浅析微积分在经济学中的应用

浅析微积分在经济学中的应用

黄尹艺

（四川大学锦城学院，会计2班，130410236）

［摘 要］经济学中的很多经济现象、经济理论都能够用数学知识去解释。本文本着“数学为体，经济为用”的原则，对于微积分在经济学领域中的连续复利、边际分析、弹性分析、最优化问题作一些初步分析。 ［关键词］ 微积分；导数；极限；边际分析；弹性分析

随着数学理论的不断完善和经济的飞速发展，数学与经济学的联系越来越紧密。数学是经济学理论研究的理想工具，借助数学模型研究经济学，具有清晰、深入、严密三大优势。微积分学作为数学的一个基础分支学科，在经济学中有着极为广泛的应用。经济量化分析已成为经济学研究的主要手段。现主要从微积分与经济的相关联系出发，简要讨论微积分在经济学中的应用及其存在的经济学意义。

一、 微积分的基本思想

微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数和几何。内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用。微积分有两个基本想法：其一是微分学，包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数,速度,加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学，包括积分的运算，为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法，引入诸如体积的相关概念。

微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中。

二、 微分在经济学中的应用

在经济学领域中，微积分被运用十分基础和广泛，是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。

1、 极限在经济学中的应用

极限概念是微积分中最基本的概念，在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。比如利用极限解决连续复利问题。

例 设银行存款现值P 和将来值B ，年利率为r ，则t 年后的本利和即将来值为

t r)(1B +=

若一年分n 次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 n n

r P B )1(+= 而t 年后的本利和即将来值为 tn n r

p B )1(+=

当∞→n 时，则t 年后的本利和即将来值为 t tn n pe n

r p B =+=∞→)1(lim 从而现值p 和将来值B 之间的关系为

t pe =B

或者 t Be p -=

现值P 为1，利息r 为100%，1t =，则得 e B =

例子中的极限应用体现了在经济学中当一个数值含有极限的意义即趋向无穷大或0时，利用微积分中的极限的思想去解题可以步骤简化，思路清晰的解决很多经济学的这些问题。

2、导数在经济学中的应用

导数在经济学中的应用是十分广泛的，因为在经济学中很多函数里面都有导数的存在才能去进行一些定量分析进而得出最优化的结果。根据导数的一些性质可以为大家解释一些经济学函数图像的走向问题，为何会出现此种走向等等。导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。

（1）边际分析

在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、边际收益、边际利润等等，从文献《经济应用数学基础（一）微积分》[1]看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题，即把一个经济函数)(x f 的导数)('x f 称为该函数的边际函数，边际函数在某一点的值称为边际值，总成本函数关于产量的导数称为边际成本，其经济含义是：当产量为q 时，再生产一个单位（即1=∆q ）所增加的总成本)(q C ∆；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q 时，再销售一个单位（即1=∆q ）所增加的总收益)(q R ∆；边际利润是指总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q 时，再销售一个单位（即1=∆q ）所增加的总利润)(q L ∆。

例 已知某企业某种产品的收益R （元）是销售量q （吨）的函数201.0200)(q q q R -=

求销售50吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。

解：依题意得，销售q 吨产品的总收益函数为q q R 02.0200)('-=

因此，销售50吨该产品的边际收益为)(1995002.0200)50('元=⨯-=R

其经济含义是：

当销售量为50吨时，再增加一吨（即1=∆q ）所增加的总收益是199元。

（2）弹性分析

在文献《财会数学》[2]中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。

在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。

①需求弹性：对于需求函数)(p f Q =,由于价格上涨时，商品的需求函数)(p f Q =为单调减函数，p ∆与Q ∆异号，所以特殊定义需求对价格的弹性函数为)

()(')(p f p p f p ⋅-=η。

例 设某商品的需求函数为e p Q 5-=

，求需求弹性函数；7,5,3===p p p 的需求弹性。

解： 5

)()(')(p p f p p f p =⋅-=η 16.05

3)3(<==η，说明当3=p 时，价格上涨%1，需求减少%6.0，需求变动的幅度小于价格变动的幅度； 115

5)5(===η，说明当5=p 时，价格上涨%1，需求也减少%1，需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的； 14.157)7(>==

η，说明当7=p 时，价格上涨%1，需求减少%4.1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

②收益弹性：收益R 是商品价格p 与销售量Q 的乘积，所以，在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。若1<η时，价格上涨（或下降）%1，收益增加（或减少）)%1(η-；若1=η时，价格变动%1，收益不变；若1>η时，价格上涨（或下降）%1，收益减少（或增加）%1η-。

3、积分在经济学中的应用

积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。下面可以利用积分来解决最优化问题。

例 设生产x 个产品的边际成本x x C 2100)('+=，其固定成本为10000=C 元,产品的单价规定为500元。假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。

解：总成本函数为1000100)2100()(200++=++=⎰x x C dt t x C x

总收益函数为x x R 500)(=

总利润1000400)()()(2

--=-=x x x C x R x L

x x L 2400)('-=，令0)('=x L ，得200=x 02)200("<-=L

∴当生产量为200个时，利润最大