兴趣．

【关于赵州桥的说明：赵州桥又名：“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能．】 分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O 为圆心，R 为半径画

出一段圆弧AB 表示桥拱，弦AB 表示桥的跨度，即AB=37.02米，AB 的中点C 到线段AB 的距离为7.23米．

这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解．

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⌒

(2)实际问题已转化为数学问题，下面讨论如何解决这个问题．

启发学生观察图形、发现：对于AB ，如果经过圆心O 作弦AB 的垂线OD ，D 为垂足，并

延长交AB 于点C ，那么根据垂径定理可知，OD 平分弦AB ，OC 平分弧AB ，即C 点为

AB 的中点，CD 就是拱高，这样做出的图形符合题意．

根据勾股定理，在Rt △AOD 中就可求出半径R ． 解题过程，参考课本．对于此题，学

生往往是过AB 的中点C 先作出弓形高CD ，即过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD 经过圆心O ，仍然可利用勾股定理，求出半径R ．

说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心．解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到． 四、巩固练习 完成课内练习1、2． 五、师生共同小结

问：这节课我们学习了哪些主要内容? 师生共同总结垂径定理以及逆定理．

直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弦所对的弧这三句话中有一个成立，可推出另两个成立，其中直径平分弦做为条件时，应加上此弦为非直径． 六、布置作业

完成课本作业题1、2、3、4、5、6．

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⌒

⌒

⌒

课题 3.3圆心角（1）

教学目标

1．经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程．

2．理解圆心角的概念，并掌握“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”的定理（圆心角定理）．

3．体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法．

教学重点圆心角定理

教学难点根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转变换．

教学过程

一、圆的对称性和旋转不变性

学生动手画圆，旋转、观察得出：圆是中心对称图形、圆的旋转不变性．

引出圆心角和弦心距的概念

圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．

弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

通过教师的演示，让学生观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容．这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性．

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．

思考：下列说法正确吗？为什么？

如图，因为∠AOB=∠COD，所以AB= CD，

=．

三、应用

【例1】用直尺和圆规把⊙O四等分．

D

B

可以让学生先尝试自己找出作法，在学生尝试过程中，教师作适当的启发，具体略．

完成P70的做一做．

四、深化提高，得出推论

先让学生观察右图，提问：圆周所对的圆心角有多大？请大家想象一下，当把顶点在圆心的圆周等分成360份后，相应的把整个圆分成多少份？这时，每一份圆心角即1°的圆心角就对着1°的弧，我们把这一份的弧叫做1°的弧．

提问：n°的圆心角所对的弧是几度？

推论：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

五、巩固练习

完成课内练习1、2、3和探究活动．

六、归纳小结

由学生自己归纳，老师指导．

知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．

能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．

七、布置作业

课本作业题1、2、3、4、5．

课题 3.3圆心角（2）

教学目标

1．经历探索圆心角定理的逆定理的过程．

2．掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质．

3．运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.

教学重点与难点

教学重点关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质

教学难点例2(1)题,例3涉及四边形,圆等较多知识点,且思路不易形成,是本节的教学难点．

教学过程

一、复习旧知,创设情景

请学生回忆圆心角定理的内容，并写出圆心角定理的逆命题,它们是真命题还是假命题.

(1)逆命题在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

(2) 逆命题在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等．

（3）逆命题在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．

结合图形说出已知和求证并给出简要的证明过程，师生共同完成.

二、新课讲解

1．运用上面的结论来解决下面的问题:

已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

（1）如果AB=CD，那么_______,_______,_________；

（2）如果OE=OF，那么____ _,_ __,__ ____．

（3）如果弧AB=弧CD，那么_______,______,______．

（4）如果∠AOB=∠COD，那么_____,____,______．

2．上面的练习说明:

以下的四个量中只要有一个量相等,就可以得到其余的量相等:

⑴∠AOB=∠COD；⑵AB=CD；⑶OE=OF；⑷弧AB=弧CD．

归纳得出圆心角有下面的性质

在同圆或等圆．．．．．中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等．

4.例题讲解

【例2】 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O,连结OA,OB,OC ． ⑴ ∠AOB 、∠COB 、 ∠AOC 分别为多少度？

⑵延长AO ，分别交BC 于点P ，弧BC 于点D,连结BD,CD.判断△OBD 是哪一种特殊三角形？

⑶判断四边形BDCO 是哪一种特殊四边形，并说明理由． ⑷若⊙O 的半径为r,求等边ABC 三角形的边长？

思路：第（1）小题要适当启发：由等边三角形ABC 入手，得出∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， 从而得出 ∠BOD=∠COD=60°．

【例3】如图，顺次连结⊙O 的两条直径A Ｃ和BD 的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？ 如果要把直径为30cm 的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？

如果这根原木长15m ，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 分析:教学中应抓好以下几个环节(1)怎样才能使截面尽可能大?应当使截面的各个顶点在圆上,这里用的是合情推理.(2)怎样能使截面成为一个内接于圆0的正方形?引导学生回顾第一问的解答,并问在什么条件矩形就成为正方形.（具体略） 三、巩固新知 完成课内练习1,2． 四、归纳小结

通过这节课的学习，你学到了什么知识？

1.圆的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等．

2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题 五、布置作业

课本作业题1、2、3、4、5、6．

∠AOB=∠

OE=OF AB=CD

⌒ ⌒

课题 3.4圆周角（1）

教学目标

1．解圆周叫得概念．

2．经历探索圆周角定理的过程． 3．掌握圆周角定理和它的推论．

4．会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题． 教学重点 圆周角定理．

教学难点 圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定难度． 教学过程

一、类比联想，引入新课

1．如图，已知∠AOB=80°，延长AO 交⊙O 于点C ，连结CB ，求

弧AB 的度数和∠ACB 的度数． 提问：∠ACB 是圆心角吗？（不是）

教师指出：我们把这样的角叫做圆周角，你能模仿圆心角的定义给出圆周角的定义吗？ 板书：圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 练习：（1）判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．

(2)找出图中所有的圆周角． 二、探索圆周角和圆心角的关系

我们学习了与圆有关的两种典型的角：圆心角和圆周角，在同圆中同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系呢？

问题1 请同学们任意画一个圆，并选中一段弧，画出这条弧所对的圆心角和圆周角．1

问题2 同弧所对的圆心角和圆周角各有几个？（圆心角一个，圆周角无数个）

问题3 请你猜测同弧所对的圆周角和圆心角大小由什么关系？（∠BAC=2

1

∠BOC ） 问题4 你能证明你的结论？

学生讨论并寻求证明思路，有困难时老师可以适当点拨． 分三类情况讨论、证明：

第一种情况：圆心在∠BAC 的一边上 ∵OA=OC ，∴∠BAC =∠C

A

∵∠BOC 是△AOC 的外角，∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC ∴∠BAC=

2

1

∠BOC 第二种情况：当圆心O 在∠BAC 的外部时

连结A0 并延长，交交⊙O 于点D ，利用（1）的结果，有∠BAD=2

1

∠BOD ， ∠DAC=

2

1

∠DOC ， ∴∠BAD+∠DAC=

21（∠BOD+∠DOC ），即∠BAC=2

1∠BOC 第三种情况：当圆心O 在在∠BAC 的内部时

连结A0 并延长，交交⊙O 于点D ，利用（1）的结果， 有∠BAD=

21∠BOD ，∠DAC=2

1

∠DOC ， ∴∠DAC －∠DAB=

21

（∠DOC-∠DOB ），即∠BAC= 12

∠BOC ． 完成证明过程后，把命题改为定理 即

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因此：

（板书）推论1：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

通过定理得证明，要使学生明白，要不要分不同情况来证明，主要是看各种情况的证明方法是否相同，相同者不需分，不相同者必须对各种不同情况逐个加以证明，并且做到不重复，不遗漏． 三、巩固应用

（一）1．已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角为

度，这条弧的度数为 度．

2．已知一条弧的度数为40°，则这条弧所对的圆心角为度，所对的圆周角为度．3．一条弧所对的圆心角的度数为96°，则这条弧的度数为度，这条弧所对的圆周角为度．

小结：圆心角、圆周角、弧的度数关系

4．半圆，它所对的圆周角等于度．

5．如果一条弧所对的圆周角的度数为90°，那么这条弧所对的圆心角为度．

由4、5两题得出：

推论2 半圆（直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径．

6．如图，已知∠AOB=100°，则∠ACB的度数为度．

7．一条弦把圆周分成1：2两部分，则弦所对的圆周角的度数为．（分两种情况）

（二）简单应用

【例1】如图；四边形ABCD的四个顶点在⊙O上．

求证；∠B+∠D = 180°

分析：∠B和∠D所对的弧分别是什么？这两条弧有什么关系？学生探索然后交流表达，教师板书示范．

练习：

（1）课内练习3．

（2）已知：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC 求证：∠ACB= 2 ∠BAC

四、课堂小结

（1）圆周角定理及其推论；

（2）圆周角定理证明过程中的分类讨论思想方法．

五、作业布置

课本作业题1、2、3、4、5、6、7．

B

课题 3.4圆周角（2）

教学目标

1．经历探索圆周角定理的另一个推论的过程．

2．掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”

3．运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题．

教学重点 圆周角定理的推论“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”

教学难点 例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难． 教学过程 一、旧知回放

1．圆周角定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 特征：① 角的顶点在圆上；② 角的两边都与圆相交． 2．圆心角与所对的弧的关系． 3．圆周角与所对的弧的关系． 4．同弧所对的圆心角与圆周角的关系． 6．圆周角定理及其推论． 二、课前测验

1．100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______．

2．一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为_________．

3．如图，在⊙O 中，∠BAC=32o，则∠BOC=______． 4．如图，⊙O 中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______． 5．下列命题中是真命题的是（ ） （A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角 （B ）60o的圆周角所对的弧的度数是30o （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 （D ）120o的弧所对的圆周角是60o 三、问题讨论

如图1，在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么?

圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 四、例题教学

【例2】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆交

A

O

C A

O C

⌒ ⌒