固体物理思考题答案
固体物理思考题答案
【篇一：黄昆版固体物理学课后答案解析答案】
>黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）
第一章晶体结构
1.1、
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， x?（1）对于简立方结构：（见教材p2图1-1） a=2r， v=
4?ra
3
nvvc
43
3
?r，vc=a，n=1 4?3?r
33
3
3
∴x?3
8r
?
?6
?0.52
433
x
（2）对于体心立方：晶胞的体对角线bg=3a?4r?a?n=2, vc=a3
2?
43a
3
?r
3
2??(3
43
3
∴x??
3
38
43
??0.68
（3）对于面心立方：晶胞面对角线bc=2a?4r,?a?22r n=4，vc=a3 4?x?
43a
3
?r
3
4??
43
?r
3
(22r)
3
?
26
??0.74
（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：s=6?s?abo?6?晶胞的体积：v=s?c?
16?r2r
a?asin60
2
3
=
332
a
2
332
a?
2
83
a?32a?24
3
2r
n=1212?
2443
?2?
3
1226
?3=6个
3
?
??0.74
（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线bg=3a?4?2r?a?
8r3
n=8, vc=a3
1
8?x?
43a
3
?r
3
8??
8
43
3
?rr
3
3
?
3?6
?0.34
33
1.2、试证：六方密排堆积结构中
81/2?()?1.633 a3c
证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬
球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：
na=nb=no=a=2r.
即图中nabo构成一个正四面体。…
1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a????
?a1?2(j?k)?
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?k)
2?
a????a??32(i?j)?
?2???
(a2?a3) 由倒格子基矢的定义：b1??
0,
a???
???a1?(a2?a3)?,
2
a2,
a2
,
a2a
a
3
?i,?j,0,a2,
?ka20?a
2
0,a2,
a??
?，a2?a3?,242
a2,
4
???
(?i?j?k)
2???????4a2?
?b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j?k)
a4a
?2?b2?
a
同理可得：
?2?b3?
a
???(i?j?k)???(i?j?k)
即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。
???a??
?a1?2(?i?j?k)?
a?????
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?j?k) 2?
a?????a??32(i?j?k)?
2
?2???
由倒格子基矢的定义：b1?(a2?a3)
?
?
???
???a1?(a2?a3)?
a2,,
,
a2?
,,
a2a2?a2
a
3
?i,
a??
?，a2?a3?,22
a2,?
?
j,a2,,
?ka2?a2?a
2
a2a2
a2,
2
??(j?k)
a2
a2
2?2a??2???
?b1?2??3?(j?k)?(j?k)
a2a
?2?b2?
a
同理可得：
?2?b3?
a
??(i?k)??(i?j)
即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
????
1.5、证明倒格子矢量g?h1b1?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为
(h1h2h3)的晶面系。
证明：
????????a?a????a3???a3
12
因为ca?，g?h1b1?h2b2?h3b3 ?,cb??
h1h3h2h3
?
gh1h2h3
??
利用ai?bj?2??ij，容易证明?
gh1h2h3
?????ca?0
????
?cb?0
????
所以，倒格子矢量g?h1b1?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为
(h1h2h3)的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d?a其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。?????????
解：简单立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak
2
2
(h?k?l)，
222
?????????a2?a3a3?a1a1?a2
由倒格子基矢的定义：b1?2?，b2?2?，b3?2?
a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3
3
?2???2???2??
倒格子基矢：b1?i,b2?j,b3?k
aaa?????2??2??2??
倒格子矢量：g?hb1?kb2?lb3，g?hi?kj?lk
aaa
2?
晶面族(hkl)的面间距：d??
g
1
h2k2l2()?()?()aaa
d?
2
a
2
22
2
(h?k?l)
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）
面的交线的晶向。
解：(111)
???
1、(111)面与(100)面的交线的ab，ab平移，a与o点重合，b点位矢：rb??aj?ak， ??????
(111)面与(100)面的交线的晶向ab??aj?ak，晶向指数[011]。
(111)
2、(111)面与(110)面的交线的ab，将ab平移，a与原点o重合，b点位矢：rb??ai?aj，(111)面
??????
与(110)面的交线的晶向ab??ai?aj，晶向指数[110]。
???
4
第二章固体结合
2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（??2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2n。＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马
德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有
?r
?
?
j
1111?(?1)
?2????.. .]rijr2r3r4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为
111
??2[1????...]
2
3
4
??n(1?x)?x?
当x=1时，有1?
x
2
x
12?
?
13
x
3
3
?14
?
x
4
4
?...
?...??n2????n
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为
??
u(r)??m?n
r
r
试求：（1）平衡间距r0；
（2）结合能w（单个原子的）；
（3）体弹性模量；
5
【篇二：固体物理简答题及答案】
成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。
答案：离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体；
共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键；
金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时，失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原子聚合起来的作用。
范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。
2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？
答案：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由n个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3n个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3n个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3n.
3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
答案：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频
率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
4. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?
答案：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
5. 何谓极化声子? 何谓电磁声子?
答案：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.
由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.
6、什么是声子？
答案：晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。
7、什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义。
答案：德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，有1个纵波和2个独立的横波。
计算结果表明低温极限下：
—与温度的3次方成正比。温度愈低，德拜近似愈
好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。
8、什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。
按温度的指数形式降低，与实验结果
不符。爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。
9、根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性；
答案：对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体：从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力。对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带，所以在电场的作用下没有电流产生。
10、简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。
答案：考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：
期性势场的起伏量
态和。周作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状的零级能量相等时，一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。即：
，或者，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列的能带。
11、简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。
12、什么是空穴？
答案：一个空的
状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷，以状态电子速度运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。
13、将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？答案：电子状态变化基本公式：; 电子的速度：
14 、简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。
答案：导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因此产生电流。
15、简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。
答案：有外场e时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。
16、从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。
答案：在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量
泡利原理的限制不能参与热激发，只有在
附近约，由于受到范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子的热容量与温度一次方成正比。 0 f e 0 f e tk
b ~ q
17、为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？
答案：在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量
泡利原理的限制不能参与热激发，只有在
附近约，由于受到范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。
18、为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？答案：在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的3次方趋于零，而电子的热容量与温度1次方成正比，随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。
19、为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？
答案：温度时：电子的平均能量（平均动能）：，电子仍具有相当大的平均能量。因为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。
20、简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素mn、fe、co和ni 具有较高的电子热容量为例说明费密能级附近能态密度的情况。
答案：许多金属的基本性质取决于能量在附近的电子，电子的热容量
与成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近
能态密度的信息。 )( 0 f en 过渡元素mn、fe、co和ni具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。过渡元素的特征是d壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的d能带。由于原子的d态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是5 重简并的，所以形成的5个能带发生一定的重叠，使得d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只是部分填充d能带，所以费密能级位于d 能带内。
21、简述金属接触电势差的形成？
答案：两块不同的金属a和b相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平衡后，具有相同的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。
22、以对si掺入as后形成的n型半导体为例，简述掺杂对半导体导电能力的影响。
答案：对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。在si 掺入as后形成的n型半导体，杂质在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激发到导带中形成电子载流子。
23、半导体本征边吸收光的波长为多少？答案：本征光吸收光子的能量满足： , 长波极限：——本征吸收边。
24、简述半导体本征激发的特点。
答案：在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产生一个电子同时将产生一个空穴: 有：
由，，
其中为带隙宽度。
因为：
，因此本征激发随温度变化更为陡峭。在这个范围里，测量和分析载流
子随温度的变化关系，可以确定带隙宽度。
25、什么是非平衡载流子？
答案：在热平衡下，半导体中的杂质电子，或价带中的电子通过吸收热能，激发到导带中（载流子的产生），同时电子又可以回落到价带中和空穴发生复合（载流子的复合），最后达到平衡时，载流子的产生率和复合率相等，电子和空穴的浓度有了一定的分布。电子和空穴的浓度满足：在外界的影响作用下，电子和空穴浓度可能偏离平衡值。如本征光吸收将产生电子—空
穴对。即有：——称为非平衡载流子
26、以在p型材料形成的pn结为例，简述光生伏特效应?
答案：利用扩散掺杂的方法，在p型半导体的表面形成一个薄的n 型层，在光的照射下，在pn结及其附近产生大量的电子和空穴对，在pn结附近一个扩散长度内，电子－空穴对还没有复合就有可能通过扩散达到pn结的强电场区域（pn结自建电场），电子将运动到n型区，空穴将运动到p型区，使n区带负电、p区带正电，在上下电极产生电压——光生伏特效应。
27、什么是异质结的窗口效应？
答案：光子能量小于宽带隙的n型层，即，可以透过n型层，在带隙较窄的p型层被吸收。用同质pn结制作光电池，入射光的大部分在表面一层被吸收，由于表面缺陷引起的表面复合和高掺杂层中
载流子寿命低等因素，使得一些电子－空穴对不能到达强电场以前，就发生了复合，降低了太阳能电池的效率。利用异质结的窗口效应，可以有效地减小电子－空穴的复合率，提高太阳能电池的光电转换效率。
28、对于掺杂的n型半导体在热平衡下，为什么导带中电子的浓度越高，价带中空穴的浓度越低？
答案：半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。导带中电子浓度：和价带中空穴浓度：
，
在n型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，电
子跃迁与价带中空穴发生复合的几率越大，因此满带中的空穴越少。
29、什么是本征光吸收跃迁和电子－空穴复合发光？
答案：本征光吸收：光照可以将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光吸收。电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，发出能量约为带隙宽度的光子。
30、为什么半导体掺杂可以提高其导电能力？
答案：理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带中的空穴。对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带对应的电子共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的能级，杂质能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的导电能力产生大的影响。
【篇三：固体物理课后习题与答案】
ss=txt>1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？
[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级
及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也
就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
[解答] 费米能级
?2
(3n?2)2/3 ，e?2mo
f
其中n单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费密能级降低。
3．为什么温度升高，费米能反而降低？
[解答] 当t?0k时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能
4．为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？
[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与
电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必
然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 0kf?(3n?2)1/3可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能
?23o3?2
22/3(3n?)和e?ef?(3n?2)2/3式看得更清楚。就越大。这一点从e?电子的平均动能e正2m510m0
f
o比于费米能ef ，而费米能又正比于电子浓度n2l3。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。
5．两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？
[解答] 两块同种金属，温度分别为t1和t2，且t1?t2。在这种情况下，温度为t1的金属高于费米
能ef的电子数目，多于温度为t2的金属高于费米能ef的电子数目。两块同种金属接触后，系统的
能量要取最小值，温度为t1的金属高于ef的部分电子将流向温度为t2的金属。温度未达到相等前，
这种流动一直持续，期间，温度为t1的金属失去电子，带正电；温度为t2的金属得到电子，带负电，
两者出现电势差。
ooo
6．为什么价电子的浓度越高，电导率越大？
[解答] 电导?是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径kf?(3n?2)1/3。可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。
7．一金属体积为v，价电子总数为n，以自由电子气模型，（1）在绝热条件下导出电子气体的压强为： p?2u030 ，其中电子气体的基态能量u0?nef 53v
10u05p?。 39v（2）证明电子气体的体积弹性模量k??v(?p/?v)? [解答]
(1) 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功w等于系统内能的增加du，即
du?w??pdv
式中p是电子气的压强。由上式可得p???u ?v
在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由
33?2n0u?u0?nef?n(3?2)2/3 552mv
由此可得到
?u0p???v2u03?22?n(3n?2)2/3?(v)?5/3? 52m33v
p和体积v的关系为（2）体积弹性模量k与压强?pk?? ，将?vv 10u0?p3?225??n(3n?2)2/3?(v)?8/3?? ?v52m339v2
代入体积弹性模量k与压强p和体积v的关系式，得到
k?
10u0 9v
(6?2)1/3
8．每个原子占据的体积为 a，绝对零度时价电子的费米半径为k?，计算每个原子的价电a30
f
子数目。
[解答]在绝对零度时导电电子的费米半径 kf?(3n?)021/3。
(6?2)0现已知一金属导电电子的费米半径 kf?a
1/3，所以，该金属中导电电子的密度
n?2。 a3
a3是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。
第二章晶体的结构习题及答案
1．晶面指数为（123）的晶面abc是离原点o最近的晶面，0a ，0b和0c分别与基矢a1，a2和a3重合，除0点外，0a ，0b ，和0c上是否有格点？若abc面的指数为（234），情况又如何？
[解答] 晶面家族（123）截a1，a2 ，和a3分别为1，2，3等份，abc面是离原点0最近的晶面，0a的长度等于a1长度，0b的长度等于a2的长度的1/2 ，0c的长度等于a3的长度的1/3 ，所以只有a点是格点。若abc面的指数为（234）的晶面族，则a、b、和c
都不是格点。
2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？
[解答] 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。
3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？
[解答] 晶体中原子间距的数量级为10?10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于10?10米。但可见光的波长为7.6 — 4.0?10?7米,是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。
4．温度升高时，衍射角如何变化？x光波长变化时，衍射角如何变化？
[解答] 温度升高时，由于热膨胀，面间距dhkl逐渐变大，由布拉
格反射公式 2dhklsin??n?可知，对应同一级衍射，当x光波长不
变时，面间距dhkl逐渐变大，衍射角?逐渐变小。所以温度升高，衍射角变小。
当温度不变，x光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角?随之变大。
7. 六角晶胞的基矢 a?3a3aai?j, b??ai?j，c?ck。求其倒格基矢。2222
aa32ai?j)?[(?ai?j)?(ck)]?ac。 22222[解答] 晶胞体积
为??a?[b?c]?(
其倒格矢为
a*?2?[b?c]a22??2?[(?ai?j)?(ck)]??(i?j)。 2?22a33ac
2?[c?a]3a22??2?[(ck)?(ai?j)]??(?i?j)。 2?22a3ac
2?[a?b]3aa22??2?[(ai?j)?(?ai?j)]??k。 2?2222c3ac b*?c*?
8．证明以下结构晶面族的面间距：
（1）立方晶系：dhkl?a[h2?k2?l2]?1/2；
（2）正交晶系：dhkl?[()?()?()]h
a2k
b2l
c2?1/2；
[解答]
（1）设沿立方晶系晶轴a,b,c的单位矢量分别为i，j，k，则
正格子基矢为
a?ai， b?aj， c?ak，
倒格子基矢为 a?
*2?2?2?i， b*?j， c*?k。
aaa 图2.6 立方晶胞
与晶面族（hkl）正交的倒格矢khkl?ha*?kb*?lc*。
由晶面间距dhkl与倒格矢khkl 的关系式dhkl?2? khk得 dhkl?a h?k?l222 。
（2）对于正交晶系，晶胞基矢a，b，c相互垂直，但晶格常数a?b?c，设沿晶轴a，b，c的
k，单位矢量分别为i，j，则正格子基矢为 a?ai， b?bj， c?ck， *倒格子基矢为 a?2?2?2?i，b*?j， c*?k。 abc
与晶面族（hkl）正交的倒格矢 khkl?ha*?kb*?lc*。
由晶面间距dhkl与倒格矢khkl 的关系式 dhkl?2? khkl
l
c2?1/2 图2.7 正交晶胞得 dhkl?[()?()?()]h
a2k
b2。
9．求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距。
[解答]面心立方正格子的原胞基矢为
a1?aaa(j?k)， a2?(k?i)， a3?(i?j) 222
由b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2] ， b2? ，b3? ， ???
可得其倒格子基矢为
b1?2?2?2?(?i?j?k) ，b2?(i?j?k) ， b3?(i?j?k) ， aaa
倒格矢kh?
h1b1?h2b2?h3b3