复数概念及公式总结

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结

i1.虚数单位:

2它的平方等于-1，即 i,,1

2ii2. 与,1的关系: 就是,1的一个平方根，即方程x=,1的一个根，方

2i程x=,1的另一个根是,

4n+14n+24n+34ni新疆王新敞奎屯iiii3. 的周期性:=i, =-1, =-i, =1

b4.复数的定义:形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数aabiabR，,(,) 新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 zabiabR,，,(,)

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数，当且abiabR，,(,)仅当b=0时，复数a+bi(a、b?R)是实数a;当b?0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b?0时，z=bi叫做纯虚数;a?0且b?0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.

6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们

新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯就说这两个复数相等如果a，b，c，d?R，那么a+bi=c+dia=c，b=d ,

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴:

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b?R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯轴实轴上的点都表示实数

新疆王新敞奎屯(1)实轴上的点都表示实数

新疆王新敞奎屯(2)虚轴上的点都表示纯虚数

(3)原点对应的有序实数对为(0，0)

设z=a+bi，z=c+di(a、b、c、d?R)是任意两个复数， 12

8(复数z与z的加法运算律:z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 1212

9.复数z与z的减法运算律:z-z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 1212

10.复数z与z的乘法运算律:zz= (a+bi)(c+di)=(ac,bd)+(bc+ad)i. 1?122

，,acbdbcad，iz 11.复数z与z的除法运算律:z=(a+bi)?(c+di)=(分母实数化) 1?2122222，，cdcd12.共轭复数:当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互

新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。例如=3，5i与=3,5i互为共轭复数 zzzz

13. 共轭复数的性质

(1)实数的共轭复数仍然是它本身

22(2) Z,Z,Z,Z

(3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义: 15几个常用结论

22 (1)，(2) ，，，，1，i,2i1,i,,2i，，复数 Z,a，bia,b,R 一一对应 11，i一一对应 ,,i,i (3)， (4) i1,i,,,,

OZ向量点Z(a,b) 一一对应 1,i,,i16.复数的模: (5) 1，i 2222Z,a，bZ,a，bi复数的模 (6)，，，， a，bia,bi,a，b