数值分析思考题答案

数值分析课程思考题

1．叙述拉格朗日插值法的设计思想。

Lagrange插值是把函数y=f(x)用代数多项式pn(x)代替，构造出一组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。

2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。

问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂而不便于计算希望用一个简单的函数描述它。

发展脉络：在工程中用的多的是多项式插值和分段多项式插值。在多项式插值中，首先谈到的是Lagrange插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其高次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的一阶，二阶甚至更高阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。为了提高精度，加密节点时把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。最后，由于许多工程中对插值函数的光滑性有较高的要求，就产生了样条插值。

3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。

数值积分主要采用插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。通常采用Lagrange插值。如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。由于高次Newton-Cotes公式的求积系数有正有负，将产生很大的计算误差，引起计算不稳定，所以受分段插值的启发，对数值积分也采用分段求积，导出复化求积公式；

其中，在小区间上用梯形公式求和的称为复化梯形公式，用Simpson公式求和的成为复化Simpson公式，用Cotes公式求和的称为Cotes公式。但由于步长的选取是个问题，所以，导出逐次分半法来计算。而由于有些函数在x=0的值无法求出，为

了求出很快收敛于f(0)的数列，就导出了Richardson 外推法，根据此思想，利用变步长的复化梯形公式推导出Romberg 积分法。后来，人们希望能选择求积节点，确定求积系数，使代数精度有所提高，就得到Gauss 型求积公式，常用的有Gauss-Legendre 求积公式（权函数为1）Gauss-Chebyshev 求积公式（带权），Gauss-Laguerre 求积公式，Gauss-Hermite 求积公式（广义）。

4．什么是简单迭代法？对某个非线性方程，构造一个迭代格式进行计算，

发现迭代不收敛，应该从哪些方面找原因。

简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=?(x), 然后建立迭代格式：

当给定处值x 0 后, 由迭代格式可求得数列{x k }。如果{x k }收敛于x *，则它就是方

程的根。用直接的方法从原方程中隐含的求出x ，从而确定迭代函数?(x)，这种迭代法收敛速度较慢。

应该看迭代函数的构造是否收敛，因为收敛性取决于迭代函数在根邻近的性态，还有初值的选取是否合理，要尽量接近精确值。

5．什么是截断误差和舍入误差？他们分别对应算法的哪种性质？

计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差；若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。

在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差 它们分别对应算法的近似性和有限性。

6．牛顿迭代在什么情况下能达到平方收敛。

函数在其零点附近二阶连续可微，且其零点处的一阶导函数值不为零，则在其零点的邻近是平方收敛的。

7．非线性方程迭代法的收敛阶怎样定义？怎样确定一个算法的收敛阶。

收敛阶定义：

)

(1k k x x ?=+*x x e k k -=记满足和若存在实数01>≥c p p k k k e e 1lim +∞→c =，设*lim x x k k =∞

→

确定一个算法的收敛阶：

8．什么是解线性方程组的直接法。哪些方法属于这种类型，他们能完成的

条件是什么？常用的解线性方程组的迭代法有哪些？收敛条件是什么？描述SOR 算法的设计思想，该算法有哪些优点？

直接法：是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。

直接法：高斯消去法：要求主元素均不为零，当出现小主元素时会严重影响计算结果的精度；列主元素法；全主元素法；直接三角分解法：矩阵需为方阵，其顺序主子式均不为零；追赶法：严格对角占优的三对角矩阵，其非零元素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角线上，称为三对角矩阵；平方根法：矩阵为对称正定矩阵；改进的平方根法。

迭代法：Jacobi 迭代法；Gauss-Seidel 迭代法；松弛法（低松弛和SOR 法） 收敛条件：①Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1.②Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1（谱半径小于所有范数）③Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件是系数矩阵为严格对角占优。④Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法收敛的充分条件是系数矩阵为对称正定矩阵。

SOR ：为了加速迭代过程的收敛，引入参数，在Gauss-Seidel 迭代法的基础上得到，将△x 乘上参数因子作为修正项而得到的公式，可看成是Gauss-Seidel 迭代法的加速。优点：收敛速度加快。

9．舍入误差扩散的一般规律？总结四则运算以及开方、乘方运算误差扩散

规律。

计算机参与运算的数据往往是近似数，都带有误差。这些误差通过多次运算会

时称为平方收敛

时称为超线性收敛时称为线性收敛当阶收敛则称迭代法2,1,1,

=>=p p p p 附近满足：

在根如果迭代法迭代函数*)(x x ?阶导数均连续；

存在p x )()1(?,0*)()1(==-x p ? =''='*)(*)()2(x x ??0

*)()(≠x p ?而p

x x k k 的收敛阶是则迭代法)(1?=+

进行传播，使计算结果产生一定的误差，这称为误差传播问题。舍入误差传播与数字取有效数字位数有关，有效数字位数越少，舍入误差越大。

P4。

10． 什么是常微分方程数值解？求常微分方程数值解得一般思路。龙格

—库塔方法的设计思想。

定义和一般思路P231；R-K 方法的设计思想P237-238

11． 实际中怎样控制迭代次数，其理论基础是什么？

非线性方程组得迭代：事前控制和事后控制。

(1) 事前控制：e x x L

L k

<--011解的k 值。 (2) 事后控制：e x x k k <-+1的是否满足条件。

线性方程组得迭代：理论上通过精度控制，即e x x k k <-+1。

在实际中，可通过迭代精度和迭代误差两个角度控制。

理论基础：大范围收敛定理/迭代法的收敛条件。

12． 描述两种样条插值法的计算步骤。

三弯矩法P124；三转角法P126。