2.4线段、角的对称性(3)同步练习含答案解析
苏科版八年级数学上册限时作业：2.4线段、角的对称性(2).docx
一、选择与填空 （第6小题每空2分，其余每题5分，共44分）1、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点2、如左下图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,AB 的垂直平分线DE 交AC 于D,交AB 于E,下述结论:(1)BD 平分∠ABC ；(2)AD=BD=BC ；(3)△BDC 的周长等于AB+BC ；(4)D 是AC 的中点.其中正确结论的个数有: ( )A .4个B .3个 C.2个 D .1个3、如右上图,△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ， ∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.4、如左下图，AB=AC ，∠A =50o ,AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，∠DBC=5、如上中图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AC ，则△ABD 的周长是 。
6、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，则∠1__________∠2，∠3__________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=__________度，∠5+∠6=__________度，∠BOC =__________度.7、△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC =22.5°，则∠B 等于 。
二、作图题（本题20分）8、（1）分别作出点P ，使得P A=PB=PCE D CB A D E B CA（2）观察各图中的点P 与△ABC 的位置关系，并总结规律：当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.三、解答题（每题12分，共36分）9、如图，已知AE ＝CE ， BD ⊥AC ．求证： AB ＋CD ＝AD ＋BC ．10、已知如图3，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，求证：AO ⊥BC.初中数学试卷马鸣风萧萧（第9题）。
2.4 线段、角的轴对称性(4)
【练习】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且 DE=DF．求证：D是BC的中点．
2.4 线段的轴对称性
【例3】
在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平 分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB．求证： BM=CN．
2.3 设计Байду номын сангаас对称图案
2.4 线段的轴对称性
【练习】
已知：如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB外 角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？证 明你的结论．
2.4 线段的轴对称性
【例2】
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，垂足分别为E、F． 求证：AD垂直平分EF．
2.4 线段的轴对称性
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（4）
2.4 线段的轴对称性
【活动】
在△ABC中，用直尺和圆规分别作角平分线AD、 BE，AD、BE相交于点P，再作∠C的角平分线， 你有什么发现？
2.4 线段的轴对称性
【例1】
已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P． 求证：点P在∠C的平分线上．
(人教版)初中七年级数学上册《角》同步练习试题(含答案解析)
（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．1︒等于（）A．10'B．12'C．60'D．100' 2．“V”字手势表达胜利，必胜的意义.它源自于英国，“V”为英文Victory(胜利)的首字母.现在“V"字手势早已成为世界用语了.如图的“V”字手势中，食指和中指所夹锐角a的度数为（）A．25B．35C．45D．553．下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离4．下列角中，能用1∠，ACB∠三种方法表示同一个角的是（）∠，CA．B．C．D ．5．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（ ）A ．1720'︒B ．3220︒'C ．3320'︒D ．5820︒'6．如图，下列说法中错误的是（ ）．A ．OA 方向是北偏东20︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西30︒D ．OD 方向是东南方向二、填空题7．如图所示，120AOD ∠=︒，50AOB ∠=︒，OC 平分BOD ∠，那么BOC ∠=__________．8．计算：45396541︒'︒'+=________.（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）9．计算：（1）1003441'︒-︒=_________；（2）23252455''︒+︒=_________；（3）1366435428''''︒-︒=_________．10．如图，写出图中以A 为顶点的角______.三、解答题11．读句画图如图，点,,A B C 是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）：（1）画图：①画射线AB ；①画直线BC ；①连接AC 并延长到点D ，使得CD CA =．（2）测量：ABC ∠约为_________°（精确到1︒）．12．【观察思考】如图，五边形ABCDE 内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE 的顶点ABCDE 把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．【规律总结】(1)填写下表：(2)【问题解决】原五边形能否被分割成2022个三角形？若能，求此时五边形ABCDE 内部有多少个点；若不能，请说明理由．（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）1．C【分析】根据1°=60′即可得到答案．【详解】解：1°=60′，故选：C．【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：1°=60′．2．B【分析】根据图形和各个角度的大小得出即可．【详解】解：根据图形可以估计①α约等于35°，故选：B．【点睛】本题考查了估算角的度数的大小的应用，主要考查学生观察图形的能力．3．D【分析】直接利用角的定义以及正多边形的定义、两点之间距离定义分别分析得出答案．【详解】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了角的定义以及正多边形的定义、两点之间距离定义，正确掌握相关定义是解题关键．4．C【分析】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可【详解】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，A、B、D选项中，点C为顶点的角存在多个，故不符合题意故选C【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“①”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．5．B【分析】根据余角的定义可得①2的余角即①EAC ，然后利用角的运算列式计算求解，注意1°=60′．【详解】解：由题意可得：①2+①EAC =90°①①2的余角是①EAC①①EAC =601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查余角的概念及角的和差运算，掌握概念及角度制的运算是解题关键． 6．A【分析】由方位角的含义逐一判断各选项即可得出答案．【详解】解：OA 方向是北偏东70︒，故A 错误；OB 方向是北偏西15︒，故B 正确；OC 方向是南偏西30︒，故C 正确；OD 方向是东南方向，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查的是方位角，掌握方位角的含义是解题的关键．7．35°【分析】由已知可求BOD ∠的大小，根据角平分线的概念可求BOC ∠的大小．【详解】①120AOD ︒∠=，50AOB ︒∠=，①70BOD AOD AOB ︒∠=∠-∠=，①OC 平分BOD ∠， ①1352BOC BOD ︒∠=∠=， 故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查了角的认识，角平分线的概念，熟练掌握角的相关概念是解题的关键． 8．111°20´.【分析】两个度数相交，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．【详解】45°39´+65°41´=111°20´，故答案为111°20´.【点睛】本题考查度角分的换算，学生们要知道角度之间的运算是60进制.（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）9． 6519'︒ 4820'︒ 921132'''︒【分析】（1）根据角的各单位之间的是60进位，可以把100︒写成9060'︒，然后再用度减度，分减分，进行计算即可；（2）按照度加度，分加分计算即可；（3）根据角的各单位之间的是60进位，可以把1366'︒写成13565'60''︒，然后再用度减度，分减分，秒减秒进行计算即可【详解】（1）1003441'9960'3441'6519'︒-︒=︒-︒=︒；（2）2325'2455'4780'4820'︒+︒=︒=︒；（3）1366'4354'28''︒-︒=13565'60''4354'28''︒-︒9211'32''=︒．故答案为：①6519'︒，①4820'︒，①921132'''︒.【点睛】本题考查的度、分、秒的计算，掌握度、分、秒的换算方法是解题关键.10．①DAC ①DAB ①CAB【分析】根据角的表示方法即可求解.【详解】写出图中以A 为顶点的角①DAC 、①DAB 、①CAB.故答案为①DAC ，①DAB ，①CAB.【点睛】此题考查的是角的表示方法，角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁；也可以用一个大写字母表示，在角的顶点处有多个角时，不可以用一个字母表示这个角.11．（1）①见解析；①见解析；①见解析；（2）50【分析】（1）根据题目要求结合概念作图可得；（2）利用量角器测量可得．【详解】解：（1）如图所示： ①射线AB 即为所求；①直线BC 即为所求；①线段CD=CA 即为所求（2）ABC ∠约为50°故答案为：50【点睛】本题主要考查作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念及角的定义和测量．12．(1)11，2n+3；(2)不能，理由见解析．（1）根据图形特点找出五边形ABCDE内点的个数与分割成的三角形的个数的关系，【分析】总结规律即可；（2）根据规律列出方程，解方程得到答案．(1)有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2＝7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2＝9个三角形；有4个点时，内部分割成5+2×3＝11个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n−1)＝(2n+3)个三角形；故答案为11，2n+3；(2)令2n+3=2022，即2n=2019，显然这个方程没有整数解，①原五边形不能被分割成2022个三角形．【点睛】本题考查图形类规律探索，熟练掌握不完全归纳的方法及求一元一次方程整数解的方法是解题关键．。
2.4线段、角的对称性(1)【课时训练】(家庭作业+课堂作业)
1. 到一条线段两端距离相等的点有 个.2. 画图，填空：在△ ABC 中，画出AB 、AC 的垂直平分线，它们相交于点O ．连结OA 、OB 、OC ． (1)∵ 点O 在线段AB 的垂直平分线上， ∴ _________＝__________(_____________)． 同理_________＝__________， ∴ _________＝__________， ∴ 点O 在线段BC 的垂直平分线上．(2)过点O 作OM ⊥ BC ，则直线OM 是线段BC 的__________，由此可知，三角形两边垂直平分线的交点到三角形__________距离相等．3.如图,△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.4. 如图，△ABC 中，∠C=900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.5.如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2, 分别交OA 、OB 于点M 、N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为__________________.6、 如图，DE 是BC 的垂直平分线，如果△ACD 的周长为17 cm ，△ABC 的周长为25 cm ，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?7、如右图，在直线MN 上求作一点P ，使PA=PB8、已知：如图，AB =AC =12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长.9、已知：在△ABC 中，AB ＜AC ， BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8 cm ，△ABE 的周长是14 cm ，求AB 的长．BDCE ABB1．线段的对称轴有 条,是 ； 2．线段的垂直平分线是 的点的集合． 3、到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点4、如图,△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.5、如图，△ABC 中，∠C=900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD=4：1，则∠B ＝_______.6、如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2, 分别交OA 、OB 于点M 、N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为_________.7、如图，直线MN 表示河边，一牧民在点A 处放牧，现在要到河边去饮水，然后回到帐篷点B 处，问在何处饮水，才能使他所走的路最短？在图中作出表示饮水处的C 点。
苏科版八年级数学上册《2.4 线段、角的对称性》(4).docx
初中数学试卷马鸣风萧萧《2.4 线段、角的对称性》（4）一、填空题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是______（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是______．2．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到______相等．3．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为______．二、选择题4．如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤56．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①，②与③三、尺规作图题7．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．四、解答题8．在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．9．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．10．如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O．（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系，并证明你的结论；（2）若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论？试说明理由．《2.4 线段、角的对称性》（4）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 3（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是15 ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可得解．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC﹣BD=8﹣5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=6×=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为：3；15．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．2．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到三边相等．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据角的平分线的性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，即可确定．【解答】解：根据角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，可以得到三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到三边的距离相等．故答案是：三边．【点评】本题考查了三角形的内心的性质，内心是三角形的角平分线的交点，这个点到三角形的三条边的距离相等．3．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为120°．【考点】角平分线的性质．【分析】点O到三角形三边的距离相等，可知O点为三角形三角平分线的交点；根据角平分线性质，在△BOC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A．【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，∴OB、OC为三角形的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°．故填120°【点评】本题考查了角平分线的性质；由此题可以得到规律∠BOC=2∠A，做题后，要学会对题目的反思，对规律的总结．二、选择题4．如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理．【分析】由角平分线的性质可得MA=MB，再求解出∠MAB的大小，在△ABM中，则可求解∠MAB的值．【解答】解：∵∠AOB=40°，且OM为其平分线，∴∠AOM=∠BOM=20°，又MA⊥OA，MB⊥OB，∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=70°，∴∠AMB=140°，∴∠MAB=（180°﹣∠AMB）=×（180°﹣140°）=20°，故选D．【点评】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5【考点】角平分线的性质．【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．【解答】解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选B．【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．6．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①，②与③【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据三角形全等的判定方法，①由SAS判定△ABE≌△ACF；②由AAS判定BDF≌△CDE；③SAS判定△ACD≌△ABD，所以D在∠BAC的平分线上．【解答】解：①∵AB=AC，AE=AF，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF；②∵△ABE≌△ACF，∴∠C=∠B，∵AB=AC，AE=AF，∴CE=FB，∵∠CDE=∠BDF，∴△BDF≌△CDE；③连接AD，∵△BDF≌△CDE，∴CD=BD，∵AB=AC，AD=AD，∴△ACD≌△ABD，∴∠CAD=∠BAD，即D在∠BAC的平分线上．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、尺规作图题7．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）作出∠AOB的平分线，（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．【解答】解：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．【点评】解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．四、解答题8．在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，BD平分∠ABC，∴DE=AD=3cm，∵BC=10cm，∴△DBC的面积=×10×3=15cm2．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出△DBC 边BC上的高是解题的关键．9．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【考点】角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC．【解答】证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，∴EH=EG．∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，∴EI=EG，∴EI=EH（等量代换），∴AE平分∠FAC（到角两边距离相等的点一定在角的平分线上）．【点评】本题主要考查角平分线的性质及其逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．10．如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O．（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系，并证明你的结论；（2）若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论？试说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】探究型．【分析】（1）由AB=AC，AD=AE可得BE=CD，由DB⊥AC，CE⊥AB可得∠BEO=∠CDO=90°，于是可根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD（2）先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE得到∠B=∠C，然后根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD．【解答】解：（1）OE=OD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴AB﹣AE=AC﹣AD，即BE=CD，∵DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠BEO=∠CDO=90°，在△BEO和△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（AAS），∴OE=OD（2）若没有第（1）中的条件，仍然有OE=OD．理由如下：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠C，在△BEO和△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（AAS），∴OE=OD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。
第7讲线段与角的轴对称性
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∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
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学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
八年级数学上册第二章轴对称图形2.4线段、角的轴对称性教案3(新版)苏科版
教学札记
线段、角的轴对称性
课题
§2.4线段、角的轴对称性（3）
课型
新授课
教学
目标
1、使学生掌握角是轴对称图形，角平分线的性质。
2、使学生通过类比的思想和方法掌握本节课的内容，培养学生主动探索学习的能力通过让学生在原有的知识基础上，通过类比方法，掌握了新的知识，可以提高学生自学的兴趣和信心。
重点
角平分线的性质
二、教师导学
创设问题情境
张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔直的道路相连，
他们计划共同打一眼机井。希望机井到三条道路的距离相等，
你能设计出机井的位置吗？
教
学
过
程
教学内容
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
三、小组合作例题：
☆例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？
难点
角平分线的性质应用
教法及教具
先学后教，当堂训练
教
学
过
程
教学Hale Waihona Puke 容个案调整教师主导活动
学生主体活动
一、学生预习
☆概念：
角是，对称轴是。
角平分线上的点到角的相等
，的点，在这个角的平分线上
角平分线是到角两边距离相等的点的集合
☆数学符号表示：
如图：OC是∠AOB的平分线；点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，那么：
☆例2、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝3DE.AD和3DC是什么关系?为什么?
苏科版八年级数学上册 2.4 线段、角的轴对称性 同步测试题(无答案)
2.4 线段、角的轴对称性同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形的（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高所在直线的交点D.三边中垂线的交点2. 如图，中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（）A. B. C. D.3. 如图，点在的边上，且，则点在（）的垂直平分线上．A. B. C. D.不能确定4. 已知，求作一点，使点到两边的距离相等，且，下列确定点的方法，正确的是（）A.为，两角平分线的交点B.为，两边的垂直平分线的交点C.为，两边上的高的交点D.为的平分线与边的垂直平分线的交点5. 的平分线上一点到的距离为，是上任一点，则（）A. B.C. D.6. 如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（）A. B. C. D.7. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点8. 已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是( )A. B. C. D.9. 如图，和线段，如果点到，的距离相等，且，则点是( )A.的平分线与的交点B.的垂直平分线与的交点C.的平分线与的垂直平分线的交点D.的中点10. 如图：的两个外角平分线交于点，则下列结论正确的是( )①；②平分；③到，的距离相等；④平分．A.①②B.①④C.③②D.③④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结．若，的周长为，则的长为________．12. 如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么________．13. 如图，在中，，，是的平分线交于，且，则点到的距离是________．14. 在中，，，，点是内角平分线的交点，则，，的面积比是________．15. 直线、、表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有________处．16. 如图，已知在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则________．17. 如图在中，，，的垂直平分线交于，则________度．18. 如图，在中，的平分线交于，垂直平分，为垂足，若，则________．19. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为________．20. 如图，在中，，的平分线交于，若，，，则的面积是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，于点，于点，、交于点，、交于点，．求证：点在的平分线上．22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．（1）求证：；（2）若，，求的长．23. 如图，已知＝，平分，＝，于点，＝，则＝．24. 如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，求的长．25. 如图，是的平分线上一点，，，垂足分别是、．求证：，是线段的垂直平分线．26. 在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到________的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在________．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图，点是内一点，，，垂足分别为、，且________，求证：点在的________上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有________处．。
2.4 用尺规作角 同步练习
2.4 用尺规作角同步练习一、选择题1.已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )A. 以点C为圆心，OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心，OM的长为半径的弧C. 以点E为圆心，DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心，CE的长为半径的弧2.下列语句中表述正确的是（）A. 延长直线ABB. 延长线段ABC. 作直线AB=BCD. 延长射线OC3.下列作图语言中，正确的是（）A.过点P作直线AB的垂直平分线B.延长射线OA到B点C.延长线段AB到C，使BC=ABD.过∠AOB内一点P，作∠AOB的平分线4.下列画图语言表述正确的是（）A. 延长线段AB至点C ，使AB=ACB. 以点O为圆心作弧C. 以点O为圆心，以AC长为半径画弧D. 在射线OA上截取OB=a ，BC=b ，则有OC=a+b5.尺规作图是指（）A. 用量角器和刻度尺作图B. 用圆规和有刻度的直尺作图C. 用圆规和无刻度的直尺作图D. 用量角器和无刻度的直尺作图6.四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形（2）；丙同学读语句“点P在直线l 上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（）A. 甲同学B. 乙同学C. 丙同学D. 丁同学7.用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA,OB 于点E,F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧9.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A. 以点为圆心，为半径的弧B. 以点为圆心，为半径的弧C. 以点为圆心，为半径的弧D. 以点为圆心，为半径的弧二、填空题10.如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。
2.4线段、角的轴对称性(3)教学设计
让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．
指导学生活动．
练习：课本P55练习．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．
这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．
借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
小结
1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．
2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？
动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．
在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．
实践探索三
角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：
总结
角平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
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《2.4 线段、角的对称性》（3） 一、选择题 1．在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A．一条线段 B．一个角 C．一个平行四边形 D．一个等腰梯形 2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点 3．有下列图形：（1）一个等腰三角形；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线．其中轴对称图形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=100°，则DE与DF的关系为（ ） A．DE＞DF B．DE＜DF C．DE=DF D．不能确定DE与DF的大小
二、填空题 5．点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA于A，QB⊥OB于B，则AQ=______，理由是______． 6．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为______．
7．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是______三角形．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=4：l，则∠B=______． 9．如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2，分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为______．
三、解答题 10．作图题：已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法步骤）
11．如图，在△ABC中，AD是边BC的垂直平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）AD是∠BAC的角平分线吗？为什么？ （2）写出图中所有的相等线段，并说明理由．
12．如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=10cm，BC=8cm，求△BCE的周长． 13．如图所示，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是CD的中点，问：AD、BC和AB之间有何关系？并说明理由． 《2.4 线段、角的对称性》（3）
参考答案与试题解析
一、选择题 1．在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A．一条线段 B．一个角 C．一个平行四边形 D．一个等腰梯形 【考点】轴对称图形． 【分析】分别利用轴对称图形的性质分析得出即可． 【解答】解：A、一条线段，是轴对称图形，不合题意； B、一个角，是轴对称图形，不合题意； C、一个平行四边形，不是轴对称图形，符合题意； D、一个等腰梯形，是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
2．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． 【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．
3．有下列图形：（1）一个等腰三角形；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线．其中轴对称图形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】轴对称图形． 【分析】利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，分析得出即可． 【解答】解：（1）一个等腰三角形，是轴对称图形； （2）一条线段，是轴对称图形； （3）一个角，是轴对称图形； （4）一个长方形，是轴对称图形； （5）两条相交直线，是轴对称图形； （6）两条平行线，是轴对称图形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握图形的性质是解题关键．
4．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=100°，则DE与DF的关系为（ ） A．DE＞DF B．DE＜DF C．DE=DF D．不能确定DE与DF的大小 【考点】角平分线的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质． 【分析】作出图形，过点D作DG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DG，再根据垂线段最短可得DG＜DF． 【解答】解：如图，点D作DG⊥AC于G， ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DE=DG， ∵∠DFA=100°， ∴DG＜DF， ∴DE＜DF． 故选B． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
二、填空题 5．点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA于A，QB⊥OB于B，则AQ= BQ ，理由是 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ． 【考点】角平分线的性质． 【分析】作出图形，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【解答】解：∵点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA于A，QB⊥OB于B， ∴AQ=BQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 故答案为：BQ，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
6．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为 4 ．
【考点】角平分线的性质． 【分析】由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解． 【解答】解：∵BC=10，BD=6， ∴CD=4， ∵∠C=90°，∠1=∠2， ∴点D到边AB的距离等于CD=4， 故答案为：4． 【点评】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．
7．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是 直角 三角形．
【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】推理填空题． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，则∠C=∠DAC=15°，所以，∠BAD+∠DAC+∠C=90°，即∠B=90°，即可得出； 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD=CD，又∠C=15°， ∴∠C=∠DAC=15°，∠ADB=∠C+∠DAC=30°， 又∠BAD=60°， ∴∠BAD+∠ADB=90°， ∴∠B=90°； 即△ABC是直角三角形； 故答案为：直角．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形的判定，知道线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=4：l，则∠B= 40° ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据DE是AB的垂直平分线可得，AD=BD，即可求出∠BAD=∠ABD，再根据，∠BAE：∠CAD=4：1及直角三角形两锐角的关系解答即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，即∠BAD=∠ABD， ∵∠BAD：∠CAD=4：1， 设∠BAD=x，则∠CAD=， ∵∠BAD+∠CAD+∠ABD=90°，即x++x=90°， 解得：x=40°， ∴∠B=40°． 故答案为40°． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质等几何知识．熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
9．如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2，分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为 5cm ．
【考点】轴对称的性质． 【分析】根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，从而求出△MNP的周长等于P1P2，从而得解． 【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PM=P1M，PN=P2N， ∴△MNP的周长等于P1P2=5cm． 故答案是：5cm． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键． 三、解答题 10．作图题：已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法步骤）
【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题． 【分析】作出∠AOB的平分线；连接MN，作出MN的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点． 【解答】解：点P就是所求的点．
【点评】综合考查基本作图问题；用到的知识点为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
11．如图，在△ABC中，AD是边BC的垂直平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）AD是∠BAC的角平分线吗？为什么？ （2）写出图中所有的相等线段，并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AB=AC，根据等腰三角形的性质得出即可； （2）根据角平分线性质求出DE=DF，证Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等得出AE=AF，即可得出答案．