等腰三角形培优

培优专题1 等腰三角形

例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，•连结CD，则∠BDC=________．

1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．

分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-6 1-7 1-8

2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）

A．BD>BA B．BD

3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

练习3

1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，

BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与

AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-9

1-10

2．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？

1-11 3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12 例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC

1-13

上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，

那么PD+PE与CF相等吗？

1-14

2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，•说明

CE与AC+CD相等的理由．

3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）

1-16

例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

练习5

1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18 2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE•是BD的几分之几？

1-19

3．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，•那么AH是BD的________倍．

1-20

综合练习

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对

2. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，

，则1∠的度数是________。

C

A 1

D

B

2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. ABC ∆中，

120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，

求证：BC 2

1

DE =

。

A

E D

O B

C

1 2

培优专题1 等腰三角形

例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．

解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β，

∵MN=AN，

∴∠AMN=∠MAN=β．

设∠ABC=γ，

在△ABC中，

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，

由于∠BCA=∠CAB=2α+β，

∴4α+2β+γ=180°．

在△ABM中，β=α+γ，

1-1

∴4α+2β+（β-α）=180°．

即3（α+β）=180°．

∴α+β=60°，故∠MAC=60°．

练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．

A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

解：设∠DEC=x，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴2x=30°，x=15°，故选C．

1-2

2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′

B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？