时域分析法
06-10第三章时域分析法
A'
图a:稳定的系统 图a
f A
A
f
图c:条件稳定系统。 引出两个概念： 1什么是线性定常系统的稳定性？
图c
18:38:08
图b 图b:不稳定系统
2如何判断系统的稳定性？
2
线性定常系统的稳定性的定义：
如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态， 而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态， 则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统 是不稳定的。 稳定的充要条件：
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，即闭环传递函数的 所有极点均位于为s左半平面（不包括虚轴）。
18:38:08 5
3.1.3劳斯判据 ——稳定的充分必要条件
第一步：根据系统的特征方程列劳斯表
a n s n a n 1 s n 1 ...... a1 s a0 0
>>d=[1 2 8 12 20 16 16]; >>r=roots(d) r= -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i
19
3.2控制系统的稳态误差
………
s2 s1 s0
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a a a n a n 7 b3 n1 n6 a n1
18:38:08
…
… …
6
第二步：劳斯稳定判据
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
自控第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
时域分析方法时域分析方法
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
（2） PI 控制:
∫ u2 (t)
=
K
pu1 (t ) +
Kp Ti
t 0
u1
(t
)dt
G(s)
=
K
p 1 +
1 Ti s
=
K
3.2.3、频域分析方法：
频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。 这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且 还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系 统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自 于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主 要手段有极坐标图(Nyquist 图)和伯德图(Bode 图)法。
第三章(1) 时域分析(计算)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+
控制系统时域分析法
t
e T
1 t xo t t T Te T 1t
3.2 一阶系统的瞬态响应
四、一阶系统的单位脉冲响应
xi t t L
X i s 1
1 T
X o s 1 X o s X i s X i s Ts 1 s 1 T
X o s n s( s 2 n ) G 2 2 2 X i s s 2 n s n 1 G n 1 s( s 2 n )
2
n
2
方
n —无阻尼自然振荡角频率 —阻尼比
3.3 二阶系统的瞬态响应
2、二阶系统的方块图
X i s
二、一阶系统的单位阶跃响应
xi t 1t
L X i s
1 s
等式两边同时L-1
1 X o s 1 1 T 1 1 1 X o s X i s X i s Ts 1 s s 1 s s s 1 T T
1 t xo t 1 e T 1t
t 0 或 t t0 0 t t0
0
3.１ 典型输入信号
δ(t) 的重要性质：
L t 1
脉冲响应函数的象函数=系统的传递函数
3.１ 典型输入信号
5. 正弦函数
xi t
a sin t { 0
t 0 t 0
a
0 t
3.１ 典型输入信号
二、究竟采用哪种典型信号，并在此基础上对控制系
统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。这是本书后
续章节中重点研究的内容。
分析控制系统的三大方法： 时域分析法 3 根轨迹法 4 频率响应法 5
时域分析法和频域分析法
时域分析法和频域分析法
时域分析法和频域分析法是在波形检测与分析领域中重要的两
种分析方法。
它们分别从时间域和频率域对波形进行分析，以解决不同的问题。
这两种分析方法各有利弊，因而在实际应用中被广泛使用。
时域分析法是通过观察波形的形状、波形的峰值和波形的组成元素之间的时间相关性，以及参数的相关性来研究信号的一种方法。
时域分析法可以从波形中提取出时间上的特征，如振幅、峰值、偏移和周期等，以及波形的参数和时间关系，从而对信号进行分析。
优点是可以实时观察变化和分析，但缺点也很明显，即当频率非常高时，无法获得完整的波形数据，降低了分析的准确度。
另外，时域分析法也不适合那些频率比较低，需要长期观察和研究各参数变化的信号。
相比之下，频域分析法以信号的频谱为基础，从信号的频谱上提取特征参数，并以正弦曲线的形式描述信号的功率分布。
频率域的分析方法可以将信号的参数，如峰值、偏移、频率和振幅等，投影到频谱上，从而可以实现对低频或高频信号的较快和精确测量。
但是，频域分析法仅对满足条件的信号有效，对信号波形的不同参数无法进行实时观察比较，也无法得到更精确的结果。
时域分析法和频域分析法各有优缺点，因此在实际应用中，常常需要结合这两种分析方法，以获得较为准确的结果。
有时，两种分析方法可以相互补充，针对特定问题，采用不同的分析方法，以获取最精确的测量。
总之，时域分析法和频域分析法都是研究波形检测与分析领域中
非常重要的两种分析方法。
而结合这两种分析方法，可以更好地解决波形检测与分析中的各类问题。
瞬态响应及误差分析(时域分析法)
10K O 10K O K OG ( S ) 10K O 1 10K H ( s) 0.2s 1 0.2 1 K H G ( s) 1 10K H 0.2s 1 10K H s 1 0.2s 1 1 10K H 10K O 1 10K K * 10 K O 10 0.2 H T * 0.02 K H 0.9 1 10K H
12
3. 选取试验输入信号的原则：
选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况； 形式简单，便于用数学式表达及分析处理，实际中可 以实现或近似实现； 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入 信号作为典型试验信号；
•如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统 。 •如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号 •如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号； 宇宙飞船控制系统 •如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号
特征点： 1 A点 : xo (T ) 0.368 xo (0) ） 2）零时刻点： xo (t )
1 T
2e
t T t 0
1 2 ; x o ( 0) T T
24
1
一阶系统单位脉冲响应的特点： 1. 瞬态响应：(1/T )e –t/T；稳态响应0； 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的 系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取 决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减。 5.
量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应：当某一输入信号的作用下，系统的响应
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时域分析法
时域分析法（TDA）是一种极其重要的系统工程的分析、设计和
控制的一种方法，它是基于时间建模的数学系统分析方法。
它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，包括电气工程、机械工程、生物工程、计算机工程、航空航天等领域。
时域分析可以研究许多复杂的系统，可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。
时域分析首先将工程系统转化为一组数学模型，然后采用积分、微分和变换方法对模型进行分析，从而分析出工程系统的性能参数和特性。
它可以研究复杂的非线性系统，而且它已经被广泛应用于工程领域，例如机械系统、电气系统、热系统、控制系统、汽车工程、上海等。
时域分析的基本思想是根据系统的动态建立模型，然后计算出系统的动态特性、性能参数等。
它可以研究系统的时间响应、频率响应和稳定性等关键特性，并可以从数学上描述系统。
与其它系统分析方法相比，时域分析具有以下优点：
1、准确性高：时域分析可以精确分析出系统的时变特性。
由于
它可以从数学上描述系统，所以它可以更加精确地研究系统的动态特性。
2、解决复杂的非线性系统：时域分析可以把复杂的非线性系统
用一组简单的数学方程式来描述，从而分析子系统的性能参数和特征。
3、灵活性高：时域分析可以根据系统的不同要求来调整模型，
从而更好地符合系统的特性。
4、适用性强：时域分析是一种现代系统分析模型，它可以用于许多不同类型的系统，包括机械系统、电气系统、计算机系统等。
时域分析可以应用于研究各种类型的系统，它比其它系统分析方法更有优势，不仅可以研究非线性系统，而且可以更准确、更有效地研究系统的性能参数。
由于时域分析的多种优点，它已广泛应用于工程领域，并取得了许多实际的成果。
总之，时域分析是一种极其重要的系统工程分析、设计和控制的一种方法，它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，可以用于研究复杂的非线性系统，而且它可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。