2011年高考总复习数学(大纲版)提能拔高限时训练：34 椭 圆(练习+详细答案)
[高二数学]2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：单元检测—圆锥曲线方程练习 详细答案大纲人教版
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单元检测(八) 圆锥曲线方程(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（ ） A.31 B.33 C.21 D.23 解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c, 则由题意,得2a=2×2b ⇒a=2b ⇒a 2=4b 2⇒a 2=4(a 2-c 2) ⇒e=23. 答案:D2.椭圆12222=+by a x (a>b>0)的焦点为F 1、F 2,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N.若|MN|≤2|F 1F 2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.(0,21］ B.(0,22］ C.［21,1) D.［22,1) 解析:由题意,有|MN|≤2|F 1F 2|⇒c a 2≤2c ⇒a 2≤2c 2⇒a c ≥22,又1<a c ,∴122<≤ac.故选D. 答案:D3.若双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为（ ）A.2B.3C.4D.24解析:双曲线的标准方程为,1163222=-py x故16322p c ++,即1632p c +=.由于抛物线的准线方程为2p x -=,它与x 轴的交点的横坐标为2p-,而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,因此,21632pp =+p>0.解得p=4,故选C. 答案:C4.设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,与x 轴正向的夹角为60°,则||为（ ）A.p 421 B.p 221 C.p 613 D.p 3613 解析:依题意F(2p,0),直线FA 的倾斜角即为FA 与x 轴正向的夹角,所以其斜率k=tan60°=3.故FA 的方程为)2(3p x y -=. 由⎪⎩⎪⎨⎧-==)2(3,22px y px y ,可解得直线与抛物线的交点A 的坐标为))33,6)(3,23(舍去p p p p -, 所以||.221)3()23(22p p p =+=答案:B5.已知倾斜角α≠0的直线l 过椭圆12222=+by a x (a>b>0)的右焦点交椭圆于A 、B 两点,P 为右准线上任意一点,则∠APB 为（ ）A.钝角B.直角C.锐角D.都有可能解析:如图,设M 为AB 的中点,过点M 作MM 1垂直于准线于点M 1,分别过A 、B 作AA 1、BB 1垂直于准线于A 1、B 1两点.则.2||2||2||||2||||||111AB e AB e BF eAF BB AA MM >=+=+= ∴以AB 为直径的圆与右准线相离.∴∠APB 为锐角. 答案:C6.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若FC FB FA ++=0,则||||||++等于（ ）A.9B.6C.4D.3解析:由于抛物线y 2=4x 的焦点坐标为F(1,0), 由||||||++=0,可设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3), 得(x 1-1)+(x 2-1)+(x 3-1)=0,x 1+x 2+x 3=3, 又由抛物线定义知||FA =x 1+1,||FB =x 2+1,||FC =x 3+1,∴||||||++=(x 1+x 2+x 3)+3=6.答案:B7.(2009河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为2的直线l 过双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A.e<2 B.1<e<3 C.1<e<5 D.e>5 解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率a b 必大于2,即ab>2,因此该双曲线的离心率.5)(1222>+=+==aba b a a c e答案:D8.已知双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2］B.(1,2)C.［2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵渐近线x aby =与过焦点F 的直线l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线l 与双曲线的右支交于一个点.∴3≥ab,即c 2=a 2+b 2≥4a 2. ∴e≥2,故选C. 答案:C9.椭圆122212=+b y a x (a 1>b>0)与双曲线122222=-b y a x ,它们的离心率分别为e 1、e 2,以a 1、a 2、b为边长(其中a 1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）A.e 1e 2=1B.e 22-e 12=1C.e 2=e 1D.e 12+e 22=2解析:由题意,知a 12=a 22+b 2,222222122121ba a ab a e +=-=, 又∵,2222222a b a e +=∴e 12e 22=1,即e 1e 2=1. 答案:A10.设e 1,e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足21PF PF ∙=0,则2212221)(e e e e +的值为（ ） A.1 B.21C.2D.不确定 解析:设||1PF =m,||2PF =n,设椭圆的长轴长为2a 1,双曲线的实轴长为2a 2,|F 1F 2|=2c, 则221222144242e a mn cn m a n m -=⇒⎩⎨⎧=+=+, ,442422222222a c mn cn m a n m -=⇒⎩⎨⎧=+=- 由此可得4a 12-4c 2=4c 2-4a 22,即a 12+a 22=2c 2.将11a c e =,22a ee =代入2)()()()(221222212212221=+=+a a c a ca c e e e e ,选C.答案:C11.如图,过抛物线x 2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2+(y-p)2=p 2于点A 、B 、C 、D,则CD AB ∙的值是（ ）A.8p2B.4p2C.2p2D.p 2解析:||||AF AB =-p=y A,||||DF CD =-p=y B,||||CD AB ∙=y A y B=p 2. 因为CD 、AB 的方向相同, 所以||||CD AB CD AB ∙=∙=y A y B=p 2.故选D.答案:D12.若点P 在抛物线y=3x 2+4x+2上,A(0,-3)、B(-1,-1),使△ABP 的面积最小,则P 点的坐标是（ ） A.)43,21(-B.)32,32(- C.(-1,1) D.(0,2) 解析:设点P 到AB 所在直线的距离为d, 则S △ABP =21×AB×d=d ⨯⨯521,当d 取到最小值时,S △ABP 的面积即为最小. 设P(x,3x 2+4x+2),直线AB 的方程为2x+y+3=0.5|563|5|32432|22++=++++=x x x x x d 5|2)1(3|2++=x . 当x=-1时,d min =552,此时y=1. 所以点P 的坐标为(-1,1)时,S △ABP 的面积最小. 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m,则当m 取最大值时,点P 的坐标是_________.解析:m=|PF 1|·|PF 2|≤25)2||||(221=+PF PF 为定值,等号成立时|PF 1|=|PF 2|,P 为短轴端点(±3,0).答案:(±3,0)14.已知圆C:(x+1)2+y 2=8,定点A(1,0),M 为圆C 上一动点,点P 是线段AM 的中点,点N 在CM 上,且满足NP⊥AM,则点N 的轨迹方程为________.解析:由已知,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|=22>|AC|=2,因此动点N 的轨迹是以点A(1,0)、C(-1,0)为焦点、长轴长2a=22的椭圆,其中a=2,c=1,b 2=a 2-c 2=1,故动点N 的轨迹方程是1222=+y x (y≠0). 答案:1222=+y x (y≠0) 15.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,AB 是过焦点F 的弦,且AB 的倾斜角为30°,则△OAB 的面积为____________.解析:由y 2=4x,得焦点坐标为F(1,0),直线AB 的方程为)1(33-=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,4),1(332x y x y 得0341232=--y y ,由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,4,3122121y y y y 得(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(43)2+42=64, ∴|y 1-y 2|=8. ∴S △AOB =21×|OF|×|y 1-y 2|=21×1×8=4. 答案:416.P 是双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)右支上一点,F 为其右焦点,M 是右准线l:x=2与x 轴的交点,若∠PMF=60°,∠PFM=45°,则双曲线的方程为________.解析:如图,作PN 垂直于右准线于N 点,有e dPF =||, 在△PMN 中,d=|PM|sin30°, ∴|PF|=e·|PM|·sin30°. 在△PMF 中,由正弦定理,60sin ||45sin ||︒=︒PF PM∴630sin 45sin 60sin =︒∙︒︒=e .又右准线l:x=2,即22=ca , 又6=ac, ∴,601272,26,322=-===b c a∴双曲线方程为1601222=∙y x . 答案:1601222=-y x 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)的中心在坐标原点O,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点F,且方向向量为a=(1,1)的直线l 交椭圆于A 、B 两点,AB 的中点为M.(1)求直线OM 的斜率(用a 、b 表示);(2)设直线AB 与OM 的夹角为α,当tan α=7时,求椭圆的方程. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵A、B 在椭圆上,∴1,1222222221221=+=+bya xb y a x . 两式相减,得2221212121ab x x y y x x y y -=++∙--.∵21212121,1x x y y k x x y y k OM AB ++==--=, ∴k OM =22ab -.(2)∵直线AB 与OM 的夹角为α,且tan α=7,由(1)知k AB =1,k OM =22a b -,∴711tan 2222=-+=ab a b α.① 又椭圆中心在坐标原点O 处,一条准线的方程是x=4,∴42=ca .② 在椭圆中,a 2=b 2+c 2.③联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,422b a∴椭圆的方程为13422=+y x . 18.(本小题满分12分)设F 是抛物线G:x 2=4y 的焦点.(1)过点P(0,-4)作抛物线G 的切线,求切线方程; (2)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足FB FA ∙=0,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C 、D,求四边形ABCD 面积的最小值.解:(1)设切点)4,(200xx Q ,由y′=2x知,抛物线G 在Q 点处的切线斜率为20x , 故所求切线方程为)(240020x x xx y -=-,即42200xx x y -=.因为点P(0,-4)在切线上,所以,4420x -=-x 02=16,x 0=±4.故切线斜率为22±=x . 所以所求切线方程为y=±2x -4. (2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由题设知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设k>0. 因直线AC 过焦点F(0,1), 所以直线AC 的方程为y=kx+1.点A 、C 的坐标满足方程组⎩⎨⎧=+=,4,12y x kx y得x 2-4kx-4=0, 由根与系数的关系,知⎩⎨⎧-==+.4,42121x x k x x|AC|=221221)()(y y x x -+-2122124)(1x x x x k -++==4(1+k 2). 因为AC⊥BD,所以BD 的斜率为k1-. 从而BD 的方程为11+-=x ky .同理可求得|BD|=4［1+(k 1-)2］=22)1(4k k +.所以S 四边形ABCD =21|A C|·|BD| 222)1(8k k += )12(822kk ++= ≥32.当k=1时,等号成立.所以四边形ABCD 面积的最小值为32.19.(本小题满分12分)已知椭圆1:22221=+by a x C 的左、右两个焦点为F 1、F 2,离心率为21,又抛物线C 2:y 2=4mx(m>0)与椭圆C 1有公共焦点F 2(1,0).(1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设直线l 经过椭圆的左焦点F 1且与抛物线交于不同两点P 、Q,且满足Q F P F 11λ=,求实数λ的取值范围. 解:(1)在椭圆中,c=1,21=e , 所以3,222=-==c a b a ,故椭圆方程为13422=+y x . 抛物线中,12=p,所以p=2, 故抛物线方程为y 2=4x.(2)设直线l 的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得⎩⎨⎧=+=.4),1(2x y x k y消去y,整理,得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0. 因为直线和抛物线有两个交点,所以k≠0,(2k 2-4)2-4k 4>0. 解得-1<k<1且k≠0. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则,242221k k x x -=+x 1x 2=1.又F F 11λ=,所以⎩⎨⎧=+=+.),1(12121y y x x λλ又y 2=4x,由此得4x 1=λ24x 2,即x 1=λ2x 2. 由x 1x 2=1, 解得x 1=λ,x 2=λ1.又242422221-=-=+k k k x x , 所以2412-=+k λλ. 又因为0<k 2<1, 所以22412>-=+kλλ, 解得λ>0且λ≠1.20.(本小题满分12分)已知双曲线C:12222=-by a x (a>0,b>0)的两条渐近线分别为l 1、l 2,过双曲线的右焦点F 作直线l,使l 垂直l 1于P 点,且与双曲线交于点A.(1)当l 1与l 2的夹角为60°,且双曲线的焦距为4时,求该双曲线的方程;(2)若双曲线的离心率e∈［2,3］时,求||AP 的取值范围. 解:(1)∵l 1与l 2的夹角为60°, ∴︒=30tan a b 或ab =tan60°. ∴a=3b 或b=3a.又c=2, ∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.3,11,3b a b a 或 ∴双曲线方程为13132222=-=-y x y x 或. (2)不妨设F(c,0),直线l 的方程为)(c x b a y --=,则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==),(,c x b a y x a b y ,得点P 的横坐标为ca 2. ∴点P 在双曲线C 的右准线上.过点A 作右准线的垂线并交右准线于点Q, 则||||||||||AP AQ AQ AF AP AF ∙==e·sin∠APQ. 又∠APQ=∠POF,且tan∠POF=ab (O 为坐标原点), ∴sin∠APQ=22b a b+. ∴.||ab AP AF =而e 2=1+22a b ,且e∈［2,3］, ∴]2,1[∈ab . ∴||AF 的取值范围是［1,2］.21.(本小题满分12分)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x 2+3y 2=a 2(a>0)相交于A 、B 两个不同的点,与x 轴相交于点C,记O 为坐标原点.(1)证明;313222k k a +> (2)若CB AC 2=,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.(1)证明:依题意,直线l 显然不平行于坐标轴, 故y=k(x+1),可化为x=k 1y-1(k≠0). 将x=k1y-1代入x 2+3y 2=a 2, 消去x,得.012)31(222=-+-+a y ky k ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得Δ=0)1)(31(44222>-+-a kk , 整理,得3)31(22>+a k , 即222313k k a +>. (2)解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由①,得y 1+y 2=2312k k +,② 由2=,得y 1=-2y 2,代入②,得y 2=2312k k +-. 于是△OAB 的面积23||32||331||3||23||||212221=≤+==-∙=k k k k y y y OC S . 其中,上式取等号的条件是3k 2=1,即33±=k .由22312k k y +-=,可得332±=y . 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①,均可解出a 2=5. 所以△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程是x 2+3y 2=5.22.(本小题满分12分)(理)如图,设抛物线方程为x 2=2py(p>0),M 为直线y=-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A 、B.(1)求证:A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=104,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线x 2=2py(p>0)上,其中,点C 满足OB OA OC +=(O 为坐标原点)?若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)证明:由题意,设A(x 1,p x 221),B(x 2,px 222),x 1<x 2,M(x 0,-2p). 由x 2=2py,得p x y 22=,则y′=p x , 所以k MA =px k p x MB 21,=. 因此直线MA 的方程为y+2p=p x 1(x-x 0), 直线MB 的方程为y+2p=px 2(x-x 0). 所以)(2201121x x p x p p x -=+,①)(2202222x x px p p x -=+.② 由①-②,得021212x x x x x -+=+, 因此2210x x x +=,即2x 0=x 1+x 2. 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.(2)解:由(1)知,当x 0=2时,将其代入①②并整理,得x 12-4x 1-4p 2=0,x 22-4x 2-4p 2=0,所以x 1、x 2是方程x 2-4x-4p 2=0的两根.因此x 1+x 2=4,x 1x 2=-4p 2. 又px p x x x x p x p x k AB 021*********=+=--=, 所以k AB =p 2. 由弦长公式, 得222122121616414)(1||p p x x x x k AB ++=-++=. 又|AB|=410,所以p=1或p=2.因此所求抛物线方程为x 2=2y 或x 2=4y.(3)解:存在.设D(x 3,y 3),由题意,得C(x 1+x 2,y 1+y 2),则CD 的中点坐标为)2,2(321321y y y x x x Q ++++. 设直线AB 的方程为)(101x x px y y -=-, 由点Q 在直线AB 上,并注意到点)2,2(2121y y x x ++也在直线AB 上, 代入,得303x px y =. 若D(x 3,y 3)在抛物线上,则x 32=2py 3=2x 0x 3,因此x 3=0或x 3=2x 0,即D(0,0)或D(2x 0,px 202).①当x 0=0时,则x 1+x 2=2x 0=0,此时,点M(0,-2p)适合题意.②当x 0≠0,对于D(0,0),此时022210222122210422),2,2(px x x x p x x k px x x C CD +=+=+, 又px k AB 0=,AB⊥CD, 所以14422221022210-=+=+∙=∙px x px x x p x k k CDAB , 即x 12+x 22=-4p 2,矛盾. 对于)2,2(200p x x D ,因为C(2x 0,px x 22221+),此时直线CD 平行于y 轴, 又00≠=px k AB , 所以直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾.所以x 0≠0时,不存在符合题意的M 点.综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.(文)如图,直线y=21 x 与抛物线y=81x 2-4交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与直线y=-5交于点Q.(1)求点Q 的坐标;(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含点A 、B)的动点时,求△OPQ 面积的最大值.解:(1)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,481,212x y x y 得⎩⎨⎧-=-=2,411y x 或⎩⎨⎧==,4,822y x 即A(-4,-2),B(8,4).从而AB 的中点为M(2,1). 由21=AB k ,得线段AB 的垂直平分线方程为y-1=(-2)×(x -2). 令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).(2)直线OQ 的方程为x+y=0,设P(x,81x 2-4). ∵点P 到直线OQ 的距离,25|||,328|2812|481|22=-+=-+=OQ x x x x d ∴S △OPQ =21|OQ|d=165|x 2+8x-32|.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点,且P 不在直线OQ 上,∴-4≤x<43-4或43-4<x≤8.∵函数y=x 2+8x-32在区间［-4,8］上单调递增, ∴当x=8时,△OPQ 的面积取到最大值30.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：双曲线(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练35双曲线一、选择题1.设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 …（ ） A.25B.210C.215D.5 解析:设|AF 2|=t(t>0),则|AF 1|=3t.∴|AF 1|-|AF 2|=2t=2a.又t 2+(3t)2=4c 2, ∴210=a c . 答案:B2.设双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的离心率为3,且它的一条准线与抛物线y 2=4x 的准线重合,则此双曲线的方程为（ ） A.1241222=-y x B.1964822=-y x C.132322=-y x D.16322=-y x 解析:∵3==ac e ,∴a c 3=. 而12-=-c a ,∴12=ca . ∴a=3,c=3.∴b 2=c 2-a 2=9-3=6. 故双曲线的方程为16322=-y x . 答案:D3.设a>1,则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值X 围是（ ） A.(2,2)B.(2,5)C.(2,5)D.(2,5)解析:,1)11()1(222++=++=aa a a e ∵a>1,∴0<11<a . ∴)4,1()11(2∈+a .∴e∈(2,5). 答案:B4.若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31,则m 等于（ ） A.21B.23C.81D.89 解析:由双曲线第二定义,知e=3.又a=m ,b=1,122+=+=m b a c . ∴,31=+mm 解得m=81. 答案:C5.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点,F 1、F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,则△PF 1F 2的面积为（ ） A.63B.12C.123D.24解析:由双曲线定义知||PF 1|-|PF 2||=2.又|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,解得|PF 1|=6,|PF 2|=4.由c 2=13,得|F 1F 2|=2c=213.∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴PF 1⊥PF 2. ∴.124621||||212121=⨯⨯=•=∆PF PF S F F 答案:B 6.双曲线1:22221=-by a x C (a>0,b>0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2;抛物线C 2的准线为l,焦点为F 2,C 1和C 2的一个交点为M,则||||||||21121MF MF MF F F -等于（ ） A.-1B.1C.21- D.21 解析:设M 到l 的距离为d,由题意得|MF 2|=d,|MF 1|=ed,|MF 1|-|MF 2|=2a,∴ed -d=2a,ac a e ad -=-=2212. ∴1222||||||||221121-=--⨯=-=-a c ac a a c cd ed ed c MF MF MF F F . 答案:A7.(2009某某部分重点中学高三第二次联考)双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值X 围是（ ）A.［42-4,4)B.［42-4,2］C.(42-4,2)D.［42-4,2)解析:设双曲线的方程为12222=-by a x (a>0,b>0), 其中a 2+b 2=c 2,∵2a+2b+2c=8,∴a+b+c=4.∵(a+b)2≤2(a 2+b 2),∴(4-c)2≤2c 2⇒c 2+8c-16≥0⇒c≥42-4或c≤-42-4(负根舍去). 又∵a 2+b 2=c 2,∴a+b>c.而a+b+c=4,∴c<2,即42-4≤c<2.答案:D 8.设双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的半焦距为c,离心率为45.若直线y=kx 与双曲线的一个交点的横坐标恰为c,则k 等于（ ） A.54± B. 53± C.209± D. 259± 解析:由题意,知点(c,kc)在双曲线上, ∴.1)(2222=-b kc a c 又,45=a c ∴259169)25161(16916)(9,1692222222⨯=-⨯=-==c a c k b c k . ∴|209||=k ,即209±=k . 答案:C 9.设F 1、F 2为曲线126:221=+y x C 的焦点,P 是曲线13:222=-y x C 与C 1的一个交点,则||||2121PF PF PF PF •• ） A.41B.31C.32D.31- 解析:C 1为椭圆,222=-=b ac ,∴F 1(-2,0),F 2(2,0). 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,13,1262222y x y x 得四组解,即C 1与C 2有四个交点(关于x 轴、y 轴对称),不妨取第一象限的交点)21,23(P . ∴||||2121PF PF PF PF ••31)210()232()210()232()210)(210()232)(23,2(2222=-+-•-+----+---=. 答案:B10.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△F 1PF 2的面积为3,则21PF PF •等于（ ） A.2B.3C.-2D.3-解析:2121=∆PF F S ||||21PF PF ·sin∠F 1PF 2,再由双曲线中焦三角形面积公式,2cot 21221PF F b S PF F ∠=∆知∠F 1PF 2=60°, ∴||||21PF PF 4sin 3221=∠=PF F . ∴||||2121PF PF PF PF =•2214cos 21=⨯=∠•PF F . 答案:A二、填空题11.与椭圆1244922=+y x 有相同焦点,且以x y 34±=为渐近线的双曲线方程为________. 解析:双曲线焦点在x 轴上,且半焦距52449=-=c .又,,34222c b a a b =+=∴a=3,b=4.所求双曲线方程为116922=-y x . 答案:116922=-y x 12.设双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果△PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率e=___________.解析:由题设,|y p |=c a c 2-,即cb c ab 2=,得a=b,又∵双曲线的两条渐近线的夹角为90°,∴e=2.答案:213.过双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的一个焦点作垂直于渐近线的直线,与双曲线的两支都相交,则双曲线的离心率的取值X 围是_______.解析:不妨取渐近线x a b y =,其垂线的斜率为b a -,于是a b b a <-|||, ∴a 2<b 2⇒a 2<c 2-a 2⇒2>a c. 答案:(2,+∞)14.已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x (a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题:①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=a 上;②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=b 上;③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上;④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0).其中真命题的代号是_________.(写出所有真命题的代号)解析:设△PF 1F 2的内切圆与△PF 1F 2的三边PF 1,PF 2,F 1F 2相切的切点分别为S 、T 、M,则有|PF 1|-|PF 2|=|PS|+|SF 1|-|PT|-|TF 2|=|SF 1|-|TF 2|=|F 1M|-|MF 2|.又由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a,∴|F 1M|-|F 2M|=2a.设点M 坐标为(x m ,0),则有(x m +c)-(c-x m )=2a,求得x m =a,即△PF 1F 2的内切圆的圆心在直线x=a 上,且与x 轴相切,∴△PF 1F 2的内切圆过点(a,0).综上所述,正确命题的代号为①④.答案:①④三、解答题15.已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).(1)求双曲线C 的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B,且OB OA•>2(其中O 为坐标原点),求k 的取值X 围. 解:(1)设双曲线方程为12222=-by a x (a>0,b>0). 由已知得a=3,c=2,∴b=1. 故所求双曲线方程为.1322=-y x (2)将y=kx+2代入1322=-y x ,可得(1-3k 2)x 2-62kx-9=0, 由直线l 与双曲线交于不同的两点,得⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-,0)1(36,03122k k 故k 2≠31且k 2<1.① 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=23126k k -, x 1x 2=2319k--. 由OB OA •>2,得x 1x 2+y 1y 2>2. 而x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+2=(k 2+1)·,13732312623192222-+=+-•+--k k k k k k 于是2137322>-+k k ,解得3312<<k .② 由①②得,1312<<k故k 的取值X 围为(-1,33-)∪(33,1). 16.设双曲线C:1222=-y ax (a>0)与直线l:x+y=1相交于不同的两点A 、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值X 围;(2)设直线l 与y 轴的交点为P,且PA =125PB ,求a 的值. 解:(1)由C 与l 相交于两个不同的点,知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0.①∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-,0)1(84,012242a a a a 解得0<a<2且a≠1.双曲线的离心率11122+=+=aa a e . ∵0<a<2且a≠1,∴e>26且e≠2, 即离心率e 的取值X 围为)2,26(∪(2,+∞). (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵P(0,1), PA =125PB ,∴(x 1,y 1-1)=125(x 2,y 2-1). 由此得x 1=125x 2. 由于x 1、x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,∴x 1+x 2=,121217222a a x --=22222112125a a x x x --==,消去x 2,得602891222=--a a . ∵a>0, ∴1317=a .此时满足Δ>0. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】过双曲线C:1222=-m y x 的右顶点A 作两条斜率分别为k 1、k 2的直线AM 、AN 交双曲线C 于M 、N 两点,其中k 1、k 2满足关系式k 1·k 2=-m 2且k 1+k 2≠0,k 1>k 2.(1)求直线MN 的斜率;(2)当m 2=2+3时,若∠MAN=60°,求直线MA 、NA 的方程. 解:(1)双曲线C:1222=-m y x 的右顶点A 坐标为(1,0), 设直线MA 方程为y=k 1(x-1),代入m 2x 2-y 2-m 2=0中,则m 2x 2-k 12(x-1)2-m 2=0,整理得(m 2-k 12)x 2+2k 12x-(k 12+m 2)=0,由根与系数的关系可知x m ·x a =221221mk m k -+, 而x a =1,又k 1k 2=-m 2, ∴212121212121221221k k k k k k k k k k m k m k x M +-=+-=-+=. 于是y m =k 1(x m -1)=2121212112)1(k k k k k k k k k +-=-+-. 同理可知21212k k k k y N +-=,于是有y M =y N , ∴MN∥x 轴,从而直线MN 的斜率k MN =0.(2)∵∠MAN=60°,说明AM 到AN 的角为60°或AN 到AM 的角为60°, 则313121212112=+-=+-k k k k k k k k 或. 又k 1k 2=-(2+3),k 1>k 2, 从而⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=-),32(,332112k k k k 则求得⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧+-==,1,32)32(,12121k k k k 或因此直线MA,NA 的方程为y=x-1,y=-(2+3)(x-1)或y=(2+3)(x-1),y=-(x-1).【例2】双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s≥54c,求双曲线的离心率e 的取值X 围. 解:直线l 的方程为1=+by a x ,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=,同理得到点(-1,0)到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=,s=d 1+d 2=.2222c ab b a ab=+ 由s≥54c,得c c ab 542≥,即22225c a c a ≥-. 于是得22215e e ≥-,即4e 4-25e 2+25≤0.解不等式,得.5452≤≤e 由于e>1>0,所以e 的取值X 围是525≤≤e . 【例3】已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.(1)求双曲线C 的方程;(2)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程.解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,∵该直线与圆x 2+(y-2)2=1相切, ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x , 又∵双曲线C 的一个焦点为(2,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(2)若Q 在双曲线的右支上,则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|;若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T,使|QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义知|TF 2|=2,∴点T 在以F 2(2,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x-2)2+y 2=4(x≠0).① 由于点N 是线段F 1T 的中点,设N(x,y),T(x T ,y T ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,2,22T T y y x x ,则⎩⎨⎧=+=.2,22y y x x T T ②把②代入①并整理,得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：随机事件的概率(练习+详细答案)大纲人教版
提能拔高限时训练50随机事件的概率一、选择题1．从存放分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一X 卡片并记下,统计结果如下：卡片 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到为奇数的频率是（ ） A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37 解析：10011186513++++＝0.53,故选A ．答案：A2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸球,则摸出的两球恰好颜色不同的概率为（ ） A ．256B ．2512C ．53D ．52 解析：由题意,知所求概率251255221312=⨯••=C C C P ,故选B ．答案：B3．从20名男同学、10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．299B ．2910C ．2919D ．2920 解析：由题意,知所求概率29201330310320=+-=C C C P ,故选D ． 答案：D4．小明同学在网易上申请了一个电子信箱,密码由4位数字组成,现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成,但忘记了它们的顺序,那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,则他恰好能输入正确密码进入的概率是（ ） A ．61B ．81C ．121D ．241 解析：由2个6,1个3,1个9这4个数字一共组成2244A A ＝12种不同的密码顺序,因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,他恰好能输入正确密码进入的概率P ＝121,故选C ． 答案：C5．福娃是2008年第29届奥运会吉祥物,每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成,甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择,则在这两位好友所选择的福娃中,“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）A ．101B ．51C ．53D ．54 解析：由题意,知所求概率531415131212==C C C C C P ,故选C ． 答案：C6．在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．511B ．681C ．3061D ．4081 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B7．如图,三行三列的方阵有9个数a ij （i ＝1,2,3;j ＝1,2,3）,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧333231232221131211a a a a a a a a a A ．73B ．74C ．141D ．1413解析：从中任取三个数共有C 39＝84种取法,没有同行、同列的取法有111213C C C ＝6种,至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-. 答案：D8．从0,1,2,3,4,5,6中任取三个数字组成三位数,然后拿出卡片若干,每一X 卡片上写上一个三位数,最后把所有写着三位数的卡片混合后放在一个箱子里,现从中任取一X 卡片,则卡片上的三位数不大于320的概率是（ ） A ．51B ．18069C ．150109D ．18071 解析：所有卡片数为2616A C ＝180,其中卡片上以1为首位的三位数共有26A X,以2为首位的三位数有26A X,以3为首位,以0,1为十位的三位数有1512A C X,卡片上的三位数不大于320的共有7112151226=++A C A X,所以概率为18071.答案：D9．将7个人（含甲、乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a 、P 的值分别为（ ）A ．a ＝105,P ＝215B ．a ＝105,P ＝214 C ．a ＝210,P ＝215D ．a ＝210,P ＝214解析：将7个人分成三组按要求有22222437A C C C ＝105种分法,将甲、乙两人分在同一组有两种情况：①在三人一组,这时有22222415A C C C 种情况;②在两人一组,这时有35C 种情况. ∴2151053522222415=+=C A C C C P . 答案：A10．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a ＝（m,n ）与向量b ＝（1,－1）的夹角为θ,则θ∈（0,2π］的概率是（ ） A ．125B ．21C ．127D ．65解析：∵m＞0,n ＞0,∴a ＝（m,n ）与b ＝（1,－1）不可能同向. ∴夹角θ≠0. ∴θ∈（0,2π］⇔a·b ≥0. ∴m－n ≥0,即m ≥n.当m ＝6时,n ＝6,5,4,3,2,1; 当m ＝5时,n ＝5,4,3,2,1; 当m ＝4时,n ＝4,3,2,1; 当m ＝3时,n ＝3,2,1; 当m ＝2时,n ＝2,1; 当m ＝1时,n ＝1. ∴所求概率12766123456=⨯+++++=P .答案：C二、填空题11．将3个不同的小球随意地放入4个不同的盒子内,则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为____________.解析：由题意,知所求概率为834334==A P .答案：83 12．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷一本,共8本,将它们任意地排成一排,左边四本恰好都属于同一本小说的概率是________.（结果用分数表示）解析：由题意,知所求概率为3512884444==A A A P . 答案：35113．在平面直角坐标系中,从六个点：A （0,0）、B （2,0）、C （1,1）、D （0,2）、E （2,2）、F （3,3）中任取三个,则这三点能构成三角形的概率是_________.（结果用分数表示）解析：已知A 、C 、E 、F 共线;B 、C 、D 共线;六个无共线的点生成三角形的总数为36C ;可构成三角形的个数为15333436=--C C C ,所以所求概率为4336333436=--C C C C . 答案：43 14．将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b 、c,则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为___________.解析：一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为b 2≥4C ．b 1 2 3 4 5 6使b 2≥4c 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19,于是方程有实根的概率为P＝3619. 答案：3619三、解答题15．甲、乙两人用4X 扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一X.（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况. （2）若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?（3）甲、乙两人约定：若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,则乙胜.你认为此游戏是否公平,请说明你的理由. 解：（1）甲、乙两人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2,3）、（2,4）、（2,4′）、（3,2）、（3,4）、（3,4′）、（4,2）、（4,3）、（4,4′）、（4′,2）、（4′,3）、（4′,4）,共12种不同情况.（2）甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字比3大的概率为32. （3）由甲抽到的牌比乙大有（3,2）、（4,2）、（4,3）、（4′,2）、（4′,3）共5种,甲获胜的概率为P 1＝125,乙获胜的概率为P 2＝127,∵125＜127,∴此游戏不公平. 16．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.解：（1）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E a ,那么401)(442533==A C A E P A ,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是401. （2）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么101)(442544==A C A E P ,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P . 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求： （1）两数之和为6的概率;（2）两数之积是6的倍数的概率;（3）以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y 的点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率. 解：（1）两数之和为6的概率为365.表1（2）此问题中含有36个等可能基本事件,记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A,则由表1可知,事件A 中含有其中的15个等可能基本事件,所以1253615)(==A P . 故两数之积是6的倍数的概率为125.表2（3）此问题中含有36个等可能基本事件,记“点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域”为事件B,则由表2可知,事件B 中含有其中3个等可能基本事件,所以121363)(==B P . 故点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率为121. 【例2】 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球.已知袋中共有10个球.从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是52;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是97.求： （1）从中任意摸出2个球,得到的都是黑球的概率;（2）袋中白球的个数.解：（1）由题意知,袋中黑球的个数为45210=⨯. 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件A,则152)(21024==C C A P .（2）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ． 设袋中白球的个数为x,则971)(1)(210210=-=-=-C C B P B P x. 得到x ＝5.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：平面与平面的平行、垂直(练习+详细解析)大纲人教版.doc
提能拔高限时训练41 平面与平面的平行、垂直一、选择题1.平面α∥平面β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析：对于A、B、C,α与β可相交.故选D.答案：D2.若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ解析：对于A,如图,m∥α,故A为假命题;对于B,可令一三棱柱的三侧面分别为α、β、γ,则α、β相交;对于D,β与γ可能平行,也可能垂直;对于C,利用线面平行性质及面面垂直判定定理可求解.答案：C3.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:β∩γ=l,m∥l,m⊂α,则必有（）A.l∥αB.α∥γC.m∥β且m∥γD.m∥β或m∥γ解析：但若m为α与β的交线或为α与γ的交线,则不能同时有m∥β,m∥γ.答案：D4.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥β;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,m⊂α,则m∥β.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析:m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,①不正确;②中缺条件m与n是两条相交直线,∴②不正确;m∥α,n⊂α,则m∥n或m与n异面,③不正确;④正确.答案:A5.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等,则l1、l2互相平行;④若直线l1、l2是异面直线,则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：该题考查了立体几何中的公理、判定定理、性质定理以及推论等.①假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中AB 和A′D′都与AA′垂直,但它们是垂直关系;②假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中平面AB′和平面AD′都与平面AC 垂直,但它们是相交关系;③假命题:譬如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,但它们都相交,不平行;④假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中AB 和A′D′是一对异面直线,直线AA′与直线A′D′分别与AB 和A′D′都相交,但它们是相交关系.故选D. 答案：D6.对于直线m 、n 和平面α,下列命题中的真命题是( ) A.如果m ⊂α,n ⊄α,m、n 是异面直线,那么n∥α B.如果m ⊂α,n 与α相交,那么m 、n 是异面直线 C.如果m ⊂α,n∥α,m、n 共面,那么m∥n D.如果m∥α,n∥α,m、n 共面,那么m∥n 解析:∵m、n 共面,m ⊂α,n∥α,∴由m 、n 确定的平面β与α交于m,则m∥n.故选C. 答案：C7.从点P 引三条射线PA 、PB 、PC,每两条的夹角都是60°,则二面角BPAC 的余弦值是…（ ） A.21 B.31C.33D.23解析：如图,取A 1∈PA,作A 1C 1⊥PC,A 1B 1⊥PB,连结B 1C 1,则∠C 1A 1B 1为二面角BPAC 的平面角,设PC 1=a,∵∠BPA=∠APC=∠BPC=60°, ∴A 1C 1=23a=A 1B 1,B 1C 1=a. ∴cos∠C 1A 1B 1=3121111211211211=•-+B A C A C B B A C A .答案：B8.已知m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面.下列命题中正确的是( )A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β 解析：由线面垂直的性质定理知选B. 答案：B9.设直线m 与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A.在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：用排除法排除A、C、D.答案：B10.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β解析：由α∥β,b⊥β,所以b⊥α.因为a⊂α,所以b⊥a.答案：C二、填空题11.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下列命题中正确命题的序号是______________.①a⊥α,a⊥b,则b∥α;②a⊥α,a⊥β,则α∥β;③a∥b,a⊥c,则b⊥c;④a∥β,b⊥β,则a⊥b;⑤a⊥α,a∥b,b⊂β,则α⊥β;⑥a⊥b,b⊥c,则a∥c.解析：对于①,可能有b⊂α;对于⑥,a、c可能相交或异面;易知②③正确;对于④,若a∥β,则在β中必有直线c,使a∥c,故b⊥β时有b⊥c,进而a⊥b;对于⑤,a⊥α,a∥b⇒b⊥α,又b⊂β,故α⊥β.答案：②③④⑤12.平面ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD这五个平面中,互相垂直的平面有_____________对.解析：如图,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平面APD,共5对.答案：513.已知直线m⊥平面α,直线n⊂平面β,给出下列四个命题:①若α∥β,则m⊥n;②若α⊥β,则m∥n;③若m∥n,则α⊥β;④若m⊥n,则α∥β.其中正确命题是___________________.(把你认为正确命题的序号都填上)解析：m⊥α,n⊂β,若α∥β,则m⊥β,从而m⊥n,故①正确;若α⊥β,m、n的关系不确定,故②错误;若m∥n,m⊥α,从而n⊥α,n⊂β,则α⊥β,从而③正确;若m⊥n,α、β可能相交,故④错误.答案：①③14.如右图，等边△ABC 的边长为4,D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC′处，使二面角BADC′为60°,则折叠后点A 到直线BC′的距离为__________________；二面角ABC′D 的正切值为___________________________.解析：如右图,作DM⊥BC′,连结AM,则AM 为点A 到直线BC′的距离, AD=32,DM=3,∴AM=1522=+DM AD .二面角ABC′D 的平面角为∠AMD,正切值为tan∠AMD=332=2.答案：15 2三、解答题15.如图,四棱锥P —ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E 、F 分别是AB 、PD 的中点,又二面角PCDB 为45°.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;(3)设AD=2,CD=22,求点A 到平面PEC 的距离. (1)证明:取PC 的中点G,连结EG 、FG.∵F 是PD 的中点,∴FG∥CD 且FG=21CD. 而AE∥CD 且AE=21CD,∴EA∥GF 且EA=GF.故四边形EGFA 是平行四边形,从而EG∥AF. 又AF ⊄平面PEC,EG ⊂平面PEC, ∴AF∥平面PEC.(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影. 又CD⊥AD,∴CD⊥PD,∠PDA 就是二面角PCDB 的平面角. ∴∠ADP=45°,则AF⊥PD. 又AF⊥CD,PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD. 由(1),EG∥AF, ∴EG⊥平面PCD. 而EG ⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.(3)解:过F 作FH⊥P C 交PC 于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,∴FH 为点F 到平面PEC 的距离,而AF∥平面PEC,故FH 等于点A 到平面PEC 的距离. 在△PFH 与△PCD 中,∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC 为公共角, ∴△PFH∽△PCD,PCPFCD FH =. ∵AD=2,CD=22,PF=2,PC=22PD CD +=4,∴FH=42·22=1. ∴点A 到平面PEC 的距离为1.16.（理）如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E 是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.(1)证明平面PBE⊥平面PAB;(2)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.解：(1)证明:如图所示,连结BD,由四边形ABCD 是菱形且∠BCD=60°,知△BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以BE⊥CD. 又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因PA⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又BE ⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)延长AD 、BE 相交于点F,连结PF. 过点A 作AH⊥PB 于H,由(1)知平面PBE⊥平面PAB, 所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF 中,取PF 的中点G,连结AG,则AG⊥PF,连结HG,由三垂线定理的逆定理,得PF⊥HG,所以∠AGH 是平面PAD 和平面PBE 所成的二面角的平面角(锐角). 在等腰Rt△PAF 中,AG=22PA=2. 在Rt△PAB 中,AH=5525222==+•=•AB AP AB AP PBABAP ,在Rt△AHG 中,sin∠AGH=5102552==AG AH . 故平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小是arcsin510. （文）如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E 是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)证明平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角ABEP 的大小.解：(1)证明:连结BD,由四边形ABCD 是菱形且∠BCD=60°,知△BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以BE⊥CD. 又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, 所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知BE⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB, 所以PB⊥BE. 又AB⊥BE,所以∠PBA 是二面角ABEP 的平面角. 在Rt△PAB 中,tan∠PBA=3=ABPA,∠PBA=60°. 故二面角ABEP 的大小是60°. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2.(1)求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.(1)证明:由于BC 1∥AD 1,则BC 1∥平面ACD 1. 同理,A 1B∥平面ACD 1,所以平面A 1BC 1∥平面ACD 1.(2)解:设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d,则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离. 易求A 1C 1=5,A 1B=52,BC 1=13, 则cos∠A 1BC 1=652.从而sin∠A 1BC 1=6561,S △A1BC1=61. 由于V D1—A1BC1=V B —A1C1D1,则31S △A1BC1·d=31(21·A 1D 1·C 1D 1)·BB 1, 代入求得d=616112, 即(1)中两个平行平面间的距离等于616112. (3)解:由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分,所以点B 1与点D 1到平面A 1BC 1的距离相等,故由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 【例2】已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面边长及侧棱长均相等,AB⊥CB 1,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC.(1)求证:平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1;(2)求侧棱B 1B 与底面ABC 所成角的大小.剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB 1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. (1)证明:∵四边形BB 1C 1C 是菱形, ∴CB 1⊥C 1B.又∵AB⊥CB 1,AB∩C 1B=B, ∴CB 1⊥平面ABC 1. 而CB 1 平面CBB 1C 1,∴平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1.(2)解:作B 1D⊥AB 于D,连结CD.∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC,而平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB, ∴B 1D⊥面ABC.∴∠B 1BD 就是侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. 又∵CB 1⊥AB, ∴其射影CD⊥AB. 而△ABC 是正三角形, ∴BD=21AB=21B 1B. ∴∠B 1BD=60°,即侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角为60°.【例3】 已知四棱锥P —ABCD,底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E 为AB 中点,点F 为PD 中点. (1)证明平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角PABF 的平面角的余弦值. (1)证明:连结BD, ∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ADB 为等边三角形. ∵E 是AB 中点, ∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABCD,AB ⊂平面ABCD, ∴AB⊥PD.∵DE ⊂平面PED,PD ⊂平面PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥平面PED. ∵AB ⊂平面PAB,∴平面PED⊥平面PAB.(2)解:∵AB⊥平面PED,PE ⊂平面PED, ∵AB⊥PE, 连结EF,∴EF ⊂平面PED. ∴AB⊥EF.∴∠PEF 为二面角PABF 的平面角. 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=3,在△PEF 中,PE=7,EF=2,PF=1, ∴cos ∠PEF=147572212)7(22=⨯-+,即二面角PABF 的平面角的余弦值为1475.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：抽样方法与总体分布的估计(练习+详细答案)大纲人教版
提能拔高限时训练53 抽样方法与总体分布的估计一、选择题1．一个容量为n 的样本,分成若干组,已知某组的频率和频数分别为0.125和40,则n 的值为（ ）A ．640B ．320C ．240D ．160 解析：∵样本容量频数频率=,∴样本容量320125.040==n .故选B ． 答案：B则第6组的频率为（ ）A ．0.14B ．14C ．0.15D ．15解析：运用频率、频数的定义,注意它们的区别以及频率范围,易知频数为15,则频率为0.15.故选C ． 答案：C3．为了了解一批电器的质量技术参数,现从中抽取100件电器进行检测,这个问题中的样本是（ ）A ．这批电器的技术参数B ．100件电器C ．100D ．抽取的100件电器的技术参数 解析：样本指抽取的100件电器的技术参数,而不是这100件电器. 答案：D4．在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性（ ） A ．与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性要大些 B ．与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等 C ．与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性大些D ．与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽到的可能性不一样解析：在简单随机抽样过程中,某一个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关. 答案：B5．某林场有树苗30 000棵,其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为（ ）A ．30B ．25C ．20D ．15 解析：在总体中,松树所占比重为152000300004=,故样本中松树也占152,也就是150×152＝20（棵）.答案：C 6．从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为002125 D ．都相等且为401解析：抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7．一工厂生产了某种产品18 000件,它们来自甲、乙、丙3个车间,现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查.已知从甲、乙、丙3个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列,则这批产品中乙车间生产的产品件数是（ ）A ．9 000B ．4 500C ．3 000D ．6 000 解析：∵从甲、乙、丙3个车间抽取产品的件数恰好组成一个等差数列, ∴甲、乙、丙三个车间的产品数成等差数列.设产品数分别为a 1、a 2、a 3,则a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝18 000,a 2＝6 000, 故选D ． 答案：D8．某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 解析：∵307210=, ∴从高三学生中抽取的人数应为1030300=. 答案：A9．根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图,从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）A ．48米B ．49米C ．50米D ．51米 解析：由频率分布直方图,知水位为50米的组距频率为1%,即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米. 答案：C10．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒;……;第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,45 解析：成绩小于17秒的人数的百分比为（0.02＋0.18＋0.36＋0.34）×1＝0.9; 成绩大于等于15秒且小于17秒的人数为（0.36＋0.34）×1×50＝35. 答案：A 二、填空题11．某学校共有师生2 400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本.已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是_____________. 解析：教师的人数为2 400×160150160 ＝150.答案：15012．为了了解某市参加高考体检的学生的体能状况,经抽样调查1 000名男生的肺活量（mL ）,得到如下频率分布直方图,根据图形,可得这1 000名学生中肺活量在［3 000,3 600）的学生人数是______________.解析：300×0.000 5＋300×0.001＝0.45,1 000×0.45＝450. 答案：45013．利用简单随机抽样的方法,从n 个个体（n ＞13）中抽取13个个体,若第二次抽取时余下的每个个体被抽到的概率为31,则在整个抽样过程中,各个个体被抽取到的概率为_______.解析：由题意得311113=--n , ∴n＝37.∴各个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为3713. 答案：3713 14．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79,而剩下三组的频数成公比大于2的整数的等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为_____________.解析：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79＝0.21,进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.由已知知前七组的累积频数为0.79×100＝79, 故后三组共有的频数为21，依题意211)1(31=--∙qq a ,a 1（1＋q ＋q 2）＝21. ∴a 1＝1,q ＝4.∴后三组频数最高的一组的频数为16. 答案：16 三、解答题 15．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图（如下图）.已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列各题.（1）本次活动共有多少件作品参加评比? （2）哪组上交的作品数量最多?有多少件?（3）经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪一组获奖率较高? 解：（1）依题意可算出第三组的频率为511464324=+++++.设共有n 件作品,则5112=n , ∴n＝60（件）.（2）由题中直方图可看出第四组上交作品数量最多,共有1820660=⨯（件）.（3）第四组获奖率为951810=, 第六组获奖率为9632201602==⨯, ∴第六组获奖率较高.（1）列出频率分布表; （2）画出频率分布直方图;（3）估计电子元件寿命在100 h ～400 h 以内的概率.（3）由频率分布表可以看出,寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65,故我们估计电子元件寿命在100 h ～400 h 的概率为0.65. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________.解析：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,则在第16组中应抽出的号码为120＋x. 设第1组抽出的号码为x,则第16组应抽出的号码是8×15＋x ＝126, ∴x＝6. 答案：6【例2】某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为___________.解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取. ∵120∶16∶24＝15∶2∶3,又共抽出20人, ∴各层抽取的人数分别为20×2015＝15人，20×202＝2人，20×203＝3人. 答案：15、2、3。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：直线与方程(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练30 直线与方程一、选择题1.下列几个命题中是真命题的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0=k(x-x 0)表示B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b 表示解析：A 、D 均不包括斜率不存在的情况,而C 不能表示那些平行于坐标轴的直线.说明：用直线方程的点斜式和斜截式解题时,要注意分斜率存在与否两种情况进行讨论.而用直线方程的截距式时,要注意对截距为零时情况的讨论,防止漏解. 答案：B2.已知直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=m+5(m∈R),其倾斜角为4π,则实数m 的值为( )A.34B.-1C.34- D.134-或 解析：直线的倾斜角为4π，则斜率为1,即直线方程中x 、y 的系数互为相反数,且不为0.由(m 2-2m-3)+(2m 2+m-1)=0,解得m=34或m=-1,但m=-1时,2m 2+m-1=0,故应舍去.答案：A3.已知直线的倾斜角为α,且sin α=54,则此直线的斜率是( ) A.34 B.34- C.±34 D.±43 解析：由sin α=54,得cos α=±53,故tan α=34cos sin ±=αα.答案：C4.若AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析：直线可整理为y=BC x B A --. ∵AC<0,BC<0, ∴AB>0,则.0,0>-<-BCB A 故直线不经过第三象限.答案：C5.如图,直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 解析：由k=tan α,知k 1<k 3<k 2. 答案：D6.已知两点P(-1,1),Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ 没有公共点,则m 的取值范围是( )A.2132<<-m B.m<2132>-m 或 C.m≤0或m>21 D.m<32-解析：由题意,知直线l 过定点M(0,-1),如图所示.k MP =-2,k MQ =23,k l =m 1-(m≠0). 需-2<231<-m ,解得m<32-或m>21.答案：B7.直线x=2与直线y=3x-2的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A8.将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( )A.y=3131+-xB.y=131+-x C.y=3x-3 D.y=131+x解析：将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y=31-x,再向右平移1个单位,所得到的直线为y=)1(31--x ,即y=3131+-x ,选A.答案：A9.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1］ C.(1,+∞) D.［1,+∞)解析：如图,作出直线x+y-1=0的图象,它与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)、(0,1),直线y=kx-1过点(0,-1),因此,直线y=kx-1与直线x+y-1=0的交点在第一象限时,k>1,选择C. 答案：C10.已知函数f(x)=(x-1)(log 3a)2-6log 3a·x+x+1在x∈［0,1］内恒为正值,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<31 B.a<31 C.33>a D.3331<<a 解析：f(x)=［(log 3a)2-6·log 3a+1］x-(log 3a)2+1.由题意,需3332333131log 102log 601)(log 0)1(0)0(<<⇒<<-⇒⎩⎨⎧>+->+-⇒⎩⎨⎧>>a a a a f f . 答案：D二、填空题11.已知a ＞0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a 2),C(3,a 3)共线,则a=_____________.解析：由k AB =k BC ,即11232a a a a -=+,可得a(a 2-2a-1)=0,即a=1±2或a=0,又a>0,故a=1+2. 答案：1+212.若直线l 过点P(2,3),且方向向量n=(1,43-),则直线l 的方程为______________. 解析：设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)是直线l 上两点,其方向向量的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1). 当x 1≠x 2时,方向向量可表示为(1,k),其中k 是直线l 的斜率,∴k=43-,代入点斜式即得所求的直线方程___________. 答案：3x+4y-18=013.过点P(1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程为___________. 解析：过原点及P 点的直线方程为y=2x,显然符合题意.另设直线1=+aya x 符合条件,将P(1,2)代入,得a=3,所求另一直线方程为x+y=3. 答案：y=2x 或x+y=314.如图,在平面直角坐标系xOy 中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)为线段AO 上的一点(异于端点),这里a,b,c,p 为非零常数.设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F.某同学已正确求得直线OE 的方程为0)11()11(=-+-y ap x c b .请你完成直线OF 的方程:(__________)x+0)11(=-y ap .解析：点E 为直线BP:1=+p y b x 与直线AC:1=+ayc x 的交点, 两方程相减可得;0)11()11(=-+-y ap x cb 点F 为直线CP:1=+p y c x 与直线AB:1=+ayb x 的交点,两方程相减,可得.0)11()11(=-+-y ap x b c 答案：bc 11- 三、解答题15.设直线l 的方程为2x+By-1=0,倾斜角为α. (1)若326παπ<<,试求B 的取值范围; (2)若B∈(-∞,2),求α的取值范围. 解：(1)充分利用定义k=tan α(α≠2π)的图象. ①若B=0,则α=2π; ②若B≠0,则k l =B2-.326παπ<<, ∴k l >33或k l <3-,代入,解得32-<B<0或0<B<332.综合①②,知33232<<-B . (2)若B<-2,则0<B 2-<1,即0<tan α<1,∴0<α<4π. 16.过点P(-1,-2)的直线l 分别交x 轴和y 轴的负半轴于A 、B 两点,当|PA|·|PB|最小时,求l 的方程.解：由题意,知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y+2=k(x+1),易得A ),2,0(),0,12(--k B k 由⎪⎩⎪⎨⎧<-<-,02,012k k 得k<0.(|PA||PB|)2=［(k 2)2+4］(k 2+1)=4(2+k 2+21k )≥4(2+2)=16,当且仅当k 2=21k,即k=-1时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l 的方程为y+2=(-1)(x+1),即x+y+3=0.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)均在抛物线上,当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.解：由已知设抛物线的方程为y 2=2px. ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p,即p=2.∴抛物线的方程为y 2=4x. ∵12,122211--=--=x y k x y k PB PA , 且PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA =-k PB .又2221214,4x y x y ==, ∴14121412222211---=--y y y y . ∴y 1+2=-(y 2+2).∴y 1+y 2=-4. ∴k AB =)(144421211212x x y y x x y y ≠-=-++=--.点评:本题考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.所用方法均在解析几何中经常用到,请加以注意.【例2】已知i =(1,0),j =(0,1),经过原点O 以u =i +m j 为方向向量的直线与过定点A(0,1),以v=mi-j 为方向向量的直线相交于点P,其中m∈R .试问:是否存在一个定点Q 使|PQ|为定值?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由. 解：存在.u =(1,m),v =(m,-1),设P(x,y),则OP =(x,y), AP =(x,y-1), ∵OP ∥u ,∥v , 则⎩⎨⎧-=-=),1(,y m x y mx消参数m,得x 2+(y-21)2=41, 故存在一定点Q(0,21),使|PQ|为定值21.。
2011届高考数学单元总复习课件34
解 方法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵圆心在y=0上，∴b=0,∴圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点, ∴（1-a)2+16=r2， a=-1, (3-a)2+4=r2， 解得 r2=20. ∴所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 方法二：设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，则 E − =0,即E=0.又圆过A（1,4）和B（3,2），所以 2 D+17+F=0, 3D+13+F=0, 解得 D=2, E=0, F=-19.
学后反思 在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建 立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学 问题解决.
举一反三
4. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同.某地居 民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B 地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A 地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求 P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的方程的曲 线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购 物地点？
学后反思 （1）一般地，方程表示圆隐含着条件D2+E2-4F>0， 此点易被忽视. （2）点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.
举一反三
2. (2009·福州模拟)圆 x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + c = 0 与y轴交于A、 B两点，其圆心为P，若∠APB=90°,则实数c=. 解析： 圆的方程可化为 ( x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 − c ,5-c＞0. ∴P(2,-1),又∠APB=90°,PA=PB, ∴2=PB·sin 45°, ∴PB=22. ∴5-c=8,∴c=-3. 答案： -3
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：指数与指数函数(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练9 指数与指数函数一、选择题 1.63a a -•等于( ) A.a -- B.a - C.a - D.a解析:216131613163)()()(a a a a a a --=--=-•=-•+. 答案:A2.已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则（ ）A.f(2x)＝e 2x (x∈R )B.f(2x)＝ln2·lnx(x＞0)C.f(2x)＝2e 2x (x∈R )D.f(2x)＝lnx+ln2(x ＞0)解析:∵f(x)与y ＝e x 的图象关于y ＝x 对称,∴f(x)是y ＝e x 的反函数.∵y＝e x ,∴x＝lny(y ＞0),即y ＝lnx(x ＞0).∴f(2x)＝ln2x ＝lnx+ln2(x ＞0).答案:D3.要得到函数y ＝21-2x 的图象,只需将指数函数y ＝(41)x 的图象( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移21个单位D.向右平移21个单位 解析:∵x x y 22)41(-==,)21(22122---==x x y , ∴y＝21-2x 由y ＝(41)x 向右平移21个单位得到. 答案:D4.若a ＞1,-1＜b ＜0,则函数y ＝a x +b 的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限解析:y ＝a x 的图象向上平移|b|个单位即可得到y ＝a x +b 的图象.∵-1＜b ＜0,∴0＜|b|＜1.故y ＝a x +b 的图象一定在第一、二、三象限.答案:A5.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.x y -=215 B.y ＝(31)1-x C.1)21(-=x y D.x y 21-=解析:对于C 、D,y ＝0成立;对于A,021≠-x,故y≠1. 答案:B6.设函数⎩⎨⎧><=.0),(,0,2)(x x g x x f x 若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( ) A.41- B.-4 C.41 D.4 解析:∵f(x)为奇函数,x ＜0时,f(x)＝2x, ∴x＞0时,f(x)＝-f(-x)＝-2-x ＝x 21-, 即xx g 21)(-=,41)2(-=g . 答案:A7.函数f(x)＝x 2-bx+c 满足f(1+x)＝f(1-x)且f(0)＝3,则f(b x )和f(c x )的大小关系是( )A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x )C.f(b x )＞f(c x )D.大小关系随x 的不同而不同解析:∵f(1+x)＝f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x ＝1,由此得b ＝2.又f(0)＝3,∴c＝3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f(3x )≥f(2x ).若x ＜0,则3x ＜2x ＜1,∴f(3x )＞f(2x ).∴f(3x )≥f(2x ).故选A.答案:A8.若函数f(x)＝a |x|(a ＞0,x∈R )的值域是{f(x)|0＜f(x)≤1},则f(-2)与f(1)的大小关系是…( )A.f(-2)＜f(1)B.f(-2)＝f(1)C.f(-2)＞f(1)D.无法确定解析:由已知f(x)的值域为{f(x)|0＜f(x)≤1},得0＜a ＜1,而f(-2)＝a 2,f(1)＝a,易知f(-2)＜f(1).故选A.答案:A9.下图是指数函数①y＝a x ,②y＝b x ,③y＝c x ,④y＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是…( )A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c解法一:当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象越向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象越下降，底数越小，图象越向右越靠近于x 轴,得b ＜a ＜1＜d ＜c.解法二:令x ＝1,由题图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1,∴b＜a ＜1＜d ＜c.答案:B10.已知y ＝4x -3·2x +3的值域为［1,7］,则x 的取值X 围是( )A.［2,4］B.(-∞,0)C.(0,1)∪［2,4］D.(-∞,0］∪［1,2］解析:∵y＝4x -3·2x +3的值域为［1,7］,∴1≤4x -3·2x +3≤7.∴-1≤2x ≤1或2≤2x ≤4.∴x≤0或1≤x ≤2.答案:D二、填空题11.不等式21213≤+-x x 的解集为__________. 解析:依题意,得11322-+-≤x x ,113-≤+-x x ,即0)1)(3(≤-+xx x ,解得不等式的解集为{x|x ≤-3或0＜x ≤1}.答案:{x|x ≤-3或0＜x ≤1}12.定义运算:⎩⎨⎧<≥=⊗,,,,b a a b a b b a 则函数f(x)＝3-x ⊗3x 的值域为______________.解析:右图为y ＝f(x)＝3-x ⊗3x 的图象(实线部分),由图可知f(x)的值域为(0,1］.答案:(0,1］13.已知函数f(x)＝a x +a -x (a ＞0,a≠1),且f(1)＝3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是__________.解析:∵31)1(=+=aa f ,f(0)＝2,f(2)＝a 2+a -2＝(a+a -1)2-2＝7, ∴f(1)+f(0)+f(2)＝12.答案:1214.若实数x 满足不等式22332222---->-x x x x ,则x 的取值X 围是___________. 解析:由题意,得22323222---->-x x x x ,构造函数tt t f --=32)(,则f(t)在R 上递增,且f(x 2)＞f(2-x),∴x 2＞2-x,即x 2+x-2＞0.解得x ＞1或x ＜-2.答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)三、解答题 15.定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,142)(+=x xx f . (1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当λ为何值时,方程f(x)＝λ在x∈［-1,1］上有实数解.解:(1)∵f(x)是x∈R 上的奇函数,∴f(0)＝0.又∵2为最小正周期,∴f(1)＝f(1-2)＝f(-1)＝-f(1)＝0.设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),)(142142)(x f x f x xx x -=+=+=---, ∴142)(+-=x xx f , ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∈-∈+-=).1,0(,142},1,0,1{,0),0,1(,142)(x x x x f x x x x(2)设0＜x 1＜x 2＜1,f(x 1)-f(x 2))14)(14()22()22(2112212122++-+-=++x x x x x x x x0)14)(14()21)(22(212121>++--=+x x x x x x , ∴f(x)在(0,1)上为减函数.(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴142)(1420011+<<+x f , 即f(x)∈(52,21). 同理,x 在(-1,0)上时,f(x)∈(21-,52-). 又f(-1)＝f(0)＝f(1)＝0,∴当λ∈(21-,52-)∪(52,21)或λ＝0时,f(x)＝λ在［-1,1］内有实数解. 16.设函数f(x)＝2|x+1|-|x-1|,求使f(x)≥22的x 的取值X 围. 解:由于y ＝2x 是增函数,f(x)≥22等价于|x+1|-|x-1|≥23.① (1)当x ≥1时,|x+1|-|x-1|＝2,∴①式恒成立.(2)当-1＜x ＜1时,|x+1|-|x-1|＝2x,①式化为2x ≥23,即43≤x ＜1. (3)当x ≤-1时,|x+1|-|x-1|＝-2,①式无解. 综上可得,x 的取值X 围是［43,+∞). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知函数f(x)＝3x ,且f(a+2)＝18, g(x)＝3ax -4x 的定义域为［0,1］.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其单调性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.解:(1)∵f(x)＝3x 且f(a+2)＝3a+2＝18,∴3a ＝2.∵g(x)＝3ax -4x ＝(3a )x -4x ,∴g(x)＝2x -4x .(2)∵函数g(x)的定义域为［0,1］,令t ＝2x ,∵x∈［0,1］,函数t 在区间［0,1］上单调递增,且t∈［1,2］,则g(x)＝t-t 2在［1,2］上单调递减,∴g(x)在［0,1］上单调递减.证明如下:设x 1,x 2∈［0,1］且x 1＜x 2,则g(x 2)-g(x 1)＝11224242x x x x +--)221)(22(1212x x x x ---=∵0≤x 1＜x 2≤1,∴1222x x >,且221,22121≤<<≤x x .∴422221<+<x x .∴1221321-<--<-x x ,可知0)221()22(1212<--•-x x x x .∴g(x 2)＜g(x 1).∴函数g(x)在［0,1］上为减函数.(3)∵g(x)在［0,1］上为减函数,又x∈［0,1］,故有g(1)≤g(x)≤g(0).∵g(0)＝-2,g(0)＝0,∴函数g(x)的值域为［-2,0］.【例2】 已知a ＞0且a≠1,)1()1()(log 22--=a x x a x f a . 试判断f(x)在定义域上是否为单调函数?若是,是增函数还是减函数?并证明结论. 解:是增函数.证明如下:设t ＝log a x,则x ＝a t , ∴t t aa a a t f 11)(22-•-=, 即)(1)(2t t a a a a t f ---=. ∴)(1)(2x x a a a a t f ---=. ∵f(x)的定义域为R ,设x 1＜x 2,则f(x 1)-f(x 2))]()[(122112x x x x a a a a a a ------= 212121)1)((12x x x x x x a a a a a a a a •+-•-=. ∵a＞0,a≠1,∴01,02121>+>x x x x a a a a .若0＜a ＜1,则0,2121>->x x x x a a a a .此时012<-a a , ∴f(x 1)＜f(x 2).同理,若a ＞1,则f(x 1)＜f(x 2).综上所述,当a ＞0且a ≠1时,f(x)在R 上单调递增.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：离散型随机变量的分布列(练习+详细答案)旧大纲人教版
提能拔高限时训练53离散型随机变量的分布列一、选择题1.①某座大桥一天经过的车辆数为ξ;②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为ξ;③一天之内的温度为ξ;④一个射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中ξ是离散型随机变量的是（ ） A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 答案：B2.袋中有大小相同的5个球,分别标有1、2、3、4、5五个,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是（ ） A.5B.9C.10D.25解析：之和可能为2、3、4、5、6、7、8、9、10,共9种. 答案：B3.一袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ＝12）等于（ ）A.2101012)85()83(•C B.83)85()83(29911•CC.29911)83()85(•CD.29911)85()83(•C解析：P （ξ＝12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而83)85()83()12(29911⨯•==C P ξ.答案：B4.设ξ的概率分布如下,则p 等于（ ）A.0B.6C.3D.5 解析：∵13121=++p ,∴61=p .答案：B5.设随机变量ξ的分布列为15)(k k P ==ξ（k ＝1,2,3,4,5）,则)2521(<<ξP 等于（ ） A.21B.91C.61D.51解析：51152151)2()1()2521(=+==+==<<ξξξP P P ,故选D. 答案：D6.已知随机变量ξ的分布列为aii P 2)(==ξ（i ＝1,2,3）,则P （ξ＝2）等于（ ） A.91B.61C.31D.41解析：∵1232221=++aa a ,∴a＝3. ∴31322)2(=⨯==ξP .答案：C7.已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ～B （6,31）,则b （2;6,31）为（ ） A.163B.2434 C.24313 D.24380解析：24380)311()31()31,6;2(4226=-=C b .答案：D则此射手射击一次命中环数大于7的概率为…（ ） B.0.88C.0.79解析：P ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C9.口袋中有5只乒乓球,编号为1至5号,从袋中任取两只,若以ξ表示取到球中的最小,则P （ξ＜3）等于（ ） A.109B.107C.103D.51 解析：1,2,3,4,5等5个中任取两个,其中最小不小于3的只有（3,4）、（3,5）、（4,5）等3种可能,即103)3(=≥ξP ,故1071031)3(1)3=-=≥-=<(ξξP P . 答案：B10.若P （ξ≤x 2）＝1-β,P（ξ≥x 1）＝1-α,其中x 1＜x 2,则P （x 1≤ξ≤x 2）等于（ ） A.（1-α）（1-β）B.1-（α＋β） C.1-α（1-β）D.1-β（1-α） 解析：P （x 1≤ξ≤x 2）＝1-P （ξ＜x 1）-P （ξ＞x 2）＝1-［1-（1-α）］-［1-（1-β）］＝1-α-β＝1-（α＋β）. 答案：B 二、填空题11.如果ξ～B （20,P ）,当21=P 且P （ξ＝k ）取得最大值时,则k ＝___________________. 解析：当21=P 时,kk k k C C k P 20202020)21()21()21()(•===-ξ.显然当k ＝10时,P （ξ＝k ）取得最大值.答案：1012.从装有3个红球、2个白球的袋中随机地取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ解析：1.0)0(2522===C C P ξ,6.0)1(251213===C C C P ξ,3.0)22523===(C C P ξ. 答案：0.1 0.6 0.313.一名实习生用一台机器连续制造了3个同种零件,第i 个零件为一合格品的概率为11+=i P i （i ＝1,2,3）,设各次制造的零件合格与否是相互独立的,以ξ表示合格品的个数,则P （ξ＝2）＝_____________________. 解析：414131)211(41)311(21)411(3121)2(=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯==ξP . 答案：4114.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值X 围是____________________.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤-≤=+++-,10,10,1,1d a a d a a d a a d a 解得3131≤≤-d . 答案：3131≤≤-d三、解答题15.（2009某某某某期末调研,理18）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡,波及中国两大股市.甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底”.若三人商定在圈定的10支股票中各自随机购买一支（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）. （1）求甲、乙、丙三人恰好买到一支相同股票的概率;（2）求甲、乙、丙三人中至少有两人买到一支相同股票的概率;（3）由于国家采取了积极的救市措施,股市渐趋回暖.若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股买入1 000股,且预计今天收盘时,该股涨停（比上一交易日的收盘价上涨10%）的概率为0.5,持平的概率为0.2,否则将下跌5%,求该人今天获利的数学期望（不考虑交易税）. 解：（1）三人恰好买到一支相同股票的概率为1001101101101101=⨯⨯⨯=P 或1001)101(10333=⨯C .（2）三人中恰好有两人买到一支相同股票的概率为10027109)101(102232=⨯⨯=C P . 由（1）知,三人恰好买到一支相同股票的概率为10011=P , 所以,三人中至少有两人买到一支相同股票的概率为25710011002721=+=+=P P P .（3）每股今天获利钱数ξ的分布列为所以,1 000股在单日交易中获利钱数的数学期望为1 000Eξ＝1 000×［2×0.5＋0×0.2＋（-1）×0.3］＝700.16.在进行一项掷骰子放球游戏中规定：若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点,5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次.设x 、y 、z 分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数.（1）求x 、y 、z 依次成公差大于0的等差数列的概率. （2）记ξ＝x ＋y,求随机变量ξ的概率分布和数学期望. （1）解：x 、y 、z 依次成公差大于0的等差数列, 即为甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2, 此时的概率41)21(31213=⨯⨯=C P . （2）解法一：依题意知,ξ的取值为0、1、2、3. ∴81)21()0(3===ξP ,834181)21(31)21(61)1(213213=+=⨯⨯+⨯⨯==C C P ξ,83241616121)61(21)31(213161)2(22322333=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A P ξ,811813612712161)31(6131)61()31()61()3(22322333=+++=⨯⨯+⨯⨯++==C C P ξ,数学期望为283828180=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .解法二：把甲、乙两盒的球数合并成一盒,则每次掷骰子后球放入该盒中的概率213161=+=P ,且ξ～B （3,21）,分布列详见解法一. 23213=⨯=ξE .解法三：令η＝z,则η～B （3,21）,23213=⨯=ηE ,∵x＋y ＋z ＝3,∴ξ＝x ＋y ＝3-z. 分布列详见解法一.232333=-=-=ηξE E . 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）; （2）求η的分布列及期望Eη. 解：（1）由A 表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”, 知A 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.216.0)4.01()(3=-=A P ,784.0216.01)(1)(=-=-=A P A P .（2）η的可能取值为200元,250元,300元. P （η＝200）＝P （ξ＝1）＝0.4,P （η＝250）＝P （ξ＝2）＋P （ξ＝3）＝0.2＋0.2＝0.4,P （η＝300）＝1-P （η＝200）-P （η＝250）＝1-0.4-0.4＝0.2.Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240（元）.【例2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响.（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列. 剖析：（1）此事件属于3次独立重复试验,至少有两次连续击中包括第一、二两次击中,第三次没击中和第一次没击中,第二、三次击中和第一、二、三次都击中三种情况. （2）说明最后一次必须击中,前3次中有2次击中.（3）设ξ＝k,则最后一次必须击中,前k-1次中,有2次击中,所以有53)52()53()(2)1(221•••==---k k C k P ξ.解：（1）记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率为)()()(1A A A P A A A P A A A P P ••+••+••=12563535353535352525353=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率为6251625352)53(2232=⨯⨯⨯=C P . （3）由题设，“ξ＝k”的概率为33213221)53()52(53)52()53()(⨯⨯=⨯⨯⨯==----k k k k C C k P ξ（k ∈N *且k ≥3）.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：棱柱、棱锥与球(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练45棱柱、棱锥与球一、选择题1.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( ) A.43B.23C.2D.3解法一:过O 作OO′⊥平面ABC,O′是垂足,则O′是△ABC 的中心,则O′A=r=2. 又因为∠AOC=θ=3π,OA=OC,知OA=AC ＜2O′A. 又因为OA 是Rt△OO′A 的斜边, 故OA ＞O′A.所以O′A＜OA ＜2O′A. 因为OA=R,所以2＜R ＜4. 因此,排除A 、C 、D.故选B.解法二:在正△ABC 中,应用正弦定理,得AB=2rsin60°=23. 因为∠AOB=θ=3π,所以侧面AOB 是正三角形,得球半径R=OA=AB=23. 解法三:因为正△ABC 的外径r=2,故高AD=23r=3,D 是BC 的中点. 在△OBC 中,BO=CO=R,∠BOC=3π,所以BC=BO=R,BD=21BC=21R.在Rt△ABD 中,AB=BC=R, 所以由AB 2=BD 2+AD 2,得R 2=41R 2+9. 所以R=23. 答案:B2.已知球O 的半径是1,A 、B 、C 三点都在球面上,A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π,B 、C 两点的球面距离是3π,则二面角BOAC 的大小是( ) A. 4πB. 3πC. 2πD. 32π解析:由题意知在三棱锥O —ABC 中, ∠AOB=∠AOC=4π,∠BOC=3π,则BC=1. 作BD⊥AO,连结DC,则∠BDC 为所求二面角BOAC 的平面角. ∵S △AOB =21OB·OA·sin 4π=21·AO·BD, ∴BD=22. 同理,DC=22,由勾股定理可知△BDC 为直角三角形. ∴所求的二面角的大小为90°,选C. 答案:C3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B. 23C.2D.3解析:由题意,知截面与棱的交点为棱AD 的中点,设为E 点,∴EC=3,EF 为△EBC 的高,F 为BC 的中点.∴EF=222=-FC EC ,S=21BC×EF=2.答案:C4.如图,O 是半径为1的球的球心,点A 、B 、C 在球面上,OA 、OB 、OC 两两垂直,E 、F 分别是大圆弧与的中点,则点E 、F 在该球面上的球面距离是…( )A.4πB. 3πC. 2πD.42π解析:∵E、F 分别为圆弧、的中点,故∠AOE=∠AOF=4π.通过E 、F 两点分别作AO 的垂线,根据图形的对称性,易知垂足重合,设为H 点, 则HF=EH=22R,在等腰Rt△EHF 中,EF=R,则△EOF 为正三角形. 故球心角∠EOF=3π,可求得点E 、F 的球面距离为3π,选B. 答案:B5.如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心O,且与BC 、DC 分别交于E 、F,如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为S 1、S 2,则必有( )A.S 1＜S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定 解析:设内切球半径为R,∵V A —BEFD =31(S △ABD +S △ABE +S △ADF +S 四边形BEFD )×R=V A —EFC = 31(S △AEC +S △ACF +S △ECF )×R, 即S △ABD +S △ABE +S △ADF +S 四边形BEFD =S △AEC +S △ACF +S △ECF , 两边同加S △AEF ,得S 1=S 2.故选C. 答案:C6.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点.将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起,使A 、B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )A.2734πB. 26πC.86πD.246π答案:C7.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA 1=1,则顶点A 、B 两点间的球面距离是( ) A.22πB.2πC.π22 D.π42 解析:由题意,易知球心O 是长方体对角线AC 1的中点.因为AB=2,AC 1=22,AO=OB=2,所以△AOB 是等腰直角三角形. 故球心角θ=2π, 所以A,B 两点间的球面距离为θR=22π. 答案:C8.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( ) A.38πB.328π C.82πD.332π解析:S 圆=πr 2=π⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1, ∴球的半径为R=22d r + =2. ∴V=34πR 3=328.故选B.答案:B9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦AB 、CD 可能相交于点M;②弦AB 、CD 可能相交于点N;③MN 的最大值为5;④MN 的最小值为1.其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案:C 二、填空题10.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为89,底面周长为3,则这个球的体积为___________. 解析:设底面正六边形的边长为a,球的直径为2R,棱柱的高为h,由已知a=21,6×43×(21)2×h=89⇒h=3,因为h 2+(2a)2=(2R)2, 所以2R=2,R=1. 故所求球的体积V=34πR 3=34. 答案:3411.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_________.解析:设三棱锥为S —ABC,则依题意,知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直,且SA=SB=SC=3,AB=BC=CA=6.设球的半径为R,则由题意,可得(R-1)2+(2)2=R 2,∴R=23.则外接球的表面积为S=4πR 2=9π. 答案:9π12.在体积为43π的球的表面上有A 、B 、C 三点,AB=1,BC=2,A 、C 两点间的球面距离为33π,则球心到平面ABC 的距离为_____________.解析:如图,由343R π=43π⇒R=3.又因为A 、C 两点间的球面距离为=|α|R,所以|α|R=33π⇒α=3π. 所以|AB|=R=3.又因为AB=1,BC=2,所以AB⊥BC.所以AC 是△ABC 所在圆的直径.设其圆心为O′,则圆O′的半径r=O′C=O′A=2AC=23. 所以球心到平面ABC 的距离为直线222222)23()3(''-=-=-=r R C O OC OO 23433=-=. 答案:23 13.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的各顶点都在球O 的球面上,其中AB∶AD∶AA 1=1∶1∶2, A 、B 两点间的球面距离记为m,A 、D 1两点间的球面距离记为n,则nm的值为___________ 解析:依题意知,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体对角线等于球O 的直径2R,因为AB∶AD∶AA 1=1∶1∶2,所以可设AB=AD=a,AA 1=2a(a ＞0),则a 2+a 2+2a 2=4R 2,所以a=R.所以AB=AD=R,AA 1=2R,则球心角∠AOB=3π,∠AOD 1=32π.所以A 、B 两点间的球面距离m=3πR,A 、D 1两点间的球面距离n=32πR,所以n m =21.答案:21三、解答题14.如图所示,四棱锥A —BCDE 中,AD⊥底面BCDE,AC⊥BC,AE⊥BE.(1)求证:A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上; (2)若∠CBE=90°,CE=3,AD=1,求B 、D 两点间的球面距离.解:(1)∵AD⊥底面BCDE, ∴AD⊥BC,AD⊥BE. 又∵AC⊥BC,AE⊥BE, ∴BC⊥CD,BE⊥ED.∴B、C 、D 、E 四点共圆,即BD 为此圆的直径. 取BD 的中点M,AB 的中点N,连结MN,则MN∥AD.∴MN⊥底面BCDE,即N 的射影是圆的圆心M,有AM=BM=CM=DM=EM,五点共球且直径为AB. (2)若∠CBE=90°,则底面四边形BCDE 是一个矩形,连结DN. ∵CE=3,AD=1,∴BD=3,MN=21. ∴R=BN=1,∠BNM=3π,∠BND=32π.∴圆周角α=32π.∴B、D 两点间的球面距离是l=|α|·R=32π. 15.如图,在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠A 1AB=∠A 1AC,AB=AC,A 1A=A 1B=a,侧面B 1BCC 1与底面ABC 所成的二面角为120°,E、F 分别是棱B 1C 1、A 1A 的中点.(1)求A 1A 与底面ABC 所成的角; (2)证明A 1E∥平面B 1FC;(3)求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的体积.解:(1)过A 1作A 1H⊥平面ABC,垂足为H,连结AH,并延长交BC 于点G,连结EG,于是∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.∵∠A 1AB=∠A 1AC,∴AG 为∠BAC 的平分线. 又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G 为BC 的中点.因此,由三垂线定理,得A 1A⊥BC. ∵A 1A∥B 1B,且EG∥B 1B, ∴EG⊥BC.于是∠AGE 为二面角ABCE 的平面角, 即∠AGE=120°.由四边形A 1AGE 为平行四边形, 得∠A 1AG=60°.所以A 1A 与底面ABC 所成的角为60°.(2)设EG 与B 1C 的交点为P,则点P 为EG 的中点,连结PF.在AGEA 1中,因为F 为A 1A 的中点,故A 1E∥FP.而FP ⊂平面B 1FC,A 1E ⊄平面B 1FC, 所以A 1E∥平面B 1FC.(3)连结A 1C,在△A 1AC 和△A 1AB 中, 由于AC=AB,∠A 1AC=∠A 1AB,A 1A=A 1A, 则△A 1AC≌△A 1AB,故A 1C=A 1B. 由已知得A 1A=A 1B=A 1C=a. 又∵A 1H⊥平面ABC, ∴H 为△ABC 的外心.设所求球的球心为O,则O∈A 1H,且球心O 与A 1A 中点的连线OF⊥A 1A. 在Rt△A 1FO 中,3330cos 21cos 111a aH AA F A O A ==∠= , 故所求球的半径R=33a, 球的体积V=34πR 3=34π(33a)3=2734πa 3.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的.已知正四面体的顶点都在球面上,球的直径为12 cm,则正四面体的棱长为__________cm,球心到正四面体各面的距离为____________cm.解析：设正四面体的棱长为a cm,球的半径为正四面体高的43, ∴6=3643⨯,得a=46cm. 又∵球心到各面的距离为高的41,即41×36×46=2 cm.答案：46 2【例2】 如图,水平地面上有一个大球,现有如下方法测量球的大小:用一个锐角为45°的三角板,斜边紧靠球面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直,P 为三角板与球的切点,如果测得PA=2,则球的表面积为.解析：设球心为O,半径为R,B 为另一个切点,∠PAB=135°,∠POB=45°,由余弦定理,得R 2+R 2-2R·Rcos45°=22+22-2×2×2cos135°, 整理,得R 2(1-22)=22·(1+22), R 2=22×2222-+=4(3+22),4πR 2=16π×(3+22)=(48+322）π,故填(48+322)π. 答案：(48+322)π。
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提能拔高限时训练35 β<圆 一、选择题1.已知A(0,b),点B 为椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线与x 轴的交点.若线段AB 的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（ ） A.3 B.23 C.33 D.43解析:由已知,得B(0,2c a -),又A(0,b), ∴AB 的中点C 为)2,2(2b c a -. ∵点C 在椭圆上,∴,3.14142222=∴=+c a c a 即33=e . 答案:C2.椭圆1422=+y x 的左、右两个焦点分别为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF 2|等于（ ） A.23B.3C.27D.4解析:方法一:设F 1(3-,0),F 2(3,0), 则点P 的横坐标为3-.由点P 在椭圆上,得,14)3(22=+-y ∴,21±=y 即|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a=4,∴|PF 2|=27. 方法二:由已知得a=2,c=3,e=23, 椭圆的右准线方程为3342==c a x .∵.27||,23)3(334||22=∴=+--PF e PF 答案:C3.设F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.]22,0( B.]33,0( C.)1,22[ D.)1,33[解析:如图,设右准线与x 轴的交点为H,则|PF 2|≥|HF 2|.又∵|F 1F 2|=|PF 2|, ∴|F 1F 2|≥|HF 2|,即2c≥c ca -2. ∴3c 2≥a 2.∴e 2≥31,即e≥33. 又∵e<1,∴e ∈［1,33). 答案:D4.设点P(-3,1)在椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线上,过点P 且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ） A.33 B.31 C.22D.21解析:入射光线所在直线的方程为y-1=25-(x+3),它与直线y=-2的交点为)2,59(--.又反射光线过点(-c,0),∴1,255902==+---c c . 又3,3,322==-=-a a ca , ∴33=e . 答案:A5.设椭圆12222=+by a x (a>b>0)与x 轴正半轴的交点为A,和y 轴正半轴的交点为B,P 为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB 的面积最大值为（ ） A.2ab B.ab 22C.21abD.2ab解析:方法一:设P(acosθ,bsinθ),则S四边形OAPB =S △OAP +S △OBP =)cos (sin 21cos 21sin 21θθθθ+=+ab ba ab . ∵sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)≤2, ∴S 四边形OAPB ≤22ab. 方法二:设点P(x,y),则S 四边形OAPB =S △AOP +S △BOP =).(212121bx ay bx ay +=+ 由不等式性质:a>0,b>0时,.2222)(21,2222222222ab b a x b y a bx ay b a b a ==+≤++≤+得方法三:如图,直线AB 的方程为),(0a x a b y --=-S 四边形OAPB =S △AOB +S △APB =ab 21+S △APB . 设点P 到直线AB 的距离为d,则S △APB =d b a d AB ∙+=∙2221||21, 由题意,知过点P 的直线与椭圆相切且和直线AB 平行时d 有最大值,∴可设过点P 且与AB 平行的直线为m x aby +-=.联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,1,2222b y a x m x ab y 得2b 2x 2-2mabx+a 2(m 2-b 2)=0,Δ=(-2mab)2-8a 2b 2(m 2-b 2)=0, 解得b m 2=.由两平行线间的距离公式,得,)12(22b a ab d +-=S △APB 最大值=ab 212-, ∴S 四边形OAPB 最大值=ab 22. 答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆1422=+y x 交于A 、B 两点,点P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为21的点P 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析:可求出直线l′:2x+y -2=0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,14,02222y x y x 解得x=0或x=1.∴A(0,2),B(1,0),|AB|=5. ∴点P 到AB 的距离为51. 由AB 所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+,515|22|,14002020y x y x 解之有两组解.故存在两个不同的P 点满足题意. 答案:B 7.椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2Y x (φ为参数)的离心率为（ ）A.32B.135C.35D.132解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得,1)3()2(22=+yx 即19422=+y x . ∴a 2=9,b 2=4,即a=3,b=2. ∴c 2=a 2-b 2=5,c=5. ∴35==a c e . 答案:C8.设e 为椭圆)2(1222->=-m m y x 的离心率,且e ∈(1,22),则实数m 的取值范围为（ ） A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(-2,21-) 解析:∵椭圆方程为1222=-+my x , ∵m>-2且-m>0, ∴0<-m<2.∴a 2=2,b 2=-m,即.,2m b a -== ∴c 2=a 2-b 2=2+m,m c +=2,)1,22(22∈+==m a c e .解得m ∈(-1,0). 答案:A9.若AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦,F 1为椭圆的右焦点,则△F 1AB 面积的最大值为（ ）A.6B.12C.24D.48解析:由已知得F 1为(3,0),则△F 1AB 可看成由△OBF 1和△OAF 1组成. 设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0). ∴111O AF O BF AB F S S S ∆∆∆+==||||21||||210101y OF y OF ∙+-∙ =||3||321200y y =⨯⨯⨯.由椭圆的定义,知|y 0|≤b=4, ∴.121≤∆AB F S 答案:B10.已知椭圆192522=+y x ,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于P 点,设PA =λ1,=λ2,则λ1+λ2的值为（）A.259-B.950-C.950 D.259 解析:设直线AB 的方程为y=k(x-c),则02)()()0(1222222222222222=-+-+⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=>>=+b a c k a x ck a x b k a c x k y b a b y a x ,∴222222b k a ck a x x B A +=+, 22222222b k a b a c k a x x B A +-=,BBA A x c x x c x -+-=+21λλ=BA B A BA B A x x x x c c x x x x c ++--+)(2)(2=121)(2222222222-=-=--=-e ac c a a b a . ∵,54=e ∴λ1+λ2=950-. 答案:B 二、填空题11.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ,则m 的值为___________. 解析:分两种情况.焦点在x 轴上时,0<m<5, ∴51055=-=m e ,解得m=3; 焦点在y 轴上时,m>5, ∴,5105=-=mm e 解得325=m . 答案: 3或32512.(理)在△ABC 中,AB=BC,cosB=187-.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________. 解析:∵以A 、B 为焦点的椭圆经过点C, ∴BCAC ABe +=.∵AB=BC,∴ABAC ABe +=.又1872cos 222-=∙-+=BC AB AC BC AB B , ∴18722222-=-AB AC AB ，解得AB AC 35=. ∴83=e . 答案:83(文)在△ABC 中,∠A=90°,tanB=43.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x, 那么2c=|AB|=4x,∴2184===x x a c e . 答案:2113.已知A 、B 为椭圆C:1122=++my m x 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且∠APB 的最大值是32π,则实数m 的值是______________. 解析:由椭圆知识,知当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值,根据题意则有.2113tan=⇒+=m mm π答案:2114.椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2,点P 为椭圆上的动点.当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是__________.解析:若∠F 1PF 2=90°,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,52322=-=c . ∴F 1(5-,0),F 2(5,0). ∴15521-=-∙+=∙x yx y k k PF PF . ①又14922=+y x . ② 解①②得x=±553. 结合椭圆图形可得,当∠F 1PF 2为钝角时,553553<<-x . 答案：553553<<-x 三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l 与x 轴相交于点A,且｜OF ｜=2｜FA ｜,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率;(2)设OQ OP ∙=0,求直线PQ 的方程.解:(1)由题意,设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x . 由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧-==-),(2,2222c c a c c a 解得a=6,c=2.∴椭圆的方程为12622=+y x ,离心率36==a c e . (2)由(1)知A(3,0),设直线PQ 的方程为y=k(x-3),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+).3(,12622x k y y x 得(3k 2+1)x 2-18k 2x+27k 2-6=0. 依题意Δ=12(2-3k 2)>0, ∴3636<<-k . 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1+x 2=13627,1318222122+-=+k k x x k k ,由直线PQ 的方程,得y 1y 2=k(x 1-3)·k(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］. ∵OQ OP ∙=0,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴0]91318313627[136272222222=++⨯-+-++-k k k k k k k . 整理得5k 2=1, ∴)36,36(55-∈±=k . ∴直线PQ 的方程为55±=y (x-3), 即035=--y x 或035=-+y x .16.(理)已知菱形ABCD 的顶点A,C 在椭圆x 2+3y 2=4上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点(0,1)时,求直线AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(1)由题意得直线BD 的方程为y=x+1. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD. 设直线AC 的方程为y=-x+n.由⎩⎨⎧+-==+,.4322n x y y x 得4x 2-6nx+3n 2-4=0. ∵A,C 在椭圆上, ∴Δ=-12n 2+64>0,解得334334<<-n . 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=23n ,,443221-=n x x y 1=-x 1+n,y 2=-x 2+n. ∴y 1+y 2=2n ,AC 的中点坐标为)4,43(nn . 由四边形ABCD 为菱形可知,点)4,43(nn 在直线y=x+1上.∴1434+=nn ,解得n=-2. ∴直线AC 的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)∵四边形ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, ∴|AB|=|BC|=|CA|. ∴S 菱形ABCD =2||23AC . 由(1)知|AC|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=.21632+-n ∴S 菱形ABCD =).334334)(163(432<<-+-n n ∴当n=0时,S 菱形ABCD 取得最大值34.(文)已知△ABC 的顶点A,B 在椭圆x 2+3y 2=4上,C 在直线l:y=x+2上,且AB ∥l.(1)当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90°,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程. 解:(1)因为AB ∥l,且AB 边通过点(0,0), 所以AB 所在直线的方程为y=x. 设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎨⎧==+,,4322x y y x 得x=±1.所以|AB|=2|x 1-x 2|=22.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离, 所以h=2,S △ABC =2||21=∙h AB . (2)设AB 所在直线的方程为y=x+m.由⎩⎨⎧+==+,,4322m x y y x 得4x 2+6mx+3m 2-4=0. 因为A,B 在椭圆上, 所以Δ=-12m 2+64>0.设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则443,2322121-=-=+m x x m x x . 所以|AB|=2|x 1-x 2|=26322m -.又因为BC 的长等于点(0,m)到直线l 的距离,即|BC|=2|2|m -, 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m 2-2m+10=-(m+1)2+11. 所以当m=-1时,AC 边最长.(这时Δ=-12+64>0) 此时AB 所在直线的方程为y=x-1. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知椭圆M 的两焦点坐标分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率21=e ,P 是椭圆M 上的动点. (1)求椭圆M 的方程; (2)设||||21PF -=m,求m 的取值范围. (3)求21PF PF ∙的取值范围.解:(1)由已知得c=1,21=a c ,∴a=2,b=3, 即椭圆M 的方程为13422=+y x . (2)设P 点的坐标为(x 0,y 0),则x 0∈［-2,2］,又||1PF =e(x 0+ca2)=a+ex 0, ||2PF 002)(ex a x ca e -=-=,∴m=||||21PF PF -=2ex 0=x 0∈［-2,2］. (3)∵||||21PF PF -=m,||||21PF PF +=4,∴||1PF =24m +, ||2PF =24m -.||||2121PF PF PF PF ∙=∙cos 〈||1PF ,||2PF 〉=||||||||21221222121F F PF PF PF -+∙∙=21)|||||(|2212221F F PF -+=48]2)24()24[(212222+=--++m m m .又m ∈［-2,2］,∴21PF PF ∙∈［2,3］. 【例2】已知椭圆12222=+by a x (a>b>0),长轴两端点为A 、B,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°,求这个椭圆的离心率的范围.解:如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q 在x 轴上方,设Q 点坐标为(x 0,y 0),直线QA 、QB 的斜率分别为k 1、k 2.又A(-a,0)、B(a,0),由于直线QA 到直线QB 的角是120°,∴311120tan 000000002112-=+∙-++--=+-=︒ax y a x y a x y a x y k k k k , 整理得3222200-=+-y a x ay . ①∵点Q 在椭圆上,∴1220220=+b ya x ,即)1(22022b y a x -=,代入①得22032cab y =. ∵0<y 0≤b,∴0<b cab ≤2232,即ab c 232≥.∴3c 4≥4a 2(a 2-c 2),即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0. 故3e 4+4e 2-4≥0,∴322≥e . 又e<1,∴136<≤e . 【例3】如图,点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PA ⊥PF.(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.解:(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P 的坐标是(x,y),则AP =(x+6,y),=(x-4,y).由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+,0)4)(6(.12036222y x x y x则2x 2+9x-18=0,x=23或x=-6. 由于y>0,只能x=23,于是y=235. ∴点P 的坐标是)235,23(.(2)直线AP 的方程是x-3y+6=0.设点M 的坐标是(m,0),则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ,于是|6|2|6|-=+m m ,又-6≤m≤6,解得m=2,椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 的平方为d 2=(x-2)2+y 2=x 2-4x+4+20-15)29(949522+-=x x .由于-6≤x≤6,∴当29=x 时d 取最大值15.。