应用高等数学第6章 线性代数

第6章 线性代数
本章将介绍行列式 、矩阵理论以及线性 方程组的求解方法 ． 矩阵和线性方程的理论在最 优化领域中有着广泛的应用 ． 线性代数是一个全 新的数学领域 ， 我们将体会到和看到无论是在思 维方式和方法上都有着和前面微积分学大不相同 的地方 ， 相信大家会很感兴趣 ．
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第一节
行列式
一 、 n 阶行列式的概念
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当系数行列式不等于零 ， 即
时 ， 方程组有惟一的解
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其中的 Dj （j ＝ １ ， ２ ，… ， n）是把方 程组右边的常数列代替系数行列式 D中的第 j 列得 的 n 阶行列式 ． 当方程组右边的常数 bi （i ＝ １ ， ２ ， … ， n）不全为零时 ， 叫非齐次方程组 ； 当 b１ ＝ b２ ＝ … ＝ bn ＝０ 时 ， 方程组叫齐次方程组 ， 对于齐次方程组有下面的结论
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性质１ 行列式 D的值与它的转置行列式 DT的 值相等 ， 即 D ＝ DT 性质２ 互换行列式的任意两行（列）行列式 的值仅改变符号 ， 即
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性质３ 行列式一行（列）元素的公因子可以 提到行列式符号外面 ． 即
上述等式从左往右是提取公因子 ， 而右往左 就相当于用 k乘行列式 ， 可以乘到行列式内任意 一行（列）上去 ．
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二 、行列式的性质 从以上例题分析我们看出 ， 由于行列式中很 多元素都为零或者说行列式的结构比较特殊才得以 用定义求出了行列式的值 ． 但对于一般的高阶行 列式的计算 ， 单纯用定义的方法在很多时候是不 能解决的 ． 这就有必要进一步研究行列式的性质 ． 在给出性质之前 ， 先定义转置行列式的概念 ．
１ ． 二、三阶行列式 将２２个数 ， 排成的两行 ， 两列的如下的式 子：
叫二阶行列式 ． 构成行列式的数叫行列式的 元素 ． 习惯上用英文字母 D表示行列式 。
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现在来分析三阶行列式右边展开式的特点 ． （１）右边一共有６ 项求代数和 ， 恰好是 ３ ！项 ， 且正、负号各一半 ， 每一项都是取自不同 行 和不同列三个元素的积 ． （２）若把行列式左上角与右下角连线叫主对 角线 ， 右上角与左下角连线为次对角线 ， 则主对 角线以及与主对角线平行的线上的元素的乘积取正 号， 次对角线以及与次对角线平行的线 上的元素乘积取负号 ， 我们把这个规则形象 地称为三阶行列式的对角线法则 ．
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定义６-２ 将行列式 D的行与相应的列对调 ， 所得到的行列式称为行列式 D 的转置行列式 ． 记 为 DT. D与 DT是互为转置的 ， 它们的元素结构有以 下两个特点 ： （１）D与 DT主对角线上的元素都相同 ， 它 们是 a １１ ， a ２２ ， … ， ann ． （２）元素 aij 在 D 中是第 i 行 ， 第 j 列的元 素而在 DT中就是第 j 行 ， 第 i列的元素 ．
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其中构成矩阵的数 aij 称为矩阵第 i 行 ， 第 j 列的元素 ， 通常用大写的英文字母 A ， B … 表示 矩 阵 ， 小写的 a ， b …表示矩阵的元素 ， 上 述矩阵可以简写成
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２ ． n阶行列式的概念 定义 ６-１ 将由 n２个数排成的 n行 ， n列的 如下的式子
叫 n阶行列式
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其中 A１ j ＝ （ － １）１ ＋ jM１ j （j ＝ １ ， ２ ， … ， n）
叫 a １ j 的余子式 ． 它是在 D中划去第一行 和第 j 列元素剩下的元素排成的n － １阶行列式 ． A１ j 叫a１ j 的代数余子式 ． 事实上 ， 在 n 阶行列式中任一个元素 aij 都有自己的代数余子式 。
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三 、行列式的计算
关于行列式的计算 ， 有一个基本的指导思想 ， 就是利用行列式的性质 ， 将行列式中某一行（ 列）元素尽可能多的变成零 ， 然后按此行（列） 展开 ， 当然也可以结合特殊行列式的值计算 ．
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例６-５ 计算下列行列式的值
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四 、克莱姆法则
克莱姆法则
对于 n元线性方程组
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对于 n阶行列式
右边的展开式 ， 与三阶行列式类似可以分析 得出 ， 一共有 n ！项求代数和 ， 每一项都是取 自行 列式中不同行 ， 不同列的 n个元素的积 ， 而 且正、负各一半 ．
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下面我们介绍几个特殊行列式 对角行列式 主对角线以外的元素全为零的 行列式称为对角行列式 ． 三角形行列式 主对角线以上（下）的元素全 为零的行列式称为下（上）三角形行列式 ．
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对于 n元齐次线性方程组
28பைடு நூலகம்
当系数行列式不等于零 ， 即
时方程组只有惟一的零解 ．
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第二节
矩阵及其运算
一 、矩阵的概念 １ ． 矩阵的定义 定义 ６-３ 由 m × n个数 aij （i ＝ １ ， ２ ，… m ， j ＝ １ ， ２ ， … n）排成的一个 m 行 n列的矩形数表 ， 称为 m × n矩阵 ， 记为
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在应用行列式性质之前 ， 我们先约定下列记 号． （１）互换行列式的第 i行（列）与 j 行（列 ）记为 ri ← → rj （ci ← → cj ） （２）第 i行（列）乘数 k加到第 j 行（列）记 为 rj ＋ kri （cj ＋ kci ） （３）第 i行（列）提公因子 k记为 kr i （kci ）
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推论１ 行列式中一行（列）的元素全为零 ， 则此行列式的值为零 ．
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性质４ 行列式中两行（列）对应元素完全相 同 ， 则此行列式的值为零 ．
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推论２ 行列式中有两行（列）对应元素成 比例 ， 则此行列式的值为零 ．
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性质５ 行列式中某一行（列）的各元素都乘 以数 k加到另一行（列）对应元素上 ， 行列式的 值不变 上述各性质 ， 都可以重复使用 ．
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性质６ 行列式 D 的值等于它任意一行（列） 的所有元素与各自的代数余子式乘积之和 ， 即
此性质 ， 我们称为行列式按行（列）展开性 质 ， 这样在计算行列式时 ， 就可以任意选一行（ 列）展开 ， 常常是选择零元素多的行（列）展开 ．
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推论３ 行列式中任意一行（列）的所有元素 与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和 为零