辽宁省抚顺市重点高中协作校2015_2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)
辽宁省五校协作体2015-2016学年高二上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案
2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷 命题学校：大连八中 命题人：吴 岐 校对人：韩 璐本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋1，则a 5＝( )(A) 7 (B) 9(C) 11(D) 12(2) 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则 ( )(A) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02≤0 (B) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＞0 (C) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＜0(D) ¬p ：∀x ∈R ，x 2≤0(3) 设a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )(A) a 2＋b 2＞ab(B)b －aab＜0 (C) a 2＞b 2(D) 2a ＜2b(4) 数列{}a n 、{}b n 满足b n ＝2a n (n ∈N *)，则“数列{}a n 是等差数列”是“数列{}b n 是等比数 列”的( )(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 在直角坐标平面内，满足方程()y 2＋2||x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 216－y 29＝0的点(x , y )所构成的图形为( )(A) 抛物线及原点 (B) 双曲线及原点 (C) 抛物线、双曲线及原点(D) 两条相交直线(6) 设公差不为零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 4＝2(a 2＋a 3)，则S 7S 4＝ ( )(A) 74(B) 145(C) 7(D) 14(7) 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则有 ( )(A) AB ―→²A 1C 1――→＝(B) AC 1―→²BD 1―→＝0 (C) AB ―→²AC 1―→＝(D) BC ―→²DA 1―→＝a 2a 22a 2(8) 若正实数x ，y 满足不等式2x ＋y ＜4，则x －y 的取值范围是 ( )(A)(B) (－4, 2)(C) (－2, 2](D) [－2, 2)(9) 已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上一点，记点P 到此抛物线准线l 的距离为d 1，点P 到圆 (x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4上点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为 ( )(A) 6(B) 1(C) 5(D) 3 (10) 设各项均为正数的数列{}a n 的前n 项之积为T n ，T n ＝2n 2＋n ，则a n ＋122n 的最小值为 ( )(A) 7 (B) 8(C) 4 3 (D) 2 3(11) 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)， (0,0,1)，⎝ ⎛－13,－13,⎭⎪⎫－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是( )(A) OD ⊥平面ABC(B) 直线OB ∥平面ACD (C) 直线AD 与OB 所成的角是45°(D) 二面角D －OB －A 为45°(12) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且||PF 1＝3||PF 2，则此双曲线的离心率的取值范围为( )(A) (1,2) (B) (2,2](C) (1,2](D) [2,+∞)第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡的横线上．(13) 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0, b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2, 1)，则该双曲线的方程为 ．(14) 已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为⎝⎛－∞ ,⎭⎪⎫－12，则关于x 的不等式bx 2－a ＞0的解集为 ．(15) 已知集合A ＝{}(x , y )|||x ＋||y ≤4，B ＝{}(x , y )|||y －||x ≤0，设集合C ＝A ∩B ，则集合C所对应的平面区域的面积为 ．C(16) 设f (x )是定义域为R 的增函数，∀x , y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，若不等式f (x 2－x －3)＜3的解集为{}x |－2＜x ＜3，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和S n ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分10分)已知条件p ：∃m ∈使不等式a 2－5a ＋5≥m ＋2成立；条件q ：x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． (18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，△PCD 是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，BC ⊥CD ，AD＝2BC ＝22．(Ⅰ)若AB ⊥PB ，求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角P －AB －D 的大小．(19) (本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足2S n ＝3a n －1，其中n ∈N *．(Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设a n b n ＝3nn 2＋n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若T n ＜c 2－2c 对n ∈N *恒成立，求实数c 的取值范围．(20) (本小题满分12分)已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m , 0)(m ＞a )的倾斜角为3π4的直线l 交椭圆与C 、D 两点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． (21) (本小题满分12分)已知数列{}a n ＋1是等比数列，a 3＝3，a 6＝31，数列{}b n 的前n 项和为S n ，b 1＝1，且nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)．(Ⅰ)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式； (Ⅱ)设c n ＝b na n ＋1，数列{}c n 的前n 项和为T n ，若不等式T n ≥m －92n 对于n ∈N *恒成立，求实数m 的最大值． (22) (本小题满分12分)已知双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，离心率为22的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ． (Ⅰ)设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2＝1；(Ⅱ)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1与S 2，且PA ―→²PB ―→≤9，求S 1²S 2的最大值．2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13．x 2－y 2＝1 14．(－2, )2 15．16 16．S n ＝n (n ＋4)3三、解答题 17．解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p ，q 一真一假． 由题设知，对于条件p ∵m ∈，∴m ＋2∈∵不等式a 2－5a ＋5≥1成立， ∴a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分对于条件q∵x 2＋ax ＋2＝0有两个负数解， ∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8≥0x 1＋x 2＝－a ＜0，∴a ≥22 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分若p 真q 假，则a ≤1；若p 假q 真，则22≤a ＜4 ∴a 的取值范围是：a ≤1或22≤a ＜4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 18．解：(Ⅰ)∵平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD∴BC ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC ， 同理AD ⊥PD ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分设等边△PCD 的边长为x ，则Rt △PBC 中，||PB 2＝||PC 2＋||BC 2＝x 2＋(2)2＝x 2＋2Rt △PAD 中，||PA 2＝||PD 2＋||AD 2＝x 2＋(22)2＝x 2＋8直角梯形ABCD 中，||AB 2＝||CD 2＋(||AD －||BC ) 2＝x 2＋(2)2＝x 2＋2∵AB ⊥PB ，∴||PA 2＝||AB 2＋||PB 2∴x 2＋8＝(x2＋2)＋(x2＋2) 解得x ＝2 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分作PE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE∵△PCD 是等边三角形，所以PE ＝3，且E 为CD 中点 由平面PCD ⊥平面ABCD ，同理可得PE ⊥平面ABCD ∴V P－ABCD＝13²PE ²S ABCD ＝13²3²12(2＋22)²2＝6 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)如图，以D 为原点，DA ―→的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (22, 0, 0)，B (2, 2, 0)，P (0, 1, 3)设平面PAB 的一个法向量为n →＝(x , y , z )，由⎩⎨⎧n →²PA ―→＝0n →²AB ―→＝0 得⎩⎨⎧n →²(22,－1,－3)＝0n →²(－2, 2, 0)＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧22x －y －3z ＝0 －2x ＋2y ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝3y 令y ＝1，得n→＝(2,1,3) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分又平面ABCD 的一个法向量p →＝(0, 0, 1) ∴cos<n→,p→>＝n →²p→||n →²||p→＝36＝22²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分结合图形可知，二面角P －AB －D 的大小为π4²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 19．解：(Ⅰ)∵S n ＝32a n －12(n ∈N *) ①当n ＝1，S 1＝32a 1－12，∴a 1＝1当n ≥2，∵S n -1＝32a n -1－12 ②①－②得a n ＝32a n －32a n -1，即a n ＝3a n -1(n ≥2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分又∵a 1＝1，∴a n +1a n＝3对n ∈N *都成立，∴{}a n 是等比数列， ∴a n＝3n -1(n∈N *) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)∵a n b n ＝3nn 2＋n ，∴b n ＝3n 2＋n ，∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝3－3n ＋1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分∵3n ＋1＞，∴T n ＜3对n ∈N*都成立 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分∴3≤c 2－2c ，∴c ≥3或c ≤－1∴实数c 的取值范围为(－∞,－1]∪²＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2． ∵FC―→＝(x 1－1,y 1)，FD―→＝(x 2－1,y 2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分∴FC ―→²FD ―→＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2＝7m 2－8m －177²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 ∵点F 在圆G 的内部，∴FC ―→²FD―→＜0，即7m 2－8m －177＜0， 解得4－3157＜m ＜4＋3157由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0，解得－7＜m ＜7． 又m ＞2，∴2＜m ＜4＋3157．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 21．解：(Ⅰ)由a 3＝3，a 6＝31，得a 3＋1＝4，a 6＋1＝32， ∴a n ＋1＝2n -1，∴a n ＝2n -1－1 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分由nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)得，S n +1n ＋1－S n n ＝12，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以S 11＝1为首项，12为公差的等差数列，则S n n＝1＋12(n －1)，∴S n ＝n (n ＋1)2，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分当n ≥2时，b n ＝S n －S n -1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ， ∵b 1＝1满足该式，∴b n ＝n ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知c n ＝b na n ＋1＝n 2n -1，∴不等式T n ≥m －92n ， 即为1＋22＋322＋…＋n 2n -1≥m －92n ，令R n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n -1，则12R n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，两式相减得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12R n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n -1－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴R n ＝4－n ＋22n -1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分由R n ≥m －92n 恒成立，即4－2n －52n ≥m 恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2n －32n +1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2n －52n ＝2n －72n +1， 故当n ＜3时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递减；当n ＝3时，4－2³3－523＝318； 当n ≥4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递增；当n ＝4时，4－2³4－524＝6116； 则4－2n －52n 的最小值为6116，∴实数m 的最大值是6116²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 22．解：(Ⅰ)依题意可得A (－1, 0)，B (1, 0)．设椭圆M 的方程为x 2＋y 2b2＝1(b ＞1)，因为椭圆M 的离心率为22，所以b 2－1b ＝22，即b 2＝2．所以椭圆M 的方程为x2＋y 22＝1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分证法一：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，直线AP 的斜率为k (k ＞0)， 则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＋y 22＝1整理，得(2＋k 2)x 2＋2k 2x＋k 2－2＝0，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分解得x ＝－1或x ＝2－k 22＋k 2．所以x 2＝2－k 22＋k 2．同理可得，x 1＝2＋k22－k2．∴x 2＝1x 1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分证法二：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)， 则k AP ＝y 1x 1＋1，k AT ＝y 2x 2＋1．∵k AP ＝k AT ， ∴y 1x 1＋1＝y 2x 2＋1，即y 12(x 1＋1)2＝y 22(x 2＋1)2．因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以x 12－y 122＝1，x 22＋y 222＝1．即y 12＝2(x 12－1)，y 22＝2(1－x 22)．所以2(x 12－1)(x 1＋1)2＝2(1－x 22)(x 2＋1)2，即x 1－1x 1＋1＝1－x 2x 2＋1．∴x 2＝1x 1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分- 11 - (Ⅱ)解：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，则PA ―→＝(－1－x 1,－y 1)，PB ―→＝(1－x 1,－y 1)． 因为PA ―→²PB ―→≤9，∴(－1－x 1)(1－x 1)＋y 12≤9，即x 12＋y 12≤10． 因为点P 在双曲线上，则x 12－y 122＝1， 所以x 12＋2x 12－2≤10，即x 12≤4．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，∴1＜x 1≤2．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分因为S 1＝12||AB ||y 2＝||y 2，S 2＝12||OB ||y 1＝12||y 1， ∴S 12²S 22＝y 22²14y 12＝(2－2x 22)(x 12－1)2＝(1－x 22)(x 12－1)． 由(Ⅰ)知，x 2＝1x 1．设t ＝x 12，则1＜t ≤4，S 12²S 22＝t ＋1t－2． 因为f (t )＝t ＋1t在区间(1, 4]上单调递增，f (t )max ＝f (4)． 所以S 12²S 22＝t ＋1t －2≤94即当x 1＝2时，(S 1²S 2)max ＝32²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分。
2015-2016年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．68．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．999．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3] 11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．100812．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab）n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n”；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．其中结论正确的有个．16．（5分）若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a的值为．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z====2+i，则=2﹣i，则对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=a，∴f′（x）=，∴f′（1）=1=，∴a=2，故选：C．4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．【解答】解：【法一】∵（1﹣i）z=，∴z===﹣1，∴|z|=1．【法二】∵（1﹣i）z=，∴|1﹣i|•|z|=，即•|z|=，解得|z|=1．故选：A．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．【解答】解：由f（x）=sin（4x+）+ax，得：f′（x）=4cos（4x+）+a，∴f′（0）=2+a，即曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线的斜率为2+a．又曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，∴2+a=3，解得a=1．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：C．7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：由题意，由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积S=∫01（2x2﹣x+2）dx==．故选：A．8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．99【解答】解：由已知得出：若9+=92×（a，b为正整数），则a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89，故选：A．9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定【解答】解：∵P=+，Q=+1，∴P﹣Q=+﹣﹣1==，∵a1、a2∈（1，+∞），∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0，∴P﹣Q＜0，即P＜Q．故选：C．10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1），可得a2﹣1＞0，解得a＜﹣1或a＞1，∴f′（x）=3ax2﹣4ax+（a+1），△=16a2﹣12a（a+1）≤0时，即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件综上，函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．故选：D．11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．1008【解答】解：观察下列数的规律图：12343456745678910…知：第1行各数之和是1=12=（2×1﹣1）2，第2行各数之和是2+3+4=32=（2×2﹣1）2，第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=（2×3﹣1）2，第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=（2×4﹣1）2，∴第n行各数之和是（2n﹣1）2，由20152=（2n﹣1）2，解得n=1008．故选：D．12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）【解答】解：∵y=f（x﹣3）为奇函数，∴f（0）=f（3﹣3）=﹣f（﹣3﹣3）=﹣f（﹣6）=3设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，又∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0．∴y=g（x）单调递增．由f（x）＜3e x．即g（x）＜3．又∵g（0）==3，∴g（x）＜g（0）∴x＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数1+m3=0∴m=﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=﹣．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+2x ﹣1的导数为：f ′（x ）=3ax 2+2，f ′（1）=3a+2，而f （1）=a+1，切线方程为：y ﹣a ﹣1=（3a+2）（x ﹣1）， 因为切线方程经过（3，4）， 所以4﹣a ﹣1=（3a+2）（3﹣1），解得a=﹣． 故答案为：﹣．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab ）n =a n b n ”类比推理出“（a+b ）n =a n +b n ”；②已知直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ． 其中结论正确的有 0 个．【解答】解：当n=2时，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2，故①错； 当=，向量与不一定平行，故②错；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故③错． 故答案为：0．16．（5分）若函数f （x ）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a 的值为．【解答】解：由f （x ）=lnx+（x ＞0），得f ′（x ）=﹣=，f ′（x ）=0则x=a ，若a ＜1，则f （x ）min =f （1）=a=，不满足题意；若a ＞e ，则f （x ）min =f （e ）=1+=，则a=＜e ，不合题意；若e ≥a ≥1，则f （x ）min =f （a ）=lna+1=，则a=＜e ，满足题意；故答案为：．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．【解答】解：复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，可得：a2﹣1=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=1．a的值为：1；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得：a2﹣1＞﹣a2+3a﹣2≠0，解得a＞1或a且a≠2．a的取值范围：（﹣∞，）∪（1，2）∪（2，+∞）．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=25，∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a﹣4b）+（4a+3b）i，∴，解得或．∴z=4+3i或z=﹣4﹣3i．（2）证明：∵m＞0，∴1+m＞0，欲证（）2≤成立，只需证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，显然（a﹣b）2≥0恒成立，∴（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．【解答】解：由f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，则f′（x）=sinx+xcosx+acosx﹣（ax+b）sinx=（x+a）cosx﹣（ax+b﹣1）sinx，与f′（x）=xcosx﹣sinx比较可得：，可得．∴a=0，b=2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a ≤（x ﹣），当x≥1时，令g（x）=（x ﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．∴a≤0．（2）∵x=3是f（x）的极值点∴f′（3）=0，即27﹣6a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x有极大值点x=﹣，极小值点x=3．此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=﹣18，最大值是：f（1）=﹣6，（因f（a）=f（4）=﹣12）．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S1=a1=，S2=（2×4﹣2）（S2﹣S1），∴S2=，S3=（2×9﹣3）（S3﹣S2），∴S3=，S4=（2×16﹣4）（S4﹣S3），∴S4=（2）由（1）的计算可猜想S n =，下面用数学归纳法证①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即S k =，则当n=k+1时，S k+1=[2×（k+1）2﹣（k+1）]（S k+1﹣S k），第11页（共13页）∴（2k2+3k）S k+1=k（k+1），∴S k+1==，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n =．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=e x﹣（1+a），由∅′（x）=0得：e x=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．第12页（共13页）故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）第13页（共13页）。
精品：辽宁省瓦房店市高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数2(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ． 4B ． 4-C ． 4iD ． 4i - 【答案】A 【解析】试题分析：2(12)=1+4i-4=-3+4i i +，所以虚部为4 考点：复数运算2.已知集合211{|(),}2xA y y x R +==∈，则满足AB B ⋂=的集合B 可以是（ ）A ．1{0,}2B ．{|11}x x -≤≤C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x > 【答案】C 【解析】试题分析：2111{|(),}|022x A y y x R y y +⎧⎫==∈=<≤⎨⎬⎩⎭，所以集合B 可以是1{|0}2x x <<考点：集合运算 3.式子)(sin 21cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ） A.34 B.32 C. 43D.23【答案】C 【解析】试题分析：利用不等式()22221141144,2cos 2sin 34sin cos x y x y θθθθ+≥+≥=+---+，当且仅当22sin cos θ=θ，即24k ππθ=+ (k ∈Z)时，等号成立，故选A 考点：基本不等式4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺 【答案】B 【解析】试题分析：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，()1303030515,1902a a S ⨯+==∴==（尺）． 考点：等差数列的前n 项和5.设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//； 【答案】B考点：线面平行垂直的判定与性质6.某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为（ ）A ．48B ．64C ．96D ．128【答案】C【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱， ∵它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C ，11116,2O A O C ==， ∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：， ∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形， 棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96 考点：由三视图求面积、体积7.在平面直角坐标系xOy 中，过定点)1,1(Q 的直线l 与曲线1-=x xy 交于N M 、点，则 =⋅-⋅OQ MO OQ ON （ ）A.2B.4C.6D.8 【答案】B 【解析】试题分析：：∵曲线C ：1111x y x x ==+--， ∴曲线C 的图象关于点（1，1）成中心对称， ∴Q 是线段MN 的中点，故()224ON OQ MO OQ OQ OM ON OQ -=+== 考点：平面向量数量积的运算8.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）A ．24种B ．18种C ．48种D ．36种 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，第一类，一年级的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为233C =，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为11224C C =，故有3×4=12种．第二类，一年级的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为133C =，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为11224C C =，这时共有3×4=12种根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式 考点：计数原理的应用9.已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，222||OF OF =⋅，若椭圆的离心率等于22，则直线OA 的方程是( ) A ．x y 21=B ．x y 22=C ．x y 23= D ． x y = 【答案】B 【解析】试题分析：设2F （c ，0），令x=c ，代入椭圆方程可得2b y a =±=±，由222||OF OF =⋅，即为2222cos OA OF AOF OF ∠=，则22cos OA AOF OF ∠=，即有212AF F F ⊥，可得A （c ，2b a ），又c e a ==，可得22221b a c e ac ac e --===，则直线OA 的方程为2b y x ac=，即为y = 考点：椭圆的简单性质10.若执行右面的程序框图，则输出的k 值是 ( ) A ．7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】D 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：3,0,10,1,108,5,2,58,n k n k n k ========16,3,168,8,4,88n k n k ======成立，输出4k =考点：程序框图11.设,x y 满足010,3220y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩若2210y x x z +-=的最小值为12-， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．23<a B ．23-<a C ．21≥a D ．21-≤a 【答案】D 【解析】试题分析：由题意作平面区域如下，∵()222210525z x x y x y =-+=-+-的最小值为-12，∴()225x y -+的最小值为13，直线ax+y-1=0恒过点A （0，1），直线312y x =-与圆()22513x y -+=相切于点B （2，2）； ∵ax+y-1=0可化为y=-ax+1，故-a ≥k=12， 故12a ≤-考点：简单线性规划12.已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>⎪⎩，点,A B 是函数()f x 图像上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π【答案】A 【解析】试题分析：当x ≤0时，由y =2291y x -=，（x ≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x ，此时渐近线的斜率1k =-3， 当x ＞0时，()11x f x xe -=+，当过原点的直线和f （x ）相切时，设切点为()1,1a a ae-+，函数的导数()()'1111x x x fx e xe x e ---=+=+，则切线斜率()()'121a k fa a e -==+，则对应的切线方程为()()()1111a a y ae a e x a ---+=+-，即()()()1111a a y a ex a ae --=+-++，当x=0，y=0时，()()()11110a a a e x a ae --+-++=，即21111a a a a eae ae ---+=+，即211a a e-=，得a=1，此时切线斜率22k =，则切线和y=-3x 的夹角为θ， 则32tan 1123θ--==-⨯，则4πθ=，故∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是(0,)4π考点：分段函数的应用第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,夹角为︒45,1210a b +=，则_______考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模14.设随机变量)1,10(~N X ，a X P =<≤)109(，其中dx xa 14191⎰=，则=≥)11(X P _____【答案】61 【解析】试题分析：114411991|3a ===⎰，∴P （9≤x ＜10）=13． ∴随机变量X ～N （10，1）， ∴曲线关于X=10对称，∴P （X ≥11）=P （X ≤9）=0.5-P （9≤x ＜10）=61考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；定积分15.62)2)(3(xx x -+展开式中常数项为__________. 【答案】240- 【解析】试题分析：()()2626422462(3)()=3126016024019261x x x xx x x x x x---+-+-+-+-+，∴它的展开式中常数项为240+3×（-160）=-240 考点：二项式定理的应用 16.已知函数R x x e x f x x ∈-=+,2sin 21)()cos (sin ,则函数)(x f 的最大值与最小值的差是______．【答案】e -【解析】试题分析：设sin cos t x x t ⎡=+∴∈⎣，所以函数式化为()()()2''11022t t f t e t f x e t f x =-+∴=-∴>恒成立，函数单调递增，所以最大值为f，最小值为(f ，所以(e ff -=-考点：函数导数与单调性最值三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（1）详见解析（2）4 【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A 的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B 的正切函数值即可 试题解析：（1）根据正弦定理，设sin a A =sin b B =sin cC=k(k>0)． 则a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C ． 代入cos A a +cos B b =sin C c 中，有cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin Ck C，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C ， 所以sin Asin B=sin C ．………………6分（2）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有cos A=2222b c a bc +-=35．………8分所以=45．………………9分 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ， 故tan B=sin cos BB=4．………………12分 考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理18.某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图. （1）估计直方图中网购金额的中位数；（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）13（2） 1.74EX = 【解析】试题分析：（1）设中位数是x ，由频率分布直方图的性质能估计直方图中网购金额的中位数．（2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从B （3，0.3），所以X 可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望试题解析：（1）设中位数是x ，则5.01.0)10(04.05=⨯-+⨯x 13=∴x …………4分 （2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从)3.0,3(B ，所以X 可能取值为3,1，且37.07.03.0)3(303333=+==C C X P , …………………6分 63.07.03.07.03.0)1(12232113=⋅+⋅==C C X P ………8分所以X 的分布列为……………………………10分数学期望74.137.0363.01=⨯+⨯=EX ……………………………12分 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差19.如图四棱锥P ABCD -的底面是一等腰梯形，其中//AD BC ，其中36AD BC ==，AB DC ==，又平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==，点O 是线段AD 的中点，经过直线OB 且与直线PA 平行的平面OBM 与直线PC 相交于点M ． （1）确定实数t ，使得PM tMC = ； （2）求平面PAD 与平面OBM 夹角的余弦值．【答案】（1）32（2 【解析】试题分析：（1）连结AC ，设AC ∩OB=N ，则平面PAC ∩平面OBM=MN ，由此推导出△ONA ∽△BNC ，从而能求出t 的值．（2）由已知条件推导出PO ⊥平面ABCD ，设线段BC 的中点为E ，以点O 为原点，OA ，OE ，OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD 与平面OBM 夹角的余弦值 试题解析：（1）连接AC ，设AC OB N ⋂=，则平面PAC ⋂平面OBM MN =， 因为//PA 平面OBM ，所以//MN PA ， 因此PM ANt MC NC==， 又//BC AD ，所以PM AN t MC NC ==32AO CB ==；………………5分（2）因为PA PD =，所以PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设线段BC 的中点为E ，由ABCD 是等腰梯形，所以OE AD ⊥，如图以点O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．因为4OP ==，2OE ==所以(3,0,0),(1,2,0),(1,2,0)A B C -，(3,0,0)D -，(0,0,4)P ，………7分平面PAD 的法向量(0,1,0)m =，设平面OBM 的法向量(,,)n x y z =，由20n OB x y ⊥⇒+=，由（1）得340n PA x z ⊥⇒-=，令1x =，得13,24y z =-=，即13(1,,)24n =-，………10分所以cos ,m n <>== 所以平面PAD 与平面OBM．………………………12分 考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AP,AQ 分别与y 轴 交于点M,N ，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标； 若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=（2）定点(1,0)-，(1,0). 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得222,a b c c a ab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，从而解得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）易知，0)，设M （0，m ），N （0，n ），P ()00,x y ，从而可得220013x y +=，且Q ()00,x y --，()()003,,3,AP x y AM m =-=-，从而化简可得m n ==假设存在满足题意的x 轴上的定点R （t ，0）化简可得2202033y t x =--，再结合220033y x =-解得令0=x 得)33,0(00--x y M ，)33,0(00+-x y N …………6分假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅= (8)分所以20t =，整理，得2202033y t x =--，……10分又由220013x y +=得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). …………12分考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的位置关系的判断与应用21.已知函数()()e ln 1.xf x x =++ （1）求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≥+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）21y x =+（2）(],2-∞【解析】试题分析：（1）由函数在0x =处的导数值求得切线的斜率，从而由点斜式得到直线方程；（2）将不等式()1f x ax ≥+恒成立转化为函数1)1ln(1)()(--++=--=ax x e ax x f x F x 的函数值()0F x ≥，从而只需要满足函数的最小值()min 0F x ≥即可试题解析：（1） ()11x f x e x '=++，∴()010201f e '=+=+ 又切点)1,0(∴()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+. …………4分（2）令1)1ln(1)()(--++=--=ax x e ax x f x F x 则a x e x F x -++=11)('，2)1(1)(''+-=x e x F x …………6分 )(''x F 在[)+∞,0上递增，0)0('')(''=≥∴F x F ，)('x F ∴在[)+∞,0上递增，a F x F -=≥∴2)0(')('…………8分①若2a ≤，则0)('≥x F ，)(x F ∴在[)+∞,0上递增，0)0()(min ==∴F x F此时不等式()1f x ax ≥+成立…………9分②若2a >，设0)('=x F 的根为0x （00>x ），则在),0(0x ，0)('<x F ；在),(0+∞x ，0)('>x F)()(0min x F x F =∴，又0)0(=F ，)(0x F ∴一定小于0，不合题意舍…………11分综上， a 的取值范围为(],2-∞.…………12分考点：函数导数的几何意义；函数导数与单调性最值22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点C 作AC 的垂线，交AD 的延长线于点E .（1）求证：CDE ∆为等腰三角形；（2）若212==CE BC AD ，，求⊙O 的面积.【答案】（1）详见解析（2）54π 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接线段DB ，推出∠DAB=∠BDC ，说明BD ⊥AE ，证明∠CDE=∠AEC ，即可．（Ⅱ）说明CD=CE ，通过2CD CB CA =，得到12CB CE CE CA ==．利用Rt △ABD ∽Rt △AEC ，故12CE BD CA AD ==，然后求解⊙O 的面积试题解析：（1）连接线段DB ， 因为DC 为⊙O 的切线，所以DAB BDC ∠=∠，……3分又因为AB 为⊙O 的直径，BD AE ⊥，所以90CDE CDB DAB AEC ∠+∠=∠+∠=, …………4分所以CDE AEC ∠=∠，从而CDE ∆为等腰三角形. …………5分（2）由（Ⅰ）知CE CD =, 因为DC 为⊙O 的切线， 所以CA CB CD ⋅=2, ……7分所以CA CB CE ⋅=2，即21==CA CE CE CB . …………8分 又ABD Rt ∆∽AEC Rt ∆，故21==AD BD CA CE .…………9分因为2=AD ，所以1=BD ，5=AB，254S ππ==,所以⊙O 的面积为54π. …………10分 考点：与圆有关的比例线段23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C .(1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.【答案】(1) 2sin ρθ=(2) [0,1]【解析】试题分析：（I ）曲线1C 的方程是ρ=1，即21ρ=，利用222x y ρ=+，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线2C ：()2211x y +-=，展开利用222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩即可得到曲线C2的极坐标方程．（II ）设T （cos θ，sin θ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：cos cos sin sin x t y t θαθα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2C 的方程化为：()22cos sin 12sin 0t t θααθ+--+-=⎡⎤⎣⎦，利用|TM|•|TN|=|12t t |及其三角函数的单调性即可得出试题解析：（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ， 所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).…………………7分 代入2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分 ∴012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分考点：简单曲线的极坐标方程24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.（1）当1=a 时，解不等式()5≥x f ；（2）若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.【答案】（1）{34|-≤x x 或}2≥x （2）71a -<<- 【解析】试题分析：（1）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f （x ）≥5；（2）求出f （x ）+|x-2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f （x ）+|x-2|）min ＜3即可求a 的取值范围试题解析：（1）当1=a 时，122)(++-=x x x f .由5)(≥x f 得5122≥++-x x .当2≥x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，解得2≥x ，所以2≥x ； …1分 当221<<-x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，即2≥x ，所以x ∈∅；…2分 当21-≤x 时，不等式等价于5122≥---x x ，解得34-≤x ，所以34-≤x ....3分 所以原不等式的解集为{34|-≤x x 或}2≥x . ............5分 （2）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f .............7分 因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， ............9分 所以43a +<，所以71a -<<- (10)考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
2015-2016学年山西省重点中学协作体高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）期末数学试卷一、填空题（每空5分，共20分）1．（5分）已知直线l1：ax+y+3＝0，l2：x+（2a﹣3）y＝4，l1⊥l2，则a＝．2．（5分）若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z＝x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为．3．（5分）在△ABC中，若边长和内角满足b＝，c＝1，B＝45°，则角C的值是．4．（5分）椭圆（a＞b＞0）的右顶点为A，上、下顶点分别为B2、B1，左、右焦点分别是F1、F2，若直线B1F2与直线AB2交于点P，且∠B1P A为锐角，则离心率的范围是．二、选择题（每空5分，共60分）5．（5分）已知集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），B＝{x|log2（x+2）≤3}，则A∩B＝（）A．（2，6）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，6]C．（﹣2，﹣1）∪（2，6]D．（3，6]6．（5分）已知复数z＝1﹣i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i7．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x），是它的导函数，且恒有sin x•f′（x）＞cos x•f（x）成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（）＞f（）C．f（）＞2f（）D．f（）＜f（）8．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“m＝1”是“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x＝y，则sin x＝sin y”的逆命题为真命题9．（5分）已知向量＝（3，1），＝（1，3），＝（k，﹣2），若（）∥，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…一直数到2016时，对应的指头是（）A．小指B．中指C．食指D．大拇指11．（5分）对于函数f（x）＝tan2x，下列选项中正确的是（）A．f（x）在（﹣，）上是递增的B．f（x）在定义域上单调递增C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的所有对称中心为（，0）12．（5分）已知a＞0，b＞0满足a+b＝1，则的最小值为（）A．12B．16C．20D．2513．（5分）已知，，那么cosα等于（）A．B．C．D．14．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2B．C．2D．215．（5分）双曲线﹣＝1与直y＝﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为（）A．0B．1C．0或1D．0或1或2 16．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．4B．11C．13D．15三、简答题17．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝4，a6+a8＝18．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin cos+2cos2．（I）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）若f（B）＝3，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB＝60°，AA1＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面AB1D1；（II）求三棱锥A﹣CB1D1的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝1．（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；（II）若从圆C1的圆心发出一束光线经直线x﹣y﹣3＝0反射后，反射线与圆C2有公共点，试求反射线所在直线的斜率的范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xe ax+lnx﹣e（a∈R）．（I）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）设g（x）＝lnx+﹣e，若函数h（x）＝x•[f（x）﹣g（x）]在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB 上，DE⊥EB，且，AE＝6．（I）判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系并说明理由；（II）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]24．（I）求|2x﹣1|+|2x+3|＜5的解集；（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件．2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空5分，共20分）1．【解答】解：∵直线l1：ax+y+3＝0，l2：x+（2a﹣3）y＝4，l1⊥l2，∴a+（2a﹣3）＝0，解得a＝1．故答案为：1．2．【解答】解：z＝x2+y2+6x﹣2y+10＝（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4＝0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝，则z＝（）2＝18，故答案为：183．【解答】解：由正弦定理可得，∴＝＝，∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝30°．故答案为：30°．4．【解答】解：由题意，∠B1P A就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则＝（a，﹣b）、＝（﹣c，﹣b），由向量的夹角为锐角，知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2＝a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＜0，解得＜e＜，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：0＜e＜．二、选择题（每空5分，共60分）5．【解答】解：集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），B＝{x|log2（x+2）≤3}＝{x|0＜x+2≤23}＝{x|﹣2＜x≤6}＝（﹣2，6]；所以A∩B＝（﹣2，﹣1）∪（2，6]．故选：C．6．【解答】解：由复数z＝1﹣i，得﹣z2＝＝，则﹣z2的共轭复数是：1﹣3i．故选：A．7．【解答】解：由f′（x）sin x＞f（x）cos x，则f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，构造函数g（x）＝，则g′（x）＝，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，）上单调递增，∴g（）＜g（），∴f（）＜f（），故选：D．8．【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m＝1”是“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my＝0和直线x+my＝0互相垂直”的充要条件是m2＝1，即m＝±1．对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x＝y⇔sin x＝sin y”，所以逆命题为真命题是正确的．故选：D．9．【解答】解：∵＝（3，1），＝（1，3），＝（k，﹣2），∴＝（k﹣3，﹣3），∵（）∥，∴3（k﹣3）＝1×（﹣3），∴k＝2，∴＝3×2+1×（﹣2）＝4，∴||＝，||＝2，∴cos＜，＞＝＝＝，故选：A．10．【解答】解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，其中n∈Z，又∵2013＝251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．故知数到2016时对应的指头是食指．故选：C．11．【解答】解：x＝﹣时，函数没有意义，A不正确；正切函数在定义域上不是单调函数，B不正确；函数f（x）＝tan2x的周期为：，所以C不正确；（，0）是函数的对称中心，所以D正确．故选：D．12．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足a+b＝1，则＝＝10+≥10+2＝16，当且仅当，即a＝，时，等号成立．故的最小值为16，故选：B．13．【解答】解：，，可得＝．cosα＝cos（α+﹣）＝+＝＝．故选：B．14．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为SD＝2，底面三角形边长BC＝2，高AD＝2；∴该三棱锥的最长棱是SA＝＝＝2．故选：C．15．【解答】解：由双曲线﹣＝1，得到a＝3，b＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，当m＝0时，直线y＝﹣x与双曲线没有公共点；当m≠0时，直线y＝﹣x+m与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，综上，双曲线﹣＝1与直y＝﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为0或1，故选：C．16．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝0+lg+lg+lg+…+lg的值，且当S＞1时，终止循环；又S＝lg+lg+lg+lg＝lg15＞1，所以，跳出循环时的i值为4，即输出i＝4．故选：A．三、简答题17．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝4，a6+a8＝18．∴，解得：a1＝3，d＝1，故数列{a n}的通项公式为a n＝3+（n﹣1）＝2+n．（II）设数列的前n项和为S n，，∴，∴，化为．18．【解答】解：（I）由已知可得：，所以f（x）的最小正周期为2π．由，k∈Z，得，k∈Z．因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．（II）在△ABC中，若f（B）＝3，求得sin（B+）＝1，故．由sin C＝2sin A及，得c＝2a．由b＝3及余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得9＝a2+c2﹣ac，将c＝2a代入得，求得，故．19．【解答】证明：（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵，，∴．∴AOFE是平行四边形，∴EF∥OA，而EF⊄平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1；∴EF∥平面AB1D1．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．则＝，＝+＝2，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴＝＝×2×2＝，∴＝．20．【解答】解：（I）由于直线x＝4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y＝k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d＝1∴d＝＝1，从而k（24k+7）＝0即k＝0或k＝﹣∴直线l的方程为：y＝0或，即y＝0或7x+24y﹣28＝0．（II）圆C1的圆心（﹣3，1）经直线x﹣y﹣3＝0对称后的点记为A（4，﹣6），设反射光线所在的直线的斜率为k，则反射光线所在的直线方程为y+6＝k（x﹣4）⇒kx﹣y ﹣4k﹣6＝0．圆C2的圆心（4，5）．直线与圆C2有公共点即直线与圆相交或相切，则⇒⇒k2≥120⇒或．21．【解答】解：（I）y＝f（x）的定义域为（0，+∞），∵a＝1，∴f（x）＝xe x+lnx﹣e，f（1）＝0，∴，∴f'（1）＝2e+1，所以函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（2e+1）（x﹣1）；（II）＝x2e ax﹣1在定义域内存在两个零点，即x2e ax﹣1＝0在（0，+∞）有两个零点．令φ（x）＝x2e ax﹣1，φ'（x）＝ax2e ax+2xe ax＝xe ax（ax+2），i、当a≥0时，φ'（x）＝xe ax（ax+2）＞0，∴y＝φ（x）在（0，+∞）上单调递增，由零点存在定理，y＝φ（x）在（0，+∞）至多一个零点，与题设发生矛盾．ii、当a＜0时，xe ax（ax+2）＝0，则，因为φ（0）＝﹣1，当x→+∞，φ（x）→﹣1，所以要使φ（x）＝x2e ax﹣1在（0，+∞）内有两个零点，则即可，得，又因为a＜0，所以．综上，实数a的取值范围为．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】解：（I）取BD的中点0，连结OE，如图，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线．（II）设△BDE的外接圆的半径为r．在△AOE中，OA2＝OE2+AE2，即，解得，∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0；由ρ＝﹣4cosθ，得ρ2＝﹣4ρcosθ，即x2+y2＝﹣4x．两式作差得：x+y＝0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|＝，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ）由|2x﹣1|+|2x+3|＜5，可得①，②，，③，解①求得x∈∅，解②求得﹣≤x＜，解③求得≤x＜，综上可得，不等式|2x﹣1|+|2x+3|＜5的解集为{x|﹣≤x＜}；（Ⅱ）证明：∵a，b，c均为正实数，∴（+）≥≥，当且仅当a＝b时等号成立；（+）≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；（+）≥≥，当且仅当a＝c时等号成立；三个不等式相加，得，当且仅当a＝b＝c时等号成立．。
辽宁省抚顺市重点高中协作校2015-2016学年高二下学期
抚顺市协作校2015—2016学年度下学期期末考试高二政治试卷参考答案一、单选题（每小题2分，共48分）1、B A D A C 6、D A C A D11、D B D B B 16、A B A A C21、A D A C二、非选择题（共52分）25、（共12分）（1）实践是认识的基础,要在实践的基础上追求和发展真理。
中国计划生育政策的调整是顺应时代和社会发展的要求，在深入调研和论证后出炉的。
（4分）（2）真理是具体的有条件的，要坚持主观与客观、理论与实践的具体的历史的统一。
随着社会的发展，计划生育政策始终在不断的调整和完善。
（4分）（3）认识具有反复性、无限性，追求真理是永无止境的过程。
要在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理。
随着社会发展，计划生育政策将会继续调整完善，以利于促进人口长期均衡发展。
（4分）26、（共26分）（1）（12分）①矛盾具有特殊性，矛盾着的事物及其每一个侧面各有其特点。
该剧在题材、编剧等方面，体现了各自的特点。
（4分）②把握同一事物在发展的不同阶段的不同矛盾。
题材选择上由过去的单纯情感纠葛上升到国家层面。
（4分）③把握同一矛盾两个方面的特殊性。
既注重了艺术方面的变现力，又实现了商业利益，恰当地处理好艺术表现与商业利益的关系。
（4分）（2）（14分）①辩证的否定，是事物自身的否定，即自己否定自己，自己发展自己。
辩证的否定，既是联系的环节，又是发展的环节。
借鉴韩剧模式，要在把握好主旋律的基础上，有所创新。
（4分）②辩证否定的实质是“扬弃”。
借鉴韩剧模式，要取其精华，弃其糟粕。
（3分）③唯物辩证法的革命批判精神要求我们自觉树立创新意识。
题材选择在创新中吸纳流行文化元素，积极探索新的演员培养、剧本创作模式。
（3分）④要密切关注变化发展的实际，敢于突破与实际不相符合的成规陈说，敢于破除落后的思想观念；注重研究新情况，善于提出新问题，敢于寻找新思路，确立新观念，开拓新境界。
2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一(下)期末数学试卷
2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角2．（5分）点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2，1） B．（﹣3，2，﹣1） C．（﹣3，2，1）D．（﹣3，﹣2，﹣1）3．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”4．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，则α﹣β的值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC 的重心，则用向量表示为（）A．B．C．D．6．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）A．=1.23x+4 B．=1.23x﹣0.08 C．=1.23x+0.8 D．=1.23x+0.087．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9 B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．8．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s2 9．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1610．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期是2π②函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度得到③函数f（x）的图象关于直线x=对称④函数f（x）在区间[]上是增函数．A．3 B．2 C．1 D．011．（5分）已知k∈R，=（k，1），=（2，4），若||＜，则△ABC是钝角三角形的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）如图，点P是圆C：x2+（y﹣2）2=1上的一个动点，点Q是直线l：x﹣y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（）A．3 B．C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是．14．（5分）已知平面向量与满足||=1，||=，且＜+，﹣＞=，则||=．15．（5分）若sin（x +）=，则sin （﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）=．16．（5分）关于平面向量，有下列四个命题：①若．②=（1，1），=（2，x），若与平行，则x=2．③非零向量和满足||=||=||，则与的夹角为60°．④点A（1，3），B（4，﹣1），与向量同方向的单位向量为（）．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关．”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响，从而不顾及交通安全．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知“跟从别人闯红灯”的人中抽取45 人，求n的值；（II）在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均是女生的概率．18．（12分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量，．（Ⅰ）求使得事件“”发生的概率；（Ⅱ）求使得事件“”发生的概率；（Ⅲ）使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率．19．（12分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=．（I）求f（x）的对称轴方程；（II）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；（III）若对任意实数，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．（I）若k AM=2，k AN=﹣，求△AMN的面积；（II）过点P（3，﹣5）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求．22．（12分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的斜率为k，0≤k ≤．求：当|BC|取最大值时，边AB所在直线的斜率的值．2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【解答】解：由，知sinθ≠0且cosθ＜0，故θ为第二或第三象限角．故选：B．2．（5分）点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2，1） B．（﹣3，2，﹣1） C．（﹣3，2，1）D．（﹣3，﹣2，﹣1）【解答】解：根据点的对称性，点M（3，﹣2，1）关于平面yOz的对称点是：（﹣3，﹣2，1）；故选：A．3．（5分）某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【解答】解：A中的两个事件是包含关系，故不符合要求．B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求故选：C．4．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，则α﹣β的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=•﹣•=﹣，再根据α﹣β∈（﹣，），可得α﹣β=﹣，故选：C．5．（5分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC 的重心，则用向量表示为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，；∴==．故选：A．6．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）A．=1.23x+4 B．=1.23x﹣0.08 C．=1.23x+0.8 D．=1.23x+0.08【解答】解：设回归直线方程为=1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a∴a=0.08∴回归直线方程为=1.23x+0.08故选：D．7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9 B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：过M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，又|CD|=2，∴|CB|=，由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，在直角三角形BC中，根据勾股定理得：b2=a2+（）2，①又把圆心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②联立①②，解得：a=﹣2，b=﹣3，所以圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径r=|﹣3|=3，则所求圆的方程为：（x+2）2+（y+3）2=9．故选：A．8．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s2【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，2s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B．9．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．16【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，x=0满足条件k≤15，执行循环体，y=0，x=，k=1满足条件k≤15，执行循环体，y=1，x=π，k=2满足条件k≤15，执行循环体，y=0，x=，k=3满足条件k≤15，执行循环体，y=﹣1，x=2π，k=4满足条件k≤15，执行循环体，y=0，x=，k=5满足条件k≤15，执行循环体，y=1，x=3π，k=6…观察规律可知，y的取值周期为4，由于，15=4×3+3，可得满足条件k≤15，执行循环体，y=﹣1，x=8π，k=16此时，不满足条件k≤15，退出循环，输出y的值为﹣1．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期是2π②函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度得到③函数f（x）的图象关于直线x=对称④函数f（x）在区间[]上是增函数．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象知，=﹣（﹣）=，∴T=π，ω=2；令2×（﹣）+φ=0，解得φ=；∴f（x）=sin（2x+）；∴函数f（x）的最小正周期是π，①错误；g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，不是f（x）的图象，②错误；当x=时，f（）=sin（2×+）=1，∴函数f（x）的图象关于直线x=对称，③正确；当x∈[]时，2x+∈[，]，函数f（x）单调递减，④错误；综上，正确的命题是③．故选：C．11．（5分）已知k∈R，=（k，1），=（2，4），若||＜，则△ABC是钝角三角形的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵||=＜，∴﹣3＜k＜3，∵=﹣=（2﹣k，3），若＜0，即2k+4＜0，解得﹣3＜k＜﹣2，若•＜0，即k（k﹣2）﹣1×3＜0，解得﹣1＜k＜3，若•＜0，即2（2﹣k）+3×4＜0，解得k＞8舍去，∴△ABC是钝角三角形的概率P==，故选：D．12．（5分）如图，点P是圆C：x2+（y﹣2）2=1上的一个动点，点Q是直线l：x﹣y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（）A．3 B．C．D．1【解答】解：设夹角为θ，则向量上的投影等于cosθ，若取得最大值则首先θ为锐角．设P（x，y），不妨取Q（1，1），则根据向量数量积的运算得出cosθ==①由于P是圆上的一个动点，设②将②代入①得出cosθ=（cosα+sinα+），而cosα+sinα的最大值为，所以cosθ≥=3故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600．【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6合格的人数=0.6×1000=600故答案为：60014．（5分）已知平面向量与满足||=1，||=，且＜+，﹣＞=，则||=．【解答】解：根据条件；即①；②，③；∴①②③联立便可求出，；∴==10；∴=．故答案为：．15．（5分）若sin（x+）=，则sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）=．【解答】解：因为sin（x+）=，所以sin（﹣x）=sin（π﹣﹣x）=sin（x+）=，sin（﹣x）=sin[﹣（x+）]=cos（x+），则sin2（﹣x）=cos2（x+）=1﹣sin2（x+）=，cos（2x+）=cos2（x+）=1﹣2sin2（x+）=，所以sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）==，故答案为：．16．（5分）关于平面向量，有下列四个命题：①若．②=（1，1），=（2，x），若与平行，则x=2．③非零向量和满足||=||=||，则与的夹角为60°．④点A（1，3），B（4，﹣1），与向量同方向的单位向量为（）．其中真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：①若•=•，即有•（﹣）=0，则=或﹣=，或⊥（﹣），故①错；②=（1，1），=（2，x），若与平行，即有（3，x+1）∥（6，4x﹣2），可得3（4x﹣2）=6（x+1），解得x=2．故②正确；③非零向量和满足||=||=||，以，为边对应的四边形为一个角是60°的菱形，则与的夹角为30°．故③错；④点A（1，3），B（4，﹣1），=（3，﹣4），可得与向量同方向的单位向量为=（）．故④正确．故答案为：②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关．”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响，从而不顾及交通安全．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知“跟从别人闯红灯”的人中抽取45 人，求n的值；（II）在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均是女生的概率．【解答】（本小题满分10分）解：（I）由题意得，，解得n=100．…（2分）（II）由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…（4分）其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：（AB1），（AB2），（AB3），（B1B2），（B1B3），（B2B3），共有6个．…（6分）这两人均是女生的基本事件为（B1B2），（B1B3），（B2B3），共有3个．…（8分）故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为．…（10分）18．（12分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量，．（Ⅰ）求使得事件“”发生的概率；（Ⅱ）求使得事件“”发生的概率；（Ⅲ）使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率．【解答】解：（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）使得，即m﹣3n=0，即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），所以求使得的概率（4分）（Ⅱ）即m2+n2≤10，共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种使得的概率（8分）（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得，，即，共有，5种，所以直线与圆（x﹣3）2+y2=1相交的概率（12分）19．（12分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=．（I）求f（x）的对称轴方程；（II）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；（III）若对任意实数，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（I）…（1分）=…（2分）令，解得．∴f（x）的对称轴方程为．…（4分）（II）由f（x）≥1得，即…（5分）∴．故x的取值集合为．…（7分）（III）∵，∴…（8分）又∵上是增函数，∴…（9分）又，∴时的最大值是…（10分）∵f（x）﹣m＜2恒成立，∴m＞f（x）max﹣2，即…（11分）∴实数m的取值范围是．…（12分）20．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）=∵x∈[0，]，∴cosx＞0，∴=2cosx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，则∵，∴t∈[0，1]即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得λ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．综上λ=为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．（I）若k AM=2，k AN=﹣，求△AMN的面积；（II）过点P（3，﹣5）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求．【解答】解：（I）∵，∴，∴．…（2分）∵…（4分）∴．…（6分）（II）∵，．∴…（8分）又∵…（10分）∴．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的斜率为k，0≤k ≤．求：当|BC|取最大值时，边AB所在直线的斜率的值．【解答】解：设边AB所在直线的倾斜角为θ，则∴…（2分）∴|BC|=|cosθ﹣cos（θ+）|+|sinθ﹣sin（θ+）|==…（6分）∵，∴|BC|==sin（θ+）…（8分）∵，∴当θ+=时，即θ=时，|BC|取得最大值，…（10分）此时，∵（或由求k）∴，∴．…（12分）。
2015-2016年辽宁省实验中学分校高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）命题“?x0∈R，x0+1＜0或”的否定形式是（）A．?x0∈R，x0+1≥0或B．?x0∈R，x0+1≥0或C．?x0∈R，x0+1≥0且D．?x0∈R，x0+1≥0且2．（5分）用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a8=13，且S7=35．则a7=（）A．11B．10C．9D．85．（5分）抛物线x2=8y的焦点坐标为（）A．（2，0）B．（4，0）C．（0，2）D．（0，4）6．（5分）“ａ＜﹣4”是函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．28．（5分）数学归纳法证明（n+1）?（n+2）?…？（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1D．9．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．或D．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A．B．C．D．12．（5分）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取。
辽宁省沈阳市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)(有答案)AwwnPM
2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．315．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．111．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k 的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x ＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．【解答】解：如图，根据条件，====；又；∴．故选A．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为1．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M （，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集．（Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明：==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．2016年7月30日。
2015年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一下学期期末数学试卷与解析答案
2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣12．（5分）如果点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4．（5分）如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5；1.6 B．85；1.6 C．85；0.4 D．5；0.45．（5分）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5 6．（5分）有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定8．（5分）已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A．B．C．7 D．189．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]10．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位11．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）12．（5分）平面向量的集合A到A的映射，其中为常向量．若映射f满足对任意的恒成立，则的坐标可能是（）A．（，）B．（，﹣） C．（，）D．（，﹣）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．14．（5分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是．15．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），在区间[，]上是增函数；④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2）（Ⅰ）若（+t）∥，求实数t的值；（Ⅱ）求在方向上的正射影的数量．18．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求sinφ的值．19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•﹣1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[，]时，若f（x）=1，求x的值．20．（12分）袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当的最大值和最小值．2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣1【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），∴r=|OP|==﹣5m，则2sinα+cosα=2×+==﹣，故选：C．2．（5分）如果点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，∴2cosθ＜0sin2θ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0∴θ是第二象限的角．故选：B．3．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位【解答】解：∵直线回归方程为=2﹣1.5，①∴y=2﹣1.5（x+1）②∴②﹣①=﹣1.5即y平均减少1.5个单位，故选：C．4．（5分）如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5；1.6 B．85；1.6 C．85；0.4 D．5；0.4【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的平均数是=85，这组数据的方差是=1.6故选：B．5．（5分）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5【解答】解：因为圆O位于y轴左侧，显然A、C不符，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离为．故选：D．6．（5分）有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A．B．C．D．【解答】解：A、游戏盘的中奖概率为，B、游戏盘的中奖概率为，C、游戏盘的中奖概率为，D、游戏盘的中奖概率为，游戏盘的中奖概率最大．故选A7．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定【解答】解：∵f（1998）=asin（1998π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f（2015）=asin（2015π+α）+bcos（2015π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=1+4=5，故选：C．8．（5分）已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A．B．C．7 D．18【解答】解：∵D为BD的中点，∴|=（）=+=3﹣．∵，||=3，=，∴=﹣=．∴．故选：A．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．10．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．11．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【解答】解：由函数的解析式可得A=4或﹣4，若A=4，由==6+2，可得ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=π，即φ=，不合题意，舍去．若A=﹣4，由ω=，6×+φ=π，求得φ=，故函数的解析式为y=﹣4sin （x+），故选：C．12．（5分）平面向量的集合A到A的映射，其中为常向量．若映射f满足对任意的恒成立，则的坐标可能是（）A．（，）B．（，﹣） C．（，）D．（，﹣）【解答】解：∵，其中为常向量．∴=[]•[]，整理得，2，∴=2，从四个选项中选择的模平方为2的选项，对于A，向量的模的平方为；对于B，向量的模的平方为2；对于C，对于向量的模的平方；对于D，向量的模的平方为．故选：B．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．【解答】解：原式=tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=tan60°=．故答案为：．14．（5分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是4．【解答】解：根据频率分布直方图，得；前3个小组的频率之比为0.02：0.02：0.08=1：1：4，所以，用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是6×=4．故答案为：4．15．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填y=2.6x+2.8．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故答案为y=2.6x+2.8．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），在区间[，]上是增函数；④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．其中真命题的序号是①③．【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，故函数的最小正周期是π，故①为真命题；终边在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ，k∈Z}，故②为假命题；当x∈[，]时，x+∈[π，]，此时sin（x+）＜0，故函数f（x）=|sin（x+）|=﹣sin（x+），由y=sin（x+）在[，]为减函数，可得函数f（x）=在[，]为增函数，故③为真命题；若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|，其最大值为，故④为假命题；故真命题的序号是：①③，故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2）（Ⅰ）若（+t）∥，求实数t的值；（Ⅱ）求在方向上的正射影的数量．【解答】解：（Ⅰ）故5（1+3t）=﹣2（﹣1+4t）所以…（5分）（Ⅱ）…（10分）18．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求sinφ的值．【解答】解：（1）（1）∵，∴=sinθ﹣2cosθ=0，即sinθ=2cosθ，又∵sin2θ+cos2θ=1，∴4cos2θ+cos2θ=1，即cos2θ=，∴sin2θ=，又∴sinθ=，cosθ=．…（6分）（2）∵sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，∴cos（θ﹣φ）=，∴sinφ=sin[θ﹣（θ﹣φ）]=sinθcos（θ﹣φ）﹣cosθsin（θ﹣φ）=﹣．…（12分）19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•﹣1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[，]时，若f（x）=1，求x的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…（4分）所以由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…（6分）（2）由f（x）=1得sin（2x+）=，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴2x+=，∴x=．…（12分）20．（12分）袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25（个）等可能的结果，设“两个编号和为6”为事件A，则事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，根据古典概型概率公式得到P（A）==（2）这种游戏规则是不公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（B）=乙胜的概率P（C）=1﹣P（B）=∴这种游戏规则是不公平的．21．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），∴f（x）max=3，…（4分）此时，∵2x﹣=2k，k∈Z，∴解得x=…（6分）（2）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max=3，f（x）min=2．∵|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[，]，∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（12分）22．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当的最大值和最小值．【解答】解：（1）设动点的坐标为P（x，y），则=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y）∵•=k||2，∴x2+y2﹣1=k[（x﹣1）2+y2]即（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣k ﹣1=0．若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线．若k≠1，则方程化为：，表示以（﹣，0）为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1．∵2+=2（x，y﹣1）+（x，y+1）=（3x，3y﹣1），∴|2+|=．又x2+y2=4x﹣3，∴|2+|=∵（x﹣2）2+y2=1，∴令x=2+cosθ，y=sinθ．则36x﹣6y﹣26=36cosθ﹣6sinθ+46=6cos（θ+φ）+46∈[46﹣6，46+6]，∴|2+|max==3+，|2+|min==﹣3．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=（b∈R）的实部为﹣1，则复数﹣b在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）A．l1与l2一定重合B．l1与l2一定平行C．l1与l2相交于点（，）D．无法判断l1和l2是否相交3．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确5．某课题小组共有15名同学，其中有7名男生，现从中任意选出10人，用X表示这10人中男生的人数，则下列概率等于的是（）A．P（X≤4）B．P（X=4） C．P（X≤6）D．P（X=6）6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．下列计算错误的是（）A． sinxdx=0B．dx=C． cosxdx=2cosxdxD． sin2xdx=08．在某次联考测试中，学生数学成绩X～N（σ＞0），若P（80＜X＜120）=0.8，则P（0＜X ＜80）等于（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.29．任何进制数均可转换为十进制数，如八进制8转换成十进制数，是这样转换的：8=5×85+0×84+7×83+4×82+1×8+3=167691，十六进制数16=2×164+3×163+4×162+5×16+6=144470．那么将二进制数A．15 B．14 C．13 D．1210．若（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2011（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣211．由1，2，3，0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A．1320 B．1332 C．2532 D．254412．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，） D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．定义运算||=ad﹣bc，则||（i是虚数单位）的值为．14．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．15．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A1，A2和A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件．则下列结论①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件．其中正确的是（写出所有正确结论的编号）．16．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为．三、解答题（本大题共70分）17．若（x+）n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18．某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．（1）求各会员获奖的概率；（2）设商店抽奖环节收益为ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不赔钱，a最多可设为多少元？19．编辑如下运算程序：1@1=2，m@n=q，m@（n+1）=q+2．（1）设数列{a n}的各项满足a n=1@n，求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想{a n}的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．20．现如今，“网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题．因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有99.9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d）21．已知函数，g（x）=x2e ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，若对任意x1，x2∈，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．23．已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程是ρ=4cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的倾斜角α的值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=（b ∈R ）的实部为﹣1，则复数﹣b 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，由复数z 的实部为﹣1，得到b 的值，求出z 的共轭复数，进一步求出﹣b 对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z===，又复数z=（b ∈R ）的实部为﹣1，则，即b=6． ∴z=﹣1+5i ．则．复数﹣b=﹣1﹣5i ﹣6=﹣7﹣5i ，在复平面上对应的点的坐标为：（﹣7，﹣5），位于第三象限． 故选：C ．2．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l 1和l 2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（ ）A ．l 1与l 2一定重合B ．l 1与l 2一定平行C ．l 1与l 2相交于点（，）D ．无法判断l 1和l 2是否相交【考点】线性回归方程．【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，所以两组数据的样本中心点是（，），回归直线经过样本的中心点，得到直线l 1和l 2都过（，）．【解答】解：∵两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，∴两组数据的样本中心点是（，）∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过（，）．故选C．3．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【考点】简单复合函数的导数．【分析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确【考点】演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f （x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．5．某课题小组共有15名同学，其中有7名男生，现从中任意选出10人，用X表示这10人中男生的人数，则下列概率等于的是（）A．P（X≤4）B．P（X=4） C．P（X≤6）D．P（X=6）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件，利用等可能事件概率计算公式求解．【解答】解：某课题小组共有15名同学，其中有7名男生，现从中任意选出10人，用X表示这10人中男生的人数，则基本事件总数n=，P（X=4）=．故选：B．6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．下列计算错误的是（）A． sinxdx=0B．dx=C． cosxdx=2cosxdxD． sin2xdx=0【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．【解答】解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D8．在某次联考测试中，学生数学成绩X～N（σ＞0），若P（80＜X＜120）=0.8，则P（0＜X ＜80）等于（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据ξ服从正态分布N，得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．【解答】解：由题意知，X服从正态分布N∴曲线的对称轴是直线x=100，若P（80＜ξ＜120）=0.8，则由正态分布图象的对称性可知，，故选：B．9．任何进制数均可转换为十进制数，如八进制8转换成十进制数，是这样转换的：8=5×85+0×84+7×83+4×82+1×8+3=167691，十六进制数16=2×164+3×163+4×162+5×16+6=144470．那么将二进制数A．15 B．14 C．13 D．12【考点】进位制．【分析】二进制的数换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的（n﹣1）方，再相加即可得解．【解答】解：1101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23=1+4+8=13．故选：C．10．若（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2011（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得可得a0=1，再令x=，可得0=a0+++…+，从而求得++…+的值．【解答】解：在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2011（x∈R）中，可得a0=1，令x=，可得0=a0+++…+，∴++…+=﹣1，故选：C．11．由1，2，3，0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A．1320 B．1332 C．2532 D．2544【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先根据分步计数原理求出三位数的种数，再求其和即可．【解答】解：先从1，2，3选2个，排在首位和末尾，再从剩下的2个数中选一个排在中间，故有A32A21=12种，列举如下：102，103，123，132，201，203，213，231，301，302，312，321则这些三位数为4×（1+2+3）×100+2×（1+2+3）×10+4×（1+2+3）×1=2544，故选：D．12．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．定义运算||=ad﹣bc，则||（i是虚数单位）的值为﹣3 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用定义结合复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由已知定义运算||=ad﹣bc，可得||=i2﹣2=﹣3．故答案为：﹣3．故答案为：﹣3．14．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9 ．【考点】定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：915．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A1，A2和A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件．则下列结论①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件．其中正确的是①④（写出所有正确结论的编号）．【考点】条件概率与独立事件；古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．【解答】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）=，P（B|A1）===，由此知，②错误；P（B|A2）=，P（B|A3）=；而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=×+×++=，由此知①正确，③错误．∵A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知④正确；对照四个命题知①④正确；故答案为：①④．16．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值；分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，可得=，（x2∈（1，e2）），利用导数法，可得其最大值．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如下图所示：若存在x1＜x2＜x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2=1，f（x2）=f（x3）=lnx2，∴=，（x2∈（1，e2）），令y=，x∈（1，e2），则y′=，∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e3），y′＜0，∴函数在（1，e）上单调递增，在（e，e3）上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值，∴的最大值为．故答案为：三、解答题（本大题共70分）17．若（x+）n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？【考点】二项式系数的性质．【分析】（1）由题意可得，解方程可求n；（2）先写出二项展开式的通项，然后令x的次方为0，求出r即可判断．【解答】解：（1）由，（n≥3）得：；化简得：n2﹣9n+14=0，解得：n=7，或n=2（舍），因此，n=7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由，（r∈N，且0≤r≤7）当时，，所以此展开式中不存在常数项．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．（1）求各会员获奖的概率；（2）设商店抽奖环节收益为ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不赔钱，a最多可设为多少元？【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）先求出抽两次得标号之和为12的概率和抽两次得标号之和为11或10的概率，由此能求出各会员获奖的概率．（2）随机变量ξ的所有可能取值为：30﹣a，﹣70，30，分别求出相应在的概率，由此能求出ξ的分布列，再求出数数期望，由此能求出a最多可设为多少钱．【解答】解：（1）抽两次得标号之和为12的概率为；抽两次得标号之和为11或10的概率为，所以各会员获奖的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）随机变量ξ的所有可能取值为：30﹣a，﹣70，30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣P（ξ=30﹣a）=，P（ξ=﹣70）=，P（ξ=30）=，ξ的分布列为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由，得a≤580元．所以a最多可设为580元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．编辑如下运算程序：1@1=2，m@n=q，m@（n+1）=q+2．（1）设数列{a n}的各项满足a n=1@n，求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想{a n}的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（1）根据新定义可求出a2，a3，a4；（2）由（1）猜想出a n=2n，（3）用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）∵a1=1@1=2，令m=1，n=1，则q=2；由m@n=q，m@（n+1）=q+2，得a2=1@2=2+2=4 再令m=1，n=2，则q=4，得a3=1@3=4+2=6再令m=1，n=3，则q=6，得a4=1@4=6+2=8，∴a2=4，a3=6，a4=8，（2）由（1）猜想：，（3）证明：①当n=1时，a1=1@1=2，另一方面，a1=2×1=2，所以当n=1时等式成立．②假设当n=k时，等式成立，即a k=1@k=2k，此时q=2k，那么，当n=k+1时a k+1=1@（k+1）=2k+2=2（k+1）所以当n=k+1时等式也成立．由①②知，等式对n∈N*都成立，猜想正确，即．20．现如今，“网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题．因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有99.9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意求出关于商品和服务评价的2×2列联表，从而求出K2≈11.111＞10.828，从而有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关．（2）①由X～B（5，），能求出X的分布列．②由X～B（5，），能求出X的数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣因此有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，X的取值可以是0，1，2，3，4，5．且X～B（5，），=，=，=，=，=，=．∴X的分布列为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②∵X～B（5，），∴，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数，g（x）=x2e ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，若对任意x1，x2∈，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）把给出的函数进行求导，由导函数的零点把定义域分段，然后分m的正负判断导函数在各区间段内的符号，从而得到元函数的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，若对任意x1，x2∈，f（x1）≥g（x2）恒成立，转化为对于任意x1，x2∈，f（x）min≥g（x）max成立，然后分类求函数f（x）和g（x）在上的最小值和最大值，由f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可解得实数a的取值范围．【解答】解：函数的定义域为R，．①当m＞0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：所以，函数f（x）的单调增区间时（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．②当m＜0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：所以，函数f（x）的单调减区间时（﹣1，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（Ⅱ）依题意，对任意当m＞0时，对于任意x1，x2∈，f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当m＞0时，对于任意x1，x2∈，f（x）min≥g（x）max成立．当m＞0时，由（Ⅰ）知，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因为f（0）=1，f（2）=，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．因为g（x）=x2e ax，所以g′（x）=（ax2+2x）e ax．③当a=0时，函数g（x）=x2，任意x∈，g（x）max=g（2）=4，显然不满足g（x）max≤1，故a=0不成立．④当a≠0时，令g′（x）=（ax2+2x）e ax=0得：1°当，即﹣1≤a＜0时，在上g′（x）≥0，所以函数g（x）在上单调递增，所以．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．2°当0＜＜2，即a＜﹣1时，在上g′（x）≥0，在上g′（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．所以．由得：，所以a＜﹣1．3°当，即a＞0时，显然在上g′（x）≥0，函数g（x）在上单调递增，且．显然不成立，故a＞0不成立．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=923．已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程是ρ=4cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲线C的直角坐标方程；（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，得出关于t的方程，设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，利用韦达定理得出t2t1，t1+t2的值，利用它们之间的转化关系即可求出AB，继而求出α．【解答】解（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴．∴4cos2α=2，解得，可得直线l的倾斜角或．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．。