高中数学第2讲参数方程2.4平摆线和渐开线同步精练北师大版选修4-4
【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.4 平摆线和渐开线
探究一
探究二
探究三
探究二求渐开线的参数方程
正确求解此类问题的前提是记住渐开线的参数方程的形式,明确每个字母的意义. 关键是求出圆的半径.
典型例题2
有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为32 mm,求齿廓线的渐开线 的参数方程. 思路分析:直接利用圆的渐开线的参数方程来求解.
解:因为基圆的直径为 32 mm, 所以基圆的半径为 16 mm, 因此齿廓线的渐开线的参数方程为 ������ = 16(cos������ + ������sin������), (φ 为参数). ������ = 16(sin������−������cos������)
探究一
探究二
探究三
解 :(1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y-6 2 =0 的距离为 d= =6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. ������ = 6������−6sin������, (2)由于圆的半径是 6,所以可得摆线方程是 (φ 为参 ������ = 6−6cos������ 数). (3)令 y=0,得 6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z).代入 x=6φ-6sin φ,得 x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).
§4 平摆线和渐开线
4.1 平摆线 4.2 渐开线
学习目标 1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并 能推导出它们的参数方程. 2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.
思维脉络
1
2
一、平摆线
1.平摆线(旋轮线) 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨 迹叫作平摆线(或旋轮线),如图.
高中数学 第二章 参数方程 第4节 摆线和渐开线检测 北师大版选修44
第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4练习：第二讲 参数方程 4 平摆线和渐开线 课时作业 含答案 精品
一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就 不同解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解 如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB →＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)， ∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）.7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.。
高中数学教案 选修4-4教案 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学
难点
圆和摆线的渐开线参数1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（ 为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
三、分层练习
1、当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线 与直线 的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：2.4 平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线课后篇巩固探究A 组1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是( ){x =cosφ+sinφ,y =sinφ-cosφ A .1B .πC .2D .2π1,故其面积为π.2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是( ){x =φ-sinφ,y =1-cosφA .(π,0)B .(π,1)C .(2π,2)D .(2π,0).3.如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”,其中AE ,EF ,FG ,GH …的圆心依次按B ,C ,D ,A 循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是⏜AE 14π2⏜EF 14⏜FG 半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.143π2;⏜GH 144.导学号73144041我们知道关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为( ){x=r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)A.(φ为参数){x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)B.(φ为参数){x =r (1-cosφ),y =r (φ-sinφ)C.(φ为参数){x =rsinφ,y =r (1-cosφ)D.(φ为参数){x =r (1-cosφ),y =rsinφy=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x 的对称曲线方程,只需把其中的x 与y 互换.5.当φ=时,圆的平摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是 . π2{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ-4,4)6.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为 ,对应圆的渐开线方程为 .{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ (φ为参数){x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ7.已知平摆线的生成圆的直径为80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.平摆线的生成圆的半径r=40 mm,∴此平摆线的参数方程为(t 为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为{x =40(t -sint ),y =40(1-cost )2r=2×40=80(mm).8.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(3,0)代入参数方程得解得{3=r (cosφ+φsinφ),0=r (sinφ-φcosφ),{φ=0,r =3.所以基圆的面积S=πr 2=π×32=9π.9.已知圆C 的参数方程是(α为参数),直线l 对应的普通方程是x-y-6=0.{x =1+6cosα,y =-2+6sinα2(1)如果把圆心平移到原点O ,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x 轴的交点.圆C 平移后圆心为O (0,0),圆心到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切2622的.(2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是(φ为参数).{x =6φ-6sinφ,y =6-6cosφ(3)令y=0,得6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).代入x=6φ-6sin φ,得x=12k π(k ∈Z ),即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π,0)(k ∈Z ).B 组1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为( )A.(φ为参数){x =4cosφ,y =4sinφB.(φ为参数){x =-4cosφ,y =-4sinφC.(φ为参数){x =4(φ-sinφ),y =4(1-cosφ) D.(φ为参数){x =4(1-sinφ),y =4(φ-cosφ)2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.3.已知半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π(φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ而x=3φ-3sin φ=6k π(k ∈Z ).根据选项可知应选C .4.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(3,0)代入参数方程得解得{3=r (cosφ+φsinφ),0=r (sinφ-φcosφ),{φ=0,r =3.所以基圆的面积S=πr 2=π×32=9π.5.已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时对应的圆的渐开线的标准方程.y=0,得r (1-cos φ)=0,即得cos φ=1.所以φ=2k π(k ∈Z ).代入x=r (2k π-sin 2k π)=2,即得r=(k ∈Z ).1kπ又由实际可知r>0,所以r=(k ∈N +).1kπ易知,当k=1时,r 最大,最大值为.1π故圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).{x =1π(cosφ+φsinφ),y =1π(sinφ-φcosφ)6.导学号73144042一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时,求圆内一定点M 的轨迹方程.x 轴,点C 在x 轴上时的一个位置为原点,建立如图所示的直角坐标系.设点M (x ,y )为轨迹上任一点.取圆的转动角∠ABM=φ为参数.设圆半径为r ,点M 到圆心的距离为d (d<r ).开始时定点位于点M 0,滚动φ角后处于图中点M ,此时=rφ,得|OA|=rφ,=(rφ,r ).l ⏜AC OB 由α=-φ,得=(d cos α,d sin α)3π2BM =(dcos (3π2-φ),dsin (3π2-φ))=(-d sin φ,-d cos φ).由此得=(rφ-d sin φ,r-d cos φ),OM =OB +BM 又=(x ,y ),OM 故所求摆线的参数方程为(φ为参数).{x=rφ-dsinφ,y =r -dcosφ。
2017年高中数学 第二章 参数方程 第4节 摆线和渐开线检测 北师大版选修4-4
第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2) D ．3π23，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧φφ，＝－，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎫3π－＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。
高中数学选修4-4 北师大版 平摆线和渐开线 作业 Word版 含答案
学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2-4-1为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为( )图2-4-1A.π3 B.2π3 C.4π3D.π【解析】 由圆的渐开线的形成过程知|BM |＝AB ＝π3×2＝2π3.【答案】 B2.摆线⎩⎨⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0. ∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2). 【答案】 A3.圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )A.(－2,2π)B.(－2，－2π)C.(4,2π)D.(－4,2π)【解析】 把φ＝π代入得x ＝－2，y ＝－2π. 【答案】 B4.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )【导学号：12990033】A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3(α－sin α)，y ＝3(1－cos α)(α为参数)，把α＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.【答案】 C5.半径为2的基圆的渐开线方程是( ) A.⎩⎨⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ) B.⎩⎨⎧x ＝2(sin φ＋φcos φ)，y ＝2(cos φ－φsin φ)C.⎩⎨⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ－φsin φ)D.⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ) 【解析】 由圆的渐开线参数方程可知D 正确. 【答案】 D 二、填空题6.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8， 由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 7.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线⎩⎨⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________. 【解析】 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝r (1－cos α)，y ＝r (α－sin α)(α为参数)8.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数). 当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2). 【答案】 (π，2) 三、解答题9.有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子的半径为r ，在轮幅上有一点P 与轮子中心的距离为a (a ＜r )，点P 的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程.【解】 设圆滚动所沿直线为x 轴，圆心和P 点连线为y 轴建立坐标系，圆滚动α角后圆心在B 且与x 轴切于点A ，作PD ⊥Ox ，PC ⊥BA ，垂足分别为D ，C ，那么OA ＝MA ︵＝rα，设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝OD ＝OA －DA ＝rα－a sin α，y ＝DP ＝AC ＝AB －CB ＝r －a cos α， ∴所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝rα－a sin α，y ＝r －a cos α.10.渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标.【解】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0).[能力提升]1.已知平摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α)(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数α的值是( )A.πB.2πC.4πD.3π【解析】 因⎩⎨⎧ 2(α－sin α)＝4π，2(1－cos α)＝0.①②由②得cos α＝1，∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )， 即2k π＝2π(k ∈Z )， 所以取k ＝1，此时α＝2π， 因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π. 【答案】 B2.如图2-4-2，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是( )【导学号：12990034】图2-4-2A.3πB.4πC.5πD.6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C3.已知平摆线的方程为⎩⎨⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________.【解析】 由已知方程可化为 ⎩⎨⎧x ＝1·(α－sin α)，y ＝1·(1－cos α)，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π4.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程； (3)求平摆线和x 轴的交点.【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6， 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是 ⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数). (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ).代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )， 即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z ).。
「精品」高中数学第二章参数方程第4节摆线和渐开线检测北师大版选修4_4
第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3 6．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。
北师大版高中数学选修4-4 2.4平摆线和渐开线_学案设计(无答案)
平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。
2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。
3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。
【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。
难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。
【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。
2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。
【2019-2020】高中数学第二章参数方程第4节摆线和渐开线检测北师大版选修4_4
第1章信息化基础知识1.1 信息化基础知识信息化是当代社会生产力发展和人类文明进步的强大动力，国家信息能力是国家竞争力的重要组成部分。
20世纪90年代以来，信息技术不断创新，信息产业持续发展，信息网络广泛普及，信息化成为全球经济社会发展的显着特征，井逐步向一场全方位的社会变革演进。
进入21世纪，信息化对经济社会发展的影响更加深刻。
广泛应用、高度渗透的信息技术正孕育着新的重大突破。
信息资源日益成为重要生产要素、无形资产和社会财富，被认为是与土地、能源、材料同等重要的战略资源。
因特网开辟了无限广阔的信息空间，成为信息传播和知识扩散的崭新的重要载体，同时也加剧了各种思想文化的相互激荡。
电子政务在提高行政效率、改善政府效能、扩大民主参与等方面的作用日益显着。
信息安全的重要性与日俱增，成为各国面临的共同挑战。
信息化使现代战争形态发生重大变化，是世界新军事变革的核心内容。
全球数字鸿沟呈现扩大趋势，发展失衡现象日趋严重。
发达国家信息化发展目标更加清晰，正在出现向信息社会转型的趋向；越来越多的发展中国家主动迎接信息化发展带来的新机遇，力争跟上时代潮流。
全球信息化正在引发当今世界的深刻变革，重塑世界政治，经济、社会、文化和军事发展的新格局。
加快信息化发展，已经成为世界各国的共同选择。
信息化的迅猛发展震撼全球，日益成为国际竞争和各国经济社会发展的战略制高点。
1.1-1信息1．关于信息的基本概念各种文献中有许多对于信息的不同理解和表述，其中最值得注意的是以下几种。
控制论的创始人维纳( Norbert Wiener)认为：信息就是信息，既不是物质也不是能量。
这个论述第一次把信息与物质和能量相提并论。
信息论的奠基者香农（Claude E．Shannon）认为：信息就是能够用来消除不确定性的东西。
这个论述第一次阐明了信息的功能和用途。
比较流行的另一种说法认为：信息是事先不知道的报导。
还有，哲学界认为：信息是事物普遍联系的方式。
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平摆线和渐开线
1给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，
且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能
会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )．
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )．
A．(π－2,2)
B．(3π＋2,2)
C．(π－2,2)或(3π＋2,2)
D．(π－3,5)
3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中
AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH
的长是
( )．
A．3π B．4π C．5π D．6π
4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线
(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )．
A．(φ为参数)
B．(φ为参数)
C． (φ为参数)
D．(φ为参数)
5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．
6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的
坐标为________．
7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和
拱高．
8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为
(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案
1 答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随
着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至
于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2答案：C 由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.
∵0≤t≤2π，∴或.
∴x1＝＝π－2，
x
2
＝＝3π＋2.
∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．
3答案：C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋
转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为
；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4答案：B 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了
x
与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的
x
与y互换．
5 答案：6kπ(k∈Z) ∵r＝3，∴平摆线的参数方程为(φ为参
数)．
把y＝0代入，得cos φ＝1.
∴sin φ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
∴x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
6 答案：(π，2) 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．
7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为
(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝
2×40＝80(mm)．
8 答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基
圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.