2018版高考数学复习不等式7.2一元二次不等式及其解法试题理北师大版

第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法试题 理 北师大版 1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图

像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－b2a} {x|x∈R}

一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x∅

2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xx>a}

(x－a)·(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间． 【知识拓展】 (1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )

1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是( ) A．(－2,5) B．(5，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞) 答案 D 解析 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5， 由于y＝x2－3x－10的图像开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( ) A．(0,4] B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0] 答案 B 解析 ∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1∴M∩N＝[0,4)． 3．(教材改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________________．

答案 (－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞) 解析 由题意，得3x2－2x－2>0， 令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73， ∴3x2－2x－2>0的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)，即函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)． 4．(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12，13)，则a＋b＝________. 答案 －14

解析 ∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴ a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得

 a＝－12，

b＝－2，

∴a＋b＝－14.

5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析 ∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集， ∴x2＋ax＋4＝0一定有解． ∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.

题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参数的不等式 例1 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集． 解 化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，

解方程2x2－x－3＝0，得x1＝－1，x2＝32，

∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)． 命题点2 含参数的不等式 例2 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0. 解 由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0， ∴x1＝a，x2＝1， ①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅， ③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a引申探究 将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集． 解 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)>0，

解得x<1a或x>1. 若a>0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0. ①当a＝1时，1a＝1，(x－1a)(x－1)<0无解； ②当a>1时，1a<1，解(x－1a)(x－1)<0， 得1a③当01，解(x－1a)(x－1)<0， 得1综上所述，当a<0时，解集为{x|x<1a或x>1}； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为{x|1a思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解下列不等式： (1)0(2)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 解 (1)原不等式等价于

 x2－x－2>0，x2－x－2≤4⇔ x2－x－2>0，

x2－x－6≤0

⇔

 x－x＋，x－x＋⇔ x>2或x<－1，

－2≤x≤3.

借助数轴，如图所示，

所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2(2)∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，

得x1＝－a4，x2＝a3.

当a＞0时，－a4＜a3，解集为x|x＜－a4或x＞a3； 当a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，－a4＞a3，解集为x|x＜a3或x＞－a4. 综上所述，当a＞0时，不等式的解集为

x|x＜－a4或x＞

a

3；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为x|x＜a3或x＞－a4. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题

例3 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( ) A．(－3,0] B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) (2)设a为常数，对于任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( ) A．(0,4) B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵2kx2＋kx－38<0为一元二次不等式， ∴k≠0， 又2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，

则必有 2k<0，Δ＝k2－4×2k－38，解得－3(2)对于任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有 a>0，Δ＝a2－4a<0或a＝0，∴0≤a<4. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题 例4 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，

即mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 方法一 令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增加的， 所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，

所以m<67，所以0当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减少的， 所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是{m|m<67}．

方法二 因为x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<6x2－x＋1. 因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．

所以，m的取值范围是m|m<67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题