一个问题的简证及探究
斯坦纳定理的简证及推广
斯坦纳定理的简证及推广作者：何正权来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第01期若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”, 在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.定理两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:AB=AC.分析结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.证明过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H,因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以所以所以CH=BD.因为BD=CE,所以CH=CE,又点H在CE上,所以点H与点E重合.所以∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.所以三角形ABC是等腰三角形.上面过B、C、D三点作一个辅助圆后,把角平分线与弧之间的关系紧密联系,从而使弧与CE的交点H和点E之间的关系成为解题的主线,然后证得点H与点E 重合,问题获得解决,这就应用了反证法中“同一法”的思想.经过这一证明,在相同条件下,图中许多关系非常明显,若用命题形式表达出来,则有以下两个命题尤为重要.命题1 三角形中两内角平分线相等,则角平分线与对边的交点的连线平行于第三边.已知:如图2,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:DE∥BC.证明由以上定理的证明得△ABC是等腰三角形,易证∠1=∠2.所以 PB=PC.因为BD=CE,所以PE=PD,所以∠3=∠PED.因为∠EPD=∠CPB,所以∠1=∠3,所以DE∥BC.此命题是在定理的基础上作出的进一步推理,只要满足三角形两内角平分线相等,则推得线段之间的平行关系,在相关三角形问题的证明中能起到条件转换的作用,可使一部分问题简化.命题2 对角线平分两锐角且相等的四边形是等腰梯形.已知:如图3,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线, BD平分锐角∠ABC. CA平分锐角∠DCB,且BD=AC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明延长BA、CD相交于点F.根据定理易得BF=CF.由命题1可证得AD∥BC.所以∠FAD=∠ABC,∠FDA=∠DCB.因为∠ABC=∠DCB,所以∠FAD=∠FDA,所以AF=FD,所以BF-AF=CF-FD,所以AB=CD.即四边形ABCD是等腰梯形.此题与前面问题相比不同之处是,三角形中两内角已经隐含了角为锐角的条件,所以扩充到四边形中必须把锐角这一条件补出,否则条件被放宽,导致命题的结论不成立.这个定理和相关命题的证明,应用了圆和三角形的许多重要性质,分析这些问题的思考和解决过程,说明认真观察图形、分析问题找到相互之间的联系是使问题得到解决的前提,只要加以训练,有助于提高应用圆的一些性质和定理解决角相等、线段相等、两直线平行、垂直等问题,不断让解综合题的能力得到加强,对复杂的问题,可以大胆地对各种量相互之间的联系作出某些猜想,形成命题,最终再努力寻求解决途径,促使自已专业知识不断发展.参考文献[1] 刘晓玫,章飞. 九年级数学(上)[M].北京:北京师范大学出版社,2007:6.[ZK)][2] 朱德祥.初等几何研究[M].北京:高等教育出版社出版,1995:30.[ZK)][3] 徐彦明.也谈斯坦纳—雷米欧斯定理的证明[J].中小学数学(初中教师版),2003,(12).[4] 施联华.斯坦纳—莱默斯定理[J].中学数学教学参考(学生版),2003,(12).作者简介:何正权,男,汉族,贵州威宁人,中学一级教师.。
科学研究方法：如何从简单现象中挖掘科学问题
科学研究方法：如何从简单现象中挖掘科学问题科学研究方法：如何从简单现象中挖掘科学问题众所周知，科学研究是长期进行的，需要不断地发现和解决问题。
而且，在解决问题的同时，还需要不断地寻找新的问题，以推动科学的发展。
在研究中，有些问题非常复杂，需要大量的时间和资源才能进行深入的研究。
但是，也有一些问题是从简单现象中发现的，并且这些问题也有着非常重要的科学意义。
本文将深入探讨如何从简单现象中挖掘科学问题，并介绍科学研究的方法。
一、观察科学研究的第一步是观察，只有通过观察才能发现问题。
观察不仅是科学研究的基础，同时也是重要的技能。
一个好的观察者能够发现大多数人忽视的东西。
因此，在进行科学研究时，我们需要学会如何进行细致的观察。
首先，观察需要时刻保持警觉，要时刻关注周围的环境和现象。
其次，需要注意细节。
细节是观察的重点，因为细节会提供关键的线索。
例如，我们在观察一只昆虫时，不仅要注意昆虫的形态和色彩，还要注意其身上是否有血液或毛发等细节。
另外，我们还需要注意观察的角度和视角。
有时候，从不同的角度观察同一个问题，会发现不同的细节。
对于从简单现象中发现科学问题，观察就尤为重要。
我们可以从生活中最简单的现象中开始，例如水的流动、物体的运动等等。
通过对这些现象进行观察，我们可以发现其中的规律，并且构思科学问题。
二、提出问题发现科学问题的第二步是提出问题。
在很多情况下，我们可能会注意到一些奇怪的现象，但我们不知道如何解释这些现象。
这就需要我们提出问题，并进行猜测或推理。
在提出问题时，需要考虑以下几个方面：1、问题的科学性。
研究的问题必须是科学的，也就是说要符合科学的基本原则和标准。
例如，问题必须能够被证实或证伪，必须有足够的证据支持。
2、问题的可操作性。
问题必须能够被量化和操作，只有符合这个条件的问题才能提供准确的答案。
3、问题的重要性。
问题必须有一定的重要性，能够引起人们的关注，并且具有一定的启示意义。
例如，我们可以通过观察发现一片林地中树木的高度不同，而且树木的高度和周围的环境因素也有较大的关联。
圆内过定点弦问题一个猜想的简证
圆内过定点弦问题一个猜想的简证
马殿荣
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】文阐述圆内过定点三弦的一个有趣性质,并经推演给出证明,表述较为纷繁;同时提出一个猜想：设☉O半径为r,P为圆内一定点（OP=d）,过P作n条弦
A1B1,A2B2,…,AnBn,每相邻的两条弦的夹角都是（180°）/n,
【总页数】2页(P47-48)
【作者】马殿荣
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.与圆、圆锥曲线切线、切点弦有关的定点、定直线问题解法浅探 [J], 杨兵
2.圆与椭圆内定点分弦成定比问题的探究 [J], 刘娟
3.圆内过定点三弦问题 [J], 刘步松
4.构造圆方程求解弦对定点张直角的问题 [J], 董永芳;刘忠浪
5.圆内过定点多弦问题研究 [J], 孔志文
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初中物理简答题答题方法
简答题答题方法简答题是通常围绕某个物理现象或通过一段阅读材料背景材料，借助问题的形式，要求考生书面简述的一种题型。
简答题既能有效地考查同学们对初中物理“双基”（基本知识，基本技能）的掌握程度，又能很好地考查同学们分析问题、合理选择信息以及应用物理知识解决实际问题的能力。
简答题一般着重考查学生分析问题、合理选择信息和应用物理知识解决实际问题的能力,要求学生能活学活用,思维开放,有一定的综合能力。
解答时要使用物理语言做针对性的回答。
语言要精练,观点要明确,条理要清楚,内容要完整。
不少学生对一些简答题“似曾相识”,但又不能用合适的语言或物理方法将它们清楚地表述出来,普遍感到头痛。
学生一是限于初中的语文水平,二是逻辑思维能力较弱,对解答问答题有据不能依,有理不能用。
尤其对物理概念、定律、现象和过程等抓不到对问题的实际性分析和概括,无法用文字或语言贯通起来,甚至即使作业做了,也无法领会其要领。
这表明学生的分析能力、表达能力有待提高。
所以教师应在平时教学中要搞好问答题的强化训练。
首先要明确简答题的特点：??? 简答题侧重考查学生运用知识和方法分析实际问题的能力、推理能力以及文字组织与表达能力等。
简答题通常是用生活化的语言陈述一个客观事实或物理现象，设问指向性清晰，通常用得比较多的是解释这种现象。
(1)学生运用所学的物理知识，能用简洁、严谨的语言正确解释生活中的物理现象。
(2)简答题不宜直接取用教材的内容让学生作答，要避免答案就在书上的简答题，以免导致学生死记硬背。
简答题要有利于培养学生善于观察、勤于思考的良好习惯。
(3)可以从不同角度、不同方向考查学生对物理概念和规律的理解和运用，能对考生的答题做出有层次的评价，更真实地反映学生的能力水平。
其次清楚学生在回答问题是容易出现的错误：1.知识点不明确：2.逻辑关系混乱：3.表述不到位：通过以上的分析做好简答题首先要明确学习目标：每一节复习课的定位是非常重要的，只有明确的目标才能让学生知道努力的方向。
问题83的纯几何证法
学教育 口号 ， 的内容很丰 富 ， 国引进并 写入 《 准》 育 ， 它 我 标 ， 更关 注的是学生要 了解数学 是什么 ， 数学对 人类历
无疑是有意义 、 有价值 的． 但这里有个值 得思考 的问题 ： 史 的作用 ， 要对数学有好奇心 ， 要有学好数学 的 自信心 ，
将与人合作 、 交流 ， 以及 形成评 价与反思 意识作 为解决 形成实事求是的态度 ， 培养独立思考 的习惯． 问题的 目标是否妥当？因为合作 、 流 、 交 评价 、 反思在知 《 标准》 提出 了具体的学段 目标 ， 对每个知识点如何 将学段 识与技 能 、 数学思 考 中也是 需要 的 ， 可以说是数学 教育 落实 总体 目标的 四个方面作 了比较详细的说 明． 必须贯穿在每个教学过 程中 的． 里如果能够 更深入地 目标与 以前大 纲 中的知识 要求 进行 比较 后可 以发现 ， 这 研究 问题解 决 ， 将它的一些 教育 价值作为 目标 ， 并 会更 《 标准》 更注重 知识的习得过 程 ， 知识学 习的必要性 ， 学
●形 成解决问题 的一些基本 策略 ， 体验 解决 问题策
●形成 实事 求是 的 态度 以及进行 质疑和独 立思考
这里 ， 有几个值得 推崇 的地 方 ： 好奇心 、 求知 欲 、 体 验、 自信心 、 数学的价值 等是我们 以前 的教 学 中容易忽
能综合运 用所学的知识和技能解决 问题 ， 发展应用意识． 的 习惯 ． 略的多样性 ， 发展 实践能力和创新精神 ．
兴趣 ， 树立 学好数 学 的信心 ， 到 思想 品德教 育 ” 受 的要 数学教育家 、 教研员 、 教师 ， 以及社会各 界关 心数学教育 求， 但不全 面 ， 也不具体 ． 《 标准 》 比较 全面地提 出了情感 的人士 ， 出了许 多不 同的意见． 提 这是我 国从来没有出现 与态度方面 的 目标——
基于问题的探究性学习——“数列的概念及简单表示”教学实录与反思
基于问题的探究性学习———“数列的概念及简单表示”教学实录与反思夏 朴 （江苏省常熟市浒浦高级中学 ２１５５１２） 作者简介：夏朴，江苏省常熟市浒浦高级中学数学教师，中学一级教师，常熟市优秀教育工作者，曾获常熟市高中数学青年教师评优课二等奖，苏州市中小学教师命题大赛数学学科二等奖．在省级以上刊物发表多篇论文．在教学实践中，逐渐形成了“严谨、灵动”的教学风格．１ 学情分析本节课授课班级为本校高一（７）班，学生基础较好，有一定的观察、辨析、探究能力，但探究问题的思维深度、广度相对薄弱．学生已经学习了“函数的概念与基本初等函数”，对函数的概念、表示方法和性质有了较深刻的认识，具备了抽象与概括、类比与归纳能力，这为学生学习数列概念创造了良好条件．２ 教材分析“数列的概念及简单表示”是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修５第二章的起始课，是继函数的概念、性质和几个连续的基本初等函数模型之后学习的一类新颖的、离散型的函数模型，是函数概念和性质的进一步深化与运用．通过本节课的学习，让学生了解数列是一种特殊的函数，将函数的研究方法类比迁移到数列之中，从而深化对数列本质的理解，这为研究等差、等比数列做好铺垫．教学目标 （１）了解数列的概念、表示、分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；（２）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式．教学重点 了解数列的概念及其表示方法，理解数列是一种特殊的函数．教学难点 如何理解数列是一种特殊的函数．３ 教学实录３．１ 创设情境，引入概念情境１ 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过三角形数：１，３，６，１０，１５，…；类似地，１，４，９，１６，２５，…被称为正方形数．情境２ 正偶数从小到大排列如下：２，４，６，８，１０，…．情境３ 某种细胞，如果每个细胞每小时分裂为２个，那么每过１小时，１个细胞分裂的个数依次为：１，２，４，８，１６，…．情境４ “一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为１２，１４，１８，１１６，１３２，…．情境５ 从１９８４年到２０１２年，我国共参加了８次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为１５，５，１６，１６，２８，３２，５１，３８．情境６ 最近５天常熟市的最低气温（单位：摄氏度）依次是１．１，－１．２，２．３，－０．４，－０．８．师：请同学们观察上面的几组对象，这些对象有什么特点？生１：好像都是有关数字的，有正数也有负数．师：很好！你观察得很仔细．生２：我觉得每组数字都呈现一定的规律．生３：我表示反对，你看情境５和６中的数字应该没有任何规律．师：生２，你为什么觉得有规律呢？生２：情境１，２，３，４中通过前面几个数字，按照一定的规律，就能知道后面的数字．师：生３，那么你为什么又说没有规律呢？生３：比如情境５，虽然我们知道了前８次的奥运会金牌数，但我们无法预知２０１６年里约奥运会中国代表队能得几枚金牌．师：两个人的回答都非常好．看来“有规律”并不是这些对象的共同特征，那么它们究竟有什么共同特征呢？我们继续观察，请大家思考能否将数字随意调换？生４：肯定不能，它们都是有次序的．师：非常好！那么我们就把这种按照一定次序排列的一列数称为数列．３．２ 辨析探究，深化概念问题１ 请大家想想对于数列的概念我们要注·８３· 中学数学月刊 ２０１５年第９期意什么？生５：数列是一列数，数列中的数有一定次序．问题２ 根据定义，１，２，３，４，５和５，４，３，２，１表示同一数列吗？生６：它们不是同一数列，因为数字的排列次序不同．师：那么集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝是同一集合吗？生６：相同，因为集合中的元素具有无序性！师：那么２，２，２，２，２是数列吗？生７：是数列，满足数列的定义．问题３ ｛２，２，２，２，２｝是集合吗？数列中的项与集合中的元素有无区别？生７：不是，因为集合中的元素具有互异性！数列中的数可以重复，而集合中的元素不可以重复；数列中的项是数，而集合中的元素可以是数，也可以不是数．师：由此可见，数列中的数是可以重复出现的．数列的一般形式可以写成犪１，犪２，犪３，…，犪狀，…，简记为｛犪狀｝；数列中的每个数都叫做这个数列的项；犪１称为数列｛犪狀｝的第１项（或称为首项），犪２称为第２项，…，犪狀称为第狀项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．问题４ 怎样表示一个数列呢？你能用图象表示数列吗？请你以情境２和５为例．（学生很快作出了图象）师：你发现了什么？这个数列可以用图象来表示，也可以用列表来表示．问题５ 我们上学期学过的可以用图象和列表来表示的是什么？生：函数！师：数列是函数吗？如何判断是否是函数？生８：要说明它是由一个数集到另一个数集的映射．问题６ 数列可以办到吗？数列与函数有关系吗？生９：数列中的每一个项都对应着唯一确定的项，１对应犪１，２对应犪２，……，狀对应犪狀，所以数列是函数．师：函数有定义域，那么数列的定义域是什么呢？生：定义域是正整数集．师：是吗？生１０：我认为定义域是正整数集或｛１，２，３，…，狀｝，例如情境２是无穷数列，它的定义域是正整数集；情境６是有穷数列，它的定义域就是｛１，２，３，４，５｝．师：回答得相当棒！数列可以看成以正整数集犖 （或它的有限子集｛１，２，…，犽｝）为定义域的函数犪狀＝犳（狀），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数狔＝犳（狓），如果犳（犻）（犻＝１，２，３，…）有意义，那么我们可以得到一个数列犳（１），犳（２），犳（３），…，犳（狀），…．同学们再想想，函数可以用解析式来表示，那么数列可以吗？比如说情境２．生１１：可以用２狀来表示，这样就可以建立从序号狀到犪狀的函数．师：这个同学的理解能力非常强！一般地，如果一个数列｛犪狀｝的第狀项与序号狀之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式就是犪狀与狀之间的函数关系式．因此，我们说数列是一种特殊的函数．问题７ 每一个数列都有通项公式吗？通项公式唯一吗？生１２：情境５和６是数列，但它们没有通项公式．生１３：我觉得通项公式不唯一．师：谁能举例说明生１３的观点？生１４：如数列“－１，１，－１，１，－１，１，…”，可以用分段函数犪狀＝－１，狀为正奇数，１， 狀｛为正偶数来表示，也可以用犪狀＝（－１）狀来表示．生１５：还可以用犪狀＝ｃｏｓ狀π来表示．３．３ 尝试运用，巩固概念例１ 已知数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝２狀－１．（１）用列表法写出这个数列的前５项，并作出图象；（２）写出这个数列的第１０项；（３）２００５是这个数列的项吗？２００６呢？例２ 写出下面数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（１）１，－１２，１３，－１４； （２）０，２，０，２．变式 写出下面数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（１）２１＋１２×３，２２＋１３×４，２３＋１４×５，２４＋１５×６；（２）７，７７，７７７，７７７７．３．４ 课堂小结、课后作业（略）４ 教学反思４．１ 精心创设情境，贴近学生思维数学概念的教学离不开课堂情境，它是教学的基础和起点．殷伟康老师认为：数学课堂情境的引入是有效教学过程的一个重要环节，数学教学活动能否成功，关键要看教师设置的情境能否调动学生的思维，能否激发学生的学习兴趣，能否让学生产生学·９３·２０１５年第９期 中学数学月刊 编者按：为借鉴名校名师高三数学复习经验，更好地指导高三数学复习，从本期开始，我们分别约请江苏省梁丰高级中学、江苏省靖江高级中学、苏州市第一中学、苏州市教育局教研室、无锡市第一中学、江苏省苏州中学和江苏省锡山高级中学七位正高级或特级教师，结合所在学校的实际情况，介绍高三数学复习的理念、方法、策略和经验，以飨读者．高三数学一轮高效复习的三个策略———以《高三数学教学与测试》的使用为例顾云良 （江苏省梁丰高级中学 ２１５６００） 如何进行高三数学的高效复习，是广大教师一直孜孜不倦探索和实践的话题．众所周知，教学有法，教无定法，贵在得法．因此研究复习工作如何“得法”的问题，是一个常见常新的问题．本文结合多年高三数学教学实践，谈谈笔者的做法与体会．１ “明谋定重”是高效复习的有力保障“明”是指明确高考方向，研究高考动向；“谋”是指科学谋划，制定教学计划；“定”是指依据学情合理确定教学起点；“突”是指教法上突出思想方法，学会融会贯通．这是第一轮复习的总体思路．１．１ 以纲为纲明方向高考导向就是复习的方向，高三教师要认真研读《考试说明》，明确各章节知识点的考查要求及考查等级．认真研究江苏、上海、山东、广东、全国新课标的最新高考试题，了解试卷结构特点，关注它们近三年试题的变化，把握高考脉搏．在每届高三新学期开学前，我市教研室对新一届高三数学教师都进行上岗培训，用上述地区试卷的原题组卷，组织教师参加考试，这一举措有力地推动了教师研究高考，也是我市高考成绩连续多年稳步提高的法宝之一．如此未雨绸缪，方可事半功倍．１．２ 科学合理谋计划每当新学期开学之际，我们都在备课期间认真组织教研活动，集体讨论第一轮复习的总体思路，认真制定教学计划（细化到每天），并在墙上公示．原则上我们每天安排一节新授课和一节讲评课，采用限时作业的形式进行午练（填空题专项训练）；每周安排一次７０分钟和一次２小时的滚动练习（只考查复习过的内容）以检查复习效果；期中考试预留三天复习时间，期末考试预留二周复习时间．１．３ 依据学情定起点因材施教是一切教育教学活动的首要条件，檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪因习的激情，即能否唤醒学生的智慧．因而，有效情境创设是数学课堂学生生成智慧的关键．本节课情境引入应该蕴含数列概念的“本质属性”，接近学生思维的最近发展区，而且是学生感兴趣的生活与数学实例．笔者设计了６个情境引入，有实际生活中的实例，有具有数学文化背景的数学史，有具有人文价值的名句．情境１古希腊毕达哥拉斯学派的三角形数与正方形数，让学生了解数学历史与切身体验数学家的思考过程，感悟数学文化的魅力．情境２是等差数列，情境３，４是等比数列；情境５奥运会金牌数蕴含着对国家的荣誉感，也能更好地激发学生的学习兴趣和建立浓厚的学习氛围；情境１，２，３，４是无穷数列，情境５，６是有穷数列，并且无法写出通项公式；情境５，６用表格的形式呈现，为引导学生说出数列可以用列表的方式表示做好铺垫．这样的设计能让学生更全面地经历知识的发生、发展和深化过程，逐步形成对数列概念的本质理解．４．２ 创设问题情境，诱发学生探究问题是学生学习数学的动力，问题探究性学习就是基于“问题引领课堂”的教学理念，根据教学内容及其要求，创设问题情境，以问题发现、探究和解决来激发学生的求知欲、创造欲，让学生学会主动探究、自主学习、解决问题的一种学习方式．比如通过问题１，２，３的探究，使学生理解数列中的数是有先后次序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的次序不同，就是两个不同的数列；理解数列中的项与集合中的元素的区别，学生能够更好地掌握数列概念中的关键词，更透彻地理解数列概念．通过问题４的探究，画出相应数列的图象，让学生从函数角度分析数列图象的特征，引导学生发现数列是一种特殊的函数，数列也可以用列表、图象和解析式来表示．通过问题６的探究，发现并不是每一个数列都有通项公式，而且通项公式不唯一．这样设置的一系列问题有利于学生参与整个探究过程，经历数列概念的发现、发展过程，逐步完成对数列概念的深化和对知识的内化．本节课的难点是理解数列是一种特殊的函数．学生已经初步掌握了函数的相关概念、性质和研究方法，有了一定的函数思想，如何直观地从函数的观点进行数列的教学是值得我们教师进一步探讨的课题．·０４· 中学数学月刊 ２０１５年第９期。
小学数学重叠问题
小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。
这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。
解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。
一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。
例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。
二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。
以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。
例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。
2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。
在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。
3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。
例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。
三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。
我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。
2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。
如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。
3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。
通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。
四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。
假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。
论文研究过程中发现的问题缩写
论文研究过程中发现的问题缩写1、摘要部分。
请注意不能用简写，除非是常规的简写，如SEM、XRD等。
而要使用简写就必须在前言开始第一次出现时说明清楚。
凡是第一次出现的简写，最好是给予说明，除非是常规的内容，但一般也可给予说明。
2、前言部分，一定要注意语言逻辑性，不可因逻辑的跳跃而使得读者无法理解或者难以理解论文的内容。
3、结果和讨论部分。
避免自圆其说，尽可能找到相关的分析，特别是关系到创新点的地方，否则会引起审稿人极大的怀疑。
另外尽量不要出现maybe、we suppose、we hope之类的字眼。
4、结论部分。
很多人偷懒，简直就是把摘要复制过来当结论，这是很不妥的。
结论部分大可不必写试验过程，而是说明清楚该项研究的结果、意义以及可能的研究前景等便可。
结论部分同时要区别于摘要，侧重于研究的结果和意义，对该领域的前景也可进行必要的描写。
重点讨论研究中新的和重要的发现引出的结论。
不要重复引言或结果部分已提出的数据和资料。
关于试验性研究的讨论，先对主要结果作简要总结，探究导致这些结果的可能机理或解释;将结果与其他相关研究进行比较和对照;说明研究的局限性;探索结果对未来研究和临床实践的意义;如有充实的证据，可陈述新的假设，并清楚表明这些是新假设。
作者应将结果和研究目的联系起来讨论，但避免那些没有资料充分证明的陈述和结论。
避免作出有关经济效益和成本方面的叙述，除非论文中包含了适当的经济学资料并进行了分析。
避免作出“最先发表”的声明，也不要提及尚未完成的工作。
5、参考文献。
外国人特别注重参考文献的书写，因为他们很珍重别人的知识产权，所以他们认为如果我们把这个写错，这是对他们极大的不尊敬。
但是这个又特别容易出错，我记得以前审过的文章还从来没有发现一篇是完全规范的，所以哪怕是一个空格，一个符号都不能出错!更不能把作者名字、篇名等信息搞错。
6、图片的分辩率、标注、单位等不能出错，另外一组图片必须在一页显示，这个很容易出错。
行政管理专业论文范文分享 S市行政服务中心运行中的问题及对策探究
S市行政服务中心运行中的问题及对策探究摘要随着我国经济体制的改革，社会主义市场经济的完善，我国政府逐渐由全能型政府逐渐转向为服务型政府。
提供公共服务是服务型政府的重要职责，因此行政服务中心应运而生。
政服务中心是一个综合性行政服务机构，主要承担着各级政府赋予各类行政服务事项的组织、协调、管理、监督职能，提供规章制度、服务指南、业务操作、服务投诉等具体行政服务事项。
然而，当下公众需求越来越多元化，服务型政府建设的呼声越来越高涨，行政服务中也在建设过程中逐渐暴露出一些弊端。
因此，本文以S市行政服务中也为研究对象，从梳理国内外＂一站式＂政府服务机构的研究现状入手，对其服务现状进行全面分析，并在分类梳理的过程中归纳呈现的问题，通过认真分析研究试图完善解决方案，以提出对S市行政服务中心发展的观点和见解以及切合实际、可行性强的行政策略和建议关键词：电子政务；行政服务中心；问题；对策目录绪论 (4)一、行政服务中心相关概述 (4)（一）行政服务中心概念 (4)（二）行政服务中心功能与作用 (5)1.集中服务，方便群众 (5)2.服务群众，提升水平 (6)3.职能转变，推动廉政 (6)二、S市行政服务中心运行中存在的问题 (7)（一）窗口服务意识不强 (7)（二）监管力度不够 (7)（三）运行条件差 (8)（四）信息透明度不高 (8)三、S市行政服务中心运行中问题的对策 (9)（一）提升工作人员素质 (9)（二）完善监管流程 (10)（三）完善中心运行条件 (11)（四）加大信息公开力度 (11)四、结论 (12)参考文献 (12)绪论本世纪初，随着我国社会民主进程的加速、公民社会的兴起以及政府公共性职能的凸显，公民对公共服务的需求日渐多元化。
为了规范行政许可的设定和实施，保护公民、法人和其他组织的合法权益，维护公共利益和社会秩序，保障和监督行政机关有效实施行政管理，第十届全国人民代表大会常务委员会第四次会议于 2003 年 8 月 27 日通过了《行政许可法》，并自 2004 年 7 月1 日起施行，我国的行政服务中心大都产生于这期间左右。