2.3.1直线与平面垂直的判定学案
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2
第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体PAMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C MNB ＝V M BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥PABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解空间直线和平面的位置关系．●掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．●通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力．●通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力．重点难点：●重点：直线与平面平行的判定、性质定理的应用；●难点：线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．学习策略：●学习本知识点要依照学习目标，把握重点、难点，注意图形语言与符号语言之间的转化，弄清楚线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线，则该直线与此平面平行．（二）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条与另一个平面平行，则这两个平面平行．（三）直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的与此平面的与该直线平行．（四）平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那么它们的交线平行．知识点一：直线和平面垂直的定义与判定（一）直线和平面垂直定义如果直线l和平面α内的，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．直线l叫平面α的；平面α叫直线l的；垂线和平面的交点叫．要点诠释：（1）定义中“平面α内的任意一条直线”就是指“平面α内的直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别．（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．（3）若,a bαα⊥⊂，则．（二）直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的，则该直线与此平面垂直．符号语言：,,,m n m n Bl m l nαα⊂⊂=⎫⇒⎬⊥⊥⎭I特征：线线垂直⇒垂直要点诠释：（1）判定定理的条件中：“平面内的两条直线”是关键性词语，不可忽视．（2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
直线、平面垂直的判定与性质定理
本题考查学生对面面垂直的判定及性质的理解及性质定理的符号理解
3.（17年全国Ⅲ卷）在正方体 中，E为棱CD的中点，则（）
A． B． C． D．
请说明原因：
垂直关系中三大关系，线线垂直，线面垂直，面面垂直，通过高考试题激发学生兴趣，检验垂直的关系的源头线线垂直的证明方法掌握情况.为课堂探究其他垂直关系，做好铺垫
（2）点E在何位置时，PD⊥平面ABE
(3)你能根据题意，设计一个面面垂直的例子让我们来证明吗？
（1）首先打破学生思维定势，以为垂直就是选中点.
(2)进一步探究线面垂直的证明方法，体会线线、线面垂直关系的多重相互转化。以开放题的形式组织学生经历自主探究—合作探究—成功的过程，使学生体验线面垂直的源头是线线垂直。
第二问结束，学生板书或学生投影，并探寻线线线面垂直的转化次数.直观感受显现垂直，线面垂直的转化。
最后反问学生：线面垂直的常见证法，提升能力,方法总结.
(3)第三问，为面面垂直抛砖引玉，实现线面到面面的过渡，同时体会面面垂直的实质为线面垂直.
【变式1】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB＝BC＝AA1,且AC＝ BC,点D是AB的中点.
2．以解答题的形式考查多面体中的线面垂直或面面垂直，属中档题
为学生指明本部分高考的学习目标，考查形式、难易程度等，可使学生参照目标寻找自身差距.
【例题】
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是线段PC上的任意点．
（1）点E在何位置时，CD⊥AE；
直线、平面垂直的判定与性质教学设计(改进稿)
学案内容
设计意图
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质必修2教案学校：临清试验高中学科：数学编写人：贾红国审稿人：邢玉兰王桂强2.3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培育同学的几何直观力量和学问的应用力量，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）把握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简洁应用。
（3）把握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简洁应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一）复习引入师：推断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可娴熟运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？推断下列命题是否正确:1、在平面中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
2、在空间中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
3、垂直于同一平面的两直线相互平行。
4、垂直于同始终线的两平面相互平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已讨论过，这节课我们来共同探讨直线和平面假如垂直，则其应具备的性质是什么？（二）创设情景如图，长方体ABCD-ABC'D中,棱AA∖BB∖CC∖DD，所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1已知：a,bO求证：b0a师：此问题是在a,b的条件下，讨论a和b是否平行，若从正面去证明b0a,则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为简单，但难在帮助线S 的作出，这也是立体几何开头的这必修2教案部分较难的一个证明,在老师的知道下,同学尝试证明,稍后老师指正. 生:证明:假定b不平行于a,设bO,b，是经过点0的两直线a平行的直线.a0b,z a,b,即经过同一点O的两直线b卜都与垂直,这是不行能的,因此b0a.有了上述证明,师生可共同得到结论.：直线和平面垂直的性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它例2.已知I,I,求证a〃.证明：设I=A,I=B在内过点A取两条直线a和bBI 且B与相交，设=cIIa,同理IC在平面中：1a,Ica∕∕c又a,ca//,同理b〃又ab=A//下列命题中错误的是（C）A、B、C、若始终线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的全部直线。
直线、平面垂直的判定与性质优质学案
理，可知 C 正确．故选 C.
(2)(2018· 辽宁五校联考)假设平面 α∩平面 β＝EF，AB ⊥α，CD⊥β，垂足分别为 B，D，如果增加一个条件，就能 推出 BD⊥EF，现有下面四个条件： ①AC⊥α；②AC∥α；③AC 与 BD 在 β 内的射影在同一 条直线上；④AC∥EF.
①③ ．(把你认为正确的 其中能成为增加条件的是________
2．教材衍化 (1)(必修 A2P73A 组 T1)若 m，n 表示两条不同的直线，α 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) m⊥α m⊥α m∥α ⇒ m ∥ n ；② ⇒ m ⊥ n ；③ ⇒n ① n⊥α n∥α m ⊥n ⊥α. A．1 C．3 B．2 D．0
理由如下： 由已知可得 PB⊥PA， PB⊥PC， 又 EF∥PB， 所以 EF⊥PA，EF⊥PC，又 PA∩PC＝P，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．
连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所 2 以 D 在 CG 上，故 CD＝ CG. 3 由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE 2 1 ∥PC，因此 PE＝ PG，DE＝ PC. 3 3 由已知， 正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6， 可得 DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF＝PF＝2， 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V＝ × ×2×2×2＝ . 3 2 3
垂 ________ 心．
解析 ①如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 Rt△POA、 Rt△POB 和 Rt△POC 中， PA＝PC＝PB， 所以 OA＝OB＝OC，即 O 为△ABC 的外心．
学案2：2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质课前预习学案一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质二、预习内容：1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（判断下列命题是否正确）（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）明确直线与平面垂直的性质定理。
（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
二、学习过程探究一、直线与平面垂直的性质1、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？2、 已知：a ，b 。
求证：b ∥a （由1让学生自行证明）得直线与平面垂直的性质定理三种语言刻画探究二、定理的应用例1已知变式1：下列命题中错误的是（ ）A 、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B 、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C 、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D 、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
（四）课堂检测1、课本页：1、2.2、设直线a,b 分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b ∥a ,a 、b 应满足什么条件？课后巩固练习与提高1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（ ）α⊥α⊥βαβα//,,求证⊥⊥ll 71P ,,a b c αa α⊥2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。
学案14：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质问题导学一、线面垂直性质的应用活动与探究1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．迁移与应用1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1 B．2 C．3 D．02．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．名师点津线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．二、面面垂直的性质的应用活动与探究2如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB．迁移与应用如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．名师点津面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．三、线线、线面、面面垂直的综合应用活动与探究3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．迁移与应用如图，平面P AC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．名师点津线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．当堂检测1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能2．下列说法中不正确的是()A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长度．5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC 的形状．参考答案问题导学活动与探究1【解析】对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ． 又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON12CD 12AB ． ∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ， ∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ．∴M 是AB 的中点． 迁移与应用 1．B2．证明：EA ⊥α，EB ⊥β, α∩β＝l ⇒⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥EA l ⊥EB ⇒l ⊥平面EAB ． 又∵a ⊂α，EA ⊥α，∴a ⊥EA ． 又∵a ⊥AB ，∴a ⊥平面EAB ．∴a ∥l ．活动与探究2 【解析】(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化． 证明：(1)连接BD ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面P AD．(2)∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．迁移与应用证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC．∵BD∩VB＝B，且VB⊂平面VBA，BD⊂平面VBA，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥AB．活动与探究3【解析】根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．证明：方法一：在γ内取一点P，作P A垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则P A⊥α，PB⊥β．∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB．又P A∩PB＝P，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n⊂β，∴m∥β．又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l．∴l⊥γ．迁移与应用解：如图，在平面P AC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，∴AB⊥平面PDO，∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．当堂检测1．D2．D3．D4．解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm．5．解：如下图所示，取BC的中点O，∵SB＝SC，∴SO⊥BC．∵平面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥平面ABC．∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．∴△ABC为直角三角形．。
直线、平面垂直的判定与性质
两个平面垂直,如果一个平面
性质 内有一条直线垂直于这两个
定理 平面的 交线
,那么这条直
线与另一个平面垂直
α ⊥ β,
α⋂β = a,
b⫋β,
b⊥a
b ⊥α
⇒______
3.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和
这个平面所成的角.
(2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°].
O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平
面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所
在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角
为(
)
A.20° B.40°
C.50° D.90°
答案B
解析由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.
4.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱
垂直 的射线,则两射线所成的角叫作二面角的平面角.
常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
由m∥β,β⊥α,可得m∥α或m与α相交或m⫋α,故B错误;
垂线面直的判定学案(两课时)
第一节:直线与平面垂直的判定（两课时）编写人_________ 审核人2011.2.27班级组号姓名_____________一.预习准备:①观察实例：将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，对线面垂直有直观认识.②寻找出其中线面垂直的位置关系。
（旗杆与地面、桥墩与地面）二.学习目标：1.掌握直线与平面垂直的定义和判定定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力三．重点知识（课前自学完成）1.概括出直线与平面垂直的定义2．何谓平面与平面垂直的判定定理：文字描述：符号表示：3.判断:.1.直线与平面内两条直线垂直,能否得到线面垂直?直线与平面内无数条直线垂直,能否得到线面垂直?举例说明理由(图形呈现).2.如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。
为什么?四:知识运用1. 准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？为什么?2.在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求证：VB⊥AC。
五:自测达标（1）经过平面外一点作平面的垂线,那么( )A.有且只有一条B.无数条C.一条或无数条D.最多2条(2)给出四个命题: ①α⊥l,则l与α相交.ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂lnlmlnm,,,.③αα⊥⇒⊥nlnmml,//,//.④nlnmml//,,//⇒⊥⊥αα.正确的有几个( )A.一个B.两个C.三个D.四个(3)O在三角形ABC内,P为三角形ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,则O为三角形ABC的( )A.内心B.外心 C .重心 D .垂心(4)BC是直角三角形ABC的斜边, AP⊥平面ABC,连接PB,PC,并作PD⊥BC,垂足为D,连接AD,则图中共有____________个直角三角形.5如图：SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.6. 如图：三角形ABC中,∠ACB为直角,AB=8, ∠BAC大小为60度, PC 平面ABC,PC=4,M为AB边上任意一点,求PM最小值,并回答此时AB与平面PCM的关系.。
线面垂直、面面垂直学案
《直线、平面垂直的判定及性质》学案《直线与平面垂直》知识清单：1.直线与平面垂直的定义: 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，这条直线和这个平面互相垂直.2. 直线和平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言表示为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a ααl⊥α.3. 直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90° 求直线和平面所成的角的方法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
4. 直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行 【基础自测】 1、“直线l 垂直于平面内的无数条直线”是“l ⊥”的 （ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l 与平面的一条垂线垂直，那么直线l 与平面的位置关系（ ）A 、lB 、l ⊥C 、l ∥D 、l 或l ∥3、若两直线a ⊥b ，且a ⊥平面，则b 与的位置关系是（ ）A 、相交B 、b ∥C 、bD 、b ∥，或b4、a ∥α，则a 平行于α内的( )A 、一条确定的直线B 、任意一条直线C 、所有直线D 、无数多条平行线 5、如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( )A 、一条直线不相交B 、两条直线不相交C 、无数条直线不相交D 、任意一条直线都不相交 6、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 7、已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥ 8、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ ） A ．64B ．104C ．22 D ．3210、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 .11、如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．（第6题图） （第7题图）12、已知ABC ∆所在平面外一点P 到ABC ∆三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是ABC ∆的 。
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学习目标：线面垂直的判定
学习重点：线面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系.
一、自主预习
1.回顾：（1）线面位置关系。（2）线面平行的判定定理
2.阅读课本P64-P67自主学习：
（1）空间直线与平面垂直的定义：
（2）直线与平面垂直的判定定理：
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？
（3）直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫
做 ，斜线的平面的交点A叫做 .过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过
垂足O和斜足A的直线AO叫做 .平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
角，叫做 .
二、知识应用：
题型 1直线与平面垂直定义：
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有 ；
与直线AA'垂直的平面有 .
题型 2直线与平面垂直判定
例1 如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
练习1： 如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周
上的任意一点，过A作AE⊥PC于点E.
求证： AE⊥平面PBC.
题型 3直线和平面所成的角
例2 如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面
A1B1CD
所成的角.
B
D'
C'
B'
D
C
A
O
E
B
A
A'
C
P
练习2. (1)在正方体ABCD – A1B1C1D1中，直线AB1与面ABCD所成的角为 ；
(2)在正方体ABCD – A1B1C1D1中，直线BD1与面ABCD所成的角的余弦是
三、综合应用：
1.如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，
求证：VB⊥AC.
2.过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 .
（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心.
四、课下练习：
1．在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有
A．无数条 B.2条 C.1条 D.0条
2．已知a,b为不垂直的异面直线，α 是一个平面，则a,b在上的射影有可能是
①两条平行直线； ②两条相互垂直的直线；
③同一条直线； ④一条直线及其外一点.
3.直线a为平面平面α的斜线，则平面α内与直线a成60°的直线（ ）
A.至少一条 B.必有无数条
C.不存在或无数条 D..以上都不对
4.△ABC的顶点B在平面α内，A,C在α的同一侧，AB,BC与α所成的角分别是
30°和45°，若AB=3，BC=4 ，AC=5，则AC与α所成的角为（ ）
A.60° B.45° C.30° D.15°
5.已知△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D.求证：AD⊥平面SBC.
五、小结：
1．线面垂直的判定； 2.线面垂直的证明； 3.线面角的求法.