解析几何一题多解 21题 53解

1322

OM OA OB =+.求k 一、优化解题方法： 第一种解题思路：

把直线AB 的方程联立椭圆示)，利用M 在椭圆上可以建立关于

132

2OM OA OB =+

，即1(0,12OM =，313(,222M x +y)在椭圆2

:4

x C

42

(0,1)OA =(2,0)OB =3,OM =(OA ，OB 表示OM ，设

OM OA OB λμ=+，由待定系数法求得12

λ=

，3

2=，于是1322OM OA OB =+.

第三步：把1

3

22

OM OA OB =+

作为条件， 保留A B M 、、椭圆上这个条件，但是只提供(0,1)A ，可以求出B M 、的坐标，但是我们求出的的坐标有两种情况，进一步可以求出这就是原题的构造过程.

、类题改编过程举例及其求解：

221x y +=，取其上三点5OM OA OB λμ=+，

201577OM OA OB =-.

于是我们得到下面的题目:

2516，过12

(4,)5

A 且斜率为k 的直线交椭圆

B 、，M 在椭圆上，且满足

2015

77

OM OA OB =-.求点的横坐标.

我们看到，优化解题12

(4)5

y k x -=-与2:25x C +

第四种解法比较合适。

解:设(,B x y )，又A 201577OM OA OB =-，即207OM =，又B ，M 在椭圆22:12516x y C +=上，于是

PB PA λ=，求λ解法1：设AB 的方程为11(,2)PA x y =-，2(,PB x =PB PA λ=，得⎧

⎨⎩由22x y kx ⎧+⎪⎨⎪=⎩

2(12)k x +.又26424(1k ∆=-6

1(,PA x =2(,PB x =PB PA λ=，得⎧

⎨⎩

又12(,A x y y )在

22x +上，所以22

112221,2 1.

x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=

的取值范围的向量解法：

OM 的一个方向向量(1,)a k =，PQ 的一个方向向量2

(1,)3b k

=-，,OM PQ α=<>，

213cos ||||

4119a b

a b k k α=

=++

··221133

134139k k

=

++≤

如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆

2

214

x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．

初等解法：

设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2

||1m R k =

+， 即222(1)m R k =+ ①，

因为l 与椭圆2

214x E y +=∶相切于点B ，

由22

14

y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得22

4()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②

由①、②可得222

2

223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩

， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km k

x k m m

=-

=-=-

+， ∴2211441

()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+=

=， ∴22

222

1211614||5k OB m R x y +==

=-+=， ∴在直角三角形OAB 中，2222

22244||||||55()AB OB OA R R R R

=-=-

-=-+， 因为

2

2

44R R

+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．

高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；

特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．

12k +0MA MB ⋅=，即2)10y +=，又121)()m x x -++22,m x x -=

1MA MB x x ⋅=∴22(1)1618k k =+-+∴MA MB ⊥．

∴直线AB 过定点

又 21x x +=)11(

41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2

121

λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38

-， (1) 21x x =

216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (2

11λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2

λ=38

-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)

3(492

--

k ，

由(2)得: 1λ2λ=)3(80)

16(92

2-+-k k . ∴ )

3(49

2--k =)3(80)

16(922-+-k k ，

解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).

如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的

解法三：

1λ+2λ=

441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +41

2+kx )=-4×)

4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×

16

)(48

)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=

238k k -，21x x =3

19

2

-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=

48

3962

-k =38

-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).

第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法

2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案

充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：