(整理)4-4~曲线参数方程_之意义和圆的参数方程ppt

4.4.2 参数方程和普通方程的互化
学习目标： 1）掌握参数方程化为普通方程几种基本方法； 2）选取适当的参数化普通方程为参数方程； 学习重点、难点： 参数方程与普通方程的等价性；
创设情境
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）,问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m） x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
x 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 2 y 2t 1.
参数方程和普通方程的互化：
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x - y+2= 0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , y cot .
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
5、若x2 y 2 4, 则x y的最大值是 _________
x 2cos 解：x y 4的参数方程为{ (为 y 2sin
2 2
参数)
x y 2 cos 2sin 2 2 cos( ) 4 最大值为2 2
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin .
可得圆的普通方程(x - a)2+(y - b)2=r2. x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4. 通过代入消元法消去参数t , 可得普通方程：y=2x - 4
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
. 所以普通方程是x 2 y , x 2, 2
y
2
o
2
x
所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 y , x [ 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。
巩固练习
练习1、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又0<<2， x | cos sin | 2 sin( )
2 2 2 4
0<x 2 ，故应选（B） 说明： 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
知识点分析
总结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见 方法有三种： 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数； 2.三角法：利用三角恒等式消去参数； 3.整体消元法：根据参数方程本身结构特征,从整体上消去； 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0： 在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性， 必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得 x、y的取值范围。
x f (t ), （1） y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成： （1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿Oy反方向作自由落体运动.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不 一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
变式练习:
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
表示（
B）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1,1/2）： （B）抛物线的一部分, 这部分过（1,1/2）： （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2) （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1,1/2)
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 x2= (cos sin ) 2 =1+sin=2y， 2 2
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x 1 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y 2 12t 2 2 2
x 1 5t y 2 12t
课堂小结
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 t 的函数
x sin (2) y cos2
(3)
x=t+1/t
y=t2+1/t2
步骤：（1）消参； （2）求定义域；
解答：（1）(x -2) 2+ y 2=9 （2）y =1- 2x 2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（x≥2或x≤-2）
示例分析
例２、求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
（x≥0）
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的
取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
示例分析
示例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= t 1 x= sin cos (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 2 t y 1 sin 2 解： (1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1) 这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点） (2)因为：x sin cos 2 sin( ) 4 所以x 2, 2
(θ为参数)
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
x 1 2cos , ( 为参数) 解：由已知圆的参数方程为 y 2 2sin .
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所 以M1在曲线上．
5 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1 6 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
o
x
代入x 100t , 得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资， 可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f (t ), （1） y g (t ). 且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y) r

o
M0
x
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
由参数方程得： cos x 3 2 2 2 2 ,sin cos ( x 3) y 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
知识点分析
1.参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
A(2，7)； B(1/3, 2/3)
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
4.已知动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨 迹参数方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，2ty 5t 4 0( t为 参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D