二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计 课程名称 概率论与数理统计 课时 100分钟 任课教师 刘涛 专业与班级 财务管理B1601---B1606 课型 新授课 课题 二维随机变量及其分布

教材分析 “二维随机变量及其分布” 属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。

学 习 目 标

知识与技能 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运用。

过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观

通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发

学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。

教学分析 教学内容 1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布 5.随机变量的相互独立性 教学重点 二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性

教学难点 二维连续型随机变量及其分布

教学方法与策略

板书设计 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性

教学时间设计 1.引导课题 …………2分钟 2.学生活动 …………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结 …………5分钟

教学手段 多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图 教学内容 教学理念 引出课题 （2分钟）

某地区气候状况需要考虑温度、湿度、风力等多个随机变量；研究股票的投资价值，要考虑股票的市盈率、市净率、资本报酬率等多个指标。 激发学生的

兴趣，让学生体会数学来源于生活。

学生活动 （3分钟） 问题细化，让学生们具体考虑：日常生活中还有哪些实例符合以上特征。并总结其特点。 从日常生活

的经验和常识入手，调动学生的积极性。

二维随机变量及联合分布函数定义（15分钟）

1、二维随机变量 若对于试验的样本空间8/中的每个试验结果e，有序变量(,)XY都有确定的一对实数值与e相对应，即()XXe， ()YYe，则称(,)XY为二维随机变量

或二维随机向量．

2、联合分布函数

二维随机变量(,)XY的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于实数x的概率，同时随机变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为(,)Fxy，即

(,)(,),,FxyPXxYyxy．

3．联合分布函数的性质 教师给予引导，回归到刚提出的问题上。 (1) 0(,)1Fxy； (2 ) (,)Fxy是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数；

(3) (,)0,(,)0limlimxyFxyFxy， (,)0,(,)1limlimxxyyFxyFxy；

(4) (,)Fxy是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；

(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy．

例题：设二维随机变量(,)XY的联合分布函数为

(,)(arctan)(arctan)FxyABxCy 求：常数,,(,)ABCxy 解：由分布函数(,)Fxy的性质得：

lim(arctan)(arctan)()()122lim(arctan)(arctan)()(arctan)02lim(arctan)(arctan)(arctan)()02xyxyABxCyABCABxCyABCyABxCyABxC

由以上三式可解得：21,,22ABC

二维离散型随机变量及联合概率函数（10分）

4.二维离散型随机变量及联合概率函数 如果二维随机变量(,)XY仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)XY为二维离散型随机变量． 通过引导及

具体的例题 二维离散型随机变量(,)XY的分布可用下列联合分布率来表示：

(,),,1,2,,ijijPXaYbpij

其中，0,,1,2,,1ijijijpijp． 也可用下边的概率分布表表示： X Y 1

y

jy ()iPXx

1x 11p 1jp

1j

j

p

ix 1ip ijp

ij

j

p

()jPYy 1i

i

p iji

p 1

展现二维离散型随机变量。 二维连续型随机变量及联合概率密度（20分）

5.二维连续型随机变量及联合概率密度 （1）对于二维随机变量(X，Y)的分布函数(,)Fxy，如果存在一个二元非负函数(,)fxy，使得对于任意一对实数(,)xy有

(,)(,)xyFxyfstdtds

成立，则(,)XY为二维连续型随机变量，(,)fxy为二维连续型随机变量的联合概率密度．

（2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质

① (,)0,,fxyxy；

② (,)1fxydxdy； ③设(,)XY为二维连续型随机变量，则对任意一

通过引导及具体的例题展现二维连续型随机变量。 条平面曲线L，有((,))0PXYL； ’ ④ 在(,)fxy的连续点处有 2(,)(,)Fxyfxyxy



;

⑤ 设(,)XY为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有

((,))(,)DPXYDfxydxdy

例.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的密度函数和分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1围城的三角形区域。

解：如图，区域D为直角三角形RT△OAB ，其面积为：

1111224OABS

所以由均匀分布的定义可得，（X,Y）的联合密度函数为：

4,(,)(,)0,xyDfxy



其他

下面来求（X,Y）的分布函数， (,)(,),(,)xyFxyfstdtdsxy

（1）当102xy或时，(,)=0Fxy （2）当10,0212xyx时 2102(,)=442yxyFxydtdsxyyy

（3）当10,212xyx时 212102(,)4441xxFxydsdyxx （4）当0,01xy时 02102(,)=42yyFxydtdsyy

（5）当0,1xy时 021102(,)=41xFxydsdt 综上所述， 222

042(,)=44121xyyyFxyxxyy





10210,021210,2120,010,1xyxyxxyxxyxy或

6.二维随机变量的边缘分布 设(,)Fxy为二维随机变量(,)XY的联合分布函数，称

()(,),()PXxPXxYx 为X的边缘分布函数，并记为()XFx 直观可以看到

(,)lim(,)lim(,)(,)yyPXxYPXxYyFxyFx 因此，边缘分布函数()XFx也可表示为()(,)XFxFx

类似地，关于Y的边缘分布函数为

()()(,)lim(,)lim(,)(,)YxxFyPYyPXYyPXxYyFxyFy7、二维离散型随机变量的边缘分布律

设(,)XY为二维离散型随机变量，ijp为其联合概率函数(,1,2,)ij，称概率()(1,2,)iPXai为随机变量X的边缘概率函数，记为iP•并有

12()(,)=,(1,2,)iiiiiijijjPPXxPXxYppppi•称概率(),(1,2,)jPYbj为随机变量Y的边缘概率函数，记为jP•，并有