人教版高中数学必修二考点练习：证明共线、共面问题
321线面,面面平行,共面问题ppt--高中数学
平面的向量方程
提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM xAB y AC,(x, y R)
图示：
M
C AB
OM (1 x y)OA xOB yOC
1.用向量方法证明直线与直线平行:
直线 1 的方向向量为 v1
直线 2 的方向向量为 v2
结论：
1 //
或
2
与
证明：设 C1B1
a ，C1 D1
b，C1C
c
,则
B1C
c
a ，C1O
1（a 2
b）,
OD
OD1
c
1（b 2
a）
c
,若存在实数
x,
y
,使得
B1C
xOD
yOC1成立，
则
c
a
x
1（b 2
a）
c
y
1（a 2
b）
1（x 2
y）a
1（x 2
a
∴
1（x
2
1（x
2
y） 1 y） 0
的值为多少时，
能使A1C 平面C1BD,并加以证明。
CD
解：设CC1为1个单位，CC1 a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
则 BD CD CB
(1)CC1 BD CC1 CD CC1 CB
a cos a cos 0∴C1C⊥BD；
1
2重合 v1 // v2
图示：
v1
1
v2
1
2
v1
v2
2
2.用向量方法证明直线与平面平行:
直线 的方向向量为 v
高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（ ）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（ ）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内，
则 l// 。（ ）
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。（ ）
高中数学总结归纳 点共线与线共点
点共线与线共点山东 代夫珍我们时常遇到点共线和线共点的问题，面对这类题目若能抓住“两面相交必有唯一交线”这一关键，问题就会变得清晰透彻．下面例析两例，以供同学们参考．一、点共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．例1 如图1，正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与截面1DBC 关于O 点，AC BD ，交于M 点，求证：1C O M ，，三点共线．证明：1C ∈Q 平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC ∈Q ，M ∴∈平面11A ACC ．M BD ∈Q ，M ∴∈平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O Q 为1A C 与截面1DBC 的交点，O ∴∈平面11A ACC ，O ∈平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．1O C M ∴∈，即1C M O ，，三点共线． 二、线共点问题证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法 是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．例2 如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DH GC HC ==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ． 证明：E F Q ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥，且12EF BD =．又2BGDHGC HC ==Q ，GH BD ∴∥，且13GH BD =，EF GH ∴∥，且EF GH >．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ，EG ⊂Q 平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，P ∴∈平面ABC ，P ∈平面ACD ，又平面ABC I 平面ACD AC =，P AC ∴∈． 故EG FH AC ，，相交于同一点P ．。
共线共面知识点总结
共线共面知识点总结共线共面是几何学中一个重要的概念，指的是多个点共线或者多个直线共面的情况。
在平面几何中，共线共面是一些重要的性质和定理的基础，也是解决实际问题的重要方法之一。
本文将从基本概念、性质和应用等方面对共线共面进行总结。
一、基本概念1.1 共线在几何学中，三个或三个以上的点处在同一条直线上时，称它们共线。
如果两点确定一条直线，那么三个或三个以上点共线的情况在平面上是很容易理解的。
1.2 共面在三维空间中，三个或三个以上的点处在同一个平面上时，称它们共面。
如果两条直线相交于一点，则它们确定的平面上的所有点都是共面的。
1.3 共线共面的关系共线和共面是几何学中重要的基本概念，共线的概念是在平面上，而共面的概念是在空间中。
它们有着密切的联系，也是很多几何性质和定理的基础。
二、性质2.1 共线的性质1）三个点共线的条件三个点A、B、C共线的条件是向量AB和向量AC共线。
2）共线点的性质（1）在同一条直线上的任意两点可以确定一条直线，也就是说，任意两点共线。
（2）三个或三个以上点共线的情况是唯一的，也就是说，在同一条直线上的点独一无二。
（3）任意两条不同的直线必定有一个公共点，这是因为任意两点共线的性质决定的。
2.2 共面的性质1）三个点共面的条件三个点A、B、C共面的条件是向量AB、向量AC和向量BC共面。
2）共面点的性质（1）在同一个平面上的任意三点可以确定一个平面。
（2）四个或四个以上点共面的情况是唯一的。
（3）任意两个不同平面一定有一个公共的直线。
三、应用3.1 共线共面的应用共线共面概念在几何学中有着广泛的应用，例如在解题时，利用三点共线或四点共面的性质可以简化问题的解决过程，加速解答速度。
同时，在实际生活中，共线共面的知识也有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程测量、航空航天等领域都有着重要的应用价值。
3.2 共线共面的定理在几何学中，有一些重要的定理是基于共线共面的性质而得出的，例如圆锥曲线的切线定理、平行四边形的性质、直线垂直平分线段定理等等，这些定理都是基于共线共面的性质而得出的。
共线共面问题的规律与方法
共线共面问题的规律与方法说实话共线共面问题这事，我一开始也是瞎摸索。
老师在课上讲的时候，听着觉得挺明白，一到自己做题就完蛋。
我记得有一次做那种证明几个点共线的题。
我一开始就想用向量法，想着把那些点对应的向量表示出来，然后看能不能找到关系。
但是呢，我老是算错向量的坐标。
这里面有个教训啊，就是在确定向量坐标的时候，一定要看清楚坐标轴的方向，就像你在一个迷宫里，方向错了肯定走不出去。
我当时就像没头的苍蝇，乱算一通，结果当然是错的。
后来我又试着用几何方法，不是死磕向量了。
像那种题目里给出一些线平行或者角度关系的时候。
我心里就想，这就像是拼图一样，要把这些已知的条件一块一块拼起来。
比如说，两条平行线就相当于拼图里有两条边是平行的，要把其他和它们相关的图形按照这个平行关系放好。
可是这时候我又经常忽略一些隐藏的条件。
就像有个题里，有个角看似没什么用，但是它和其他角组合一下就能得到平行关系，我就没发现，又失败了。
还有共面的问题。
像在算三棱锥几个顶点是否共面的时候。
我试过根据四点构成向量的混合积来判断。
这混合积呢，就好比一个大魔方，每个面都代表向量之间的一种关系。
如果混合积为零，那就说明这四个点共面。
可是这个计算过程也很容易出错，要特别注意向量的顺序，这就好比魔方的每一层旋转都有顺序。
经过这么多折腾，我总算有点门道了。
如果是比较简单的共线，就先看已知条件有没有直接能推出平行关系的。
比如说给出的线段比例关系啊，或者已经知道一些线平行之类的。
能直接用定理就用定理，像梅涅劳斯定理之类的在证明共线的时候就很有用。
就像你有了一把特制的钥匙去开一把锁一样。
对于共面的判断呢，如果是对于一些特殊形状，像正方体啊这种，先观察图形之间明显的逻辑关系。
如果不行就用向量法来计算，但是计算的时候千万要细心，不然一个小错误就满盘皆输了。
当然了，我这也不是完全总结到位了，可能还会有别的更好的方法，还得继续摸索。
但是这些错误经验和暂时的方法对于解决共线共面问题还是有点小帮助的，大家如果有新的发现也可以互相交流啊。
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解(含答案)
共线向量与共面向量（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•西城区期末）已知向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)，若a ，b ，c 共面，则x 等于( ) A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或02．（2019秋•朝阳区期末）若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+3．（2014•海淀区校级模拟）已知ABCD 为平行四边形，且(4A ，1，3)，(2B ，5-，1)，(3C ，7，5)-，则点D 的坐标为( ) A ．7(2，4，1)-B ．(2，3，1)C ．(3-，1，5)D ．(5，13，3)-4．（2013•北京校级模拟）已知空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)，则B 点坐标为( ) A ．(9，1，4)B ．(9，1-，4)-C ．(8，1-，4)-D ．(8，1，4)5．（2013秋•西城区期末）若(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，且//a b ，则( ) A ．1x =，2y =-B ．1x =，2y =C ．1,22x y ==-D ．1x -，2y =-6．（2012秋•西城区期末）已知向量(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么实数x y +等于( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-7．（2017秋•昌平区期末）下面向量中，与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是( ) A ．(1a =，1，0)B ．(1b =，1-，0)C ．(1c =，0，0)D ．(1d =，0，1)-二．填空题（共8小题）8．（2017秋•西城区校级期中）已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，则OG = ．9．（2015秋•顺义区期末）已知点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)和向量(3,4,12)a =-且//AB a ．则点A 的坐标为 ．10．（2016秋•海淀区校级期中）如图，四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、DC 上的点，且AE BE =，2CF DF =，设DA a =，DB b =，DC c =．（1）以{a ，b ，}c 为基底，表示FE = ；（2）若60ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，且||4DA =，||3DB =，||3DC =，则||FE = ．11．（2013春•海淀区期中）已知三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，则a = ，b = ．12．（2017秋•西城区校级期中）若空间三点(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +共线，则p = ，q = ． 13．（2011秋•西城区期末）已知向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行，那么x = ，y = ． 14．（2010秋•海淀区期末）已知(a x =，2-，6)，(2b =，1-，3)，//a b ，则x = ． 15．（2009秋•西城区期末）已知(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，那么x y += ．共线向量与共面向量（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•西城区期末）已知向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)，若a ，b ，c 共面，则x 等于( ) A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或0【分析】由a ，b ，c 共面，得a mb nc =+，由此能求出x 的值． 【解答】解：向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)， a ，b ，c 共面，∴a mb nc =+，(1∴，x ，2)(n =，m ，2)m ，解得1n =，m x =，22m =，1x ∴=． 故选：B ．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2019秋•朝阳区期末）若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+【分析】利用向量共面定理即可判断出结论． 【解答】解：向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量A ，b c -与b c +共面，进而得出三个向量共面．.()B a b c a b c ++=++，因此三个向量共面． C ．三个向量不共面；D ．不含有c ，三个向量一定共面．故选：C ．【点评】本题考查了向量共面定理、向量的基，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（2014•海淀区校级模拟）已知ABCD 为平行四边形，且(4A ，1，3)，(2B ，5-，1)，(3C ，7，5)-，则点D 的坐标为( ) A ．7(2，4，1)-B ．(2，3，1)C ．(3-，1，5)D ．(5，13，3)-【分析】根据ABCD 为平行四边形，得到AB CD =-，设出点D 的坐标，求出向量,AB CD 的坐标，代入上式，解方程组即可求得点D 的坐标． 【解答】解：ABCD 为平行四边形，∴AB CD =-，设(D x ，y ，)z ，则(2AB =-，6-，2)-，(3CD x =-，7y -，5)z +， ∴327652x y z -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得5133x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 故选：D ．【点评】此题是个基础题．考查利用相等向量求点的坐标，以及平行四边形的性质，同时考查学生的基本运算，和利用知识分析、解决问题的能力．4．（2013•北京校级模拟）已知空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)，则B 点坐标为( ) A ．(9，1，4)B ．(9，1-，4)-C ．(8，1-，4)-D ．(8，1，4)【分析】设出B 的坐标，利用向量关系，即可得到结论． 【解答】解：设(B x ，y ，)z 空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)， 所以(1x -，1y -，)(8z =，0，4) 所以9x =，1y =，4z =，B 点坐标为(9，1，4)故选：A ．【点评】本题考查空间向量的平行与相等，考查学生的计算能力，属于基础题． 5．（2013秋•西城区期末）若(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，且//a b ，则( ) A ．1x =，2y =-B ．1x =，2y =C ．1,22x y ==-D ．1x -，2y =-【分析】利用向量共线定理，列出关于x ，y 的方程，解之即可得出． 【解答】解：(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=，可得2136x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得12λ=，1x =，2y =-．故选：A ．【点评】本题考查向量共线定理的应用，属于基础题．6．（2012秋•西城区期末）已知向量(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么实数x y +等于( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-【分析】由(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，知3121x y==-，由此能求出实数x y +的值． 【解答】解：(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，∴3121x y ==-， 解得6x =-，3y =-，∴实数639x y +=--=-．故选：D ．【点评】本题考查共线向量的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，是基础题． 7．（2017秋•昌平区期末）下面向量中，与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是( ) A ．(1a =，1，0)B ．(1b =，1-，0)C ．(1c =，0，0)D ．(1d =，0，1)-【分析】求出向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)的公共法向量(1p =，1，1)-，由1100b p =-+=，得到与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是(1b =，1-，0)．【解答】解：设向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)的公共法向量为(p x =，y ，)z ， 则00n p x z m p y z =+=⎧⎨=+=⎩，取1x =，得(1p =，1，1)-，1100b p =-+=，∴与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是(1b =，1-，0)．故选：B ．【点评】本题考查两个向量的共面向量的求法，考查法向量的性质、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．填空题（共8小题）8．（2017秋•西城区校级期中）已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，则OG =111366OA OB OC ++ ． 【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量用是基底的向量来表示，即可得出结论． 【解答】解：如图示：，13OG OM MG OM MN =+=+1()3OM MO OC CN =+++211()336OM OC OB OC =++- 111366OA OB OC =++， 故答案为：111366OA OB OC ++．【点评】熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键．9．（2015秋•顺义区期末）已知点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)和向量(3,4,12)a =-且//AB a ．则点A 的坐标为 (1，2-，0) ．【分析】根据空间向量的坐标表示与运算，求出AB ，再根据共线定理列出方程组求出m 、n 的值，即可得出点A 的坐标．【解答】解：点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)，∴(5AB m =--，8，24)n -；又向量(3,4,12)a =-，且//AB a ，∴AB a λ=，即53842412m n λλλ--=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩， 解得2λ=，1m =，0n =；∴点A 的坐标为(1，2-，0)．故答案为：(1，2-，0)．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了共线定理的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•海淀区校级期中）如图，四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、DC 上的点，且AE BE =，2CF DF =，设DA a =，DB b =，DC c =．（1）以{a ，b ，}c 为基底，表示FE = 111322c a b -++ ；（2）若60ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，且||4DA =，||3DB =，||3DC =，则||FE = ．【分析】（1）如图所示，连接DE ．FE FD DE =+，13FD DF DC =-=-，1()2DE DA DB =+，即可得出．（2）22222111111111||()223449233FE a b c a b c a b a c b c =+-=+++--，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）如图所示，连接DE ．FE FD DE =+，13FD DF DC =-=-，1()2DE DA DB =+，∴111322FE c a b =-++． （2）22222111111111||()223449233FE a b c a b c a b a c b c =+-=+++--222111143343cos6024493=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒⨯ 21393cos6034-⨯︒=． ∴39||FE =故答案为：111322c a b -++，39．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2013春•海淀区期中）已知三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，则a = 2- ，b = ．【分析】先根据三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，转化为向量OA 与OB 共线，再利用向量共线的基本定理得存在λ，使得OA OB λ=，从而建立方程求解即可． 【解答】解：三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，∴向量OA 与OB 共线，即存在λ，使得OA OB λ=， 即(1，1-，)(2b λ=，a ，1)∴211a b λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得12212a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩ 故答案为：2-，12． 【点评】本题主要考查了共线向量与共面向量，考查了转化思想，属于基础题．12．（2017秋•西城区校级期中）若空间三点(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +共线，则p = 3 ，q = ． 【分析】将三点共线，转化为向量共线，再利用向量共线的条件，即可得到结论． 【解答】解：(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +∴(1,1,3)AB =-，(1,2,4)AC p q =--+空间三点共线∴113124p q -==--+ 3p ∴=，2q =故答案为：3，2【点评】本题考查向量知识的运用，解题的关键是将三点共线，转化为向量共线．13．（2011秋•西城区期末）已知向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行，那么x = 2- ，y = ． 【分析】直接利用向量共线的条件列式计算．【解答】解：因为向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行， 所以存在非零实数λ满足a b λ=，即(x ，2-，6)(1λ=，y ，3)-． 则263x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得2x =-，1y =．故答案为2-，1．【点评】本题考查了共线向量和共面向量，考查了向量共线的条件，是基础的计算题． 14．（2010秋•海淀区期末）已知(a x =，2-，6)，(2b =，1-，3)，//a b ，则x = 4 ．【分析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量之间的平行关系，写出向量平行的坐标形式的充要条件，解方程即可． 【解答】解：(2a =，1-，3)，(2b =，1-，3)，//a b∴26213x -==- 4x ∴=故答案为：4【点评】本题考查共线向量与共面向量，本题解题的关键是记住两个向量共线的坐标形式的充要条件，本题是一个基础题．15．（2009秋•西城区期末）已知(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，那么x y += 6- ．【分析】由已知中(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在R λ∈，使a b λ=，构造方程组求出λ，x ，y 后，即可求出答案．【解答】解：(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，又//a b ，则存在R λ∈，使a b λ= 即(1，2，1)(x λ-=，y ，2)， ∴1212x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩解得12λ=-2x ∴=-，4y =-6x y ∴+=-故答案为：6-．【点评】本题考查的知识点是共线向量，其中根据向量平行（共线）的充要条件，得到存在R λ∈，使a b λ=，构造方程组是解答本题的关键．。
人教版高中数学必修二课件-第二章 章末复习课
解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不
正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正
确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异
面，③不正确．④正确．
答案：B
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专题2 平行和垂直的判定证明 线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质是本 章的重点．线线、线面、面面垂直的判定与性质之间并 非孤立的，可以相互转化，可以利用这些判定和性质解 决相关平行与垂直的证明等线、面问题．在高考中，常 以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重． [例2] (2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD， PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(2)因为G，H不是BC，CD的中点， 所以EF∥GH，且EF≠GH. 所以EG与FH必相交，设交点为M. 而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD， 所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD. 因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上． 归纳升华 证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三 个公理，做到合理、恰当地转化．
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[变式训练] 下列命题正确的有( )
①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②
若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两
条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．
A．0个
B．1个 C．2个
D．3个
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2025年高考数学二轮专题复习-点共线、线共点、点共圆问题-学案讲义
第9章点共线、线共点、点共圆问题9.1解法概述一、证明三点共线的常用方法(1)取三点中的一点,与另外两点分别连两条直线,证明它们都平行于或都垂直于某一条直线.(2)证明连接两点的直线通过第三点.(3)以三点中居中的点为顶点,过另外两点作两条射线,证明形成平角.(4)居中的点与另外两点分别相连,形成两条直线,若与过中间点的一条直线组成对顶角,则三点共线.(5)连接三点的三条线段中,有一条等于另外两条之和.(6)以三点为顶点的三角形的面积为0.(7)同一法,反证法.二、证明三线共点的常用方法(1)设两直线的交点,再证明此点在第三条直线上.(2)证明各直线都过同一个特殊点.(3)设两直线的交点,过此交点作出某一条直线,证明这条直线与第三条直线重合.(4)证明以三直线两两相交的三个交点为顶点的三角形的面积为0.(5)利用已知的线共点的结论.(6)同一法、反证法.三、证明四点共圆的常用方法(1)四边形对角互补或者某一外角等于内对角.(2)线段同侧的两点对于线段的张角相等.(3)各点到某一定点的距离相等.(4)利用相交弦定理的逆定理.(5)把四边形分成两个有公共边的三角形,证明这两个三角形的外接圆重合.(6)利用四点共圆的有关判定定理.9.2范例分析[范例1]三角形一边上的高线的垂足在另外两边及另外两高线上的射影四点共线.分析1对于四点共线问题，先证其中三点共线，再证第四点也在该直线上，如图F9.1.1所示，我们先证P Q M 、、三点共线，这只要证180PQ D D Q M ∠∠+=.容易看出B P 、、Q D 、共圆，D Q H M 、、、共圆，所以180B PQ D D Q M D H M ∠∠∠∠+==，，于是只要证B DHM ∠∠=，这可由B D 、、H F 、的共圆证出.证明1因为90BPD BQ D ∠∠==，所以B P Q D 、，、共圆，所以180PQ D B ∠∠+=.图F9.1.1因为9090180D Q H D M H ∠∠+=+=，所以D Q H M 、、、共圆，所以DQM DHM∠∠=因为9090180HDB HFB ∠∠+=+=，所以B D H F 、、、共圆，所以DHM B ∠∠=.所以180PQ D D Q M ∠∠+=，即P Q M 、、三点共线.同理N M Q 、、共线.因为M Q 、为两直线上的公共点，所以P Q M N ，，，四点共线.图F9.1.2分析2也可以采用同一法，连PN ，再证明Q M ，在直线PN 上.设PN 与BE CF ，各交于11Q M ，，如图F9.1.2所示.因为180APD AND ∠∠+=，所以A P D N 、、、共圆，所以12∠∠=.又由A E D B 、、、共圆，13∠∠=，所以23∠∠=，所以1B D Q P 、、、共圆，所以190BQD BPD ∠∠==，即1DQBE ⊥.但过BE 外的点D 只能作一条垂线与BE 垂直，由1D Q B E D Q BE ⊥⊥，，可见Q 与1Q 重合.同理M 与1M 重合.这就证出了P Q M ，，、N 共线.(证明略.)分析3如图F9.1.3所示，连.PN PQ 、若能证出PN PQ 、都与同一条直线平行，则P 、N Q 、共线.从图上观察，容易发现EF 是所说的直线，连EF .因为CF AB DP AB ⊥⊥，，所以//CF DP ，同理//BE DN .设H 为ABC 的垂心.由AF AH AH AE FP HD HD EN ==，知AF AE FP EN=，所以//PN EF .只要再证//PQ EF ，也就是要证明BP BQ PF QE=.图F9.1.3和证明//PN EF 的方法类似，我们也尝试找一媒介比值，这只要取BD DC即可，很容易由平行截比定理证出BP BQ PF QE，所以//PQ EF .这表明从P 发出的两直线PQ PN 、都与EF 平行，所以P Q N ，、共线.同理可证P M ，、N 共线.(证明略.)[范例2]1O 和2O 外离，11AB 是一条外公切线，22A B 是一条内公切线，12A A ，是1O 上的切点，12B B 、是2O 上的切点，则121212OO AA BB 、、三线共点.分析1证明三线共点，可先设两条直线交于一点，再证另一直线也过此点或两直线与第三条直线的交点都与之重合.设11AB 和22A B 交于P ，容易证明122P B O B 、、、共圆，利用圆的内接四边形的外角等于内对角的定理，可证12212P AA O BB ∽，从而推出122//AA PO .同理有112//OP BB ，这样分析后可以看出有可能通过比例证出1212AA BB 、和12OO 的交点重合.图F9.2.1证明1连11122112OA OA O B OB ，、、，延长22B A ，交11AB 于P ，连12P O P O 、，设1PO 交12AA 于12D P O ，交12BB 于2D .如图F9.2.1所示.因为211222O B BP O B B P ⊥⊥，，所以1P B 、、22O B 、共圆，所以12122APA BO B ∠∠=.因为122122PA PA O B O B ==，，所以等腰12122AP A BO B ∽，所以21212B BO PAA ∠∠=.因为2111OB AB ⊥，即2122190B BO B B P ∠∠+=，所以122190PA A B B P ∠∠+=，所以1212AA BB ⊥.因为212PO BB ⊥，所以212//PO AA .因为112PO AA ⊥，所以112//PO BB .设12AA 的延长线交12OO 于M ，设12BB 和12OO 交于N .由平行截比定理，1222211121PD O M O D O N D O MO D P NO ==，因为1221212112PAA O BB PBB OAA ∽，∽，所以11211122212212PD A A D O A A O D B B D P B B ==，，所以111222PD DO O D D P =，所以122112PD O D DO D P =.所以2211O M O N MO NO =.由合比定理，212111O M MO O N NO MO NO ++=，即212111O O O O MO NO =，所以11M O NO =，所以M N 、重合.所以121212AA BB OO 、、三线共点.分析211 A O 和21OB 同垂直于11AB ，则11OA 和21OB 可看作以11AB 为直径的圆的两条切线.同理1222OA OB 、都垂直于22A B ，则1222OA OB 、又可看作以22A B 为直径的圆的切线.因为11122122OA OA O B O B ==，，可见12O O 、是到两个圆的切线长相等的点，即直线12OO 是此二圆的根轴.由分析1知1212AA BB ⊥，设垂足为M .因为112290AMB A MB ∠∠==，所以M 是此两圆的公共点.故12OO 应在两圆的公共弦线上.这样，只要连12OM O M 、，证出12O M O 、、共线，问题就解决了.证明这样的三点共线可采取分别证出12O O 、都在过M 的某一条直线上的方法.证明2设12AA 的延长线和12BB 交于M .如证明1所证，112AM BB ⊥.如图F9.2.2所示，以1122AB A B 、为直径各作一个圆.因为1:2290AMB A MB ∠∠==，所以M 在此两圆上.设两圆另外一交点为N .连11122122OA OA O B O B ，，，.因为11112111O A AB O B AB ⊥⊥，，所以11OA 和21OB 是F9.2.211AB 的两条切线.同理12OA 和22O B 是22A B 的两条切线.连1OM ，设1OM 与11AB 和22A B 各交于12N N 、，由切割线定理，221122OA OM ON OA OM ON =⋅=⋅，.因为2212OA OA =，所以12OM O N O M O N ⋅=⋅，所以12O N O N =.所以12N N 、重合，即1N 是11AB 和22A B .的公共点.因为两圆相交只有两个公共点，所以12N N 、都与N 点重合.可见1O 在MN 上，即1O 在11AB 和22A B 的公共弦上.同理可证2O 在MN 上，所以12O M O 、、三点共线.所以121212OO AA BB 、、三线共点.分析3这个公共点是否能预先确定它的性质?也即是说，M 点是怎样的特殊点?作出另一条内公切线EF E F ，、各是12O O 、上的切点.设EF 的延长线与11AB 交于1P ，过1P 作1212PP OO M ⊥，为垂足，则这个垂足M 即是所说的点.这样，我们可以先作出M ，然后证出1212AA BB 、也过此点.这只要在连12BM B M 、后证出1122BM P B M P ∠∠=，则可推知12B M B 、、三点共线.同理，12A M A 、、三点共线.可见1212AA BB 、都过12OO 上的这个特殊点.证明3作另一条内公切线EF ，在1O 上的切点为E .在2O 上的切点为F .延长EF ，交11AB 于1P ，过1P 作12OO 的垂线12PP ，交22A B 于2P ，交12OO 于M .连1221212M B M B M F O P O B O F 、、、、、，如图F9.2.3所示.由整个图形关于12OO 轴对称知122F M P B M P ∠∠=.因为111PF PB ，都是切线，所以212111O F PF O B PB ⊥⊥，，可见121P F M O B 、、、、五点都在以21OP 为直径的圆上，所以121FM P FO P ∠∠=，又2112112111FO P BO P BO P BM P ∠∠∠∠==，，所以1122BM P B M P ∠∠=.可见12M B B 、、共线，即12BB 与12OO 也交于M 点.同理，利用111A P M E O 、，、、(以11OP 为直径)五点共圆及关于12OO 的轴对称性，又可证出1121AM O AM O ∠∠=、可见12A A M 、、共线，即12AA 的延长线也过M 点.综上，121212AA BB OO ，，三线共点于M .[范例3]P 为等腰ABC 的底边BC 上的任一点，////PQ AB PR AC ，，分别交AC 、AB 于Q R 、.设D 为P 点关于直线R Q 的对称点，则A D B C 、、、四点共圆.分析1通过对角互补可证四点共圆.从条件知RB RP RD ABC ACB QD QP QC ∠∠=====，，，又由ARPQ 是平行四边形，可进一步得到AQ RP RD QD AR ===，，可见ADQ DAR ≅，所以.RDA QAD ∠∠=这时把四边形ADBC 的两组对角分别加起来，很容易发现对角之和相等.图F9.3.1证明1如图F9.3.1所示，连RD DQ 、.由对称性，QD QP RD RP ==，.易证ARPQ 是平行四边形，所以QP AR RP AQ ==，，所以AR QD AQ RD ==，，所以ADQ DAR ≅，故 ∠∠=QAD RDA①易证RP RB =，所以RB RD =， ∠∠=RDB RBD②因为AB=AC，所以 ∠∠=ABC ACB③式①+式②+式③得QAD ABC RBD RDA ∠∠∠∠++=+RDB ACB∠∠+即DAC DBC ADB ACB ∠∠∠∠+=+.因为360DAC DBC ADB ACB ∠∠∠∠+++=，所以180DAC DBC ∠∠+=，所以A 、D B C 、、共圆.分析2要证四点共圆，还可通过证明BDC BAC ∠∠=.由于BAC PQC BRP ∠∠∠==，只要证出BDC ∠和其中任一角相等即可.但是直接证BDC ∠和BAC PQC ∠∠、、BRP ∠中的任何一个相等都有困难，这时可试着把BDC ∠分成几部分，若每部分都和要证的角有一定的关系，则BDC ∠整体也容易建立与要证的角的联系.注意到RD RB RP QD QP QC ====，的事实，可以想到BDP 的外心是R PDC ，的外心是Q ，引用圆周角和同弧对的圆心角关系的定理，可很快证出结论.证明2连DQ DP DR DC ，、、，如图F9.3.2所示.易证.RD PB PR QD QP QC ====，可见R 是DBP 的外心，Q 是PDC 的外心.由圆周角和同弧上的圆心角关系的定理，1122BDP BRP PDC PQC ∠∠∠∠==，易证BRP PQC BAC ∠∠∠==，所以11112222BDP PDC BRP PQC BAC BAC BAC ∠∠∠∠∠∠∠+=+=+=，即BDC BAC ∠∠=，所以A D B C 、、、共圆.图F9.3.2分析3要证四点共圆，可以通过证A D B C 、、、到一个定点等距离.这个定点如果存在，那么显然是ABC 的外心O .利用BRO AQO ≅，可得OR OQ =，即O 点在R Q 的中垂线上.只要证出ADRQ 是等腰梯形，RQ AD 、是底，则可知O 也在AD 的中垂线上.这样，O 到A D B C 、、、距离相等.要证明ADRQ 是等腰梯形，只要证出ADR ADQ ≅即可.证明3设O 为ABC 的外心.连OA OB OR OQ DR DQ OD OC 、、、、、、、，如图Y9.3.3所示.因为OA OB =，所以OAB OBA ∠∠=.又OAB OAC ∠∠=，所以OAC OBA ∠∠=.易证ARPQ 是平行四边形，所以AQ RP =，又RP RD RB ==，所以AQ RB RD ==，所以OBR OAQ ≅，所以OR OQ =，即O 在R Q 的中垂线上.因为DQ QP AR RD AQ AD ===，，为公共边，所以ADR ADQ ≅，所以R Q 、到AD 等距离，所以ADRQ 是等腰梯形.由等腰梯形的轴对称性知，O 点又在AD 的中垂线上，即OA OD =.所以OA OD OB OC ===，可见A D B C 、、、共圆.图F9.3.39.3研究题[例1]三角形的三条中线共点.证明1(三角形中位线定理、平行四边形的性质)设中线BE CF 、交于G ，连AG 并延长，交BC 于D ，延长AD 到H ，使GH AG =，连BH CH 、，如图Y9.1.1所示，则GF GE 、各是ABH 和AHC 的中位线，所以////GF BH GE HC ，，所以GBHC 是平行四边形，BC GH 、是其对角线.因为平行四边形的对角线互相平分，所以BD DC =，所以AD 是BC 边的中线，所以AD BE CF ，，三中线共点.图Y9.1.1图Y9.1.2证明2(三角形的中位线、平行四边形的性质)设中线BE CF 、交于G 点，D 为BC 的中点，连GA GD 、，作//CH GD ，交BE 的延长线于H ，作//EM CF ，交AF 于M ，如图9.1.2Y 所示.在BCH 和ACF 中，由中位线定理知1122GB GH AM MF AF BF ====，.在BEM 中，由平行截比定理，12EG MF GBBF==，所以12EG GB =，所以12EG GH =，所以EG EH =.因为AE EC EG EH ==，，所以A G C H 、、、是平行四边形的四个顶点，所以//GA CH .因为////GA CH GD CH ，，所以A G D 、、共线，即AD 是中线，所以AD BE CF 、、三中线共点.图Y9.1.3证明3(中位线定理、相似三角形)设中线AD BE 、交于G ，中线AD CF 、交于G '.连DE ，如图所示，则DE 是ABC 的中位线，所以DEAB ，12DE AB =，由∽DEG ABG 知2.==AG ABGD DE同理，连DF 后有2AG AC G D DF ''==，所以AG AG GD G D=''，所以AG GD AG G D GD G D '+='+'，即AD ADGD G D='，所以GD G D G ='，与G '必定重合.所以三中线AD BE CF 、、共点.证明4(三角形的中位线、平行四边形的性质)设中线BE CF 、交于G ，中线BE AD 、交于G '.设P Q ，分别是GB GC 、的中点，连EF 、P Q ，如图9.1.4Y 所示，则EF PQ 、分别是ABC 和GBC 的中位线，所以1122EFBC PQ BC ，，所以EF PQ ，所以E F P Q 、、、是平行四边形的四顶点，所以.GE GP PB ==同理，若连DE ，又可证G E G P PB '=='，所以GE G E PB '==，所以G 、G '重合.所以三中线AD BE CF 、、共点.图Y9.1.4图Y9.1.5证明5(引用第5章例2的结果)设中线AD BE 、交于G AD CF ，、交于G '.如图Y9.1.5所示.由第5章例2的结果，2222AG AE AG AF GD EC G D FB ''====，，所以AG AG GD G D=''.可见G G '、内分AD 成等比值.由分点的唯一性知G G '、重合，即三中线AD BE CF 、、共点.证明6(Ceva 定理)设BD DC CE EA AF FB ===，，.因为1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，由三线共点的Ceva 定理知AD BE CF 、、共点.证明7(面积法、反证法)设三中线两两相交于P Q R 、、，如图9.1.6Y 所示.若P Q R 、、共线，表明AD BE CF 、、各有两公共点，所以AD BE CF 、、共线，与三角形的假设违背，所以P Q R 、、不共线.若P Q R 、、实际上只是两点，设P Q 、重合而与R 不重合，则AD 与CF 有两个公共点，所以AD CF 、应重合，与已知矛盾，所以P Q R 、、不能仅有两点重合.若P Q R 、、是不共线的三点，则0.PQRS≠连FD ，如图9.1.6Y 所示.FD 是中位线，所以//FD AC ，所以A D C A P C S S =，所以ADC ARC AFC ARC S S S S -=-，所以A F R C D R S S =.图Y9.1.6同理，AQEBQD CPE BPF SS S S ==，.连AP BR CQ 、、.因为D E F 、、各是BC CA AB 、、的中点，所以BRD CRD AQECQE APFBPF S S SS SS ===⋅，，故C RD S ==+ARFAQPF PQR SS S ，AQE S ==+BQD BPRD PQR S S S ，BPF S ==+CPE CRQE PQRS S S 因为，=+=+AQPF APF APQ BPF APQ S S S S S ，=+=+BPRD BRD BPR CRD BPR S S S S S=+=+CRQE CQE CQR AQECQR S S S SS ，把它们代人式(1)、式(2)、式(3)，再把三式相加，就得到30AQPBPR COR PQR SS S S +++=，此式表明0PQRS=，这与假设矛盾.所以P Q R 、、是一个点，即三中线AD BE CF 、、共点.证明8(引用第6章例5的结论)设三中线AD BE CF 、、两两相交于.P Q R 、、由第6章例5的结论，22(1)1POR ABCSSλλλ-=++.这里1BD CE AFDC EA FBλ====，所以0PQR ABCS S =，所以0.PQRS=但由证明7的分析知，P Q R 、，不可能共线或仅有两点重合，所以P Q R 、、实为一个点，即三中线AD BE CF 、、共点.图Y9.1.7证明9(面积法、三角形全等)设中线BE CF 、交于G ，连AG 并延长，交BC 于D ，作BM 、CN ，均与AD 垂直，垂足分别是M N 、，如图Y9.1.7所示.因为E F 、分别是AC AB 、的中点，所以12AEBAFCABCSSS ==⋅所以AEB AEGF AFC AEGF S S S S -=-，即E G C F G B S S =.又因为E G C E G A F G B F G A S S S S ==，，所以A G C A G B S S =.因为AGC AGB 、有公共底AG CN BM ，、是对应高，所以CN BM=因为CDN BDM ∠∠=，所以Rt Rt CND BMD ≅，所以CD BD =，即AD 是BC 边上的中线，所以三中线AD BE CF 、、共点.证明10(解析法)如图Y9.1.8所示，建立直角坐标系.设()()0Cc A a b ，，，，则022222c a c b a b D E F +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，.内分AD 成比值2λ=的点的坐标为221123A D c a x x a c x λλ+⋅++===++，图Y9.1.8201123A D y y b by λλ++⋅===++.33a c b +⎛⎫ ⎪⎝⎭即，2BE λ=内分成比值的点的坐标为0221123B Ea cx x a c x λλ++⋅++===++0221123B E by y b y λλ+⋅+===++即33a c b +⎛⎫⎪⎝⎭，.同法还可求出内分CF 为2λ=的分点也是这个点，即33a c b +⎛⎫⎪⎝⎭，是AD BE CF 、、的公共点，所以三中线AD BE CF 、、共点.[例2]三角形的三高共点.证明1(相似三角形、共圆)设两高BE CF 、的交点为H ，连AH 并延长，交BC 于D ，连EF ，如图9.2.1Y 所示.由A F H E 、、、共圆知12∠∠=.由B C E F 、、、共圆知23∠∠=，所以13∠∠=.因为C ∠为公共角，所以BEC ADC ∞，所以90ADC BEC ∠∠==，所以AD 也是高线，即三高AD BE CF 、、共点.图Y9.2.1图Y9.2.2证明2(共圆、证三点共线)设两高BE CF 、交于H ，连AH ，作HD BC ⊥，垂足为D ，连FE ，如图Y9.2.2所示.因为A F H E 、、、共圆，所以12∠∠=.因为B C E F 、、、共圆，所以1ACB ∠∠=.因为H D C E 、、、共圆，所以3ACB ∠∠=.所以32∠∠=，所以A H D 、、共线，即AD BC ⊥，所以三高AD BE CF 、、共点.证明3(利用三角形三边的中垂线共点的性质)分别过A B C 、、作对边的平行线，三条直线两两相交，交点为111A B C 、、，如图Y9.2.3所示.易证111ABC 各边的中点分别是A B C 、、，所以AD BE CF 、、是111ABC 各边的中垂线.因为三角形各边的中垂线共点，所以AD BE CF 、、共点，即ABC 的三高共点.图Y9.2.3证明4(Ceva 定理)如图Y9.2.4所示.由Rt Rt ADC BEC ∽知DC EC AC BC=.由Rt Rt BEA CFA ∽知AE AF AB AC=.由Rt Rt BFC BDA ~知BF BD BC AB =.图Y9.2.4以上三式连乘，得到DC AE BF EC AF BD AC AB BC BC AC AB⋅⋅=⋅⋅，所以1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=.由Ceva 定理知AD BE CF 、、共点.证明5(解析法)图Y9.2.5如图Y9.2.5所示，建立直角坐标系.设()()0C a A b c ，，，.AD 的方程为x b =.因为AC c k b a =-，所以BE a b k c-=，所以BE 的方程为a b y x c-=.两方程联立可得()b a b H b c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.所以()0AB CH b a b c b c k k b b a c--===--，，所以1A B C H k k ⋅=-，所以CH AB ⊥，可见CH 也是高，所以三高AD BE CF 、、共点.[例3]两直线12l l 、交于O 点，在1l 上有A B C 、、，满足OA AB BC ==.在2l 上有L M N 、、，满足LO OM MN ==，则AL BN CM 、、三直线共点.证明1(三角形中位线定理、同一法)设AL BN 、交于K .连MK 并延长，交OB 的延长线于1C ，连AM ，如图Y9.3.1所示，则AM 是OBN 的中位线，所以1=2AM BN .因为LAM LKN ∽，所以32NK LN AM LM ==，所以3324NK AM BN ==，所以1142KB BN AM ==.因为//KB AM ，所以1112C B KB C A AM ==，所以1CB AB =.因为AB BC =，所以1BC CB =，即C 与1C 重合.所以AL BN CM 、、三线共点.图Y9.3.1图Y9.3.2证明2(平行截比定理、三角形的中位线)作//MP AL ，交1l 于P ，连AM ，设AL CM 、交于K ，连BN ，如图Y9.3.2所示.易证AOL POM ≅，所以AO PO AP AC ==，.在CMP 中，由中位线逆定理知AK 是CMP 的中位线，所以CK KM =.因为OA OM AB MN=，所以//AM BN .在CMA 中，由中位线逆定理知BN 与CM 的交点是CM 的中点，即BN 也过K .所以AL BN CM 、、三线共点.证明3(中位线定理、重心的性质)连MA CL 、，如图9.3.3Y 所示.在OBN 中，AM 是中位线，所以//AM BN .在AMC 中，由中位线逆定理知BN 必过CM 的中点K ，即CK KM =.在MLC 中，CO 是ML 边上的中线，A 点分CO 成2:1的两部分，所以A 是MLC 的重心，所以LA 必是CM 上的中线，即LA 过K .所以AL BN CM 、、三线共点.证明4(同一法)设AL BN 、交于K ，作2//B P l ，分别交CM LK 、于P Q 、，设CM BN 、交于K '，如图Y9.3.4所示.易证OAL BAQ ≅，所以BQ OL OM MN ===.由LKN QKB ∽知33KN LM OL KB BQ BQ===.由MNK PBK ''∽知MN K N BP K B'='.在COM 中，3OM OC BP BC ==，所以3MN BP =，所以3K N K B ''=，即3KN K N KB K B'='=.可见K K '、都是内分线段NB 成比值3的点，由定比分点的唯一性知K K '、重合，即AL BN CM 、、共点.图Y9.3.3图Y9.3.4证明5(解析法)如图Y9.3.5所示，建立直角坐标系.设OA AB BC a LO OM MN b ======，，AOM ∠α=，则()()()()()()02030cos sin cos sin 2cos 2sin A a B a C a L b b M b b N b b αααααα--，，，，，，，，，，，AL 的方程为()sin cos b y x a b aαα-=⋅---，即图Y9.3.5()sin cos sin 0xb b a y ab ααα-+-=①BN 的方程为()2sin 22cos 2b y x a b aαα=⋅--，即()sin cos 2sin 0xb b a y ab ααα---=②CM 的方程为()sin 3cos 3b y x a b aαα=⋅--，即()sin cos 33sin 0xb b a y ab ααα---=③方程(1)、(2)、(3)的系数行列式为sin cos sin sin cos 2sin sin 3cos 3sin ααααααααα-------b a b ab b a b ab b a b ab 221cos 1sin 1cos 213cos 3αααα---=----a b ab a b a b 22111111sin 112cos 1120133113ab a b αα⎛⎫-- ⎪=⋅-+⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭所以AL BN CM 、、三线共点.[例4]在梯形ABCD 中，//AD BC AD BC AB F +=，，为CD 的中点，则A B ∠∠、的平分线必交于F .证明1(梯形的中位线、等腰三角形)图Y9.4.1作//FE AD ，交AB 于E ，如图9.4.1Y 所示，则EF 是梯形的中位线，所以()1122EF AD BC AB AE EB =+===，所以13∠∠=.因为23∠∠=，所以12∠∠=，即A ∠的平分线为AF .同理可证B ∠的平分线是BF .证明2(三角形全等、等腰三角形)延长AF ，交BC 的延长线于G ，如图Y9.4.2所示.易证ADF GCF ≅，所以AD CG =.因为AD BC AB +=，所以BC CG AB +=，即AB BG =，所以13∠∠=.又23∠∠=，所以12∠∠=，即A ∠的平分线过F 点.同理可证B ∠的平分线也过F 点.图Y9.4.2图Y9.4.3证明3(梯形的中位线、三角形全等、菱形的性质)作//FE AD ，交AB 于E ，则EF 是梯形的中位线.过F 作AB 的平行线，交BC 于H ，交AD 的延长线于G ，如图Y9.4.3所示.易证FDG FHC ≅，所以DG CH =，所以AD BC AG BH AB +=+=.易证ABHG 是平行四边形，所以AG BH =，所以12AG AB AE EB ===，所以AEFG 、BHFE 都是菱形，AF BF 、分别是它们的对角线.由菱形的对角线的性质知AF BF ，分别是A B ∠∠、的角平分线.证明4(三角形全等、内角和定理)在AB 上取G ，使AG AD =.因为AB AD BC AG GB =+=+，所以BG BC =.连GD 、GC GF AF BF 、，、，如图Y9.4.4所示，则1234∠∠∠∠==，.因为1218034180180A B A B ∠∠∠∠∠∠∠∠++=++=+=，，，所以1234180∠∠∠∠+++=，即1390∠∠+=，所以180131809090DGC ∠∠∠=--=-=.所以GF 是Rt DGC 斜边上的中线，所以FD FC FG ==.由ADF AGF BCF BGF ≅≅，知5678∠∠∠∠==，，所以A B ∠∠、的平分线交于F 点.图Y9.4.4图Y9.4.5证明5(面积法)过F 作MN AD ⊥，交AD 于M ，交BC 于N .作FE AB ⊥，垂足为E .伡AF BF 、.如图Y9.4.5所示.易证Rt Rt FMD FNC ≅，所以FM FN =.因为()()1111112222222ADF BCF ABCD MN S S AD FM BC FN AD BC FM AB FM AD BC S +=⋅+⋅=+⋅=⋅=+⋅=，，所以MF EF =，所以MF EF FN ==.可见F 点到A B ∠∠、的两边等距离，所以AF BF 、分别是A B ∠∠、的平分线.证明6(解析法)如图Y9.4.6所示，建立直角坐标系.设AD b BC a ABC ∠α===，，，则()0((C a A a +，，b)()()()()()cos sin )cos sin 1cos sin 22a b a b a b D b a b a b F αααααα++⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，，，，连BF AF 、.因为()sin sin 2tan tan 1cos 21cos 2AB BFa bk k a b αααααα+====+++，，所以BF 是B ∠的平分线.同理AF 是A ∠的平分线.图Y9.4.6[例5]在ABC 中，2B C AD BC M ∠∠=⊥，，在AB 的延长线上，BD BM N =，为AC 的中点，则M D N ，，共线.图Y9.5.1证明1(同一法)连MD 并延长，交AC 于1N ，如图Y9.5.1所示.在BMD 中，122223M ∠∠∠∠∠∠=+==，，所以123∠∠=.因为12C ∠∠=，所以3C ∠∠=，所以11D N NC =.易证11DN AN =.所以1N 是Rt ADC 的斜边的中点，所以N 与1N 重合.所以M D N ，、共线.证明2(直角三角形斜边中线定理)如图Y9.5.2所示，连DM DN 、.在Rt ADC 中，DN 是斜边上的中线，所以NDC C ∠∠=.因为12C ABC ∠∠=，所以12NDC ABC ∠∠=因为ABC ∠是等腰BMD 的外角，所以2ABC M BDM BDM ∠∠∠∠=+=，所以12BDM ABC ∠∠=所以BDM NDC ∠∠=，所以M D N 、、共线.图Y9.5.2图Y9.5.3证明3(角平分线、平行公理)连DM DN 、，作ABC ∠的平分线BP ，交AC 于P ，如图Y9.5.3所示.因为222ABC C ∠∠∠==，所以2C ∠∠=.因为DN 是Rt ADC 斜边上的中线，所以4C ∠∠=，所以24∠∠=，所以//BP DN .因为ABC ∠是等腰BMD 的外角，所以232223ABC ∠∠∠∠==，，所以23∠∠=，所以//BP MD .可见MD DN 、都与BP 平行，所以M D N 、、共线.证明4(Menelaus 定理)在DC 上取1B ，使1D B D B =，连1AB ，如图Y9.5.4所示，则1ABB 是等腰三角形，所以111AB AB ABB ABB ∠∠==，图Y9.5.4因为2ABC C ∠∠=，所以12ABB C ∠∠=，所以1A BC 也是等腰三角形.所以11A B BC =.因为BM BD AN NC==，，所以11D C D B BC BD AB BM AB AM =+=+=+=，所以1AM BD CNBMDC NA⋅⋅=由Menelaus 定理知M D N 、、三点共线.证明5(解析法)如图Y9.5.5所示，建立直角坐标系.图Y9.5.5连DM DN MN ，，.设()()()000A a C c B b ，，，，，，则22c a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.作BE DM ⊥，垂足为E ，由三线合一定理知.ME ED =设BMD ∠α=，则2BDM ABC ∠α∠α==，.因为2ABC C ∠∠=，所以C ∠α=，所以()22cos 2cos sin M b b ααα，.所以M N DS 22cos 2cos sin 11122201ααα=b bc a22cos 2cos sin 1222ααα=b b c a ()cos cos sin 2ααα=-b a c 在Rt ADC 中，由正弦定理，()sin sin cos sin 90a c c cDAC α∠αα===-，所以cos sin a c αα=⋅，所以0M ND S =，所以M N D 、、三点共线.[例6]在ABC 中，E F 、分别是AB AC ，的中点，延长CE 到P ，使EP EC =，延长BF 到Q ，使FQ FB =，则P A Q ，、共线.证明1(证明平角)如图Y9.6.1所示，伡AP AQ ，.易证AEP BEC AFQ CFB ≅≅，，所以1ABC ∠∠=，3ACB∠∠=图Y9.6.1因为2180ABC ACB ∠∠∠++=，所以213180∠∠∠++=，即PAQ ∠为平角，所以P A Q 、、共线.证明2(利用平行公理)如图Y9.6.2所示，连AP AQ PB QC 、、、.因为四边形APBC 和四边形ABCQ 的对角线互相平分，所以APBC 和ABCQ 都是平行四边形，所以////AP BC AQ BC ，.由平行公理知P A Q 、、共线.证明3(中位线定理、乎行截比定理、同一法)连Q A 并延长，交CE 的延长线于1P ，连EF ，如图9.6.3Y 所示.因为EF 是BAQ 的中位线，所以//AQ EF ，所以1//AP EF .在1CAP 中.由平行截比定理，11P E AFEC FC==，所以1PE EC =.又PE EC =，所以1.PE PE =且1P P E 、、共线，1P P 、在E 点同侧，所以1P 和P 重合.所以P A Q ，、共线.证明4(平行截比逆定理、平行公理)连PQ AQ EF 、、，设CE BF 、交于O ，如图9.6.3Y 所示.因为EF 是ABC 和ABQ 的中位线，所以////EF BC AQ ，所以EOF COB ∽，所以OF OE BO CO =，所以OF OEBF CE=.因为BF FQ CE EP ==，，所以OF OEFQ PE=，由平行截比逆定理，//PQ EF ，所以//PQ AQ .所以P A Q ，、共线.图Y9.6.4证明5(解析法)如图Y9.6.4所示，建立直角坐标系.设()()0Ca Abc ，，，，则2222b c a b c E F +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，由中点坐标公式可求出P Q 、的纵坐标，202022P Q c cy c y c =⋅-==⋅-=，，所以P Q A y y y ==，所以P A Q ，，共线.[例7]梯形的上下底的中点和对角线的交点共线.证明1(同一法)如图Y9.7.1所示，设上、下底的中点各为E F 、，对角线的交点为O (以下同).连EO 并延长，交AB 于1F .由1COE AOF ~知11CE OEAF OF =.图Y9.7.1证明1由1DOE BOF ∽知11DE OEBF OF =.所以11CE DEAF BF =.因为CE DE =，所以11AF BF =，所以1F 为AB 的中点，所以1F 与F 重合.所以E O F 、、共线.图Y9.7.2证明2(证明对顶角)连OE OF 、，如图Y9.7.2所示.由COD AOB ∽知1212CDCO CD CEOA AB AF AB ===.因为12CO CEOA AF∠∠==，所以COE AOF ∽，所以34∠∠=，即34∠∠、形成对顶角.所以E O F 、、共线.证明3(平行截比定理、同一法)如图Y9.7.3所示，过O 作//MN AB ，分别交AD BC 、于M N 、，则MO ON =.延长AD BC 、，相交于P ，连PF .设PF 与MN CD 、各交于11O E 、.因为////AB MN CD AF FB =，，由平行截比定理知1111M O ON DE EC ==，，所以O 与1O E ，与1E 分别重合.所以E O F 、、共线.图Y9.7.3图Y9.7.4证明4(平行截比定理、平行四边形的性质)如图Y9.7.4所示，连.OF 作11////A D O F B C O F ，，各交BO AO 、的延长线于11D C 、.连11DC .由中位线性质逆定理知1122AD OF BC OF ，，所以11AD BC ，所以11ABC D 是平行四边形.延长FO ，交11CD 于1E ，交CD 于2E ，则1E 是11CD 的中点.因为11////CD ABC D AB ，，所以11//C D CD ，由平行截比定理知2E 是CD 的中点，所以2E 与E 重合.所以E O F 、、共线.图Y9.7.5证明5(面积法、反证法)若E O F 、、不共线，则0EOF S ≠.连OE OF EF 、、，过O 作//MN AB ，分别交AD BC 、于M 、N ，如图Y9.7.5所示，则OM ON =.所以O D M O CN O M A O NB S S S S ==，.因为AF FB DE EC ==，，又有O CEO D E O BF O AF S S S ==，S ，所以O D M O D E O M A O AFO NC O CE O NB O BF S S +++=+++S S S S S S ，即AFOED EOFBC S S =.因为()()11(22AFED EFBC S AF ED h S BF CE h h =+=+，表示梯形ABCD 的高)AF ED BF CE +=+，，所以A F E D E F B C S S =，即AFO ED EO F EO FBC EO F S SS S +=-.由此可知0EOF S =，与假设矛盾，所以E O F 、、共线.证明6(解析法)如图Y9.7.6所示，建立直角坐标系.设()()()0B b D d a C c a ，，，，，，则022c d b E a F +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，连.EF EF 的方程是222a b y x c d b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭，即图Y9.7.6()2a y x b c d b=-+-AC 的方程为a y x c=BD 的方程为()a y x b d b =--联立式(2)、式(3)，得到bc ab O b c d b c d ⎛⎫ ⎪+-+-⎝⎭，.因为2ab a bc b b c d c d b b c d ⎛⎫=⋅- ⎪+-+-+-⎝⎭，可见O 点的坐标满足方程(1)，即O 点在EF 上.所以E O F 、、共线.[例8]在ABC 中，H 为垂心，D 为BC 的中点，AE 是外接圆的直径，则H D E 、、共线.证明1(同一法)设O 为外心，连AH 并延长，交BC 于M ，则AM BC ⊥.连OD ，连ED 并延长，交AM 于H '，如图9.8.1Y 所示.由垂径定理，OD BC ⊥，所以//OD AM .因为//AO OE OD AM =，，在AEH '中，由中位线逆定理知12OD AH ='.由第2章例14的结果，12ODAH ，所以AH AH ='，所以H 和H '重合，所以E D H 、、共线.图9.8.1Y图Y9.8.2证明2(同一法、平行四边形)连BH BE CH CE 、、、，如图Y9.8.2所示.因为H 为垂心，所以BH AC ⊥.因为AE 为直径，所以EC AC ⊥，所以//BH EC .同理//CH BE ，所以BHCE 是平行四边形.连EH ，交BC 于1D .由平行四边形的对角线互相平分的性质知1D 为BC 的中点，所以1D 与D 重合，所以E D H 、、共线.证明3(对顶角、三角形全等、等腰梯形的对称性)如图Y9.8.3所示，连DE DH 、，连AH 并延长，交BC 于M ，交⊙O 于K ，连.KC KE EB DK HC 、、、、因为H 为垂心，所以CH AB ⊥，所以MCH MAB ∠∠=.因为MAB MCK ∠∠=，所以MCK MCH ∠∠=，所以CH CK =，即CM 是HK 的中垂线，所以DH DK =，所以CDH CDK ≅，所以12∠∠=因为AE 是直径，所以EK AK ⊥.因为BC AK ⊥，所以BC EK 所以BCKE 是等腰梯形，D 是其底边的中点.由等腰梯形的轴对称性，32∠∠=.因为3221∠∠∠∠==，，所以31∠∠=，所以H D E 、、共线.图Y9.8.3证明4(Menelaus 定理)连OD AH 、，则2//.AH OD OD AH =，延长AH ，交BC 于M ，交O 于K ，则MH MK =.设AE BC 、的交点为N ，连EK ，则//EK BC .如图Y9.8.4所示.在ANM 中，12122===---AH ND OD AH DM AM OD AM AH AM AH .AH AM MH =+在AEK 中，.++===AE AK AM MK AM MH NE KM KM MH所以()() 1.+⋅⋅⋅⋅==⋅+⋅AM MH AH MH AE ND MH NE DM HA MH AM MH AH由三点共线的Menelaus 定理知、、E H D 共线.证明5(三角法、求边长)连OD AH ED EH 、、、，如图Y9.8.5所示.由第2章例14的结果知1122OD AH OD AH =，，所以12∠∠=.在EOD 和EAH 中，由余弦定理有2222cos 1.∠=+-⋅⋅ED EO OD EO OD 2222cos 2∠=+-⋅⋅EH AE AH AE AH 222(2)(2)222cos 1(2).∠=+-⋅⋅⋅=O E O D O E O D ED 所以2=EH ED .由正弦定理，又有sin sin 1∠∠=⋅ODOED ED ，2sin sin 2sin 2sin 22∠∠∠∠=⋅=⋅=⋅AHODODAEH EH ED ED 所以sin sin OED AEH ∠∠=.因为OED AEH ∠∠、都是锐角，所以OED AEH ∠∠=，所以E H D 、、共线.证明6(面积法、反证法)如图Y9.8.6所示，连AH OD 、，由第2章例14知12OD AH ,1.2OD AH =连ED DH EH OH 、、、，设EH 交OD 或OD 的延长线于M .若、、E D H 不共线，则D 与M 不重合.在AEH中，OM 是中位线，所以12=OEM OEH S S ，又因为=AOH EOH S S ，所以12OEM AOHS S =因为ODE 和AOH 在互相平行的底OD 和AH 上具有等高，所以12ODE AOH S S =.所以ODE OEM S S =.又因为ODE 和OEM 在底OD OM 、上具有等高，所以ODE OEM S OD S OM=，所以OD OM =.这表明D 与M 应当重合.与假设矛盾.所以E D H 、、共线.[例9]自ABC 的外接圆上的任一点P 向三边所在的直线引垂线,设L M N 、、为垂足,则L M N 、、共线.(Simson 定理)证明1(共圆、证明平角)连PB PC ML MN 、、、,如图Y9.9.1所示.因为PCN ∠是圆的内接四边形ABPC 的外角,所以PCN ∠ABP∠=因为90180BLP BMP PMC PNC ∠∠∠∠==+=，,所以P B L M 、、、和P M C N 、、、分别共圆,所以,180PMN PCN LMP LBP ∠∠∠∠=+=所以180LMP PMN LMP PCN LMP ABP ∠∠∠∠∠∠+=+=+=所以LMN ∠为平角,所以L M N 、、共线.证明2(同一法、共圆)连PB PC 、,连LM 并延长,交AC 的延长线于1N ,连1PN ,如图Y9.9.2所示.因为P B L M 、、、共圆,所以1N MP ABP ∠∠=.因为P C A B 、、、共圆,所以1PCN ABP ∠∠=.所以11N MP PCN ∠∠=,所以1,P M C N 、、共圆,所以1180PMC PN C ∠∠+=,所以11801809090PN C PMC ∠∠=-=-=,所以1PN AC ⊥.又PN AC ⊥,所以1N N 、重合,所以L M N 、、共线.证明3(平行公理)连PA PC MN NL 、、、,如图9.9.3Y 所示.因为A L P N 、、、共圆,所以PAL PNL ∠∠=.因为P N C M 、、、共圆,所以PNM PCM ∠∠=.因为A B P C 、、、共圆,所以PAL PCB ∠∠=.所以PNM PNL ∠∠=,所以//NM NL ,所以L M N 、、共线.证明4(证对顶角相等)连PB PC ML MN 、、、,如图Y9.9.4所示.。
2016新课标创新人教A版数学必修2 章末小结与测评
考点1共点、共线、共面问题1．三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上．2．共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．3．三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．[典例1] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，EF ＝12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ， ∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， ∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点， 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点． [对点训练]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．证明：如图所示，连接A 1B ，CD 1.显然B ∈平面A 1BCD 1，D 1∈平面A 1BCD 1. ∴BD 1⊂平面A 1BCD 1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．考点2平行关系1．空间中平行关系的相互转化2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．3．判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．[典例2]如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F∥BE且D1F＝BE.∴四边形BED 1F 是平行四边形，∴D 1E ∥BF . 又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .∵FG 是△DAD 1的中位线， ∴FG ∥AD 1.又AD 1⊄平面BGF ，FG ⊂平面BGF ， ∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF .(2)连接BD ，B 1D 1，∵底面是正方形，∴AC ⊥BD . ∵D 1D ⊥AC ，D 1D ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1，∴D 1E ⊥AC . [对点训练]2．在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝12BC .求证：FO ∥平面CDE .证明：如图所示，取CD 中点M ，连接OM, EM ， 在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12BC ，又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM . 又因为FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE .考点3垂直关系1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例3](2016·九江高一检测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.[对点训练]3．(2016·汕尾模拟)如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.证明：∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a′⊥β，∴a⊥β.考点4空间角空间角的求法(1)找异面直线所成的角的三种方法①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．[典例4]如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A, B 的一动点． (1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若P A ＝AB ＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点． ∴BC ⊥AC ，∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ， ∴△BPC 是直角三角形．(2)如图，过A 作AH ⊥PC 于H ， ∵BC ⊥平面P AC ， ∴BC ⊥AH ，PC ∩BC ＝C ， ∴AH ⊥平面PBC ，∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成角， ∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PCA 即是PC 与平面ABC 所成角， ∵tan ∠PCA ＝P AAC ＝2，又P A ＝2，∴AC ＝2， ∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33.[对点训练]4．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．解析：∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵P A⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，易证BC⊥平面P AH，∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，即γ.∵AB≠AC，∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH，∴P AAC＜P AAD＜P AAH，∴tan α＜tan β＜tan γ，∴α<β<γ.答案：α<β<γ考点5折叠问题解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与平面图形在认识上的转化．(2)空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．(3)平面→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．[典例5]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点．取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.[对点训练]5．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.（时间120分钟满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α解析：选C若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.2．下列命题正确的是()A．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B．两条异面直线不能同时垂直于一个平面C．直线与平面所成的角的取值范围是：0°＜θ≤180°D．两异面直线所成的角的取值范围是：0°＜θ＜90°.解析：选B A错误．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，并不意味着和平面内的任意直线垂直，所以此直线与平面不一定垂直；B正确．由线面垂直的性质定理可知，两条异面直线不能同时垂直于一个平面；C错误．直线与平面所成的角的取值范围是：0°≤θ≤90°；D错误．两异面直线所成的角的取值范围是：0°＜θ≤90°.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．(2016·广州模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合B．垂直于同一平面的两条直线平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行解析：选B A中的射影也有可能是两个点，错误；C中两个平面也可能相交，错误；D中的两个平面也有可能相交，错误．所以只有B正确．5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BDC．A1D D．A1D1解析：选B CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD ⊥CE.6．(2016·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．7．(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一平面 解析：选D A 项，α，β可能相交，故错误；B 项，直线m ，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若m ⊂α，α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥β，故错误；D 项，假设m ，n 垂直于同一平面，则必有m ∥n ，所以原命题正确，故D 项正确．8．(2016·濮阳质检)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( )A.12B.13 C.33 D.23解析：选C 取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴△BEF为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155 D.105解析：选D 在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .⎭⎪⎬⎪⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值．∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.11．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9 C.125π6 D.125π3解析：选C 球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6.12．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：选D 易知△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴∠BDC ＝90°，又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD ，而AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AB 的位置关系是________．解析：由平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，知MN ⊥平面ABCD .∴MN ⊥AB . 答案：垂直14．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．解析：∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1， ∴∠C 1MN ＝90°. 答案：90°15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．解析：连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2.答案： 216．(2016·福州高一检测)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，P A 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PB C.(填图中的一条直线)解析：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，∴BC ⊥AC ，∵P A 垂直于⊙O 所在的平面，∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，AF ⊂平面P AC ，∴AF ⊥BC ，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.答案：AF三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．(本小题满分12分)(2016·常德高一检测)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.19．(本小题满分12分)(2016·滁州质检)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC 且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB ＝BC ，∴BE ⊥S C.又DE ∩BE ＝E ，根据直线与平面垂直的判定定理知SC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ， ∴SC ⊥BD .又SA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BD . 又SA ∩SC ＝S ， ∴BD ⊥平面SAC .(2)由(1)知∠EDC 为二面角E -BD -C 的平面角， 又△SAC ∽△DEC ， ∴∠EDC ＝∠ASC .在Rt △SAB 中，∠SAB ＝90°， 设SA ＝AB ＝1，则SB ＝ 2.由SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥SB .在Rt △SBC 中，SB ＝BC ＝2，∠SBC ＝90°，则SC ＝2. 在Rt △SAC 中，∠SAC ＝90°，SA ＝1，SC ＝2. ∴cos ∠ASC ＝SA SC ＝12.∴∠ASC ＝60°，即二面角E -BD -C 的大小为60°. 21．(12分)(2015·北京高考)如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V -ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C -VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V -ABC 的体积为33. 22．(12分)(2015·天津高考)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点， 所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ， 所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点， 所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1， 所以BB 1⊥平面ABC ， 从而BB 1⊥AE . 又因为BC ∩BB 1＝B ， 所以AE ⊥平面BCB 1. 又因为AE ⊂平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE . 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点， 所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ， 所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE . 又因为AE ⊥平面BCB 1， 所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2， 所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1， 所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB . 又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.。
必修二第2章点线面的位置关系归纳整合
(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直 线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三 种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
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3．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直 线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
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【例 1】 如图所示，空间四边形 ABCD 中 E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.求证：
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
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4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 5．“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得 到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空 间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法． 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的 不断转化运用的过程．
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证明共线、共面问题
一、共面问题
1. 下列说法正确的是( )
①任意3点确定一个平面；②圆上的3点确定一个平面；③任意4点确定一个平面；④
两条平行线确定一个平面．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
2．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3. 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图
是( )
4. 如图121-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平
面A1BCD1内？
图121-1
5. 证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内．
6. 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
7. 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
8. 求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面．
二、共线问题
1. 如图121-2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否证明B，E，D
1
三点共线
图121-2
2. 如图121-3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD
1
，
AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.
图121-3
3. 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如右
图所示．求证：P，Q，R 3点共线．
4. 已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，
A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E 4点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线．
5. 如图121-4，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α
相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.
图121-4
三、共点问题
1. 如图121-5，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
图121-5
2. 如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD
上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点．
3. 如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果
EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
参考答案
证明共线、共面问题
一、共面问题
1. 答案：C
2．解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与
四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共
点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得
的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3. 解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．
4. 【提示】 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.
5. [解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
6.
【精彩点拨】 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；
二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
解析：已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．
由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．
(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α.由公理1知c⊂α. 同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
7. 【证明】 如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l
＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．
8. 解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c和l共面．
证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由
公理1可知l⊂α.
因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两
条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
二、共线问题
1. 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D
1
三点共线．
2. 【精彩点拨】 欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC
的交线
DA上即可．
解析：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1，
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
3. [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC
与平面α的交线上．
∴P，Q，R 3点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
4. 证明：如图．
(1)连接B1D1，
∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R 3点共线．
5. 【证明】 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，
又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
三、共点问题
1. 【证明】 ∵梯形ABCD，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.
又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β，
又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．
2.
3. 证明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上.