大学物理第三章

体积流量
方向的规定：面的外法线方向为正 流入为负；流出为正
2、连续性方程
单位时间内通过任一封闭面的质量 流量为
Qm
v dS v dS
S1 S2

v dS
Q vd S Q m m 入 m 出 Q
理想流体的定常流动：
Qm出 = Qm入
Qm
A EK 2 EK1
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚 体所做的功等于刚体的转动动能的增量。
定轴转动的动能定理
第二节
固体的形变和弹性
一、固体的弹性形变 1、形变 2、形变的分类 弹性形变（线性、非线性、滞弹性） 塑性形变（永久性变形）
3、弹性形变的基本类型 （1）长变： （2）剪切形变
精确制导
L
B
C
C
B
A
三、守恒定律的意义及其应用
动量守恒 角动量守恒 能量守恒 守恒定律 特点和优点：不追究过程细节而 能对系统的状态下结论。 意义：守恒定律的发现、推广和 修正能推动人们深入认识自然界。 时空对称性
动量守恒定律 角动量守恒定律 能量守恒定律
空间平移对称性 空间转动对称性 时间平移对称性
1、参考系与坐标系
参考平面：与转轴相垂直的平面。
P P X 参考 方向 Q
O
参考平面 转轴


X
X
转动方向：逆时针方向为正
2、角位置，角位移
O
p，

角位置 ： 位矢与ox轴夹， 但可有正负。单位：弧度 rad
角位移Δ ：Δ t时间内角位置增量。 2 1
2 F r sin f r sin ( m r i i i i i i i i ) i 1 i 1 i 1 N N N
对同一轴内力矩之代数和为零，

i 1
N
f i ri sin i 0
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量 与角加速度的乘积。
绝对不可压缩、完全没有粘滞性 的流体。
4、流体体元的特点
在流体力学中，常谈到流体体元、 流体微团或流体质点，这里说的体元、 微团、质点，都具有宏观小、微观大的 特点，就是说它们相对整个流体极小， 但相对分子、原子来说却是很大。 5、理想流体的定常流动
定常流动: 空间各点流速不随时间而变,
v v ( x, y, z)
非定常流动:空间各点流速随时间变化,
v v ( x, y, z, t )
均匀流：流速场中，各点流速的大小、 方向均相同。 非均匀流：
二、研究流体运动的方法 1、牛顿—拉格朗日法 ---沿用质点系动力学方法 •取微元，追踪每个流体微元的运动； •根据动力学方程和初始条件求得微元 的运动学方程 r r (r0 , v0 , t)和运动轨迹。 流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微 元，由于初始条件不同，流迹也不同。
转轴
定轴转动的特点：
◇刚体上各点都绕同一转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相 同的角度。 ◇角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作 圆周运动。
复杂运动= 平动+ 转动
二、定轴转动的角量描述
个别量：
位矢、位移，速度、加速度
整体量： 角位置、角位移，角速度、 角加速度
（3）如果流管处于同一水平面上
1 2 p v gh 常量 2
1 2 p v 常量 2
vS 常量
例：如图所示：水从容器壁的小孔中流出 的速度
解：由于容器线度 远大于小孔，在短 时间内可视为理想 流体定常流动, 且 vA<<vB, 可认为vA=0
A
B
由伯努利方程：
2 i
1 2
三、刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能变化的原因 可以用力矩做功的效果来解释。
2 d d A Md J d J dt 1 1 1 dt dt 2 1 1 2 2 Jd J 2 J1 1 2 2 2 2
上式即为：
(1)线应变
l n l
n 0
拉伸应变
n 0 压缩应变
（2）切应变
BB t tan BD
:剪切角
4、应力与应变的线性关系（胡克定律）
F l E S l
杨氏弹性模量
F G S 切变模量
应力与应变的关系示意图
测量杨氏弹性模量的实验装置：
E
8Hl F ( ) 2 d b n n0
2、欧拉法
研究流速场
v v ( x, y, z, t )
（1）流体中每点有流速
（2）流线
在定常流动中，流线分布不随时间而 变化，流线才会与流迹重合。 在均匀流中，流线为等距平行直线。 （3）流管
l S lim vS t 0 t
Q vS cos v S
加速转动 , 方向一致 减速转动 , 方向相反
刚体定轴转动角量与线量的关系：
S = r
v r
an r
2

a
r an
a
v
dv a dt d r r dt
刚体定轴转动的转动定律
一、力对转轴的力矩 决定转动状态变化的因素 （1）力不在转动平面内
说明： （1）理想模型。 （2）在外力作用下，任意两点间均不发 生位移，其上各质点间的相对位置 保持不变。
平动：刚体在运动中，其上任意两点的
连线始终保持平行。
特点：各点位移、速度、加速度均相同， 所有点的运动轨迹都保持完全相同----可 视为质点。
转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）
刚体内所有质元都绕同一直线作不同 半径的圆周运动。 这一直线称为转轴。如果在运动中转 轴的位置固定不动，则称为定轴转动。
r v t
运动方程
直角坐标系中 矢量式 r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
M=0 的原因: 可能F＝0；r =0
或 F与r 平行 应用角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的单个刚体：
当M 0时，J J0 , 则 0
2、转动惯量可变的物体：
当J增大时，就减小； 当J减小时， 就增大， 从而J 保持不变
花样滑冰运动员 通过改变身体姿态即 改变转动惯量来改变 转速.
第三章 连续体力学
§3-1 刚体的定轴转动
§3-2 固体的形变和弹性 §3-3 理想流体及其运动
第一节 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动的角量描述
刚体定轴转动定律
角动量守恒定律 刚体转动的动能定理
刚体的定轴转动的角量描述
一、刚体的运动——平动、转动 刚体：在任何情况下，其大小和形状 都不变化的物体。
vS 常量
四、伯努利方程 1、方程的导出
p1 研究对象: a1 a2 重力场中取 理想流体定 常流动中的 h1 一段细管 a b
1 1
b1 b2
h2
p2
1 p v 2 gh 常量 2
说明：
（1）伯努利方程实质上是能量守恒定律 在理想流体定常流动中的表现。 （2）在导出伯努利方程时,应用了细流管 的概念, 但是方程中的物理量 p, v, h 都是空间点的函数, 因此伯努利方程 实质上是对同一根流线而言的,因为 细流管的极限就是流线。
ω
例 2: 一根质量为 M 、长为 L 的均匀细棒 OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动。一质量为 m ，初 速度为 v0 的子弹打入杆内，并与杆一起 运动，求该系统的角速度。 已知:
1 J ML2 3
0
A
定轴转动刚体的角动量守恒定律
应用事例： 常平架上的回转仪
A
v dS 0
S
通过封闭面的质量流量Qm=0
理想流体定常流动的小流管，只含一 根流线
S3 v2 S2
v1 S1
Qm
S1
v dS v dS v dS + v dS
S2 S3
对于理想流体
vS 常量
3、方程的意义 （1）流体的速率与流管的截面积成反比 （2）流线分布图样不变 流线的走向 流线的密度 （3）质量守恒定律的一种形式
p0 ghA p0 ghB v
1 2
1 2
2
v g (hA hB ) gh,
2
v 2 gh
力学小结
一、运动学： （一）参照系和坐标系 （二）基本物理量： r xi yj zk r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k xi yj zk
即dA Md
A Md
称为力矩的功。
力矩作功是力作功的角量表达式
对于刚体定轴转动情形，因质点间 无相对位移，任何一对内力作功为零。
二、转动动能 刚体上所有质元的动能之和为：
1 2 EK m v m ( r ) i i i 2 i i 1 1 2 2 ( m i ri ) J 2 2 i 2
Li ri mi vi ri2mi

O
mi vi
ri 。 mi

O
定轴
方向：

。
2、刚体的角动量定理
d 转动定律 M J J dt
d ( J ) dL M dt dt
Mdt
t0
t
L
L0
dL J J0
Md t dL
M 对定轴的冲量矩
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2