算法分析第二次作业答案(卜东波)

算法第二次作业答案

这里我们归约要做的主要步骤就是，

1.把NPC的input转化到NP-hard的input，即每一个NPC的input，实际上都是一个NP-hard 的input。

2.把NP-hard的output转化到NPC的output上来，说明给我一个NP-hard的output，我就能给你一个NPC的output。

注意：以上的两个转化都要在polynomial的时间内完成。

第1题：

证明如下：

（1）给定图G1和图G2中的一个子图G3，显然能在多项式时间内验证G1和G3是否同构，故subgraph-isomorphism问题是NP问题。（2）已知clique问题是NP完全，现给出一个算法使clique问题变换成subgraph-isomorphism问题。算法如下：

a)令图H为团问题中K个顶点组成的完全图

b)令图G1为图H的同构图

则由上述算法可知图G有一个规模为k的clique当且仅当在图G中存在与G1同构的子图H。因上述算法是多项式时间的，所以clique 问题可以规约成subgraph-isomorphism问题。

综合（1）（2）知subgraph-isomorphism问题为NP完全问题。

第2题：

例用3SAT证明ILP是NP-hard的。即 3SAT <= ILP

还是首先找映射，这个映射不涉及图的东西，应该比较容易构造和理解。

还是拿上面那个3SAT的例子说事。对于每个clause，我们都对应于ILP中的一个constraint，比如 E中有4个变量，X1，X2，X3 和X4，我们的ILP中也有同样的这4个变量，并且我们要求他们都是只能取0 或 1。对于一个clause，如(X1 V ~X2 V ~X3) ，我们对应的constraint是“X1 + （1-X2）+（1-X3）>=1”，很显然了，ILP中的变量选0

对应于3SAT 中的变量选false ，ILP 中的变量选1对应于3SAT 中的变量选true ，这样我们就映射好了。

很显然，这两个问题的input/output 的转换trival 的不行了。如果一个clause 满足了，对应的那个ILP 中的constraint 肯定也满足了；反之依然。偷个懒~O(∩_∩)O~ 证毕。

最后将所有约束条件写成矩阵形式AX<=b,则将3SAT 归约为了ILP

第3题：

（1）给定set-partition 问题S 的一个解A ，可以在多项式时间内验证x A y B

x y ∈∈=∑

∑（其中B=S-A ）是否成立，所以set-partition 问题为NP 问题。

（2）已知subset-sum 问题为NP 完全问题（subset-sum 问题描述为：给定一个整数集合S={X 1,X 2,…X n }和一个整数t ，则是否存在一个非

空子集，使得子集中的数字和为t ），现定义一个算法使subset-sum 问题变换成set-partition 问题。算法如下：

①已知整数集合S 和整数t ，给出r=2t-x S

x ∈∑

②定义整数集合S ’，使得S ’=S r

③返回S ’

上述变换后可知S 中有一个子集和为t 的子集当且仅当集合S ’能set-partition 。又因上述转换算法是多项式时间的，因此subset-sum 问题可以规约成set-partition 问题。

综合（1）（2）可知set-partition 问题为NP 完全问题。

第4题：

第6题：

证明：

（1）对于给定的n/2个顶点集V’,对每一对顶点'

，通过检查

,u v V

边（u,v）是否属于E，就可以在多项式时间O(n2)内完成对V’

是否是团的验证，则证明Half-Clique是NP问题。

（2）已知Clique问题为NPC问题，对一个Clique问题，通过以下算法构造G’：

1)在G上添加n个顶点，并在这n个顶点中选取n-k个顶点，

进行两两互联

2)将这n-k个顶点同G中的每一个顶点连接起来。

3)返回一个2n个顶点的图'G

变换后显然有G中有一个K个顶点组成的团当且仅当'G中有由

n（G中的K个顶点加两两互联的n-k个顶点）个顶点组成的团。

显然转换算法可以在多项式时间内完成，故有

综上可知，Half-Clique问题为NPC问题。