2014北京海淀高考一模数学理
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海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理科) 2014.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}
2
11,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧
⎫===∈=⎨⎬⎩⎭
I 集合则( ).
A .⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧21 B .{}2 C .{}1 D .φ
2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为( ). A .(1,0) B .(0,2) C .()1,0 D .(2,0)
3.下列函数()f x 图象中,满足1()(3)(2)4
f f f >>的只可能是( ).
A B C D
4.已知直线l 的参数方程为1,
1x t y t =+⎧⎨=-+⎩
(t 为参数),则直线l 的普通方程为( ).
A .02=--y x
B .02=+-y x
C .0x y +=
D .02=-+y x
5.在数列{}n a 中,“12,2,3,4,n n a a n -==L ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ). A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
6.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( ).
A . 4种
B .5种
C .6种
D .9种
7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为( ). A .1 B .2 C .3
D .4
8.已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln(1)y x =+上,若线段AB 与曲线:M 1
y x
=
相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ,则( ). A .0a = B .1a = C .2a = D .2a >
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______.
10.函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.
11.如图,AB 切圆O 于B
,AB =1AC =,则AO 的长为_______.
12.已知圆04
1
2
2
=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切,则=m _______.
13.如图,已知ABC ∆中,30BAD ∠=o ,45CAD ∠=o ,3,2AB AC ==,则BD
DC
=_____________.
14.已知向量序列:123,,,,,n a a a a L L 满足如下条件:
1||4||2==a d ,121⋅=-a d 且1n n --=a a d (2,3,4,n =L ).
若10k ⋅=a a ,则k =________;123||,||,||,,||,n a a a a L L 中第_____项最小.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
已知函数ππ
()2sin
cos 66
f x x x =,过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()
g t . (Ⅰ)求(0)g 的值;
(II )写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33
[,]22
-上的取值范围.
A
B
C
主视图
侧视图
16.(本小题满分13分)
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:
甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;
(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
17.(本小题满分14分)
如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =30°,∠ABC =90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 于F ,将
∆ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示.
(Ⅰ)求证:AE ⊥平面BCD ; (Ⅱ)求二面角A –DC –B 的余弦值.
(Ⅲ)在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.
1
图 图
2
18.(本小题满分13分)
已知曲线:e ax
C y =.
(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+,求实数a 和m 的值;
(Ⅱ)对任意实数a ,曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方,求实数b 的取值范围.