最新高考数学专题总结立体几何重点题型空间距离空间角(生)

立体几何重点题型

【考点透视】

(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版.

①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.

②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，

当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：

1AB ⊥

平面

1A BD

；

（Ⅱ）求二面角

1A A D B

--的大小；

（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.

A B

C D

1

A 1

C

1

B

(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 考点2 异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 典型例题

例3 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.

考点3 直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

典型例题

例4．如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点， 求BD 到平面11D GB 的距离.

考点4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 典型例题

例5如图，在Rt AOB △中，

π

6OAB ∠=

，斜边4AB =．Rt AOC △可以通

过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．

（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．

例6．如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.

B

A

C

D

O

G

H 1A

1C

1D 1B

1O O

C

A

D

B

E

考点5 直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容. 典型例题

例7. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知

45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 考点6 二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视. 典型例题

例8．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，

45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．

（I ）证明BC PQ ⊥； （II ）求二面角B AC P --的大小．

例9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD,∠DAB 为直角，AB ‖CD ，AD=CD=2AB, E 、F 分别为PC 、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）设PA ＝k ·AB,且二面角E-BD-C 的平面角大于?30,求k 的取值范围.

考点7 利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性. 典型例题

例10． 如图，已知1111

ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，

点E 在

1

AA 上，点F 在

1

CC 上，且

11

AE FC ==．

（1）求证：

1

E B

F D ，，，四点共面；

（2）若点G 在BC 上，

2

3BG =

，点M 在1

BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥

A

B

C

Q

α

β P

D

C

S

C

B

A

H

M

D

E

F

1

B

1

A

1

D

1

C

平面

11

BCC B ；

（3）用θ表示截面1

EBFD 和侧面

11

BCC B 所成的锐二面角的大小，

求tan θ．

例11．如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在l1上，C 在l2上，AM=MB=MN （I ）证明AC ⊥NB ；

（II ）若?

=∠60ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值. 考点8 简单多面体的有关概念及应用

主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 典型例题

例12 . 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿

虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.

例13 .如图左，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥后，GH 与IJ 所成角的

度数为（ ）

A 、90°

B 、60°

C 、45°

D 、0° 例14.长方体ABCD －A1B1C1D1中，

设对角线D1B 与自D1出发的三条棱分别成α、β、γ角 求证：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1

设D1B 与自D1出发的三个面成α、β、γ角，求证： cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2

考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.

N

C

B

A C

D

E

F G H

I

J

(A 、B 、C)

D

E F G

H

I

J A

B

C

A

D A1 B1

C1 D1

棱锥体积V 等于31

Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.

典型例题

例15. 如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA1＝a ， A1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 求AB 与侧面AC1所成角；

若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.

例16. 等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A —MNCB 的体积为 （ ）

A 、23

B 、23

C 、3

D 、3

例17.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又PA ⊥AB ，PA

＝4，∠PAD ＝60° 求四棱锥的体积；

求二面角P －BC －D 的大小.

例18 .已知圆O1是半径为R 的球O 的一个小圆，且圆O1的面积与球O 的表面积的比值

为92

，则线段OO1与R 的比值为 .

A

B1

C1

A

B C

D

O

P

A

H E D

B

C