等腰三角形培优

——1—— 培优专题1 等腰三角形

例1 如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）． A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3 3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，•连结CD，则∠BDC=________．

1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

1-5 ——2——

练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3 已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

练习3 1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-10 2．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？

1-9 ——3——

1-11 3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12 例4 已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

练习4 1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

1-14 2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，•说明CE与AC+CD相等的理由．

1-13 ——4——

3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）

1-16 例5 已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

练习5 1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18 2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE•是BD的几分之几？

1-19 3．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，•那么AH是BD的________倍．

1-20 ——5——

综合练习 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对

2. 如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，则1的度数是________。 C

A 1

D B

2 3

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. ABC中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC21DE。 A

E D O

B C 1 2 ——6——

培优专题1 等腰三角形

例1 如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．分析 AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β， ∵MN=AN， ∴∠AMN=∠MAN=β．设∠ABC=γ，在△ABC中， ∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，由于∠BCA=∠CAB=2α+β， ∴4α+2β+γ=180°．在△ABM中，β=α+γ， ∴4α+2β+（β-α）=180°．即3（α+β）=180°． ∴α+β=60°，故∠MAC=60°．练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）． A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

解：设∠DEC=x， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． ∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x） ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∴2x=30°，x=15°，故选C． 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-1 ——7——

1-3 3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，•连结CD，则∠BDC=________．

1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．解：延长AD到F，使AF=EF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠A=60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°．又∵EH垂直平分BD， ∴EB=ED，∠EBD=∠EDB． ∴△EAD≌△EFB． ∴AD=BF．又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE， ∴AD=CE．

练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

例3 已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

1-5 ——8——

分析要说明一个三角形是等边三角形，•只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．解：在△ABE和△DBC中， ∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE， ∴∠ABE=∠DBC． ∵AB=BD，BE=EC． ∴△ABE≌△DBC． ∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．又∵M、N分别是AE和DC的中点， ∴ME=NC，又△BEC为等边三角形， ∴BE=BC． ∴△MBE≌△NBC，BM=BN． ∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°． ∴△BMN为等边三角形．

练习3 1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-9

合集下载

第十二章全等三角形、等腰三角形(培优卷1) 八年级数学人教版上册

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。

等腰三角形培优专题

等腰三角形【等腰三角形存在性问题】1．如图4×4的正方形网格中，网格线的交点叫格点，已知点A、B是格点，若C也是格点且△ABC 为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．8C．9D．103．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个4．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为．【等腰三角形分类讨论】1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°2．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为（）A．30°B．36°C．45°D．60°3．等腰三角形的两边a，b满足|a﹣7|+＝0，则它的周长是（）A．12 B．15 C．17 D．194．等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为．5．若等腰三角形一腰上的中线将其周长分成9和6两部分，则这个等腰三角形的三边长分别为．页1【等腰三角形性质的应用】6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C的直线EF∥AB．若∠ACE＝30°，则∠B的度数为（）A．30°B．65°C．75°D．85°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．40°11．如图，在△ABC中，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠CAB的度数为（）A．75°B．70°C．40°D．35°12．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，BE和CE交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于点M，交AC于点N．若MN＝8，则BM+CN的长为（）A．6.5B．7.2C．8D．9.513．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（）A．6B．8C．10D．1214．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（）A．B．C．D．页215．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则△BED 与△DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．2016．如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．17．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm218．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED的度数为（）A．108°B．120°C．126°D．144°21．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝44°，则∠CDB的度数是．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠CAB的角平分线与外角∠CBD的角平分线交于点M，且∠AMB＝35°，则∠CAB＝．24．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED ＝2，GC＝5，则△ABC的周长为．【最短路径】页326．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积；（3）在直线L上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．27．如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．【等腰三角形的性质的应用综合题】28．如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．页430．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B（1）求证：△BDE≌△CEF；（2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数．31．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．（1）求证：CB＝CE；（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘来，BC＝6厘米P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时阃为t秒．（1）求出发2秒后，PQ的长；（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．33．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．页5（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，34．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．（1）则△CDE的形状是；（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．35．如图①，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE ＝∠AED．（1）试说明∠BAD＝2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．页6页 736．如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝CD ，连接DE ，求证：BD ＝DE ．37．如图所示，△ABC 中，BA ＝BC ，点D 为BC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ．（1）若∠AFD ＝160°，则∠A＝°；（2）若点F 是AC 的中点，求证：∠CFD ＝∠B ．38．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AC 边上的一点，且∠CBE ＝∠CAD ．求证：BE ⊥AC ．39．如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且∠ADE ＝∠AED ，连接DE ．（1）如图①，若∠B ＝∠C ＝30°，∠BAD ＝70°，求∠CDE 的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．40．如图，等腰△ABC的底边长为16cm，腰长为10cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．页8。

走进重高培优讲义八上第五讲等腰三角形

第五讲等腰三角形例 1 如图，在△ABC 和△DCB 中，=∠=∠=∠ACB D A ,72 ,36 =∠DBC 则图中等腰三角形有________个．例2 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AD 平分CA BAE ,∠.CD = (1)求证：.B CAE ∠=∠(2)若,3,50DAB C B ∠=∠=∠ 求∠C 的大小.例3 如图1，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB，过点0作DE∥BC，交AB 于点D ，交AC 于点E.(1)试找出图中的等腰三角形，并说明理由．(2)若,9,12==AC AB 求△ADE 的周长．(3)若将原题中平行线DE 的方向改变，如图,16,//,//,2=BC AC OE AB OD 你能得出什么结论呢？例4 已知△ABC 中，,120, =∠=C BC AC 点D 为AB 边的中点，DF DE EDF ,,60 =∠分别交AC ，BC 于点E ，F ．(1)如图1，若.//AB EF 求证：.DF DE =(2)如图2，若EF 与AB 不平行，则问题(1)的结论是否成立？说明理由，例5 已知△ABC 是等腰三角形，过△ABC 的一个顶点的一条直线，把△ABC 分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出各内角的度数.例如图，在△ABC 中，,80,=∠=BAC AC AB 点0为△ABC内一点，且,10=∠OBC ,20=∠OCA 求∠BAO 的度数.拓展训练 A 组1．【兰州】如图，,651,,//=∠=CD AD CD AB 则∠2的度数是( )．50.A 60.B 65.C 70.D（第1题）（第2题）（第3题）2．【台州】如图，已知等腰三角形.,AC AB ABC =若以点B 为圆心、BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( )．FC AE A =. BE AE B =. BAC EBC C ∠=∠. ABE EBC D ∠=∠.3．如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ，经过点F 作,//BC DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若,9=+CE BD 则线段DE 的长为( )．9.A 8.B 7.C 6.D4．在等腰三角形ABC 中，,AC AB =中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )．7.A 11.B 7.C 或11 7.D 或105．如图，在直角三角形ABC 中，D AC AB BAC ,,90==∠ 为BC 上一点，,,BC DE BD AB ⊥=交AC 于E ，则图中的等腰三角形有( )．3.A 个4.B 个5.C 个6.D 个（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）6．如图，,60 =∠AOB 点C 是BO 延长线上的一点，,10cm OC =动点P 从点C 出发沿CB 以2 cm/s 的速度移动，动点Q 从点0出发沿OA 以1 cm/s 的速度移动，如果点P ，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当=t ___________时，△POQ 是等腰三角形．7．【遵义】如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，E AC AD BD ,==为CD 的中点．若,16 =∠CAE 则 ∠B 为_______度．8．如图，在△ABC 中，,36, =∠=ABC AC AB 点D ，E 是BC 上的点，=∠=∠DAE BAD ,EAC ∠则图中等腰三角形有_________个．9．如图，在△ABC 中，AD 平分AD CE BAC ⊥∠,于点AB EF E //,交AC 于点F.求证：△FEC 是等腰三角形．（第9题）10.如图，在四边形ABCD 中，AB DE B //,90=∠交BC 于点E ，交AC 于点ACB CDE F ∠=∠,.30=(1)求证：△FCD 是等腰三角形． (2)若,DE BC =求∠CAD 的度数．（第10题）11.如图，在△ABC 中，,AC AB =点D 在边AC 上，且.BC DA BD ==(1)如图1，填空：=∠A _______,=∠C _________(2)如图2，若M 为线段AC 上的点，过点M 作直线BD MH ⊥于点H ，分别交直线AB ，BC 于点N ，E ．①求证：△BNE 是等腰三角形，②试写出线段AN ，CE ，CD 之间的数量关系，并加以证明．（第11题）B 组12.如图，已知等腰三角形ABC 中，Q P AC AB ,,=分别为AC ，AB 上的点，且,BC QB PQ AP ===则∠PCQ 的度数为( )．30.A 36.B 45.C 5.37.D（第12题）13.如图，在下列三角形中，若,AC AB =则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )．（第13题）①②③.A ①②④.B ②③④.C ①③④.D14．如图，在△ABC 中，,10,20,,=∠=∠==EDC BAD DE AD AC AB 则∠DAE 等于( )．30.A 40.B 60.C 80.D（第14题）15．在△ABC 中，,120, =∠=ACB CB CA 将一块足够大的直角三角尺)30,90( =∠=∠MPN M PMN 按如图放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角,α=∠PCB 斜边PN 交AC 于点D ，在点P 的滑动过程中，若△PCD 是等腰三角形，则夹角α的大小是_________.（第15题）16.如图，AF 平分,,AF BC BAC ⊥∠垂足为点E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M.(1)求证：.CD AB =(2)若,2MPC BAC ∠=∠请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．（第16题）17．如图1，在△ABC 中．,AC AB =点P 为底边BC 上一点，,,,|AB CH AC PF AB PE ⊥⊥垂足分别为点E ，F ，H.易证.CH PF PE =+证明过程如下：如图1，连结,,,.AB CH AC PF AB PE AP ⊥⊥⊥.21,21,21.CH AB S PF AC S PE AB s c AB Acp ABP ⋅=⋅=⋅=∴∆∆∆ 又.212121,CH AB PF AC PE AB s s S ABC ACP ABP ⋅=⋅+⋅∴=+∆∆∆.,CH PF PE AC AB =+∴=(1)如图2，当点P 为BC 延长线上的点时，其他条件不变，PE ，PF ，CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(2)若,30=∠A △ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且点P 到直线AC 的距离为PF ，当3=PF 时，则AB 边上的高=CH _______点P 到AB 边的距离=PE ___________.（第17题）18.如图，在△ABC 中，,ACB ABC ∠=∠点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD ,AE =连结DE.(1)如图1，若,80,35 =∠=∠=∠BAD C B 求∠CDE 的度数． (2)如图2，若,18,75 =∠=∠=∠CDE ACB ABC 求∠BAD 的度数．(3)当点D 在直线BC 上（不与点B ，C 重合）运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（第18题）走进重高1．【宿迁】若实数m ，n 满足等式,04|2|=-+-n m 且m ，n 恰好是等腰三角形ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是( )．12.A 10.B 8.C 6.D2．【湖州】如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若,20, =∠=CAD AC AB 则∠ACE 的度数是( )．20.A 35.B 40.C 70.D（第2题）（第3题）3．【武汉】如图，在Rt△A BC 中，,90=∠C 以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )．4.A5.B6.C7.D 4．【吉林】我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若,21=k 则该等腰三角形的顶角为________度.5．【河北】如图，,9o BOC =∠点A 在OB 上，且,1=OA 按下列要求画图：以A 为圆心，l 为半径向右画弧交OC 于点,1A 得第1条线段;1AA 再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点,2A 得第2条线段;21A A 再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点,3A 得第3条线段 32A A 这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则=n __________.（第5题） 6．【绍兴】数学课上，张老师举了下面的例题：例1：在等腰三角形ABC 中，,110 =∠A 求∠B 的度数．（答案：35)例2：在等腰三角形ABC 中，,40 =∠A 求∠B 的度数．（答案：40或70或o100)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：在等腰三角形ABC 中，,80 =∠A 求∠B 的度数．(1)请你解答以上的变式题． (2)解答(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设,0x A =∠当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．7．【哈尔滨】在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，且,BD AC ⊥作,CD BF ⊥垂足为点F ，BF 与AC 交于点.,ADE BGE G ∠=∠ (1)如图1，求证：.CD AD =(2)如图2，BH 是△ABE 的中线，若,,2EG DE DE AE ==在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．（第7题）高分夺冠1．如图，在△ABC 中，BCA BAC ∠∠与的平分线相交于点I ，若,,35AC AI BC B +==∠则BAC ∠的度数为( )．60.A 70.B o C 80. 90.D（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，在△ABC 中，,AC AB =点P ，Q 分别在AC ，AB 上，且,BC QC PQ AP ===则∠A 的大小是________.3．如图，在△ABC 中，,AB BC AC >=点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△ABC 的任意两个顶点构成的PAC PBC PAB ∆∆∆,,均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为_________.4．如图，在△ABC 中，,40,60 =∠=∠C BAC 点P ，Q 分别在BC ，CA 上，AP ，BQ 分别是ABC BAC ∠∠, 的平分线．求证：.BP AB AQ BQ +=+（第4题）5．如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连结AP 并延长交BC 于点E ，连结BP 并延长交AC 于点F.(1)求证：.CBF CAE ∠=∠(2)求证：.BF AE =(3)以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG(点E 与点F 重合于点G)，记△ABC 和△ABG 的面积分别为ABC s ∆和,ABG s ∆如果存在点P ，能使得,ABG ABC s s ∆∆=求∠ACB 的取值范围．（第5题）答案。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定(附解析)

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．80°B．75 C．65°D．60°2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，点D在BC的延长线上，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．10C．8 D．不确定4．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm25．在等腰三角形△ABC（AB＝AC，∠BAC＝120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC的面积为10cm2，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6 cm2D．7 cm27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF②∠BOC＝90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等④设OD＝m，AE+AF＝mn，正确的结论有（）个．＝n，则S△AEFA．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC 相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（）A．BM+CN＝MN B．BM﹣CN＝MN C．CN﹣BM＝MN D．BM﹣CN＝2MN 9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．910．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2B．1+C．6 D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝cm．12．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上的点，BD＝CD＝5，则AD＝．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距m．16．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED ＝2，GC＝5，则△ABC的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF ＝2，BF＝3，则CE的长度为．18．如图，△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点E，CD⊥AE于点D，若AC＝13，AD＝12，则AB＝．19．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC 的长为．20．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm，∠DPE＝°．三．解答题21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP 的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：（1）△APM是等腰三角形；（2）PC＝AN．23．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝10cm，∠A＝∠C＝90°，点E、点F分别在边AB、CD上，且EF∥BC，∠DEF＝∠FBC．（1）求证：∠AED＝∠EBF；（2）当∠EBF＝∠FBC时，EF＝cm．24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．（1）则△CDE的形状是；（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．25．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．26．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．（1）求BC的长；（2）如图2，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．请判断△DEF的形状并证明你的结论．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，填空∠B＝°，∠C＝°；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．29．如图，已知BD平分∠ABC，AD∥BC，且AC＝AD．（1）求证：△ABD为等腰三角形；（2）判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．30．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．31．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣20°）＝80°．故选：A．2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．故选：B．3．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．4．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP ＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC ＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．5．解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．6．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP 和△EBP 中，，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝S △ABC ＝×10＝5（cm 2），故选：B ．7．解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCB ＝∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠OBC +∠OCB ＝90°﹣∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+∠A ；故②正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠F OC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE +OF ＝BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE +S △AOF ＝AE •OM +AF •OD ＝OD •（AE +AF ）＝mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．8．证明：∵ON∥BC，∴∠MO C＝∠OCD∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠NOC＝∠OCN，∴CN＝ON，∵ON∥BC，∴∠MOB＝∠OBD∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM∵OM＝ON+MN，OM＝BM，ON＝CN，∴BM＝CN+MN，∴MN＝BM﹣CN．故选：B．9．解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB ＝AH ，∵AD ⊥B H ，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD +∠H ＝90°，∠CDA +∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝S △ABH ，S △CDH ＝S △ABH ，∵S △OBD ﹣S △AOE ＝S △ADB ﹣S △ABE ＝S △ADH ﹣S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C ．10．解：如图：过点D 作DM ⊥EF 于点M ，在△BDE 内部过E 、F 分别作∠MEP ＝∠MFP ＝30°，则∠EPF ＝∠FPD ＝∠EPD ＝120°，点P 就是费马点，在等腰Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝，DM ⊥EF ，∴EF ＝DE ＝2∴EM ＝DM ＝1，故cos30°＝，解得：PE ＝，则PM ＝，故DP ＝1﹣，同法可得PF ＝则PD +PE +PF ＝2×+1﹣＝+1．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC＝4cm，∵AE＝5cm，∴AC＝AE+EC＝5+6＝11（cm）．故答案为：11．12．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．13．解：如图：可以画出7个等腰三角形；故答案为7．14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵BD＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴AD＝DC＝5，故答案为5．15．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案为：200．16．解：∵AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴AB＝BG，AC＝FC．∴AE＝EF，AD＝GD∴ED是△AFG中位线，∴FG＝2ED＝4；∴BG＝AB＝BF+FG＝7，CF＝AC＝CG+FG＝9，＝3+7+9+9＝28．∴C△ABC17．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．18．解：∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠CAD，∵CD⊥AE，∴∠D＝∠B＝90°，∵AC＝13，AD＝12，∴CD＝5，∵∠AEB＝∠CED，∴∠BAE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DAC，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴AE＝，∵∠BAE＝∠DAC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴，∴＝，∴AB＝，故答案为：．19．解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．故答案为：13．20．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案为8（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．故答案为56．三．解答题（共11小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．22．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90°，∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PAQ＝∠AMN，∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°，∴在△PQA与△ANM中，，∴△PQA≌△ANM（ASA）∴AP＝AM，∴△APM是等腰三角形；（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，∴AN＝PQ AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥BC∴PQ＝PC（角平分线的性质），∴PC＝AN．23．解：（1）∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠DEF＝∠EFB，∴ED∥BF，∴∠AED＝∠EBF；（2）∵EF∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠C＝∠A＝90°，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠AED＝∠FBC，∴∠AED＝∠DEF，在△AED与△FED中，，∴△AED≌△FED（AAS），∴AE＝EF，∵∠EBF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠EBF，∴BE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝5，∴EF＝5．故答案为：5．24．解：（1）△CDE是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）BF＝DF，理由：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，即EF＝AC＝AB，在△AFB与△EDF中，∴△ABF≌△EDF（SAS），∴BF＝DF．25．解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，又∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，∵∠A＝90°，∴∠B＝×90°＝30°；（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，∴CN＝2．26．解：（1）∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴BC＝CD＝4；（2）△DEF是等边三角形，理由：∵BC＝CD，CF⊥BD，∴BF＝DF，又∵DE⊥AB，∴EF＝BD＝DF，∵∠BDE＝90°﹣∠EBD＝90°﹣×60°＝60°，∴△DEF是等边三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．解：（1）∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，故答案为：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，在△ACD中，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝72°，∴∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∵MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形；②CD＝BN+CE．证明：由①知AN＝AE，又∵BA＝BC，DB＝AC，∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，即CD＝BN+CE．29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠BDC，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（2）∠C＝2∠D，理由：∵△ABD为等腰三角形；∴AB＝AD，∵AD＝AC，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝2∠D．30．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°∵AB∥DE，∴∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠CDE＝30°，∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，即△FCD为等腰三角形；（2）解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，在△DCE和△CAB中，，∴△DCE≌△CAB，（ASA），∴CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．31．解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．。

等腰三角形中垂线角平分线培优题

1．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ．（1）求证：OE 是CD 的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1 2 32、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA ＝CD3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。

4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B4 55、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE .6、已知，如图，等边△ABC ，AB ＝6㎝，点M 从点B 开始沿BA 边向点A 以1㎝/秒的速度运动，点N 从点C 开始沿AC 的延长线以1㎝/秒的速度运动，M 、N 分别从B 、C 同时出发，当点M 到达端点A 时，停止运动。

（1）设线段MN 与线段BC 交于点P ，试判断点P 与线段MN 的位置关系，并证明你的结论。

（2）当M 、N 运动几秒时，△AMN 为直角三角形？（3）过点P 作MN 的垂线交∠BAC 的平分线AD 于Q 点，在M 、N 两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q 点为AD 上的一个定点；②线段PQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。

7.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC. A B CD ABC P Q MN AB C D EF A C BP M N A C B P M N Q D7 8 98、如图所示，已知AD //BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC =AB .9．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm ，若动点P 从点C 开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？10．已知△ABC 的角平分线AP 与边BC 的垂直平分线PM 相交于点P ，作PK ⊥AB ，PL ⊥AC ，垂足分别是K 、L ，求证：BK=CL ．10 1111．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．（1）如图1，求证：；（2）如图，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD 的长．12．已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若∠ABC=D O C EB AA DE C B∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.12 1313．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？14．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．14 1515．平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？（2）过A、B向直线l：y=﹣2x作垂线，垂足分别为M，N（如图2），试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由．（3）过A、B向动直线l：y=kx（k＞0）作垂线，垂足分别为M，N，请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系．。

浙教版八年级上三角形的初步认识与等腰三角形培优专题(Word版无答案)

2020年八上第一章，第二章综合提升卷一、选择题：（每题4分）1. 下列四根长度的木棒中，不能与长为3cm ,6cm 的木棒组成一个三角形的是（） A .4cm B .5cm C .6cm D .9cm2. 下列语句是你命题的是（）A. 作两条平行线 B .∠A 与∠B 相等吗？ C .若a 2=9，求a 的值 D .全等三角形的对应角相等 3. 已知等腰三角形的两边长为4cm,8cm. 则该三角形的周长为（） A.16cm B .20cm C .12或16 D .16或204. 下列选项中，可以用来说明命题“若“|k |＞5，则＞5”是假命题的反例是（） A. K =-7 B .-3 C .K =6 D .K =105. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，伞不管是张开还是合拢，其中AB =AD ，CB =CD ，则△ABC ≌△ADC 的依据是（）EDCBADCBAPEDCBA第5题第7题第8题A'EDCBA 第9题A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B的度数为（）A.80°B.50°C.40°D.20°7.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC，∠AEC的度数是（）A.95°B.100°C.105°D.110°8.如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，AB=10cm，AC=15cm，BP、CP分别是∠ABC，∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为（）A.15cmB.10cmC.30cmD.25cm9.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A’处，折痕为DE.如果∠α=30°，∠β=45°，∠BDA’的度数是（）A.100°B.105°C.110°D.120°10.如图，已知CD是△ABC的角平分线，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，则△ADC的面积是（）A.247B.487C. 3D.6二、填空题：（每小题4分）11.已知等腰三角形的两边长分别为1和2，则它的周长是.12.将命题“绝对值相等的两个数相等”改写成如果，那么13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，BC=10，则BD的长为14.如图，已知AE=AC，∠1=∠2请你补充一个条件，使得△EAD≌△CAB（只需写一种情况即可）15.已知尺规作图如图所示，若AB∥CE，∠FDE=33°，则∠CAB.16. 如图，两棵大树AB 、CD 间相距13m ,小华从点B 出发沿BC 方向走到点E 处，他仰望两棵大树的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90°，且有EA =ED .已知大树AB 的高为5cm ，小华行走的速度为1m /s ，小华行走的时间是秒17. 如图，D 、C 、G 在同一直线上，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，CF 平分∠ACG ，BE 延长线与CF 相交于点F ，若∠BDC =150°，∠A =100°，则∠F = 度.18. 如图，三角形纸片ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O ，将纸片沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC = °DCBA21DCBAEDFEBAC 第13题第14题第15题EDCBADCGFEA B第16题第17题19.已知△ABC（如图），请用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC(其中A与D，B与E，C与F对应)，作EF边上的高线（作图工具不限）20.如图，在△ABC和△DEF，点B，F，C，E在同一直线，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D.（1）求证：AC∥DF（2）若BE=11，FC=3，则BC的长为.21. 已知：如图，AD ∥BC ，∠A =∠DEC =90°，E 是AB 上的一点，且∠1=∠2，求证：AB =AD +BC .22. 如图，△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD =AE ，连接DE .（1）如图①，若∠B =∠C =35°，∠BAD =80°，则∠CDE 的度数为 °D（2）如图②，若∠ABC =∠ACB =75°，∠CDE =18°，则∠BAD 的度数为 ° （3）当点D 在直线BC 上（不与点B 、C 重合）运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由.23. 如图1，已知△ABC ，∠A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD =AE . (1) 求证：∠EBC =∠DCBEDCBA 图1EDCBAEDCBACBA如图①如图②备用图(2) 如图2，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ，作FG ⊥CD 交AC 于点G .求证BE =AF +FG .(3) 在如图2中，AF 与BE 相交于点H ，若CG =2EG ，△ABC 的面积是35，则△BFH 和△AEH 的面积之差 .FGHEDCBA 图2FGHEDCBA 图2。

第一章三角形的证明一 (等腰三角形)(培优教案)

初二数学VIP一对一第一次课授课教师：时间：学生姓名：评价：课前复习全等三角形的判定及性质的应用1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等2．下列说法中，正确的是（）A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7等腰三角形一、主要内容：（本次课主要知识、例题、练习）知识点一等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 例1．如图，△ABC 中，AB=AC=BD ，AD=DC ，则∠BAC 的度数为（） A ．120° B ．108° C ．100° D ．135°变式训练一如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．例2 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE例3如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF ∥AD.变式训练二1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如图①，M 、N 点分别在等边三角形的BC 、CA 边上，且BM =CN ，AM 、BN 交于点Q ．（1）求证：∠BQM =60°；（2）如图②，如果点M 、N 分别移动到BC 、CA 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．知识点二等腰三角形的判定及推论判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

初二-第01讲-三角形的证明(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。

即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形培优训练同步习题

等腰三角形培优训练同步习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A. B. C. D. 32．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．103．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）C. 2D. -1B. 1+24．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为＋＋A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题5．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，BD=10,则PM+PN=_________.6．如图，）ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则）CEF周长的最小值为______．7．如图，在△ABC中，AB=AC=BD）DA=DC，则∠B的度数是______.8．如图，△ABC中，AB＋14＋AM平分∠BAC＋∠BAM＋15°，点D＋E分别为AM＋AB的动点，则BD＋DE的最小值是______＋9．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2=4，则△A n B n A n+1的边长为__________．三、解答题10．已知△ABC中，AB）AC）BC）6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP）CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.11．＋1＋如图1，已知：在△ABC中，AB＋AC＋10＋BD平分∠ABC＋CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则图中共有______个等腰三角形；EF与BE＋CF 之间的数量关系是_____＋△AEF的周长是___________＋＋2＋如图2，若将(1)中“△ABC中，AB＋AC＋10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB＋8＋AC＋10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE＋CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长＋＋3＋已知：如图3＋D在△ABC外，AB＋AC，且BD平分∠ABC＋CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则EF与BE＋CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明12．如果经过三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称该三角形为等腰三角形的生成三角形,简称生成三角形.(1)如图,已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,试说明:△ABC是生成三角形;(2)若等腰三角形DEF有一个内角等于36°,请你画出简图说明△DEF是生成三角形.(要求画出直线,标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数)13．如图，△ABC中，AC＝BC＝10 cm，AB＝12 cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P 从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2 cm，设运动时间为t秒．）1）求CD的长）（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？14．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰三角形ABC.(要求：1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上；3、只需画出图形即可，不写画法；4）标．上字母．．．，．每漏标一个扣．．．．．．1．分．）)15．如图）已知∠AOB）点P是∠AOB内部的一个定点）点E）F分别是OA）OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小）试在图上确定点E）F的位置．(2)若OP）4）要使得△PEF的周长的最小值为4）则∠AOB）________）16．如图，已知点B＋C＋D在同一条直线上，＋ABC和＋CDE都是等边三角形.BE交AC于F＋AD交CE于H＋＋求证：＋BCE＋＋ACD＋＋求证：CF=CH＋＋判断＋CFH的形状并说明理由＋参考答案1．C【解析】如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC 中，利用勾股定理，可求出S △ABC =12 故选：C ．点睛：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．2．B【解析】延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF ∥BC ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8．故选B.点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，求得MN 的长是解决问题的关键．3．B【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为2；第一次折叠后，，腰长为12，所以周长为11122++=+. 故答案为B.4．B【解析】由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.5．10【解析】解：如图，连接AP ．∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12AC •BD =12AB •PM +12AC •PN ．∵AB =AC ，∴PM +PN =BD ．∵BD =10，∴PM +PN =10．点睛：本题考查了等腰三角形的性质）三角形的面积）作辅助线把）ABC 分成两个三角形是解题的关键．6．6【解析】如图，因为90ADC ABC ∠=∠=︒，所以分别作点C 关于AD 、AB 的对称点M 、N ，连接MN ，MN 与AD 交于点E ，与AB 交于点F ，连接CE 、CF ，则此时△CEF 的周长最小，连接AC ，交MN 于点P ，由作图可知CE=ME 、CF=FN ，∴△CEF 的周长：CE+CF+EF=MN ，∵△ABD 是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，∴CD=CB ，∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=12∠DAB=30°，∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，∴MN=2MP=6，即△CEF周长的最小值是6，故答案为：6.【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键.7．36°【解析】试题解析：设∠B=x）∵AB=AC）∴∠C=∠B=x）∵DA=DC）∴∠C=∠DAC=x）∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x）∵AB=BD）∴∠ADB=∠BAD=2x）在△ABD中，∠B=x）∠ADB=∠BAD=2x）∴x+2x+2x=180°）解得x=36°）∴∠B=36°）故选C.8．7【解析】作点E关于AM的对称点H，则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC 时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长.因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7.故答案为7.9．2n【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∵∠MON=30°，∵OA2=4，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，以此类推△A n B n A n+1的边长为2n．故答案为：2n．点睛：本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．10．（1）CD＝32；（2）线段DE的长度保持不变，理由见解析.【解析】）1）过P点作PF∥AC交BC于F，即可构成小等边三角形BPF，再证明△PFD≌△QCD 即可求解；）2）根据（1）分两种情况：点P在线段AB上时，点P在BA的延长线上时分别求解即可得出结论.解：）1）过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P为AB的中点，∴BP＝12A B＝3，∵AB）AC）BC ）∴∠B）∠ACB）∠BAC）60°）∵PF∥AC）∴∠PFB）∠ACB）60°）∠BPF）∠BAC）60°）∴△PBF是等边三角形）∴BF）FP）BP）3）∴FC）BC）BF）3）由题意，BP）CQ）∴FP）CQ，∵PF∥AC）∴∠DPF）∠DQC，又∠PDF）∠QDC）∴△PFD≌△QCD，∴CD＝DF＝12FC＝32；）2）当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变）分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时）过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB）PF，∵PE⊥BC）∴BE）EF，由（1）知△PFD≌△QCD）CD）DF，∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3，②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE）3）∴当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定、性质和等边三角形的性质.综合运用已知条件并构造辅助线是解题的关键.11．＋1＋5＋BE＋CF＋EF＋C△AEF＋20＋(2) 2＋EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋(3) EF＋FC＋BE【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋2）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋3）由（2）知BE=ED＋CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE＋CF＋EF有怎样的数量关系．试题解析：解：（1＋BE+CF=EF．理由如下：＋AB=AC＋＋＋ABC=＋ACB＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋＋DBC=＋DCB＋＋DB=DC＋＋EF＋BC＋＋＋AEF=＋ABC＋＋AFE=＋ACB＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋AE=AF＋＋等腰三角形有＋ABC＋＋AEF＋＋DEB＋＋DFC＋＋BDC共5个，＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF 的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20＋故答案为：5＋BE+CF=EF＋20＋＋2＋BE+CF=EF＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋EF＋BC＋＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋E BD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋＋等腰三角形有＋BDE＋＋CFD＋＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18＋此时有两个等腰三角形，EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋＋3＋BE＋CF=EF＋由（1）知BE=ED＋＋EF＋BC＋＋＋EDC=＋DCG=＋ACD＋＋CF=DF＋又＋ED＋DF=EF＋＋BE＋CF=EF＋点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．12．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得△ABD））ACD的形状，可得证明结论；（2）根据顶角是36°，可画底角的角平分线，可得答案，根据顶角是108°的等腰三角形，把顶角分成12，可得答案．试题解析：证明：过点A作AD）BC，垂足为D）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，））B=）BAD））C=）CAD）））ABD和△ACD是等腰三角形，∴△ABC是生成三角形；）2）如图：））DEG 与△EFG 都是等腰三角形，△DEF 是生成三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角对等边是判定等腰三角形的方法． 13．（1）8；（2）1.8；（3）1.8或5；（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）根据题意，运用等腰三角形的性质，求得AD 的长，再根据勾股定理求得CD 的长即可；（2）分两种情况进行讨论：当DP⊥AC 时，△ADP 是直角三角形，当PD⊥AD 时，△ADP 是直角三角形，分别根据相似三角形的性质求解即可；（3）分三种情况进行讨论：当PA=PD 时，当AP=AD 时，当AD=PD 时，分别做辅助线构造三角形，运用速度、路程、时间的关系，求得t 的值即可. 试题解析：解：（1））AB ）12 cm ）点D 是AB 的中点 ∴162AD AB cm == ）AC ）BC ，点D 是AB 的中点 ∴CD AB ⊥在Rt ADC ∆中， 8CD ===（2）当APD ∆为直角三角形时，有两种情况，分别为：①当90APD ∠=︒时，即点P 在AC 边上由1122AC DP AD CD ⋅=⋅，得68 4.810DP ⨯==在Rt APD ∆中， 3.6AP ==∴ 3.61.82AP t v === ②当90ADP ∠=︒时，点P 与点C 重合如图，此时， 1052AC t v ===（秒） ∴ 当t 为1.8秒或5秒时，△ADP 是直角三角形．（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形． 14．答案见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．试题解析：解：如图所示：点睛：本题考查了对等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要培养学生的观察能力和画图能力，题型较好，难度也不大． 15．(1) 作图见解析. (2)30° 【解析】试题分析：（1）分别作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E）OB 于F. ）2）由轴对称的性质知OP=OC）OP=OD ，且）PEF 周长的最小值是CD ，所以dqga4OCD 是等边三角形，而）COD=2∠EOF ，由此即可求解.试题解析：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E）OB于F.此时，△PEF的周长最小．(2)根据轴对称的性质得，OC=OP=OD））COE=∠POE，∠DOF=∠POF，）PEF的周长的最小值=CD）因为OP=4）△PEF的周长的最小值为4）所以）OCD是等边三角形.因为∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=12∠COD=30°.16．＋证明见解析②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形【解析】试题分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．③由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．试题解析：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。