吉林省2014年高考数学考试大纲理科

合集下载

2014年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)

2014年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A.M∪N=RB.M∪∁R N=RC.N∪∁R M=RD.M∩N=M【答案】B【解析】解：A、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜2}≠R，故错误；B、∵集合N={x|0＜x＜1}，全集为R，∴C R N={x|x≤0或x≥1}，又集合M={x|x＜2}，则M∪C R N=R，本选项正确；C、∵集合M={x|x＜2}，全集为R，∴C R M={x|x≥2}，又集合N={x|0＜x＜1}，则N∪C R M={x|0＜x＜1或x≥2}≠R，故错误；D、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，故错误，故选BA、由集合M与N，根据并集的定义：属于集合M又属于集合N的元素组成的集合为M与N的并集，确定出并集即可做出判断；B、先由全集R，及集合N，根据补集的定义，在R中找出不属于N的部分，确定出N 的补集，然后找出补集与M的公共元素即可确定出所求，做出判断；C、同理由全集R和集合M求出M的补集，然后求出补集与N的并集，即可做出判断；D、由集合M和N，找出两集合的公共元素，确定出两集合的交集，做出判断．此题考查了交集、并集及补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，学生在求补集时注意全集的范围．2.设i是虚数单位，则|（1-i）-|等于（）A.0B.4C.2D.【答案】D【解析】解：∵1-i-=1-i+2i=1+i，∴|1+i|=，故选：D．根据复数的四则运算进行化简即可．本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础．3.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：=（1，0）+λ（1，2）=（1+λ，2λ）由（）⊥可得：3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=故选A由向量的运算可得的坐标，由向量的垂直可得关于λ的方程，解之可得答案．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的垂直与数量积的关系，属中档题．4.已知命题p：函数y=2-a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x-1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【答案】B【解析】解：函数y=2-a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2-a x+1恒过（-1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x-1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x-1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称，所以命题q假，则命题￢q 真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5.运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A.①④B.②④C.①③D.②③【答案】D【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，∴①是假命题；②∵线性相关系数r的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切，∴“两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1”是真命题；③∵变量ξ～N（1，σ2），∴P（0＜ξ＜2）=2P（0＜ξ＜1）=0.8，∴③是真命题；④∵随机变量K2的观测值k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大，∴④是假命题．∴以上真命题的序号是②③；故选：D．①根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；②由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；③由变量ξ～N（1，σ2），求出P（0＜ξ＜2）的值，判定命题是否正确；④由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题．7.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题8.计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有（）A.60种B.42种C.36种D.24种【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C32A42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选：A．根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，解题时注意正确理解题意，确定分类讨论的依据，分类讨论注意做到不重不漏．9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴母线长为，圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．故选A．由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，求出圆锥的母线长，圆锥的表面积等于底面半圆面积+侧面三角形面积+圆锥侧面积的一半．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．10.已知函数f（x）=x2+2x+1-2x，则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：f（x）=x2+2x+1-2x=（x+1）2-2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）-h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（-∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h （x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．本题考查函数图象特征与函数值正负的对应，确定出对应区间上函数值的符号是解答的关键．11.已知直线l与双曲线C于A，B两点（A，B在同一支上），F1，F2为双曲线的两个焦点，则F1，F2在（）A.以A，B为焦点的椭圆上或线段AB的垂直平分线上B.以A，B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上C.以AB为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上D.以上说法均不正确【答案】B【解析】解：当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，设双曲线焦点在x轴，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且A、B都在右支上，由双曲线定义：|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，则|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由双曲线定义知F1，F2在以A、B为焦点的双曲线上，故选：B．当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，由双曲线定义推导出|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由此能求出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．12.设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）＞0的解集为（）A.（-∞，-2012） B.（-2012，0）C.（-∞，-2016）D.（-2016，0）【答案】C【解析】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（-2）=4f（-2），即不等式等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，∵F（x）在（-∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，即x＜-2016，故选：C．根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，则B= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，∵sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，∴利用正弦定理得：a2+c2-b2=ac，∴cos B==，∴B=，故答案为：．由条件利用正弦定理可得a2+c2-b2=ac，由此求得cos B=的值，可得B的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．14.的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为______ ．【答案】【解析】解：=，则（1+x3）3的展开式的通项公式为，当k=1时，展开式的常数项a=，即a=3，此时直线y=ax=3x，由得x2=3x，解得x=0或x=3，则由积分公式得=（）|=，故答案为：；先根据二项式定理求出常数a，然后利用积分的几何意义求区域面积．本题主要考查利用积分求区域面积，利用二项式定理的知识求出常数项a是解决本题的关键．15.用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为______ ．【答案】【解析】解：由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形，蛋槽的底面是正三角形边长为2，∴蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为1的等边三角形A′B′C′，O-A′B′C′是列出为1的正四面体，∴球心到面A′B′C′的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为．故答案为：．画出图形，判断蛋槽的底面三角形的形状，求出蛋槽的高，判断球心与蛋槽的上底面三棱锥的形状，然后求出棱锥的高即可．本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，点到平面距离的求法，考查计算能力．16.已知数列{a n}中，a1=1，a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，则a1+a2+a3+…+a100= ______ ．【答案】1306【解析】解：∵a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，∴a n=n-a2n，a n=a2n+1-1，∴a2n+1+a2n=n+1，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=50-（25-a25）=25+a12+1=26+（6-a6）=32-（3-a3）=29+（a1+1）=31，∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306．故答案为：1306．由已知条件得a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=29+（a1+1）=31，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.已知α为锐角，且tanα=-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+），数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵tanα=-1，∴tan2α===1，又α为锐角，∴2α=，∴sin（2α+）=1，∴f（x）=2x+1；（Ⅱ）∵a n+1=f（a n）=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），∵a1=1，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2•2n-1=2n，∴a n=2n-1，∴na n=n•2n-n，下面先求{n•2n}的前n项和T n：T n=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，2T n=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减得：-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，∴T n=2+（n-1）•2n+1，∴S n=2+（n-1）•2n+1-．【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式；（Ⅱ）依题意，可知数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得a n=2n-1，na n=n•2n-n，先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和T n，再利用分组求和法求得S n．本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得a n=2n-1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．18.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【答案】解：（1）∵投资A项目的资金为x（x≥0）万元，未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4，∴A项目投资利润ξ的分布列：∴Eξ=0.18-0.08=0.1．∵投资B项目资金为y（y≥0）万元，未来一年内，位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．∴B项目投资利润η的分布列：∴∴η=0.21y-0.01y=0.2y．…（6分），…（9分）（2）由题意知x，y满足的约束条件为，由（1）知，z=Eξ+Eη=0.1x+0.2y，当x=50，y=50，∴z取得最大值15．∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．…（12分）【解析】（1）由已知条件，利用概率分布列的性质和计算公式能求出能求出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη．（2）由题意列出x，y满足的约束条件，由此估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．（1）证明：平面PBC∥平面ODM；（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明：∵BC=CD=DA，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．∴BO=OA=CD=DA=4，∵底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，…（2分）∵CD平行且等于BO，∴四边形OBCD是平行四边形，∴BC∥OD．∵AO=BO，AM=PM，∴OM∥PB，又∵BC∥OD，∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则P（0，0，4），B（-4，0，0），A（4，0，0），C（-2，-2，0），D（2，-2，0），…（8分）∴=（-4，0，-4），=（2，-2，0），设平面PBC的法向量，，，则，取x=，得，，，又，，，，，，设平面PAD的法向量，，，则，取，得，，，设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．…（12分）【解析】（1）由已知条件推导出四边形OBCD是平行四边形，从而得到BC∥OD．进而得到OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，由此能够证明平面PBC∥平面ODM．（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，∴由题意，得，…（2分）解得a=3，b=2…（4分）∴椭圆方程为．…（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤3）∴|PF2|2=（x1-1）2+y12=（x1-9）2，∴|PF2|=3-x1，------------------------（8分）连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2-|OM|2=x12+y12-8=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=3----------------------------------（11分）同理可求|QF2|+|QM|=3∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值．…（12分）【解析】（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2求出|PQ|，可得结论．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．21.已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：＜f′（）．【答案】（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•=1+lnx，令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln，∴x＞；令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln，∴0＜x＜，∴f（x）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，）．f（x）极小值=f（）==-，f（x）无极大值．（2）证明：不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即＜-+x2-x1，＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，即证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，g′（t）=ln+t+-1=ln=ln（1+）-，令（x＞0），h（x）=ln（1+x）-x，h′（x）=＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+）-＜0恒成立，∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，∴tln＜ln+t-1得证，∴＜′成立．【解析】（1）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间，有极值点的定义可求极值；（2）不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即证＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，只证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，利用导数证明g（t）＜0即可；该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查不等式的证明，考查学生的运算推理能力和转化问题的能力．22.如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H．（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；（Ⅱ）若GH=6，GE=4，求EF的长．【答案】证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．∴C，D，E，F四点共圆；（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．∴EF=GF-GE=9-4=5．【解析】（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE 即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到GH2=GE•GF．即可熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理、割线定理等是解题的关键．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ-）的公共点，求x+y的取值范围．【答案】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-），所以ρ2=4ρ（sinθ-cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x-2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0，可得（x+1）2+（y-）2=4所以圆C的圆心是（-1，），半径是2将代入z=x+y得z=-t…（8分）又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，由题意有：-2≤t≤2所以-2≤t≤2即x+y的取值范围是[-2，2]．…（10分）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．24.设函数f（x）=|x-2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）由于函数f（x）=|x-2a|，由不等式f（x）＜1，可得-1＜x-2a＜1，解得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，解得a=1．（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a ＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，故有a＜，即a的范围为（-∞，）．【解析】（1）解不等式f（x）＜1，可得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．（2）由题意可得不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式额解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。

2014年全国高考数学理科(解析几何部分)解析汇编

= (4k 2 + 2)2 − 4 + 16k 2 + 16 = 16(k 2 + 1)2
同理可得MN2=
16(m 2 + 1) 2 (2m 2 + 1) k4
【北京市·第 19 题】已知椭圆C：x2+2y2=4。（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2 上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2 的位置关系，并证明你的结论
c 2 3c 2
3 4
b ） a
2
∴OA=OF1+F1A= ∴点 N（ −
3c 3c ，-1）或（ − ，1） 2 2
b2 a
9c 2 1 + =1 4a 2 b 2 将 c 2 = a 2 − b 2 代入上式得：
代入 C 方程得：
2 ∴ tan ∠MF1 F2 = MF2 = b = 3 F1 F2 2ac 4
2014 年全国高考数学理科——解析几何部分——解析汇编
【天津市·第 18 题】设椭圆
x2 y 2 + = 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知 a 2 b2
|AB|= 3 |F1F2|． 2
（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l 的斜率解：（1）∵A（a，0），B（0，b） ∴|AB|= a 2 + b 2 ∵|F1F2|= 2c = 2 a 2 − b 2 ∴EF1= ( − 2 c + c ) 2 + ( 2 c) 2 = 5 c 3 3 3 设直线 l 的方程为 y = kx ，即 kx − y = 0 则点 E 到直线 l 的距离为：

吉林省吉林市普通中学2014届高三开学摸底考试数学(理)试题(附答案)

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>，则A B =A. {}|24x x -<< B. {}|3x x > C. {}|34x x <<D. {}|23x x -<<2. 复数ii-+13等于 A. i 21-B. i 21+C. i -2D. i +23. ()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f A. 0B. 3C. -1D. -24. 如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填 A. i ≥10? B. i ≥11?C. i ≤11?D. i ≥12?5. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为 A. 600B. 288C. 480D. 5046. 设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；② 若βαβα//,,//m m 则⊂； ③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,；④ 若//,//,//m m αβαβ则其中正确命题的序号是 A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③7. 平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于A ．4B ．-4C ．2D ．-28. 已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为 A. 1 B. ±1C. 2D. ±29. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．8B ．8+C ．8D ．32310. 已知函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 A. （∞+，3）B. （1，3）C. （∞+，2）D. （1，2）12. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是A. 10,5,5+∞（]（）B. 10,[5,5+∞（））C. 11,]5,775（（）D. 11,[5,775（））第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b =14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-07202201y x y x y x ，则y x z +=的最大值是15. 下列说法：① “R x ∈∃，使x2>3”的否定是“R x ∈∀，使≤x23”； ② 函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π；③ “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件；其中正确的说法是（只填序号）.16. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、6、3，若四面体ABCD 的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为。

吉林省长春市2014届高三第一次调研试题(理科数学)(解析版)

吉林省长春市2014届高三第一次调研试题（理科数学）（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合2{|430}M x x x =-+<,集合N={ x|lg(3-x)>0},则MN = ( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2的一条对称轴的方程是( )4.抛物线212x y =的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12 (D). 145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q 的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12 (D)－ 1或－126.定义某种运算S a b =⊗,运算原理如图所示，则式子151[(2tan )ln ][lg100()]43e π-⊗-⊗的值为( )( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 0 【答案】D7.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为( )(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )(A). 若m//n，n α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A（B（C（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）【答案】D11.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S 的是( ) (A). f(x)=tanx (B).()x f x e =－1 (C). f(x)=sinx (D). f(x)= ln(x+1)12.已知设函数F(x)= f(x+3) g(x －4),且F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b Z ∈) 内,则b －a 的最小值为( )(A) 8 (B). 9 (C). 10 (D). 11 【答案】C 【解析】试题分析：验证01)0(>=f ，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A1B1C1 的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12 ,则该三棱柱的体积为 .3【答案】3【解析】15.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇是函数②.y＝f(x)是周期函数 ,周期为2 ③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大值④. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .考点：新定义、函数的性质和图像.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1523,27a S S =-=, (1).求数列{}n a 的通项公式；(2).若121),n n n S a S +++成等比数列,求正整数n 的值 .18.(本小题满分12分）已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+∙.(1).求函数f(x )的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1, c =，且()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.……………………10分从而当1=b 时，△ABC 的面积436sin 1321=⨯⨯⨯=πS ； ……………………11分当2=b 时，236sin 2321=⨯⨯⨯=πS . ……………………12分考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积.19.(本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由（2）存在满足条件的332-=AM .【解法一】假设存在满足条件的点M ，过点D 作DN CM ⊥于点N ，连结1D N ，则1D N CM ⊥，所以1D ND ∠为二面角1D CM D --的平面角，……………………9分所以16D ND π∠=，在1Rt D ND ∆中，11D D =所以DN = 又在Rt DNC ∆中，2CD AB ==，所以6NDC π∠=，∴6π=∠MCB ，在Rt MCB ∆中，336tan =⋅=πBC BM ，∴2AM =-．故在线段AB 上存在一点M ，使得二面角1D CM D --为6π，且23AM =-. ………………………………………12分【解法二】依题意，以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，故在线段AB 上是存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6π，且332-=AM .……………………………………………12分考点：线面的位置关系、二面角.20.(本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A 三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, ()MF OD MO +∙的最小值为72,求椭圆的方程. 试题解析：（1）设半焦距为c .由题意,A F A B的中垂线方程分别为)2(2,2a x b a b y c a x -=--=，于是圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--b ac b c a 2,22.所以222≤-+-=+bacb c a q p ，整理得02≤-+-ac b bc ab ， ……………………………………………4分即0))((≤-+c b b a ，所以c b ≤，于是22c b ≤，即22222c c b a ≤+=. 所以21222≥=a c e ，即122<≤e . ……………………………………………6分21.(本小题满分12分）已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈. (1)a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2)设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln 23-. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能能力以及分类讨论思想和等价转化思想的应用．第一问，先确定()F x 的解析式，求出函数()F x 的定义域，对()F x 求导，此题需讨论210x ax -+=的判别式，来决定'()0F x =是否有根，利用'()0F x >求函数的增区间，'()0F x <求函数的减区间；第二问，先确定()h x 解析式，确定函数的定义域，先对函数()h x 求导，求出'()0h x =的两根，即12,x x ，而利用韦达定理，得到12x x +，12x x ，即得到211x x =，111a x x =--代入到()h x 中，要求112111()()()()()H x h x h x h x h x =-=-，则构造函数()H x ，求出()H x 的最小值即可，对()H x 求导，判断函数()H x 的单调性，求出函数()H x 的最小值即为所求.（2）对xa xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(x ax x x a x x h ++=++='，由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， ………8分 ∴121x x =，从而有111x x a --=1111111()ln ln 2ln H x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----+--=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，……10分()()22ln 112ln 112)(x x x x x x x H +-=⎪⎭⎫⎝⎛-='. 当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 时，0)(<'x H ，∴)(x H 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单调递减，又)()()1()()(21111x h x h x h x h x H -=-=，∴[]32ln 5)21()()(min21-==-H x h x h . ………………12分考点：函数的单调性、函数的最值、导数的性质.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明学科网选讲.如图,四边形为边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于F,连接CF 并延长交AB 于点 E. (1).求证:E 为AB 的中点; (2).求线段FB 的长.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）a BF 55=. 【解析】试题分析：本题主要考查切割线定理、圆的几何性质等基础知识，意在考查考生的推理论证能力、数形结合能力．第一问，利用圆D 、圆O 的切线EA 、EB ，利用切割线定理，得到EA 和EB 的关系，解出EA=EB ，所以E 为AB 的中点；第二问，由于BC 为圆O 的直径，得BF CE ⊥，用不同的方法求三角形BEC 的面积，列成等式，得出BF 的长.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O ，x 轴正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,-5),点C 的极坐标为(4,)2π,若直线l 经过点P,且倾斜角为3π，圆C 的半径为4. (1).求直线l 的参数方程及圆C 的极坐标方程; (2).试判断直线l 与圆C 有位置关系.试题解析：（1）直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin53cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211（t 为参数）由题知C 点的直角坐标为()4,0，圆C 半径为4，∴圆C 方程为16)4(22=-+y x 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得圆C 极坐标方程8sin ρθ= ………5分24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M. (1)求M;(2)当a,b ∈M 时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.（2）当M b a ∈,时，则22<<-a ，22<<-b .即：42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b。

2014年全国高考考试大纲

I.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德.、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.II.考试内容根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。

数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进人高等学校继续学习的潜能二一、考核目标与要求1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包:括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。

(1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿.并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别,模仿.会求、会解等.(2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识问的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达.能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论.且备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有:描述.说明.表达，推侧、思象，比较、判别，初步应用等.(3)掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导证明。

2014年吉林省长春市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．47．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【解答】解：复数Z＝1﹣i的虚部是﹣1，故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M＝{x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0＝lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N＝{x|x＜2}，则M∩N＝{x|1＜x＜2}．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π【解答】解：∵f（x）＝（sin x+cos x）2＝sin2x+2sin x cos x+cos2x＝1+sin2x，由2x＝kπ+（k∈Z）得：x＝+（k∈Z），令k＝0得，x＝，∴函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程x＝，故选：A．4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．【解答】解：抛物线x2＝的方程可知：，解得p＝．∴此抛物线的焦点到准线的距离d＝．故选：D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【解答】解：S3＝＝，即前三项和为S3＝27，∵a3＝9，∴，即，∴＝，即2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝1或q＝，故选：C．6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．4【解答】解：∵运算S＝a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴＝2ⓧ1+2ⓧ3＝2×（1+1）+（2+1）×3＝13故选：A．7．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y＝﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z＝2a＝4∴a＝2故选：C．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β【解答】解：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：D．9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵||＝||，∴＝0，∴∠ABF＝90°，由射影定理得OB2＝OF×OA，∴b2＝ca，又∵c2＝a2+b2，∴c2＝a2+ca，∴a2+ca﹣c2＝0，∴1+e﹣e2＝0，解得e＝或（舍），∴e＝．故选：B．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．【解答】解：由三视图判断几何体是上半球前后、左右各切割去球体的球，∴几何体的表面积S＝2π×12+6×π×12+×4π×12＝2π+π+π＝π．故选：D．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）＝sin x，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，∴f′（x）＝（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x＝﹣1时，f′（x）＝2×1006+1＝2013＞0，当x≠﹣1时，f′（x）＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012＝（1﹣x）•+x2012＝＞0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；又f（0）＝1，f（﹣1）＝﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．∵g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，∴g′（x）＝（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012＝﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+ (x2012)＝﹣f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）＝﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），∵n≥2时，﹣＝＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b﹣a）min＝6﹣（﹣4）＝10．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则6．【解答】解：由题意可得＝•（+）＝+||•||cos120°＝9+＝6，故答案为：6．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为3．【解答】解：设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为××2＝3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为4024．【解答】解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：x2+y2﹣4x﹣4y﹣（x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y）＝0，化简得：（a n﹣2）x+（a2013﹣2）y＝0，﹣n∵圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0的标准方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，代入AB的方程得：2（a n﹣2）+2（a2013﹣2）＝0，﹣n即a n+a2013﹣n＝4，∴{a n}的所有项的和为a1+a2+…+a2012＝（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）＝1006×4＝4024．故答案为：4024．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为③①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．【解答】解：由已知中，f（x）＝sin（x﹣[x]），[x]表示不超过x的最大整数，可得f（1.5）＝sin（1.5﹣[1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝sin（﹣1.5﹣[﹣1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝f（1.5）≠0，故①y＝f（x）是奇函数错误；f（x+1）＝sin（x+1﹣[x+1]）＝sin（x+1﹣[x]﹣1）＝sin（x﹣[x]）＝f（x），1＜2π，故②y＝f（x）是周期函数，周期为2π错误；由g（x）＝x﹣[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y＝f（x）＝sin（x﹣[x]）∈[0，sin1），即y＝f（x）的最小值为0，无最大值，故③正确；④错误．综上，正确序号为③．故答案为：③三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S5﹣S2＝3a1+9d＝27，又a1＝3，则d＝2，故a n＝2n+1；（2）由（1）可得，由S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，∴，即n（n+2）2（n+4）＝8（2n+4）2，化简得n2+4n﹣32＝0，解得n＝4或n＝﹣8（舍），∴n的值为4．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（cos x+sin x，﹣）∴（）•＝cos x（cos x+sin x）+＝（1+cos2x）+sin2x+…（2分）∴f（x）＝（1+cos2x）+sin2x+＝sin2x+cos2x+2＝sin（2x+）+2…（5分）．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）＝sin（2A+）+2∵A为锐角，＜2A+＜∴当2A+＝时，即A＝时，f（x）有最大值3，…（8分）由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，∴b＝1或b＝2，…（10分）∵△ABC的面积S＝bc sin A∴当b＝1时，S＝×1××sin＝；当当b＝2时，S＝×2××sin ＝．…（12分）综上所述，得A＝，b＝1，S△ABC ＝或A＝，b＝2，S△ABC＝．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）又∵EO⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE…（4分）（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AE⊥A1D，又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1＝A∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E∴A1D⊥D1E…．（4分）解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），∵设平面D1EC的法向量为＝（x，y，z）则，得取＝（2﹣y0，1，2）是平面D1EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为＝（0，0，1），要使二面角D1﹣EC﹣D的大小为，而解得：，当AE＝时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为…（6分）20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．【解答】解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c＝2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即＝，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意知F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣﹣alnx，其定义域为（0，+∞），则F′（x）＝1+﹣＝，对于m（x）＝x2﹣ax+1，有△＝a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，F′（x）≥0，∴F（x）的单调增区间为（0，+∞）；②当a＞2时，F′（x）＝0的两根为，∴F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．综上：当﹣2≤a≤2时，F（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞2时，F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．（2）由于h（x）＝f（x）+g（x）＝x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）＝1++＝，若h′（x）＝0两根分别为x1，x2，则有x1•x2＝1，x1+x2＝﹣a，∴x2＝，从而有a＝﹣x1﹣，令H（x）＝[x﹣+（﹣x﹣）lnx]﹣[﹣x+（﹣x﹣）ln]＝2[（﹣x﹣）lnx+x ﹣]，则H′（x）＝2（﹣1）lnx＝．当时，H′（x）＜0，∴H（x）在上单调递减，又H（x1）＝h（x1）﹣h（）＝h（x1）﹣h（x2），∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为[H（x）]min＝H（）＝5ln2﹣3．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO＝∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO＝∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF＝∠CEB，∠ABC＝∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．【解答】解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，∴圆C方程为x2+（y﹣4）2＝16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ＝8sinθ．（2）由题意得，直线l的普通方程为x﹣y﹣5﹣＝0，圆心CC到l的距离为d＝＝＞4，∴直线l与圆C相离．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2＝4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）＝（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）第21页（共21页）。

吉林省2011--2014高考数学考点分布表

知识块知识点14年13年12年一、集合1．集合的含义与表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算11二、算法初步4．算法的含义、程序框图996 5．基本算法语句三、平面向量6．平面向量的实际背景及基本概念7．向量的线性运算688．平面向量的基本定理及坐标表示109．平面向量的数量积1610，16 10．向量的应用四、常用逻辑用语11．命题及其关系68 12．简单的逻辑联结词13．全称量词与存在量词五、复数14．复数的概念2115．复数的四则运算2吉林省高考数学（理科）考点分布表六、计数原理16．分类加法计数原理、分步乘法计数原理79 17．排列与组合712 18．二项式定理10七、函数概念与基本初等函数Ⅰ19．函数191，4，14，20．指数函数3721．对数函数3，41，21 22．幂函数23．函数与方程20，212118，20，21 24．函数模型及其应用202011—2014年高考数学（理科）考点分布表知识块知识点14年13年12年八、导数及其应用25．导数概念及其几何意义211826．导数的运算207，18，1919，21 27．导数在研究函数中的应用20，217，18，1919 28．生活中的优化问题29．定积分与微积分基本定理8九、三角函数30．任意角的概念、弧度制31．三角函数1612，163，16十、三角恒等变换32．和与差的三角函数公式1612，163 33．简单的三角恒等变换十一、解三角形34．正弦定理和余弦定理616，19 35．应用18，2015十二、数36．数列的概念和简单表示法21215列37．等差数列、等比数列42，2121十三、不等式38．不等关系17539．一元二次不等式2040．二元一次不等式组与简单线性规划问题441．基本不等式20十四、不等式选讲42．理解绝对值的几何意义，证明三角不等式43．求解三种类型的绝对值不等式14141444．利用三角不等式证明一些简单问题45．了解证明不等式的基本方法21十五、推理与证明46．合情推理与演绎推理7，8，12 47．直接证明与间接证明48．数学归纳法21212011—2014年高考数学（理科）考点分布表知识块知识点14年13年12年十六、平面解析几何初步49．直线与方程19，2111，181850．圆与方程1911，1818 51．空间直角坐标系十七、圆锥曲线与方程52．圆锥曲线11，191811，18 53．曲线与方程十八、坐标系与参数方程54．坐标系1355．参数方程1313十九、立体几何初步56．空间几何体51957．点、直线、平面之间的位置关系5，1820二十、空间向量与立体几何58．空间向量及其运算182019 59．空间向量的应用1819二十一、几何证明选讲60．平行线截割定理，RtΔ射影定理61．圆周角定理，切线判定与性质定理15151562．相交弦、圆内接四边形、切割线定理1563．平行投影64．定理2二十二、统计65．随机抽样366．用样本估计总体9，176 67．变量的相关性17二十三、概率68．事件与概率1769．古典概型39 70．随机数与几何概型二十四、概率与统计71．概率12，1717 72．统计案例。

2014年吉林省长春市高考数学一模试卷(理科)

2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数Z=1-i的虚部是（）A.iB.-iC.-1D.1【答案】C【解析】解：复数Z=1-i的虚部是-1，故选：C．利用虚部的意义即可得出．本题考查了虚部的意义，属于基础题．2.已知集合M={x|x2-4x+3＜0}，集合N={x|lg（3-x）＞0}，则M∩N=（）A.{x|2＜x＜3}B.{x|1＜x＜3}C.{x|1＜x＜2}D.∅【答案】C【解析】解：由M中的不等式x2-4x+3＜0，变形得：（x-1）（x-3）＜0，解得：1＜x＜3，即M={x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3-x）＞0=lg1，即3-x＞1，解得：x＜2，即N={x|x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.函数f（x）=（sinx+cosx）2的一条对称轴的方程是（）A.x=B.x=C.x=D.x=π【答案】A【解析】解：∵f（x）=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，由2x=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），令k=0得，x=，∴函数f（x）=（sinx+cosx）2的一条对称轴的方程x=，故选：A．利用三角函数中的平方关系与二倍角的正弦，可知f（x）=1+sin2x，利用其对称性可求得其对称轴方程，从而可从选项A、B、C、D中得到答案．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的对称性，属于中档题．4.抛物线x2=的焦点到准线的距离是（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】解：抛物线x2=的方程可知：，解得p=．∴此抛物线的焦点到准线的距离d=．故选：D．由抛物线x2=的方程可知：，解得p．即可得出此抛物线的焦点到准线的距离d=p．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．5.等比数列{a n}中，a3=9前三项和为S3=3x2dx，则公比q的值是（）A.1B.-C.1或-D.-1或-【答案】C【解析】解：S3==，即前三项和为S3=27，∵a3=9，∴，即，∴=，即2q2-q-1=0，解得q=1或q=，故选：C．根据积分公式先求出的S3的值，然后建立方程组进行求解即可．本题主要考查等比数列的计算，根据条件建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力．6.定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为A.13B.11C.8D.4 【答案】A【解析】解：∵运算S=a⊗b中S的值等于分段函数，，＜的函数值，∴=2ⓧ1+2ⓧ3=2×（1+1）+（2+1）×3=13故选A分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数，，＜的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.实数x，y满足＞若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y=-x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z=2a=4∴a=2故选C作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=-x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8.已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥αC.若l⊥n，m⊥n，则l∥mD.若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥βD【解析】解：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：D．利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断．本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题，解题时要注意培养学生的空间思维能力．9.已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，-b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵||=||，∴=0，∴∠ABF=90°，由射影定理得OB2=OF×OA，∴b2=ca，又∵c2=a2+b2，∴c2=a2+ca，∴a2+ca-c2=0，∴1+e-e2=0，解得e=或（舍），∴e=．故选B．先利用||=||，推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b2=ca，由此能求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到双曲线性质、向量、射影定理等知识点，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A. B. C.4π D.【答案】D【解析】解：由三视图判断几何体是上半球前后、左右各切割去球体的球，∴几何体的表面积S=2π×12+6×π×12+×4π×12=2π+π+π=π．故选D．由三视图判断几何体是上半球前后、左右各切割去球体的球，根据半径为1，求出表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．11.若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f （x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A.f（x）=e x-1B.f（x）=ln（x+1）C.f（x）=sinxD.f（x）=tanx【答案】C【解析】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．12.已知函数f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】解：∵f（x）=1+x-+-+…+，∴f′（x）=（1-x）+（x2-x3）+…+x2012=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x=-1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012=（1-x）•+x2012=＞0，∴f（x）=1+x-+-+…+在R上单调递增；又f（0）=1，f（-1）=----…-＜0，∴f（x）=1+x-+-+…+在（-1，0）上有唯一零点，由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．∵g（x）=1-x+-+-…-，∴g′（x）=（-1+x）+（-x2+x3）+…-x2012=-[（1-x）+（x2-x3）+ (x2012)=-f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）=（-）+（-）+…+（-）＞0，g（2）=-1+（-）+（-）+…+（-），∵n≥2时，-=＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-4）的零点．∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b-a）min=6-（-4）=10．故选C．可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x-4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b-a 的最小值．本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=2，则______ ．【答案】6【解析】解：由题意可得=•（+）=+||•||cos120°=9+=6，故答案为：6．根据题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义、两个向量的数量积的定义，求得的值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．14.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为______ ．【答案】3【解析】解：设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA=R，由4πR2=12π，得R=OA=，又AM=，由勾股定理可知，OM=1，所以MN=2，即棱柱的高h=2，所以该三棱柱的体积为××2=3．故答案为：3．求出底面中心到底面三角形顶点的距离，求出外接球的半径，然后求出棱柱的高，即可求出所求体积．本题是基础题，考查几何体的外接球的表面积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．15.已知数列{a n}（n=1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2-4x-4y=0，圆C2：x2+y2-2a n x-2a2013-n y=0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为______ ．【答案】4024【解析】解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：x2+y2-4x-4y-（x2+y2-2a n x-2a2013-n y）=0，化简得：（a n-2）x+（a2013-n-2）y=0，∵圆C1：x2+y2-4x-4y=0的标准方程为圆（x-2）2+（y-2）2=8，∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，代入AB的方程得：2（a n-2）+2（a2013-n-2）=0，即a n+a2013-n=4，∴{a n}的所有项的和为a1+a2+…+a2012=（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）=1006×4=4024．故答案为：4024．根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆心C1的圆心，得到a n+a2013-n=4即可求出{a n}的所有项的和本题主要考查数列的前n项和的计算，利用两圆的关系求出公共弦的方程，并求出a n+a2013-n=4是解决本题的关键，综合性较强．16.定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[-1.5]=-2，若f（x）=sin（x-[x]），则下列结论中：正确的序号为______①y=f（x）是奇函数；②y=f（x）是周期函数，周期为2π；③y=f（x）的最小值为0，无最大值；④y=f（x）无最小值，最大值为sin1．【答案】③【解析】解：由已知中，f（x）=sin（x-[x]），[x]表示不超过x的最大整数，可得f（1.5）=sin（1.5-[1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=sin（-1.5-[-1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=f（1.5）≠0，故①y=f（x）是奇函数错误；f（x+1）=sin（x+1-[x+1]）=sin（x+1-[x]-1）=sin（x-[x]）=f（x），1＜2π，故②y=f （x）是周期函数，周期为2π错误；由g（x）=x-[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y=f（x）=sin（x-[x]）∈[0，sin1），即y=f（x）的最小值为0，无最大值，故③正确；④错误．综上，正确序号为③．故答案为：③举出反例f（-1.5）=f（1.5）≠0可判断①；根据f（x+1）=f（x）可得1为函数的周期，可判断②；求出函数的值域，进而可判断③④本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，S5-S2=27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S5-S2=3a1+9d=27，又a1=3，则d=2，故a n=2n+1；（2）由（1）可得，由S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，∴，即n（n+2）2（n+4）=8（2n+4）2，化简得n2+4n-32=0，解得n=4或n=-8（舍），∴n的值为4．【解析】（1）设出等差数列{a n}的公差，由a1=3，S5-S2=27联立求得公差，则通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，由S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列得到，代入前n项和及通项后化为关于n的一元二次方程，求解方程得n的值．本题主要考查了等比数列的性质，关键是要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式，是中档题．18.已知向量，，向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=，且f （A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵=（cosx+sinx，-）∴（）•=cosx（cosx+sinx）+=（1+cos2x）+sin2x+…（2分）∴f（x）=（1+cos2x）+sin2x+=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2…（5分）．∴f（x）的最小正周期T==π．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+）+2∵A为锐角，＜2A+＜∴当2A+=时，即A=时，f（x）有最大值3，…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，∴，∴b=1或b=2，…（10分）∵△ABC的面积S=bcsin A∴当b=1时，S=×1××sin=；当当b=2时，S=×2××sin=．…（12分）综上所述，得A=，b=1，S△ABC=或A=，b=2，S△ABC=．【解析】（I）根据向量数量积的坐标公式，并且结合三角函数的降次公式和辅助角公式化简，得f（x）=sin（2x+）+2，再结合三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；（II）根据（I）的表达式并且A为锐角，得当A=时，f（x）有最大值3，结合余弦定理和题中数据列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面积．本题是一道三角函数综合题，着重考查了运用正余弦定理解三角形、三角函数的周期性及其求法、三角恒等变形和平面向量数量积的运算等知识点，属于中档题．19.如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1-EC-D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．【答案】证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）又∵EO⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE…（4分）（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AE⊥A1D，又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1=A∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E∴A1D⊥D1E…．（4分）解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），∵，，，，，设平面D1EC的法向量为=（x，y，z）则，得取=（2-y0，1，2）是平面D1EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为=（0，0，1），要使二面角D1-EC-D的大小为，而＜，＞解得：，当AE=时，二面角D1-EC-D的大小为…（6分）【解析】（1）O是AD1的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD1，再由线面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE；（2）由正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD1A1，进而线面垂直的性质定理得到AB⊥A1D，结合A1D⊥AD1及线面垂直的判定定理，可得A1D⊥平面AD1E，进而D1E⊥A1D；（3）以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，y0，0）（0≤y0≤2），分别求出平面D1MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D1-MC-D的大小为，结合向量夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得M占的坐标，进而求出AM长．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得EO∥BD1，（2）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（3）的关键是设出E点坐标，求出两个半平面的法向量，然后结合向量夹角公式构造方程．20.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．【答案】解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为，．由，整理得ab-bc+b2-ac≤0，即（a+b）（b-c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2=b2+c2≤2c2．∴，即＜；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c=2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即=，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．【解析】（1）求出线段AF、AB的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，由p+q≤0得到关于a，b，c的关系式，结合b2=a2-c2可得椭圆的离心率的取值范围；（2）当椭圆离心率取得最小值时，把a，b用含c的代数式表示，代入椭圆方程，设出M点坐标，求出（）•，然后对c分类求出最小值，然后由最小值等于求得c的值，则椭圆方程可求．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查与向量有关的最值问题，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．21.已知函数f（x）=x-，g（x）=alnx（a∈R）（1）a≥-2时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）设h（x）=f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）-h（x2）的最小值．【答案】解：（1）由题意知F（x）=f（x）-g（x）=x--alnx，其定义域为（0，+∞），则F′（x）=1+-=，对于m（x）=x2-ax+1，有△=a2-4．①当-2≤a≤2时，F′（x）≥0，∴F（x）的单调增区间为（0，+∞）；②当a＞2时，F′（x）=0的两根为，∴F（x）的单调增区间为，和，∞，F（x）的单调减区间为，．综上：当-2≤a≤2时，F（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞2时，F（x）的单调增区间为，和，∞，F（x）的单调减区间为，．（2）由于h（x）=f（x）+g（x）=x-+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）=1++=，若h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=-a，∴x2=，从而有a=-x1-，令H（x）=[x-+（-x-）lnx]-[-x+（-x-）ln]=2[（-x-）lnx+x-]，则H′（x）=2（-1）lnx=．当，时，H′（x）＜0，∴H（x）在，上单调递减，又H（x1）=h（x1）-h（）=h（x1）-h（x2），∴h（x1）-h（x2）的最小值为[H（x）]min=H（）=5ln2-3．【解析】（1）求F（x）的导数F′（x），利用F′（x）的正负判定F（x）的单调性，从而求出F（x）的单调区间；（2）求h（x）的导数h′（x）=，令h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=-a，从而有a=-x1-，令H（x）=[x-+（-x-）lnx]-[-x+（-x-）ln]，利用导数得到H（x）在，上单调递减，故h（x1）-h（x2）的最小值为[H（x）]min，从而转化为求函数最值问题解决．本题考查了利用导数判定函数的单调性以及根据函数的单调性求函数极值的问题，是中档题．22.选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【答案】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以∠∠，即∠CDO=∠BCE，故R t△CDO≌R t△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）【解析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到∠∠，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，本题解题的关键是得到三角形全等和三角形相似，本题是一个中档题目．23.选修4-4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点C的极坐标为（，），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．【答案】解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，∴圆C方程为x2+（y-4）2=16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ=8sinθ．（2）由题意得，直线l的普通方程为x-y-5-=0，圆心CC到l的距离为d==＞4，∴直线l与圆C相离．【解析】（1）由题意求得直线l的参数方程，C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，求得圆C方程，再将直线的参数方程代入，求得圆C极坐标方程．（2）先求得直线l的普通方程，再求得圆心C到l的距离大于半径，可得直线l与圆C 相离．本题主要考查求直线的参数方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．24.（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【答案】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x-1|=，＜，，＞当x＜-1时，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；当-1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（-2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即-2＜a，b＜2，∵4（a+b）2-（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）-（16+8ab+a2b2）=（a2-4）（4-b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）【解析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2-（4+ab）2＜0，即可得到结论．本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．。

2014全国新课标卷Ⅰ(理科数学)精准解析

2014高考真题•全国新课标卷I (理科数学)1. [2014高考真题新课标全国卷I ]已知集合A = {x|x 2— 2x — 3> 0} , B ={x|— 2< x<2}，则A A B =()A . [ — 2,— 1]B . [ — 1, 2) B . [ — 1, 1] D . [1 , 2)1. A [解析]集合 A = (— a, — 1] U [3 ,+s )，所以 A A B = [ — 2,— 1].亠亠、一、(1 + i ) 32.[2014咼考真题新课标全国卷I ]( 1 — i )~2 =()A . 1 + iB . 1 — iC . — 1 + iD .— 1 — i(1+ i ) 3(1+ i ) 2 (1 + i ) 2i (1+ i ) .2. D [解析](1 — i ) 2 = ( 1 ― " 2 = —2 — = - 1 —i.3.[2014高考真题新课标全国卷I ]设函数f(x), g(x)的定义域都为 R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数3 . C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为 C.4 . [2014高考真题新课标全国卷I ]已知F 为双曲线C ： x 2— my 2= 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为()A. 3 B . 3 C. . 3m D . 3m4 . A [解析]双曲线的一条渐近线的方程为 x + . my = 0•根据双曲线方程得 a 2 = 3m, b 2 = 3,所以c = 3m + 3, 双曲线的右焦点坐标为(p 3m + 3, 0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为M ；m+ 3=看.\1 + m5 . [2014高考真题新课标全国卷I ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )1 3 A ・8 B.824= 16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本6.、[2014高考真题新课标全国卷I ]如图11,圆O 的半径为1 , A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x5 C.8 7 D.878.5 . D [解析]每位同学有2种选法，基本事件的总数为事件有的函数f(x)，贝U y = f(x)在［0 ,4'7. D ［解析］逐次计算，依次可得：M = 3, a = 2, b = 2, n = 2; M = 3, a = |, b = 8 n = 3; M = 15 15 b =三，n = 4.此时输出M ，故输出的是三.8 8713 a + B= 2n2 a + B = ~2n Bna= —+B 即卩2 a — B=孑•6. C ［解析］根据三角函数的定义，点 1 M(cos x , 0), △ OPM 的面积为qlsin xcos x|,在直角三角形 OPM 中,根据等积关系1 %f(x)= |sin xcos x|= 2|sin 2x|,且当x=q 时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项 C 中的图像.7.［2014新课标全国卷I ］执行如图12所示的程序框图，若输入的a ,b , k 分别为1, 2, 3，则20 16 7代亍B.?15 D.yCSS jb^M| rtwi+1 | ---158，8. ［2014高考真题新课标全国卷I ］设妖0, n , -€ 0,n LT，且 tan a2，则(cos -718. C ［解析］tanacos -cos 2 + sin--cos 》—si n 》 cos 》+ sin-^2B . 2 B cos 2 —sin 21 + tan2 ------- =tan +B ■1 — tan"27t因为B € 0，专，所以"4 + — € 7ttan a=tan 4 + B ，所以/ A /图12X | y > 19.、［2014高考真题•新课标全国卷I ］不等式组｛ -'的解集记为D ,有下面四个命题:X — 2y W 4p i ： ? (x , y)€ D , x + 2y >— 2, p 2： ? (x , y) € D , x + 2y > 2, P 3： ? (x , y) € D , x + 2y w 3, P 4： ? (x , y) € D , x + 2y w — 1. 其中的真命题是( )A . P 2, p 3B . p i , p 2C . p i , P 4D . p i , P 39. B ［解析］不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 z = x + 2y ,根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2, — 1)处取得最小值，且 Z min = 2 — 2= 0,即x + 2y 的取值范围是［0,+^ )，故命题p i , P 2为真，命题p 3, p 4为假.线PF 与C 的一个交点.若= 4,则QF =()A.7 B . 3 C.| D . 210 . B ［解析］由题知 F(2, 0)，设 P(— 2, t), Q(X 0, y °)，则 FP = (— 4, t), = (X 0— 2, y °),由 FP = 4FQ , 得一 4= 4(X 0— 2)，解得X 0= 1,根据抛物线定义得|QF|= x °+ 2 = 3.11. ［2014高考真题新课标全国卷I ］已知函数f(x)= ax 3— 3x 2 + 1，若f(x)存在唯一的零点 x °,且x °>0，则a 的取值范围是( ) A . (2 ,+^ ) B . (1 ,+^) C . ( —a, — 2) D . (— a, — 1)11. C ［解析］当a = 0时，f(x)=— 3x 2 + 1，存在两个零点，不符合题意，故 0.2 2 由 f' x) = 3ax 2— 6x = 0，得 x = 0 或 x = ~. a若a>0 ,则f(x)极大值=f(0)= 1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意. 综上可知，实数 a 的取值范围为(一a, — 2).12 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］如图13,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()'X、Q 是直若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0,且f(x)2 厂 x =-，且 f(x)a极小值=此时只需宁>0，即可解得 a<—2;10 . ［2014高考真题 F ，准线为I , P 是I 上一点,图13A . 6 .2B . 6C . 4 2D . 412 . B ［解析］该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥 E CC i D i (其中E 为BB i 的中点)，其中最长的棱为 D i E=-J ( 4 2) 2+ 22= 6.］(x — y)(x + y)8的展开式中x 2y 7的系数为 __________ .(用数字填写答案) xy 7的系数为C 7= 8, x 2y 6的系数为C 6 = 28，故(x — y)(x + y)8的展开式中14 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 __________14 . A ［解析］由于甲没有去过 B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市.115 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］已知A , B , C 为圆0上的三点，若=2(+ )，则与的夹角为 _______________16 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A , B , C 的对边，a = 2,且(2+ b) (sin A — sin B)= (c — b)sin 。

2014年全国高考考试大纲

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第 1 页共 12 页 2014年吉林省高考数学考试大纲 I. 考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度. II. 考生内容据普通高等学校对新生文化素质的要钻求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容，确定理工类高考数学学科考试内容. 数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进人高等学校继续学习的潜能. 一．考试目标和要求 1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. （1）了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有:描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等. (3)掌握:要求能够对所列的知识内容进行推理证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等. 2.能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. (1)空间想象能力:能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究图形中几何元素之间的相互关系；画图是指文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志. 第 2 页共 12 页

(2)抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性.揭示其本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.

(2)抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；

从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断. (3)推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是

由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明. 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学

命题真实性的初步的推理能力. (4)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的

条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. (5)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的

信息，并作出判断. 数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题. (6)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、

生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决. (7)创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，

选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强. 3.个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义. 要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神. 4.考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构. (1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内

容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度. (2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必第 3 页共 12 页

须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度. (3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把

握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能. 对能力的考查要全面考查能力，强调综合性、应用性，并要切合学生实际. 对推理论

证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力. (4)对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公

平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平. (5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构

造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题. 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学

能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求. 二、考试范围与要求

本部分包括必考内容和选考内容两部分.必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题.

（一）必考内容与要求 1．集合（1）集合的含义与表示 ①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. （2）集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. ②在具体情境中，了解全集与空集的含义. （3）集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. ③能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算. 2．函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数 ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. ③了解简单的分段函数，并能简单应用.