一道数学竞赛题的解法中蕴涵的数学思想方法
2从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导(二)
7.5x-271.4+5.9x=10
13.4x=281.4
直接设元法
x=21。
答：胶鞋有21双。
间接设元法
第9页，共26页。
案例2
一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次， 按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球， 投进不到8个球的人平均投进3个球。问： 共有多少人参加测验？
系：Ｖ＝πr²h。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量
的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而 构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。 （小学六年级初步学习正、反比例函数）
第4页，共26页。
2、方程和函数的关系
第10页，共26页。
分析与解：4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加 上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16） = 6x-83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至 少投进8个球的人的进球数，3×（x-3-4-1） +8×3+9×4+10×1= 3×（x-8）+24+36+10=
这是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这 样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变 量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一 个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学 里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关
例谈整体思想在数学解题中的应用
例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。
数学竞赛中不定方程_组_整数解问题的求解策略
析问题能力. 较为常见的几种解法有: 因式分
解法、判别式法、引参数法、整式分离法、分析
法、组合计数法、同余法、配方法、换元法、利
用不等关系化为一元方程求解等.
1 因式分解法
例 1 整数 a, b 满足 6ab = 9a - 10b +
303, 则 a + b =
.
解 原方程可化为( 3a + 5) ( 2b - 3) = 288 = 25 × 32 .
∴x , x + y 都为奇数, ∴y 为偶数, 又 y 为质数, ∴y = 2. 即 z = x 2 + 2x - 120 = ( x - 10) ( x +
12) . 又 ∵z 为奇质数, ∴x - 10 = 1, x + 12
= z , ∴x = 11, z = 23, ∴ 原方程的解为 x = 11, y = 2, z = 23. 评注 质数与奇数、偶数的关系在解有
方程可知, x 为偶数, 从而 x = 2.
代入原方程得 y = 1, z = 1, 解得( 2, 1,
1) .
评注 本题主要是利用对方程组的分
析确定 x 与 y , x 与 z 的大小关系来判断 x 的
取 值范围, 再进一步用 x 的奇偶性确定 x 的
值. 此题也可将 x 3 - y 3 - z 3 - 3x y z 分解成 因式( x - y - z) ( x2 + y2 + z2 + xy - yz +
0 且 437 -
5t >
0,
得
1 3
<
t<
437 5
.
t 可取值为 1, 2, 3, …, 87, 故共有 87 组解.
小学数学竞赛：工程问题(三).学生版解题技巧 培优 易错 难
【例 22】某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：
公司名称
单独完成工程所需天数
【例 3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【例 4】一项工程，甲独做 天完成，甲 天的工作量，乙要 天完成．两队合做 天后由乙队独做，还要几天才能完成？
【例 5】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？
【例 16】有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔 和 ． 孔和 孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使 孔排出的水直接流入乙箱．70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要________分钟．
【例 17】如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用 个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用 小时 分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用 分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
【例 12】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
初一数学指导数学竞赛型及思路
初一数学指导数学竞赛型及思路对于初一的学生来说，参与数学竞赛是一项具有挑战性但又充满乐趣和收获的活动。
数学竞赛不仅能够加深对数学知识的理解和掌握，还能培养逻辑思维、创新能力和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们将探讨初一数学竞赛的类型以及解题思路。
一、初一数学竞赛的类型1、计算类竞赛题这类题目通常涉及整数、分数、小数的四则运算，以及简便运算、巧算等。
例如，给出一个复杂的式子，要求通过运用运算定律和数学技巧进行快速准确的计算。
2、代数类竞赛题初一的代数主要包括代数式的化简、求值，方程的解法和应用等。
竞赛中可能会出现一些需要灵活运用代数方法解决的问题，比如利用设未知数、列方程来解决实际问题，或者通过代数式的变形来找出规律。
3、几何类竞赛题几何部分会涉及到线段、角的计算和证明，三角形、四边形的性质和判定等。
可能会要求学生通过添加辅助线、运用几何定理来解决复杂的几何图形问题。
4、数论类竞赛题数论在初一数学竞赛中也会有所涉及，如整除、余数、质数和合数等概念。
此类题目往往需要学生对数的性质有深入的理解和灵活的运用。
5、组合数学类竞赛题组合数学包括排列组合、抽屉原理等内容。
例如，计算从给定元素中选取若干个元素的组合数，或者运用抽屉原理来证明某个存在性问题。
二、初一数学竞赛的解题思路1、仔细审题这是解决任何数学问题的第一步。
要弄清楚题目中给出的条件、问题的要求以及隐藏的信息。
有时候，题目中的关键词或关键语句会给我们提供重要的解题线索。
2、选择合适的方法根据题目的类型和特点，选择合适的解题方法。
比如，对于计算类题目，可以尝试运用运算定律进行简便计算；对于代数问题，设未知数建立方程可能是一个有效的方法；对于几何问题，合理添加辅助线往往能使问题迎刃而解。
3、尝试从简单情况入手如果遇到复杂的问题，可以先从简单的情况开始分析，寻找规律或者解题的思路。
例如，在解决排列组合问题时，可以先从较少的元素开始计算，逐步掌握方法后再处理复杂的情况。
小学数学竞赛：分数应用题(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 分析题目确定单位“1”2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3. 抓住不变量，统一单位“1”一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。
在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．（2）甲比乙多18，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191889÷=.方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1199÷=.二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。
有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。
在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。
这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。
（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。
数学竞赛中的排列组合问题探析
点连线有 ５ 条， 但在 ８×５＝４０ 中， 每一条都被计算了
两次） ， 从而 ６ 个面共有 ６×２０＝１２０ 条都在原立方体
的 表 面．因 此 ， 位 于 原 立 方 体 内 部 的 线 段 共 有 ２７６－
３６－ １２０＝１２０ 条．
点评 此解法采用间接法， 在每两点的所有连
线中位于原立方体表面的分两类， 一是新立方体的
三 个 数 字 中 任 选 一 个） ； 三 位 好 数 有 ３×４２＝４８ 个 ；
…， ｋ 位好数有 ３×４ｋ－１ 个， ｋ＝１， ２， …．
ｎ
５
６
! ! ! 记 Ｓｎ＝３ ４ｋ－１， 因 Ｓ５＝３ ４ｋ－１＝１０２３， Ｓ６＝３ ４ｋ－１＝
ｋ＝１
ｋ＝１
ｋ＝１
４０９５， Ｓ５＜２００７＜Ｓ６， ２００７－ Ｓ５＝９８４， 即 第 ２００７ 个 好 数
７２２－
７２－ １６×７２＝３９６０ 种．
点评 本题在填格子时采用分步， 先确保 ２ 个
ａ 既不同行又不同列填入； 不考虑 ａ 的影响确保 ２
个 ｂ 既不同行又不同列填入， 依据分步计数原理求
出不同方法总数．然后除去其中不合条件的方法数，
其中分为两类， 不重复不遗漏的计算出不满足条件
的方法总数．
数学爱好者 !"#
４ｋ－１， 通过求和计算， 判断 ａ２００７ 是多少位的“ 好 数 ”， 进
而 逐 步 缩 小 范 围 ， 推 断 出 ａ２００７＝１３３１１３．体 现 思 维 的 有序性和严密性．
例 ４ 设 ｒ， ｓ， ｔ 为整数， 集合｛ ａ│ａ＝２ｒ＋２ｓ＋２ｔ， ０≤
ｔ＜ｓ＜ｒ｝ 中的数由小到大组成 数 列｛ ａｎ｝ ＝｛ ７， １１， １３， １４，
数学竞赛 骗分技巧
数学竞赛骗分技巧在数学竞赛中，骗分是常用的一种策略。
骗分的本质是挖掘题目中蕴含的隐含条件或者特征，通过利用一些巧妙的方法，获得一定的得分。
下面我将就数学竞赛中的骗分技巧进行简单地讲解。
一、数学竞赛中的骗分思路1、套公式套公式是骗分的常用技巧之一，特别是在数学初、中阶段的竞赛中。
在数学的各个知识领域中，都有一定的公式和定理可以用来解决问题。
如果你掌握了这些公式和定理，并且能够灵活运用，那么在比赛中就能够很好地利用这些技巧来骗分。
2、图形转化特别是在初中阶段，通过图形的转化来骗分是比较常见的一种方法。
通过将原问题转化为某些经典图形的特殊情况，得到一些结论。
这种方法的主要思路是通过“多画图，多套形，细心揣摩”的思想，对问题展开分析，尝试从中寻找到可以利用的方法，并运用起来。
3、问题分解将原问题分解为若干小问题，分别分析解决，可以更好地理解问题的本质。
在比赛中，由于时间有限，很多问题难以直接得到解决，但是如果将问题精细化分解，就可以先解决一部分，进而解决问题的全貌。
4、建立方程或等式如果问题中涉及到多种变量和参数，可以考虑建立方程或等式，通过方程或等式，转化为简单的关系求解问题。
二、骗分技巧的应用1、细节的处理在解题时，应该注意题目中的一些细节，这些细节往往是解题的关键所在。
比如，要注意题目中的条件、特殊符号的处理、数据范围、空间限制等，这些都是得分点。
2、利用已知条件在解题过程中，已知条件往往是解决问题的关键。
通过将不定方程、不等式、图形、数列等与已知条件结合起来，可以找到问题求解的方式。
3、逻辑思考逻辑思考在数学竞赛中是非常重要的。
因为逻辑思考可以帮助我们明确问题的解决路径和实现方法。
在解决问题时，不仅需要思考问题的具体意义，还需要在脑海中给出一个清晰的解题计划。
4、注意误解在解题时，经常会因为理解上的误解而在得分上占到不利的地位。
比如，数学中的“等价、等效、等概率、等比例、等角、等腰”等，各有不同的理解方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一道数学竞赛题的解法中蕴涵的数学思想方法
发表时间：
2014-07-08T15:56:15.280Z 来源：《素质教育》2014年4月总第150期供稿 作者： 曾宪波
[导读] 数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。
曾宪波
江西省赣州市南康区新世纪中英文学校 341400
数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思
想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中。
“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高
的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。
数学中渗透基本数学思想，如果能使它们落实到我们学习和应用数学中去，那么我们得到的是很多的。下面就全国初中数学竞赛初赛
试题中的几种解法中，谈谈数学思想的重要性。
解法一：“特殊”思想。
“
特殊”思想就是将一般问题特殊化，从事物的特殊性中去探求它的一般的普遍规律是一种重要的数学方法。由于事物的特殊性中包含
着事物的普遍性，所以在研究某些有关一般值的数学问题而直接解答有困难时，我们可以不考虑一般值，而直接利用特殊值去研究解决，
从而促使原问题获解。
此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，由题意可知，四边形CFPG的面积大小只与四边形
AEPH
的面积大小有关，而与它们的形状无关，因此我们可以采用“特殊”思想来解答。
解法二：“转化”思想。
“
转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法。此题由
于四边形
AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，我们就想能否把一般的四
边形转化为我们熟悉的图形来解决。有题意可知，
HE∥GF，所以可以利用同底等高的三角形面积相等，把四边形AEPH的面积转化为直角
三角形
AEM的面积来解决（如图）。
解法三：“整体”思想。
整体思想就是研究某些问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考察问题的视角，将要解决的问题看作一
个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。它是一种重要的数学观念，一些
数学问题，若拘泥常规，从局部着手，则举步维艰，若整体考虑，则畅通无阻。
教师要有意识地渗透整体思想方法的首要条件，是教师要从数学思维方法的角度对教材进行分析、研究,要善于发现和挖掘教材内容中
所隐含的整体思想，做到胸中有数
,由此再进一步考虑如何设计教学过程，使学生逐步领悟、理解、掌握、运用所学的整体思想。
解法四：“建模”思想。
数学建模思想是指从实际问题中，发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程，它包括对实际问题进行抽象、简化，建立
数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤。
此题由于四边形
AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，那么我们就想能否构建一个我们熟悉的数学模型来解决，
由题意可知四边形
EFGH是平行四边形，所以我们可以构建平行四边形模型来解决。
基本模型如图，平行四边形内任意一点与两组对边所组成的两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半。
总之，数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是
教材体系的灵魂，是教学设计的指导，是课堂教学的统帅，是解题思想指南。把数学知识的精髓
——数学思想方法纳入基础知识范畴是加
强数学素质教育的一个重要举措。随着对数学思想方法教学研究的深入，在教学中渗透数学思想方法的实施，必将进一步提高数学教学质
量。