2017高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线的方程和两条直线的位置关系课时练理

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2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.1 直线的方程
和两条直线的位置关系课时练 理
时间：50分钟
基础组
1.[2016·枣强中学热身]已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2
y
－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2

C．y＝3x＋12 D．y＝－3x＋2
答案 A
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为12，∴直线l在y轴上截距为2，∴直线l的方程为
y＝3x
＋2，故选A.

2．[2016·衡水中学猜题]设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点
P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α
＋45°，则( )

A．0°≤α≤180° B．0°≤α<135°
C．0°≤α<180° D．0°<α<135°
答案 D

解析 ∵ 0°<α<180°，0°≤α＋45°＜180°.∴0°<α<135°.∴选D.
3．[2016·衡水中学一轮检测]一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、三、四象限
的必要不充分条件是( )
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
答案 B

解析 因为y＝－mnx＋1n经过第一、三、四象限，故－mn>0，1n<0，即m>0，n<0，
但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.
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4．[2016·冀州中学模拟]已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实
数m的取值为( )

A．－12 B.
1
2

C．2 D．－2
答案 A

解析 因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以m1＝－12≠0，解得

m
＝－12，故选A.

5．[2016·衡水二中周测]已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则
“a＝－1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 一方面，若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线
垂直；另一方面，若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”
是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
6．[2016·枣强中学仿真]如果直线(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线(2－a)x＋(a＋3)
y
－1＝0互相垂直，则a＝( )
A．2 B．－2
C．2，－2 D．2,0，－2
答案 C
解析 由题意可知(2a＋5)(2－a)＋(a－2)·(a＋3)＝(2－a)·[(2a＋5)－(a＋3)]＝－(a－
2)(a＋2)＝0，解得a＝±2，故选C.
7．[2016·衡水二中月考]设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，
与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为3，则△AOB的面积S的最小值为( )
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A.12 B．2
C．3 D．4
答案 C

解析 原点O到直线l的距离d＝|m×0＋n×0－1|m2＋n2＝1m2＋n2＝3，

∴m2＋n2＝13，在直线l的方程中，令y＝0可得x＝1m，即直线l与x轴交于点A1m，0，
令x＝0可得y＝1n，即直线l与y轴交于点B0，1n，∴S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12·1|m|·1|n|＝
12|m|·|n|≥1m2＋n2＝3，当且仅当|m|＝|n|时上式取等号，由于m2＋n2＝13，故当m2＝n2＝1
6

时，△AOB的面积取最小值3.
8．[2016·武邑中学热身]过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋
y
－1＝0平行的直线方程为________．
答案 3x＋y＝0
解析 联立2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0，得交点P(1，－3)．设过点P且与直线3
x
＋y－1＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0.把点P代入即可得m＝0.
9．[2016·衡水二中期中]已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若
动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．

答案
1
2

解析 直线x＋2y＝2与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，
b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b
2

＋2b＝－2b－122＋12.

由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.
10．[2016·枣强中学模拟]直线x＋3y＋1＝0的倾斜角的大小是________．
答案
5π
6
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解析 由题意k＝－33，即tanθ＝－33，
∴θ＝5π6.
11．[2016·衡水二中期末]如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，
一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不
含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．

答案 (4，＋∞)
解析 从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)，关于直线BC：x＋y＝2的对称点为
A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E
1
(－

2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，
即kFD∈(4，＋∞)．

12. [2016·武邑中学猜题]设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积
取最小值时，直线l的方程．
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解 (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，
解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即

a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa＋1＝2＋a，解得a
＝0，此时

直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

(2)由直线方程可得M2＋aa＋1，0，N(0，2＋a)，因为a>－1，

所以S△OMN＝12×2＋aa＋1×(2＋a)＝12×
[a＋1＋1]
2

a
＋1

＝12a＋1＋1a＋1＋2

≥12×2a＋1·1a＋1＋2＝2，
当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
能力组
13.[2016·冀州中学仿真]已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋
ay

＝0上，且AB线段的中点为P0，10a，则线段AB的长为( )
A．11 B．10
C．9 D．8
答案 B

解析 依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)、B(－2y，y)，故 x－2y＝0，2x＋y＝10，则A(4,8)、
B
(－4,2)，

∴|AB|＝4＋42＋8－22＝10，故选B.
14. [2016·武邑中学预测]l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当
l1，l2间的距离最大时，直线l
1
的方程是________．
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答案 x＋2y－3＝0
解析 当两条平行直线与A、B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为

kAB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x
－1)，

即x＋2y－3＝0.
15．[2016·衡水二中模拟]已知直线：sinθax＋cosθby＝1(a，b为给定的正常数，θ为参
数，θ∈[0,2π))构成的集合为S，给出下列命题：
①当θ＝π4时，S中直线的斜率为ba；
②S中所有直线均经过一个定点；
③当a＝b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a>b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．
其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
答案 ③④

解析 直线方程可化为bsinθ·x＋acosθ·y＝ab.当θ＝π4时，S中直线的斜率为－
b
sin

π

4

a
cos

π

4

＝－ba，故①错误；由直线方程易知所有直线不经过一个定点，故②错误；③当a＝b时，
直线方程为sinθ·x＋cosθ·y＝a，显然原点(0,0)到直线的距离d＝asin2θ＋cos2θ＝a(定值)，
故③正确；设两平行直线为bsinθ1·x＋acosθ1·y－ab＝0，bsinθ2·x＋acosθ2·y－ab＝0，
显然θ1≠θ2，否则重合，那么当sinθ1＝sinθ2＝0时，不妨取θ1＝0，θ2＝π，则两直线为

y＝b，y＝－b，距离为2b，当cosθ1＝cosθ2＝0时，不妨取θ1＝π2，θ
2
＝3π2，则两直线

为x＝a，x＝－a，距离为2a，当x，y的系数均不为0时，则bsinθ1bsinθ2＝acosθ1acosθ2，即sinθ1cos
θ
2

＝sinθ2cosθ1，即sin(θ1－θ2)＝0，不妨令θ1>θ2，则θ1－θ2＝π，即 θ1＝π＋θ2，于是