【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练：1.1.1.3 正、余弦定理综合
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理正弦定理学案
正弦定理和余弦定理第一课时 正弦定理（1）一．学习目标：1. 了解正弦定理推导过程；2. 掌握正弦定理内容；3. 会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题。
二．学习重难点：重点：正弦定理证明及应用；难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.三．自主预习：1. 一般地，把三角形的三个内角A,B,C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的________,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________.222.901________2______(3sin ______,cos _______,tan ________,sin ______,cos _______,tan ________,(4)________,________,________,sin sin sin Rt ABC C A B a b A A A B B B a b c A B C∆=︒+=+==========在中，，则有：（）； （）勾股定理）；（） 3.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即___________________________，这个比值是________.四．自主探究：已知三角形的三个内角A,B,C 和它们的对边b ,,,.sin sin sin a c a b c A B C==求证：能力技能交流：活动一、已知两角和一边解三角形【总结】30,45,.ABC a A B ∆==︒=︒变式训练1、在中，已知解三角形15a ∆=︒︒例、如图，在ABC中，，B=45,C=105，解三角形。
活动二、已知两边及其中一边的对角解三角形a ∆=︒例2、在ABC中，，解三角形。
【总结】60,1, ABC A a b c ∆=︒==变式训练2、在中，已知求的值。
活动三、已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数529c 50.a a =︒=︒=︒例3、不解三角形，判断下列三角形解的个数。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修51.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A. 答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4. 所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：40 3 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数． 解：因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， 所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
金版学案2016秋数学人教A版必修5课件：第一章1.1第3课时正、余弦定理的综合应用
点评：在解答过程中，若没想到利用余弦定理列出此 处的方程，就无法求出 a，那么此题的第(2)问只能得 4 分．
解得 a＝1，a＝5(舍去)，(11 分) 所以 b＝5－3×1＝2.(12 分)
第二十四页，编辑于星期日：二十一点 六分。
归纳升华 在解答应用正、余弦定理的综合性题目时，统一为
故 BC＝2，从而 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝238，
即 AC＝2 321.又 sin B＝ 630，
2 21
故sin2 A＝
3 30
，sin
A＝
70 14 .
6
第二十八页，编辑于星期日：二十一点 六分。
类型 3 正、余弦定理与平面向量的综合应用
[典例 3] 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
所以 cos B ＝ b ＝ sin B ，(2 分) 点评：此处实现了边角关系的统一，是解此题的关键．
第二十页，编辑于星期日：二十一点 六分。
所以 sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B，
4．已知△ABC 中，bc＝ccooss CB，则此三角形为( ) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
a2＋b2－c2 解析：由bc＝ccooss CB知bc＝a2＋2ca2b－b2，化简得 b＝c.
2ac 答案：C
第十二页，编辑于星期日：二十一点 六分。
5．在锐角 ABC 中，若 a＝2，b＝3，则边长 c 的取 值范围是________．
2019秋金版学案高中数学必修5(人教A版)练习：1.1第3课时正余弦定理的综合应用含解析
A 级 基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中最大的角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：因为a 2＋b 2＋ab ＞a, a 2＋b 2＋ab ＞b ，所以最大边是a 2＋b 2＋ab ， 设其所对的角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－（a 2＋b 2＋ab ）22ab ＝－12，所以θ＝120°. 答案：C2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2C. 2D ．1解析：由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝bsin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝32， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以B ＝π3，C ＝π2，c ＝a 2＋b 2＝12＋（3）2＝2.答案：B3．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC→的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析：由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案：D4．锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是( ) A ．sin A ＝cos B B ．sin A ＜cos B C ．sin A ＞cos BD ．不能确定解析：在锐角三角形ABC 中，A ＋B ＞90°. 所以A ＞90°－B ，所以sin A ＞sin (90°－B )＝cos B . 答案：C5．在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积为( ) A.1963B.196π3C.493D.49π3解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝49，所以a ＝7，所以2R ＝asin A ＝732＝143，所以R ＝73，所以S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫732＝493π.答案：D 二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案：3π47．在△ABC 中，AB ＝3，D 为BC 的中点，AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积S △ABC ＝________．解析：因为AB ＝3，AD ＝1，∠BAD ＝30°， 所以S △ABD ＝12·3·1·sin 30°＝34，又D 是BC 边中点， 所以S △ABC ＝2S ABD ＝32.答案：328．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________．解析：本小题考查正弦定理、余弦定理． 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0， 解得c ＝3(舍负)． 答案：217 3三、解答题9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，4sin 2B ＋C2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值． 解：(1)由4sin2B ＋C2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°， 得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72⇒4(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2 A －4cos A ＋1＝0， 所以(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.则由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A2．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，所以设AD ＝12x ，AE ＝22x ，DE＝6＋24x ，CD ＝m ，因为BC ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋24x ＋m ·sin 15°＝1⇒6＋24x ＋m ＝6＋2，所以0＜x ＜4，而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝ 6＋2－22x ，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得：2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C . 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而()a ＋b 2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.。
2015人教版高中数学必修5课件：1-1-1-2 1-1 正弦定理和余弦定理
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsinB＝12absinC. 同理 S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB. 所以 S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
第33页
第一章 1.1 1.1.1 第二课时
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第一章 1.1 1.1.1 第二课时
第十二页，编辑于星期五：八点 二十五分。
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∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×4×16( 5＋2 3) ＝ 5＋2 3； ②当角 C 为钝角时，cosC＝－ 35， sinB＝sin(150°－C)＝16(2 3－ 5)， ∴S△ABC＝12acsinB＝2 3－ 5. 综上可知：△ABC 的面积为 2 3＋ 5或 2 3－ 5.
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【解析】 在△ABC 中，由余弦定理知 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，
即 49＝BC2＋25－2×BC×5×(－12)， 整理得 BC2＋5BC－24＝0，
解得 BC＝3 或 BC＝－8(舍去)．
S△ABC＝12·AB·BC·sin120°＝12×5×3×
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【解析】 (2)由已知，得csoinsAA＝csoinsBB. ∴cosA·sinB＝cosB·sinA.∴tanA＝tanB. ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B. 同理可证：B＝C.
【答案】 (1)等腰直角三角形 (2)等边三角形
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第一章 1.1 1.1.1 第二课时
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必修五正弦定理,余弦定理(2节5课时)
人教A版高中数学必修5全册导学案目录1.1.1正弦定理(2)1.1.2余弦定理(2)1.2.1解三角形应用举例（一）1.2.2解三角形应用举例（二）1.2.3解三角形应用举例（三）1.2.3解三角形应用举例（四）2.1.1数列的概念与简单表示法（一）2.1.2数列的概念与简单表示法（二）2.2.1等差数列(一)2.2.2等差数列（二）2.3.1等差数列的前n项和（一）2.3.2等差数列的前项和（二）2.4.1等比数列（一）2.4.2等比数列（二）2.5.1等比数列的前n项和（一）2.5.2等比数列的前n项和（二）3.1.1不等关系与不等式（一）3.1.2不等关系与不等式（二）3.2.1 一元二次不等式及其解法（一）3.2.2一元二次不等式及其解法（二）3.2.3一元二次不等式及其及解法(三)3.3.1.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）3.3.2.1简单的线性规划问题（一）3.3.2.2简单的线性规划问题（二）3.3.2.3简单的线性规划问题（三）3.3.2二元一次不等式(组)与平面区域（二）3.4.1基本不等式（一）3.4.2基本不等式（二）3.4.3基本不等式（三）学案序号： 1 \2 课型： 新授课 时间： 2018/8/ 禄丰一中高 二年级标题 §1.1.1正弦定理【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重难点】1、会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．2、掌握正弦定理的证明方法 【自主学习指导】阅读教材第1页-第4页，思考下列问题： 1、 正弦定理还可以怎样推导？ 2、 正弦定理用途有哪些？【学习过程】一、 新知：1、 正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等， 符号语言：sin sin a bA B =sin c C =． 2、 解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．注意：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． 3、正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．二、典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．三、总结提升1. 正弦定理：sin sin a bA B =sin c C = 知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径.2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． 【当堂检测】1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b cA B C++++= ．6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．【知识构建】学案序号： 3\4课型： 新授课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班标题§1.1.2余弦定理【学习目标】学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【重难点】1、运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【自主学习指导】复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．【学习过程】 一、新知阅读教材第5—7页内容，然后回答问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ， ∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． [理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c ab =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 二、典型例题例1. 在△ABC 中，已知a =b =45B =，求,A C 和c变式：在△ABC 中，若AB，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． 【当堂检测】（1）△ABC中，a =2c =，150B =，求b ． （2）△ABC 中，2a =，b =，1c ，求A ． 1. 已知ac ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A.B.C.D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A13x << B ．13x ＜5 C ． 2＜x ＜5 D ＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．6、在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．7、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.【知识构建】学案序号： 5课型： 习题课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班 标题正余弦定理【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 【自主学习指导】 复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理． 二、典型例题探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a，b ＝A ＝6π，a ＝50，b ＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※知识拓展在∆ABC中，已知,,a b A，讨论三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须a b>才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a b<，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sina b A>，则有两解；（2）若sina b A=，则只有一解；（3）若sina b A<，则无解．当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，则a bb+的值=（）.A. 13B.23C.43D.532. 已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A．135°B．90°C．120°D．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加长度决定4. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos B＝．5. 已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在中，已知角则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B． C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C．51 D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A．1、2、3、B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
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数学·必修5(人教A版)
1.1.3 正、余弦定理综合
►基础达标
1．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则角B的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由sin Aa＝cos Bb及正弦定理得：
sin Asin A＝cos B
sin B
，
∴cos Bsin B＝1，tan B＝1.又∵0°
答案：B
2．已知三角形的三边长分别是a，b，a2＋b2＋ab，则此三角
形中最大的角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：∵a2＋b2＋ab>a，a2＋b2＋ab>b，∴最大边是
a2＋b2＋ab，设其所对的角为θ，则cos θ＝a2＋b2－a2＋b2＋ab22ab＝
－12，θ＝120°.
答案：C
3．在△ABC中，下列关系式( )
①asin B＝bsin A ②a＝bcos C＋ccos B ③a2＋b2－c2＝2abcos
C ④b＝csin A＋asin C
一定成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
4.△ABC中，cos A＝3－3sin A，则A的值为( )
A.π6 B.π2 C.2π3 D.π6或 π2
解析：解法一：代入检验，故选D.
解法二：由cos A＝3－3sin A⇒cos A＋3sin A＝3⇒32sin A
＋12cos A＝32，∴sin (A＋30°)＝32，
∵30°
答案：D
5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，
则sin∠BAC＝( )
A.1010 B.105 C.31010 D.55
答案：C
►巩固提高
6．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是( )
A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B
C．sin A＞cos B D．不能确定
解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°，
∴A＞90°－B，
∴sin A＞sin(90°－B)＝cos B．故选C.
答案：C
7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为B＝60°，b2＝ac，由余弦定理b2＝a2＋c2－2acos B，
得ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.所以△ABC是等边三
角形．
答案：D
8．在△ABC中，已知acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是
( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由正弦定理得：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，
所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
由已知得：acos A＝bcos B＝ccos C，所以sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，所
以tan A＝tan B＝tan C，可得A＝B＝C，即三角形为等边三角形．
答案：C
9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝
3asin C－ccos A.
(1)求A;
解析：由c＝3asin C－ccos A及正弦定理得 (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. 10．在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点， 解析：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin B. ∴AB＝AD·sin∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56. 1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选
3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sinA－π6＝12.
又0
解析：△ABC的面积S＝12bcsin A＝3，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12.
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，
要及时考虑另外一个定理．
2．三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该
养成应用三角公式列式化简的习惯．
3．注意A＋B＋C＝π式的运用，sin A＝sin(B＋C).