三角形内角和外角
《三角形的内角和外角》PPT
①
(A)带①去 (C)带③去
②
③
(B)带②去 (D)带①和②去
考考自己?
2 在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
A
∴∠B=∠C=50°
B
C
4.已知：在△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝∠ＡＢＣ＝２∠Ａ， ＢＤ 是ＡＣ边上的高。求∠ＤＢＣ的度数。
即：3cm<第三边 <27cm
确定三角形第三边的取值范围的方法：
两边之差<第三边 <两边之和
互编互练 知识拓展
已知两条边长分别为3cm、5cm，你可 以画出几个符合条件的等腰三角形？并求 符合条件的等腰三角形的周长.
55 3
3 53
快速检测 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再 取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三 根要多长呢？
（1）一个三角形中最多有 1 个直角？为什吗？ （2）一个三角形中最多有 1 个钝角？为什吗？ （3）一个三角形中至少有 2 个锐角？为什吗？ （4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少 为 60° .
1、如图,某同学把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块形状完全一 样的玻璃,那 么最省事的办法是 ( C )
A
B C
一个等腰三角形的风筝，即△ABC. ∠B=70 度, ∠C=70 度， ∠A是多 少度？
400
解：1800－700 －
700
1800－700×2
700
700
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° 则∠ C= 102 °.
三角形的内角和与外角的关系
三角形的内角和与外角的关系三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们经常会遇到内角和与外角的关系。
本文将探讨三角形的内角和与外角的相关性并展示其数学性质。
1. 内角和的定义与性质首先，我们来定义三角形的内角和。
对于任意一个三角形，它的三个内角分别记作∠A、∠B和∠C。
那么该三角形的内角和即为∠A+∠B+∠C。
在欧几里得几何中，我们知道三角形的内角和总是等于180度（或π弧度）。
这个性质可以通过如下证明得到：在平面上取一个固定点O作为原点，以OX和OY两条坐标轴分别表示水平和垂直方向。
我们设三角形的三个顶点分别为A(XA, YA)、B(XB, YB)和C(XC, YC)。
从点O引出三条射线OA、OB和OC，分别与三角形的边AB、BC 和CA相交。
设射线OA与边AB的交点为D，射线OB与边BC的交点为E，射线OC与边CA的交点为F。
根据向量的性质，我们可以得到向量AD、BE和CF分别表示边AB、BC和CA的方向和长度。
因此，我们可以得到：AD = (XB - XA, YB - YA)BE = (XC - XB, YC - YB)CF = (XA - XC, YA - YC)两个向量的和为：AD + BE + CF = (XB - XA, YB - YA) + (XC - XB, YC - YB) + (XA - XC, YA - YC)= (0, 0)根据向量的性质，向量的和为零意味着它们共线。
因此，射线OA、OB和OC共线，即三角形的三个顶点A、B和C共线。
根据平面几何的基本原理，三点共线意味着它们形成的线段或射线之间相交时，内角和等于180度（或π弧度）。
2. 内角和与外角的关系现在我们来探讨三角形的内角和与外角的关系。
在三角形ABC中，我们可以通过将三个内角的补角与三个外角进行比较来研究它们之间的关系。
首先，我们定义三角形的外角。
对于三角形ABC的内角∠A，如果我们在角A的延长线上选择一个点D，使得D与边BC相交，那么∠ADC即为角A的外角。
三角形的外角与内角关系
三角形的外角与内角关系三角形是初中数学中的重要概念之一，它具有特殊的性质和关系。
其中，三角形的内角和外角是我们必须要了解的基本概念。
掌握三角形的外角与内角关系可以帮助我们更好地解决与三角形有关的问题。
本文将探讨三角形的外角与内角之间的关系。
在正式开始前，让我们先来了解一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
根据三角形的内角和外角之间的关系，我们可以将三角形的内角分为两类：内角和和外角。
首先，让我们来看看三角形的内角和。
三角形的内角和是指三角形内部所有角的和。
根据数学原理，我们知道，任何一个三角形的内角和都等于180度。
也就是说，无论是等边三角形、等腰三角形还是普通三角形，它们的内角和都是180度。
这是一个非常重要的性质，可以帮助我们计算三角形中缺失的角度。
接下来，我们来讨论三角形的外角。
三角形的外角是指一个三角形的一个内角的补角。
也就是说，三角形的一个外角加上其对应的内角等于180度。
这个性质称为三角形的外角与内角的关系定理。
我们可以通过这个定理来计算三角形中缺失的角度。
除了外角与内角之间的关系，三角形的外角也有一些特殊性质。
首先，三角形的外角可以大于180度，但不能大于360度。
其次，三角形的外角和等于360度。
当我们知道一个三角形的两个外角时，可以通过两个外角的和减去360度来计算第三个外角。
除了基本的外角与内角关系之外，我们还可以通过三角形的外角与内角关系来解决一些与三角形有关的问题。
比如，当我们已知一个三角形的一个内角，以及这个内角对应的外角时，我们可以通过外角减去内角得到另一个内角的度数。
三角形的外角与内角关系是数学中的重要知识，它不仅可以帮助我们计算三角形中缺失的角度，还可以应用于解决与三角形相关的实际问题。
在初中数学学习中，我们需要牢记三角形的外角与内角之间的关系，灵活运用这一知识点，提高解决问题的能力。
总结一下，三角形的外角与内角之间有着紧密的联系。
外角是内角的补角，也满足外角和等于360度的特性。
三角形内外角,多边形内外角
三角形的内角与外角【知识梳理】1.三角形的内角结论1：三角形的内角和等于180°，即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；结论2：在直角三角形中，两个锐角互余。
即在Rt△ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.结论3：有两个角互余的三角形是直角三角形。
即在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
例1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数；解：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴∠C=180°-（∠A+∠B）∵∠A=30°，∠B=65°（已知）∴∠C=180°-（30°+65°）=85°变式1. 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数。
变式2. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的度数是多少？例2.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。
变式1. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数。
想一想：（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？（3）一个三角形至少有几个锐角？为什么？2.三角形的外角（1）概念：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
（2）性质：①三角形的一个外角与与之相邻的内角互补；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；探索1. 如图∠ACD与∠ACB的位置是怎样的？∠ACD与∠ACB有什么数量关系？探索2. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A，∠B 求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？例1.如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数。
解密三角形的内角和外角性质
解密三角形的内角和外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多特性和性质。
其中，内角和外角性质是我们研究三角形时非常重要的一部分。
在本文中，我们将解密三角形的内角和外角性质，帮助读者更好地理解这些概念。
一、三角形的内角性质三角形的内角是指三角形内部的角度。
一个三角形的内角和是180度，即三个内角的和始终等于180度。
这是三角形的基本性质之一。
我们可以根据三角形的边长关系来推导三角形内角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有以下关系：1. 直角三角形内角和性质：当一个三角形的一个内角为90度（即直角），我们称之为直角三角形。
直角三角形的两个锐角相加等于90度。
2. 等腰三角形内角性质：当一个三角形的两边相等时，我们称之为等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
3. 等边三角形内角性质：当一个三角形的三边均相等时，我们称之为等边三角形。
等边三角形的三个内角均为60度。
通过这些性质，我们可以更好地理解三角形内角之间的关系，并在解题时运用它们。
二、三角形的外角性质三角形的外角是指三角形外部的角度。
三角形的外角与其对应的内角相互补充，即外角+内角=180度。
这是三角形外角的基本性质。
我们可以根据三角形的边长关系来推导三角形外角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有以下关系：1. 直角三角形外角性质：直角三角形的外角等于90度减去对应的内角。
2. 等腰三角形外角性质：等腰三角形的两个外角相等，且等于对应的内角。
3. 等边三角形外角性质：等边三角形的三个外角都等于120度，且等于对应的内角。
通过掌握三角形内角和外角的性质，我们可以在解题过程中灵活运用它们，快速推导出所需的结果。
三、实例分析为了更好地理解三角形的内角和外角性质，我们来看几个实际问题的解决过程。
例1：已知三角形的两个内角分别为60度和70度，求第三个内角的度数。
解析：根据三角形内角和性质，三角形的三个内角之和为180度。
三角形内角外角解题方法
三角形内角外角解题方法
三角形是一个有三个边和三个角的多边形。
内角是指三角形内部的角度，外角
是指三角形外部与内角相邻的角度。
解题过程中，我们可以使用以下方法来计算三角形的内角和外角。
1. 内角求解：
内角和定理：
三角形的内角和等于180度。
这意味着，将三个内角相加，结果应为180度。
例如，如果我们已知两个内角的度数，我们可以通过用180度减去这两个角的度数，来计算第三个角的度数。
2. 外角求解：
外角定理：
三角形的外角和等于360度。
这意味着，将三个外角相加，结果应为360度。
如果我们已知一个内角的度数，我们可以通过用360度减去该内角的度数，来计算相应的外角度数。
在解决三角形内角外角问题时，可以根据所给的已知条件和内角外角的数学关系，使用上述方法来计算未知角度的度数。
这样，我们就能准确地求解三角形的内角和外角。
三角形的内角和与外角关系
三角形的内角和与外角关系在数学中，三角形是一个基本的几何形状，具有许多特点和性质。
其中一个有趣且重要的性质是三角形的内角和与外角的关系。
本文将探讨这一关系并解释其背后的原理。
1. 三角形的内角和首先，我们来定义什么是三角形的内角和。
三角形是由三条边所组成的图形，其中每条边连接了两个顶点。
这些顶点形成了三个角，称为三角形的内角。
我们分别用角A、角B和角C来表示这些内角。
根据三角形的性质，我们知道任意一个三角形的内角和总是等于180度。
也就是说，角A + 角B + 角C = 180度。
这是一个重要的定理，被称为三角形内角和定理。
2. 三角形的外角接下来，我们来讨论三角形的外角。
三角形的每个内角都有一个相应的外角，其大小等于与之相邻的内角的补角。
补角是指两个角的和等于90度。
我们用角A'、角B'和角C'来表示这些外角。
具体来说，角A'是角B和角C的补角，角B'是角A和角C的补角，角C'是角A和角B的补角。
由于两个角的补角和为90度，所以三角形的外角和总是等于360度。
也就是说，角A' + 角B' + 角C' = 360度。
3. 内角和与外角的关系现在我们来研究三角形的内角和与外角的关系。
我们可以观察到，每个内角和它相对的外角（即补角）之和始终等于180度。
以角A为例，我们知道角A + 角A' = 180度。
同样地，角B + 角B' = 180度，角C + 角C' = 180度。
这个关系适用于任何一个三角形。
这意味着，当我们知道一个三角形的任意一个内角时，可以通过与之相对的外角（补角）来计算出其他两个内角，因为它们的和始终等于180度。
4. 举例说明为了更好地理解内角和与外角的关系，我们来举一个例子。
考虑一个直角三角形，其中角A为直角，即90度。
根据三角形的性质，直角三角形的其他两个内角必然是锐角，它们的和小于180度。
三角形的内角和与外角和课件
在绿茵场上，足球队员在A处受到阻挡需要传 球，请帮助作出选择，应传给在C处的球员还是B 处的球员，其射门不易射偏，请说明理由。（不 考虑其他因素）
B
A
C
D
E
一、复习提问： 1、三角形三个内角的和等于多少度？
三角形的内角和等于180度
2、三角形的外角：
A 三角形内角的一边与另一 边的反向延长线组成的角．
B
E A
125°
55°
60° 65°
115°
CD
在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把∠１、 ∠ ２剪下拼在一起，放到∠ ４上，看看会出现 什么结果？
发现： ∠１＋∠２＝∠４
探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=
∠B+ ∠ A吗？你能用几种方法呢？相信你 一定能行！
A
B
CD
如图，∠ACD是△ABC的外角；试说∠ACD=∠A+∠B；
解：（1）方法一： ∵∠ACB+___∠_A_+__∠__Ｂ_=180°(三角形内角和定理)，
∠ACB+∠ACD=180°(平角的定义)， ∴∠ACD=___∠__A__+___∠__Ｂ___(等量代换)，
A
D
B
C
解：过C作CE∥AB
因为： CE∥AB
方法二
所以：∠1= ∠B（两直线平行，同位角相等）
变式题
3、在如求图角，的∠度A=数90时°，，常∠可B=利20用°三， ∠ C角找=形 数30的 量°内 关∠B角系O和；C=及涉—外及1—1角图0．。的形性时质，来 可
先把已知条件尽可能的在图A中 标出来，有助于直观分析题9意0º 。D
110°
20º O B
三角形的内角与外角的关系课件
B
CD
方法一: A
B
C
D
解：∵∠ACD+ ∠ACB=180°
（邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
（三角形内角和180 ° ）
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角
方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同 学证明一下。 （CE//BA）
A
E
1
三角B形的一个外角等于与C它不相邻的两D 个内 角的和
A4 1
D
解：方法二：过A作AD平行
3 于BC，
B
∠3＝∠4, ∠2＝∠BAD,
C 2 两直线平行，
同位角相等
什三么角都形没的有内呀角，是让三人角形内部的 感到很无骄奈子
只那要三你角添形上的一外笔部就呢精？彩了
α
外
角
那就 让我们
观察下面一组图形中∠ 1在各个图形中的位置，你能发现它们
的共同特征吗？
D
A
A 1
B
1 DB
CB
CA
1 CD
三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角· 形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
效
奋
率
出
要
成
质
果
量
1.三角形的一个外角与它相邻的内角之间有何关 系？
已知如图:∠ACD是△ABC的外角， 则 ∠ACD与∠ACB有何关系？并说明理由?
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三角形的内角和外角
（第一课时）
一、教材的地位和作用
“三角形的内角和定理”是中学数学重要的定理之一，它是在学习了三角形定义及有关概
念和边与边之间关系的基础上展开的，既是知识的延续，又是进一步学习各种特殊三角形和
其他图形的重要基础，具有承上启下的作用。它本身在实际中也有广泛应用，所以本节内容
是这一章的重点。特别是其中所包含的化归思想，对发展学生的思维能力、培养学生解决问
题的能力、形成用数学的意识有重要作用.
二、教学目标
1. 知识目标：
（1）经历三角形内角和定理的探究过程，理解三角形的内角和定理的证明.
（2）能用三角形的内角和定理进行计算.
（3）初步学会利用辅助线解决问题.
2. 能力目标：
（1）通过直观教学培养学生观察、分析、抽象的思维能力.
（2）通过实验培养学生探索创新的能力和解决问题的能力.
3. 情感目标：
（1）通过小组探索、发现等一系列的思维活动，让学生体验成功的喜悦，进而提高学生的
学习兴趣.
（2）在小组探究中，学会与人合作，与人分享.
三、教学重点、难点
重点: 三角形内角和定理及其应用.
难点: 如何让学生从剪拼得到怎样的启发？.
四、教学活动的形式
“四人互动+四环节”课堂教学模式
五、教学过程
环节 教学过程 学生
活动
设计意图
创 设 问 题 帕斯卡简介:帕斯卡（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家、哲学家。数学小故事 帕斯卡12岁的时候，是个非常聪明，又很顽皮的男孩。一天他又闯祸了，被爸爸关在家里阁楼上思过，到了晚上，姐姐正要叫帕斯卡下来吃饭，只见他兴冲冲地从阁楼上跑了下来，嘴里大声的喊着“我发现了，我发现了……”他究竟发现了什么呢？数学小故事 问题1：在小学，我们学过三角形的内角和是多少度？ 问题2：在小学，我们是通过哪些方法来说明三角形的内角和等于180°的呢？ 独立思考 学生在小学已经学过“三角形的三个内角的
和等于
180°”，
在此基础
上引入，
切入点
低，学生
易接受.
合作交流 你有什么办法可以验证呢?方法一方法二 分享验证方法 小组合作 在小学动手操作的基础上，深入去探讨其中的
道理，为
下一步辅
助线的引
出做好铺
垫，并培
养学生小
组协作意
识.
自主探究 （自学课本P103 “观察与思考”）如果不通过剪拼，能否用说理的方法来证明“三角形内角和是1800”呢?方法一方法二
独立
思考
培养学生
自学的能
力
合作交流 2、请写出严谨的说理过程.1、如果不通过剪拼，能否用说理的方法来证明“三角形内角和是1800”呢?方法一方法二 先独
立思
考，
再小
组合
作
让学生经
历从动手
操作到演
绎推理的
过程，亲
历知识的
生发过
程.
展
示
评
价
各小组在黑板上展示并讲解做法. 在学生讲解的过程中，规范说理过程. 师生共同总结：作平行线是把角从一个位置转移到另一个位置的重要手段. 归纳 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 小组派代表发言，组内其他人补充 培养学生合作交流
的意识，
在探究、
研讨的过
程中培养
学生多元
化思维，
体验数学
活动充满
探索，增
强学习数
学的兴
趣.
合
作探究 合作探究1、推理过程的关键是什么？2、是否有其它添加辅助线的证明方法？21EDCBA 小组
合作完成
反
思梳理 CBA三角形的内角和等于1800.已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°反思梳理 独立
思考
设计适当
练习，巩
固知识，
灵活运
用.
证法1：
延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
（平角定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
（等量代换）
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于180
0
.
反思梳理
证法2：
过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
（平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代换）
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于180
0
.
反思梳理
证法3：
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代换）
C
B
E
A
三角形的内角和等于180
0
.
反思梳理
证法4.
A
BC
Ｄ
F
E
证明：在BC上取一点D，过点D作DE∥BA，交CA于点E，
作DF ∥CA，交BA于点F。
∴∠BDF＝∠C，∠EDC＝∠B，∠DEC=∠A
(两直线平行，同位角相等）
∠EDF=∠DEC（两直线平行，内错角相等）
∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝１８０°（平角定义）
∴∠A＋∠B＋∠C＝１８０°（等量代换）
反思梳理
4
3
2
1
B
A
C
3
2
1
A
BC
1
2
3
A
C
我们还可以……
在这里，为了证明的需要，在原来
的图形上添画的线叫做辅助线。在平面
几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转
化为一个平角或同旁内角互补,这
种转化思想是数学中的常用方法.
反思梳理
巩
固
练
习
例1 如图在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，
求∠C的度数。
B
C
A
巩固练习
已知：三角形三个内角的度数之比为
1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
x+3x+5x=180°
解得x=20°
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
由三角形内角和为180°得
巩固练习
课
堂
小
结
本节课我们学习了什么„„ 复习巩固本节的知识，学会总结反
思，初步
学会自我
评价.