函数的基本性质知识点
单调性
1、定义:如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ,当21x x <时都有()()21x f x f <,则()x f 在D 内是增函数;当21x x <时都有()()21x f x f >,则()x f 在D 内时减函数。
2、函数单调性的证明方法:
(1)定义法:其一般步骤为:
①任取2121,,x x D x x <且∈;
②论证)()()()(2121x f x f x f x f >(或
<; <
③根据定义得出结论。
(2)用已知函数的单调性
(3)图象法
3、复合函数的单调性
如果是增函数;如果单调性相同,那么和))(()()(x g f y x g u u f y ===)(u f y =和是减函数。单调性相反,那么))(()(x g f y x g u ==
也就是说,复合函数的单调性由其内、外函数的单调性共同决定,它遵循“同增异减”的原则,即内外函数的单调性相同时递增,相异时递减。
?函数的奇偶性 1、
2、 定义:设函数A x x f y ∈=),(,如果对于任意的A x ∈,都有)()(x f x f -=-,则称
函数)(x f y =为奇函数;如果对于任意的A x ∈,都有)()(x f x f =-,则称函数函数的基本性质
)(x f y =为偶函数。
3、 性质
(1)前提条件:定义域关于原点对称。
(2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称。
(3)若)(x f 的定义域为R ,且当[)+∞∈,0x 时为增函数,则当)(x f 为奇函数时,它在()0,∞-上为增函数,当)(x f 为偶函数时,它在()0,∞-上为减函数。
(4)若奇函数)(x f 的定义域中包含0,则0)0(=f 。
4、 #
5、 判断函数奇偶性的方法
(1) 定义法:①确定定义域,看是否关于原点对称,若不对称,则非奇非偶。
②若定义域关于原点对称,函数表达式能化简则适当化简,再判断。
③若函数较复杂,可利用变形式子,用求和(或差)法:即看
)()(x f x f ±-与0的关系;或用求商法(即看
)
()(x f x f -与1±的关系)。 ④分段函数应分段讨论。 (2)图像法:若函数图象关于原点中心对称,则为奇函数;若函数图象关于y 轴对称,则为偶函数。
4、熟记结论:
》
(1)设)(x f 、)(x g 的定义域分别是D 1、D 2,那么在它们的公共定义域21D D D ?=上:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇
(2)对于奇函数:)0)((1)
()(0)()()()(≠-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f x f 对于偶函数:)0)((1)()(0)()()()(≠=-?
=--?=-x f x f x f x f x f x f x f
函数的性质知识点总结
1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然; (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5.方程 (1)方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域); (2)a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min; (3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+); log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一.函数概念的理解以及函数的三要素 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则(函数关系式)也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ; 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ; 满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [,)a b ,(,]a b ; 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b < . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① 分式的分母不为0; ② 偶次根式下被开方数大于0; ③ 0y x = ,则有0x ≠ ; ④ 对数函数的真数大于0,底数大于0切不等于1 注意:①解析式为整式的函数定义域为R ; ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集; ③对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出. f g x的定义域应由不等式() a b,其复合函数[()] (4)求函数的值域或最值 常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=,则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时,由于,x y为实数,故必须有 2()4()()0 ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值. b y a y c y ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数解析式 ①换元法;(用于求复合函数的解析式) ②配凑法;(用于求复合函数的解析式)
高一数学《函数的性质》知识点总结
高一数学《函数的性质》知识点总结 二.函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12时,都有f2),那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x12时,都有f>f,那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f在这一区间上具有单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法: 任取x1,x2∈D,且x12; 作差f-f; 变形;
定号; 下结论. 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g,y=f的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. .函数的奇偶性 偶函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=f,那么f就叫做偶函数. .奇函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=—f,那么f就叫做奇函数. 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 确定f与f的关系; 作出相应结论:若f=f或f-f=0,则f是偶函数;若
f=-f或f+f=0,则f是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定;由f±f=0或f/f=±1来判定;利用定理,或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有: )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0.函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值: 如果函数y=f在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f; 如果函数y=f在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f;
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁北京市西城区教育研修学院 函数就是中学数学中的重点内容,它就是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学 生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析、 研究函数问题通常有两条主线:一就是对函数性质作一般性的研究,二就是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等、 一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入 常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数就是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出就是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]、 Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,她拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数、”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义)、 Veblen,1880-1960用“集合”与“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量就是数”的限制,变量可以就是数,也可以就是其它对象、 (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念:
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1.函数的奇偶性 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 解题提醒: ①判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ②判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)
=-f (x )或f (-x )=f (x ),而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)或f (-x 0)=f (x 0). ③分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题:判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=(x +1) 1-x 1+x ; (2)f (x )=? ???? -x 2+2x +1,x >0, x 2+2x -1,x <0; (3)f (x )=4-x 2 x 2; (4)f (x )=log a (x +x 2+1)(a >0且a ≠1). 解:(1)因为f (x )有意义,则满足1-x 1+x ≥0, 所以-1<x ≤1, 所以f (x )的定义域不关于原点对称, 所以f (x )为非奇非偶函数. (2)法一:(定义法) 当x >0时,f (x )=-x 2+2x +1, -x <0,f (-x )=(-x )2+2(-x )-1=x 2-2x -1=-f (x ); 当x <0时,f (x )=x 2+2x -1, -x >0,f (-x )=-(-x )2+2(-x )+1=-x 2-2x +1=-f (x ).