二阶四点边值问题上下解方法
四阶周期边值问题解的存在性与唯一性
（ ． ｏｌｇ ｔｅ ａ ｉ ｎ ｎ ｏ ｍ ｔ ｎＳ ｉ ｃ ， ｒｈ ｓ Ｎｏ ｍ ｌ ｎｖ ｒ ｉ Ｌ ｎ ｈ ｕ７ ０ ７ ， ｈ ｎ ； １ Ｃ ｌ ｅ ｆ Ｍａｈ ｍ ｔ ｓ ｄ Ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｃ ｎ ｅ Ｎｏｔｗｅｔ ｒ ａ ｉ ｓ ｙ， ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｏ ｃａ ｏ ｅ Ｕ ｅ ｔ ２ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｎ ｅａ ｄ Ｅ ｏ ｏ ｃ ， ｈ ｉＵ ｉｅ ｓ ｙ， ｊ ａ ｕ ８ １ ０ ， ｈ ｎ ） ． ｏｌ ｅ ｆ Ｆ ｎ ｃ ｎ ｃ ｎ ｍｉｓ Ｓ ｉ ｅ ｏ ａ ＨｅＺ ｎｖ ｒｉ Ｗｕ ｉｑ ３ ３ ０ Ｃ ｉａ ｔ
ｒ ｓ ｎ ｎｃ ｏ ｄｉｉ ｎ ｏ ｉ ｌ ａ ａ ｔ ｒ ｅ ｏ ａ ｅ ｃ ｎ ｔｏ ｆｓｎｇ ｅ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｕ ｔ － ｒ ｅ ｅ ｉｄ ｃ ｂ ｕ ｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ； ｏ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅｃ ｎ ｉ ｏ ； ｘ ｓ ｅ ｃ ； ｎ ｑ ｅ ｅ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｒ ｈ ｏ ｄ ｒ ｐ ｒ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｎ ｅ ｏ ａ ｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｏ ｉ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：
Ｔｈｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｎｄ ｕｎ ｑ ｎｅ ｓ ｏｆ ｓ ｌ ｉ ｓ ｆ ｒ ｆ ｕ ｐｒ ｂｌｍ ｓ ｘｉｔ ｎ ｅ ａ ｉ ｕｅ ｓ ｏ ｕｔｏｎ ｏ ｏ ｔ － ｒ ｅ ｅ ｉ ｄｉ ｏｕ ａ ｙ ｖ ｌ ｏ ｅ
１１
我 们 的 目的是在 单参 数 非共 振 条件 下 ， 用 与文献 ［ ，］ 同方法 ， 利 １２ 不 采用 Ｓ ｈ ｕ ｅ 不 动 点定理 及 Ｂ ｎ ｃ ｃａ ｄｒ ａ ａｈ 压 缩映像 原理 获 得 了周 期 边值 问题 （ ）解 的存在 性与 唯一 性． １
分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性
进行 了研 究 ， 并 获得 了方 程正解 的存 在性 结果 ． 本文 研究 下 面 的分 数 阶微分 方程 正解 的存在 性
ｒ Ｄ ＋ “ （ ） ＋ｆ（ ｔ ， （ ｆ ） ） 一０ ， Ｏ ＜ ： ＜１ ，
（ ０ ） ＝ ＝ ： （ Ｏ ） 一 … 一 一 （ ０ ） 一０ ， （ １ ）
十 Ｄ６ （ ￡ ） 一 （ ￡ ） ＋ ｃｌ ｔ 一 ＋ Ｃ２ ＋…＋Ｃ ｔ 一 ，
Ｃ ∈Ｒ， ＝１ ， ２ ， …， ” ． 其 中 是 大于或 等于 ａ的最小 整数 ． 引理 ３ 给定 Ｙ ∈ｃ Ｅ ｏ ， １ ］ ， 且 （ ￡ ） ≥Ｏ ， 则 积分边值 问题
ｆ
Ｄｇ ＋ （ ￡ ） ＋ （ ￡ ） ＝ ０， Ｏ ＜ｆ ＜１ ， （ ０ ） 一“ （ ０ ） ＝ … ＝ （ Ｏ ） ＝０ ，
校 科 技 发 展 计 划 资 助 项 目（ Ｊ １ Ｏ Ｉ Ａ ５ ３ ）
通讯作者 ： 郭丽敏 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ３ Ｏ １ ３ ７ ４ ５ ０ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｒ ｌ １ ．
第六章 边值问题差分法简介new..
第六章 边值问题差分法简介我们考虑如下简单边值问题。
12''()()()()(),()y x g x y x f x a x by a d y b d -=<<== 其中，(),()g x f x 为已知函数，()0g x >（为了解方程收敛）。
12,b b 为已知常数。
首先，用分点0123,,2,3,...,n x a x a h x a h x a h x a nh b ==+=+=+=+= 将区间n 等分，h 为步长，0,1,2,...,i x i n =称为节点。
其次在[a ，b ]内每个内部节点 1,2,...,1ix i n =-上用数值微分公式。
11112211''()(2)(2)i i i i i i i y x y y y y y y h h+--+=-+=-+ 替代原方程中的二阶导数得在节点1,2,...,1i x i n =-满足的关系是式： 1121(2)()()()1,2,3,...,1i i i i i i y y y g x y x f x i n h-+-+-==- 即：21121((2()))()1,2,3,...,1i i i i i y h g x y y f x i n h-+-++==- 注意：上式是关于未知数为11,,i i i y y y -+的线性方程。
我们有n -1个这样的方程，组成方程组。
未知数0,1,2,3,...,i y i n =，共n +1个。
再加上边值条件012,n y d y d ==，n +1个未知数，n +1个方程，方程组封闭。
解此线性方程组，得到问题的数值解。
方程组为：20112122122322011((2()))()11((2))()2..........y h g x y y f x i h y h g y y f x i h y d -++==-++=== 21121((2))()...........i i i i i y h g y y f x i i h-+-++== 22111221((2))()1n n n n n n y h g y y f i y x d n h -----++===-矩阵形式：2(2)i i T h g =-+211112222221112111..................11................1i i i n n n h f d T y T y h f T y h f T y h f d ---⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦由于()0g x > 所以，对角占优矩阵，用追赶法求解。
四阶边值问题解的存在性
解方法 ， 假设下列条件满足。 （ 。： 日 ） 对任意满足条件 ａ ｔ≤ （） ｃ ｏ １ 的函数 ａ ｔ ，（） （） ｔ的 ［ ，］ （）卢 ｔ存在 Ｍ∈（ ， 使对 口 ｅｔ ０ １ 有 ０仃 ） 。。 Ｅ［ ， ］ ｔ／， ） ｔ／， ） 一 ｖ 一Ｊ ， ，２ｔ 一 ，ｌ Ｊ ≥ Ｍ（２ ｔ）这里 ａ ｔ ≤ １ ≤卢 ｔ ， ， ∈ ，ｌ 。下面给出本文的主要 ｔ Ｊ ２ ｔｔ １ １ （） ≤ ２ （）ｔ １ Ｒ ｔ≤ Ｊ３ ｌ２ Ｊ
【（） ０ａ １ ≤ ；”０ Ｉ０ａ（ ） ０ ａ ｏ ≤ ，（） ００（ ） ，”１ ＞ 。 ｔ ＞ １
则称 ａ ｔ式 （ ） （） １ 的一个下解。类似的把不等号反向， 称满足 ‘ ｔ （） ｔ ｔ ， （） ，∈［ ，］ ， ） ｔ ）ｔ ０ １ 卢（
， 、
ｌ（） ０卢 １ ＞０ （） ， １ ≤０ ０ ＞ ，（） ； ０ ≤０ （） 。 １ １
关键 词 ： 四阶边值 问题 ； 上下 解方 法 ； 单边 Ｌｐｃｉ 条件 ；ａａ ｅｄｒ ｉｓｈｔ ｚ Ｃ ｒｔ ｏｏ ｈ ｙ函数
中图分类 号 ：１５ ８ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
１ 介绍
四阶非线性 方程 ｆ ’ｔ ｔｕ ｔ， （） ，Ｅ［ ，］ （）＝ ，（） ”ｔ） ｔ ０ １ ； …
（） ３对任意 Ｎ＞０ 存在 ｇ （）∈Ｌ ［ ， ］对 任意 满足 Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ， Ⅳｔ ｌ０ １ ， ， ≤Ｎ 的 ， 和 ｅｔ ０ １ 有 ｔ Ｊ ． ∈［ ， ］
ｔ ｔ ≤ｇ （ ） ， Ｊ ，）Ｉ Ⅳ ｔ 。
一类二阶边值问题无穷多解的存在性
２ ０ １ ３年 ５月
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ７ ６ ９ ４ ／ ｊ ｄ ｘ ｂ ｌ ｘ ｂ ２ Ｏ １ ３ Ｏ ３ Ｏ ３
一
类 二 阶边 值 问题 无 穷 多解 的存 在 性
贺 强 ，张 琪 ，卢 洋
（ 吉林大学 数学学院 ， 长春 １ ３ ０ ０ １ ２ ）
盲 目
摘 要 ：考虑 一 类二 阶三 点边值 问题 无 穷多解 的存在 性．利 用 分析 上 下解 的方法 分别 证 明 了共 振 与非共振 两种 情形 下该 类 问题解 的个 数可 以是 可数无 穷 多个 ，并针对 实 际问题 利用 打靶 法
（ ２ ）
ａ ・Ｊ ９— １， ． ； Ｌ ＞ ０；
（ ３ ）
ａ・口＜ １，
＞ ０ ．
（ ４ ）
２ Ｏ１ ２ － ｉ ０ － Ｉ ５ ． 收 稿 日期 ：
贺 作者简介 ：
张
强（ １ ９ ７ ６ 一） 男 ， 汉 族 ，博 士 研 究 生 ，讲 师 ，从 事 常 微 分 方 程 的 研 究 ，Ｅ ｍａ ｉ ｌ ：ｈ ｅ ｑ ｉ ａ ｎ ｇ ＠ｊ ｌ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｒ １ ．通 信 作 者
和 Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ迭代 法给 出了该 类 问题 的数值 解法 及相 应的 图像 分 析．
关键 词 ：三点边值 问题 ；共振 与非共 振条 件 ；上 下解方 法
中 图 分 类 号 ：Ｏ２ ４ １ ． １ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ６ ７ １ — ５ ４ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ３ ５ ７ — ０ ６
ｆ —ｉ ｉ （ ｔ ） 一 ｆ（ ｔ ， 甜 （ ￡ ） ） ，
【 “ （ ０ ） 一０ ， （ １ ） 一似 （ ） 一 ，
二阶混合型积分微分差分方程的两点边值问题的存在性与唯一性
二阶混合型积分微分差分方程的两点边值问题的存在性与唯一
性
王国灿
【期刊名称】《大连交通大学学报》
【年(卷),期】2007(028)004
【摘要】利用微分不等式技巧研究了某一类二阶混合型积分微分差分方程的两点边值问题,在上下解存在的条件下,得到了解的存在性和唯一性定理.结果表明:这种技巧为其它边值问题的研究提出了崭新的思路.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】王国灿
【作者单位】大连交通大学,数理系,辽宁,大连,116028
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶Hammerstein型积分微分差分方程周期边值问题的存在性与唯一性 [J], 王国灿;曹宏博
2.二阶混合型积分微分差分方程非线性边值问题的存在性与唯一性 [J], 王国灿;鲁宁
3.二阶混合型积分微分差分方程的线性边值问题的存在性与唯一性 [J], 金丽;王国灿
4.二阶Volterra型积分微分差分方程周期边值问题的存在性与唯一性 [J], 王国灿
5.二阶混合型脉冲微分-积分方程两点边值问题解的存在性 [J], 谢胜利
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二阶非线性微分方程组三点边值问题解的存在性
（） （） ｆ；“￡
（） ｆ
（ ；Ｉ ｆ Ｉ Ｎ（ 见 引理 ２ 时 ， ｆ Ｙቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ） ） Ｎ ）
收稿 日期 ：０ ５ ０ — ０ ２０— ６ ２
基金 项 目 ： 建 省 教 育 厅 Ａ 类 基 金 （Ａｏ １２ 福 Ｊ ３７）
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－
３ ｎ・
数 学 研 究
２ ０ 正 ０７
ｆ“ 一 ｆ ｔ Ｙ ， ， ） （， ， ”
ｌ （ １ ：Ａ， （） Ｂ， ｏ 一 Ｃ ， （） ｃ． 一 ） ” １ 一 （） ｏ ｏ一
边值 问题 ：
ｆ ”一 ｆ（ ，Ｙ，ｚ， ｙ ｔ Ｙ ，ｚ ）
ｚ 一 ｇ（ ，Ｙ，ｚ ｔ ，Ｙ ，ｚ ） （ １ 一 ）一 Ａ ， （ ）一 Ｂ ，ｚ Ｏ １ （ ）一 Ｃ。 Ｏ ，ｚ （ ）＝ Ｃ ， １
一
（） １
定条件 下得 到 问题解 的存 在性 ， 在三 点边 值 问题 （ ） １ 中如 果第 二 个方 程为 一 Ｙ 则 可 得 四 ， 阶非线性 三 点边值 问题 ：
（） （） （）∈ Ｃ ［ １ １ ｆ， ｆ， ｆ 一 ， ］满足 ： （）口ｆ 口 （）
（ ）口 一 １ ６ （ ）
（） ∈ ［ １１ ； （） ｆｔ 一 ，］ “ｆ
Ａ
（） ｆ ｔ∈ ［ １ １ ； ｆ 一 ，］ “（）
（） ∈ Ｅ ，］ ｕ（） ｆ ｔ ｏ １ ； ｆ
‘ｆ ）ｔ∈ ［ １Ｏ ． （ 一 ，］
（ １ ； （ ） Ｂ 一 ） 口 １ （ ） （ ）＝ Ｃｏ— ｖ（ ） ‘（ ）一 Ｃ １ ，“ Ｏ ０ ； Ｏ 一 （ ） ０．
（）当 ｔ∈ ［ １ ］ “ｆ ｃ 一 ，１ ； （）
二阶Hammerstein型积分微分差分方程的两点边值问题
２０ ０ ８年 ２月
文章 编 号 ：６３ ９９ （０ ８ ０ —０ １０ １７ —５ ０ ２０ ） １０ ０ —５
二 阶 Ｈａ ｍｍｅｓ ｉ 积 分微 分 ｒｔ ｎ型 ｅ 差 分 方 程 的两 点 边值 问题
金 丽 ， 国灿 王
（ 大连交通大 学 理 学院 ， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ８ 摘 要： 利用微 分不等式技巧研究 了某一类二 阶 Ｈ ｍ ｒｅ ａ ｍｅ ｔｎ型积分微 分差分方 程的两 点边值 问题 ， ｓｉ 在
Ｋ ｔ ） ０１ （ ， 于［ ，］×［ ，］ ｓ ０ １ 上连续非正 ，（） ｏ １ 上连续． ｔ 于Ｅ ，］
收 稿 日期 ：０７ ０ —２ ２ ０ —３ ０
作者简 介 ： 丽（ ９ ８一） 女 ， 金 １５ ， 副教授 ， 学士
Ｅ— ａｉ： ｎ ｇ ＠ ｄ ｎ． ｍ ｌ ｗａ ｇ ｃ ｋｃ
上下解存在的条件下 ， 得到了解 的存在性和唯一性定 理． 果表 明 ： 种技巧 为其它边 值 问题 的研究 提 结 这
出 了崭新的思路．
关键词 ： 分微分 差分方程 ； 点边值问题 ； 积 两 微分不等式
中 图分 类 号 ： １５ ８ Ｏ ７ ． 文 献 标 识码 ： Ａ
Ｔｗｏ Ｐ ｉ ｔＢｏ ｎ ａ ｙ Ｖａｕ ｒ ｂ ｅ ｓｏ ｅ ｏ ｄ Ｏｒ ｅ ｍ ｍ ｅ ｓｅｎ — ｏ ｎ ｕ ｄ ｒ ｌ ｅＰ ｏ ｌｍ ｆＳ ｃ ｎ ｄ ｒＨａ ｒ ｔｉ
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第２ ９卷
第１ 期
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｄ Ｉ ＪＡＯＴ ＡＬ ＡＮ Ｉ ＯＮＧ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ２ Ｎｏ １ ｏ． ９ ． Ｆｂ ２ ｏ ｅ ．０ ８
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二阶四点边值问题上下解方法
二阶四点边值问题，也叫二阶拉格朗日方程，就是求在一个特定边界条件下，特定求未知函数及其导数的问题。
可以用有限差分法来求解这个问题。
首先把整个问题区域划分为N等分，前两和最后两个节点是边界节点，离散后得到N-1个数学方程，可以求出N-1个节点处的未知函数值和N-2个节点处的线性近似函数的系数。
进一步泰勒展开，将从第三节点开始的N-2个函数值都线性近似，那么在第二节点开始，开始使用二次项进行非线性近似，依次类推，直到在边界节点B处，得到的是二阶拉格朗日的曲线。
从而求得整个空间内的函数值。
下解就是把已知边界条件求出来的N-1个线性方程，从新拼接成N-2个全部是二次项形式，从而代入上解得到的系数得出一系列二次方程，通过求解二次方程，也可以求出空间内每个节点处的函数值。
总结一下，二阶四点边值问题通过有限差分法，用于解决在特定边界条件下，特定求未知函数及其导数的问题，通过上解和下解的方法，都可以得出空间间的每个节点处的函数值。