中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题一、综合题1．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A （2，0），B （5，0），过点D （0， 54）作y 轴的垂线DP 交图象于E 、F ．（1）求b 、c 的值和抛物线的顶点M 的坐标；（2）求证：四边形OAFE 是平行四边形；（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP 与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式． 2．（1）问题提出：如图①在 ABC 中， AD 是 ABC 边 BC 的高，点E 是 BC 上任意一点，若 3,AD = 则 AE 的最小值为_ ；（2）如图②，在等腰 ABC 中， ,120,AB AC BAC DE =∠=︒ 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC AC 、 于点 D E 、 ， 1DE cm = ，求 ABD 的周长；（3）问题解决：如图③，某公园管理员拟在园内规划一个 ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB BC 、 和 AC ，满足 90,BAC ∠=︒ 点 A 到 BC 的距离为 2km .为了节约成本，要使得 ,,AB BC AC 之和最短，试求AB BC AC ++ 的最小值(路宽忽略不计).3．（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD 中， 10AD = ， 12AB = ，点E 为AD 的中点，点P 为矩形ABCD 内以BC 为直径的半圆上一点，则PE 的最小值为 ；（2）【问题探究】如图2，在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且 4AD BC == ，点P 为 ABC 内一点，当 12PBC ABC S S = 时，求 PB PC + 的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC ，如图3， 2003BC = 米，90C ∠=︒ ， 60ABC ∠=︒ ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P ，使得120APB ∠=︒ ，并在 ABP 内种植当季蔬菜，边BC 的中点D 为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC 边上取点E ，并沿PE 、DE 修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ PE DE + ）尽可能小，问 PE DE + 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.4．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A ，B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A ，B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(5，4)，动点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF+EF+DE 的最小值为 。

5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()10A -，，()30B ，，()03C ，.（1）求抛物线的解析式.（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PAC 的周长最小，请求出点P 的坐标. （3）在x 轴上是否存在点M ，使MAC 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.6．在平面直角坐标系中，点()02A ，，()23B ，.若C 为x 轴上的一个动点， （1）当CA CB +最小时，求点C 的坐标.（2）若ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标.7．如图，抛物线 2y x bx c =++ 与 x 轴交于 ()1,0A - ， ()3,0B 两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 M ，使 ACM ∆ 的周长最小？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由.（3）设抛物线上有一个动点 P ，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 8PAB S ∆= ，并求出此时点 P 的坐标.8．如图，抛物线的顶点D 的坐标为（﹣1，4），抛物线与x 轴相交于A.B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求∠POM 的面积.9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为∠ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求∠DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，∠AMN面积为2d，当∠AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.10．已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点．（1）求菱形ABCD 的面积．（2）求PM+PN 的最小值．11．如图①，直线PQ 同侧有两点M ，N ，点T 在直线PQ 上，若∠MTP ＝∠NTQ ，则称点T 为M ，N 在直线PQ 上的投射点．（1）如图②，在Rt∠ABC 中，∠B ＝60°，D 为斜边AB 的中点，E 为AC 的中点．求证：点D 为C ，E 在直线AB 上的投射点；（2）如图③，在正方形网格中，已知点A ，B ，C 三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC 上画出点P ，在BC 上画出点Q ，使A ，P 在BC 上的投射点Q 满足CQ ＝2BQ ；（3）如图④，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，在AB ，BC 边上是否分别存在点D ，E ，使点D 为E ，C 在AB 上的投射点，点E 为A ，D 在BC 上的投射点？若存在，求出 DE CD的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知直线4AB y x =+：与直线AC 交于点A ，与x 轴交于点B ，且直线AC 过点(20)C ，和点(01)D ，，连接BD.（1）求直线AC 的解析式.（2）求交点A 的坐标，并求出ABD 的面积.（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得APD 周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.13．综合与探究如图，已知抛物线 ()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于A 、 ()20B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点坐标为点 19 24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，当 PA PC + 最小时，求点P 坐标；（3）在第一象限的抛物线上有一点M ，当 BCM ∆ 面积最大时，求点M 坐标； （4）在x 轴下方抛物线上有一点H ， ABH ∆ 面积为6，请直接写出点H 的坐标．14．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∠y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ∠x 轴，垂足为点E ，双曲线y = 6x(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？15．图①图②图③（1）【问题提出】如图①，在∠ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则∠ABC的外接圆半径R的值为.（2）【问题探究】如图②，∠O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是∠O上一动点，求PM的最大值.（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是，分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).16．如图，抛物线252y a x h⎛⎫=-+⎪⎝⎭经过点(1,0)A，(0,3)C．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.（1）实验探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3），C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出他们的坐标：B′▲.C′▲；（2）归纳发现：结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P （a，b）关于第一，三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；（请直接写出答案）（3）运用拓展：已知两点D（1，﹣3），E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使QDE的周长最小，①求点Q的坐标；②QDE周长的最小值.18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使∠PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及∠PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.。