静安区2019年度高三数学一模含答案
2019年上海市高三数学一模分类汇编：二项式定理
3（2019长嘉一模）. 在61()x x +的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 3（2019静安一模）. 在二项式251()x x -的展开式中，4x 项的系数为 （结果用数值表示）4（2019奉贤一模）. 在52()x x-的展开式中，x 的系数为 4（2019崇明一模）. 281()x x-的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答）4（2019杨浦一模）. 若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n = 6（2019闵行一模）. 5(12)x -的展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）7（2019虹口一模）. 二项式62)x 的展开式的常数项为7（2019徐汇一模）. 已知21(2)n x x -（n ∈*N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是 （结果用数值表示） 7（2019普陀一模）. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示）8（2019黄浦一模）. 设a ∈R ，若5(2)(1)a x x ++展开式中2x 的系数为10，则a = 8（2019金山一模）. 在31021()x x -的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示）9（2019浦东一模）. 已知二项式n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为13（2019青浦一模）. “4n =”是“1()n x x+的二项展开式存在常数项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13（2019宝山一模）. 若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a 、1a 、2a 、3a 为实常数，则0123a a a a +++=（ ）A. 2B. 1-C. 4D. 1。
静安区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
解得：1＜a≤4． 故实数 a 的取值范围为（1，4]． 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题 p，q 的等价条件是解决本题的 关键．
15．命题“ x (0, ) ， sin x 1 ”的否定是 ▲ ． 2 16．直线 x 2 y t 0 与抛物线 y 2 16 x 交于 A ， B 两点，且与 x 轴负半轴相交，若 O 为坐标原点，则
OAB 面积的最大值为
问题的能力.
.
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决 17．【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f x x 2 x ，若曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线经
静安区第一中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案 一、选择题
1． 给出函数 f ( x) ， g ( x) 如下表，则 f ( g ( x)) 的值域为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________
三、解答题
19．已知 f（x）=| ﹣ x|﹣| + x| （Ⅰ）关于 x 的不等式 f（x）≥a2﹣3a 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 f（m）+f（n）=4，且 m＜n，求 m+n 的取值范围．
ax 1 2 是定义在（-1，1）上的函数, f ( ) 2 1 x 2 5 （1）求 a 的值并判断函数 f (x) 的奇偶性
上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测数学试卷及答案
2019届静安区高三上学期教学质量检测数学试卷 考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________．3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-轴平行，则a 的值是__________．5．若α、β是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）8．已知314cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ22cos _________．9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________． 10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π）11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考。
2019年上海市高三数学一模试卷客观题难题解析
2019年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2019.01一. 崇明区11. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f ，(2)2f ，则不等式组121()2x f x的解集为【解析】根据题意，画出草图，如图所示，满足不等式组121()2x f x的解集即图中实线部分横坐标的范围，∵(2)(24)(82)2f f f ，()(2)1f f ，并且12822 ，∴数形结合可得解集为[2,82] .12. 已知数列{}n a 满足：① 10a ；② 对任意的n *N ，都有1n n a a 成立.函数1()|sin()|n n f x x a n，1[,]n n x a a 满足：对于任意的实数[0,1)m ，()n f x m 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是【解析】∵1[,]n n x a a ，∴1[0,]n n n x a a a ，设n x a t ，即()|sin|tg t n在 1[0,]n n t a a 上满足对任意[0,1)m ，()g t m 总有两个不同的根，结合函数()g t 的图像可知，周期为T n ，即1n n a a n ，∴1(1)n n a a n ，累加得(1)2n n n a. 16. 函数()f x x ，2()2g x x x ，若存在129,,,[0,]2n x x x ，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x ，则n 的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 14D. 18【解析】即112211()()[()()][()()][()()]n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x ，设2()()()22h x g x f x x x ，即121()()()()n n h x h x h x h x 恒成立，∵当x 9[0,2时，max 91()()1324h x h ，min ()(1)1h x h ，而111311344， ∴1n 的最大值为13，即n 的最大值为14. 故选C. 本题与2018浦东二模第12题类似，可类比思考（2018浦东二模12）已知函数2()57f x x x ，若对于任意正整数n ，在区间5[1,]n n上存在1m 个实数0a 、1a 、2a 、 、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a 成立， 则m 的最大值为【解析】对于任意正整数n 成立，取min 59()2n n ， ∴在区间9[1,]2上函数最大值为919()24f，最小值为53(24f ，19316444，即m 的最大值为6.二. 虹口区11. 如图，已知半圆O 的直径4AB ，OAC 是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ，则OP BQ的最小值为【解析】∵OQ OP ，∴0OP OQ ，∵BO OA ，∴()OP BQ OP BO OQ OP BO OP OQ OP OA ，结合向量数量积几何意义，OC OA OP OA OA OA ， 即[2,4]OP OA ，∴OP BQ的最小值为2.12. 若直线y kx 与曲线2|log (2)|2|1|x y x 恰有两个公共点，则实数k 取值范围为 【解析】分段讨论曲线，当21x ，112y x x，当11x ，21y x ，当 1x ，3y . 综上画出曲线图像如图所示，∵直线y kx 与曲线有两个交点，∴数形结合可得(,0]{1}k .15. 已知函数2()1f x ax x ，1,1(),111,1x g x x x x，若函数()()y f x g x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)B. (,0)(0,1)C. 1(,(1,)2D. (,0)(0,2)【解析】即函数()f x 与()g x 的图像有两个不同交点，结合图像，分类讨论，当0a ，()f x 开口向下，过定点(0,1)，两个函数图像恒有两个交点；当0a ，只有一个交点；当 0a ，开口向上，对称轴102x a，过定点(0,1)，要满足有两个交点，21ax x x ， 440a ，∴01a ，综上所述，(,0)(0,1)a ，故选B.16. 已知点E 是抛物线2:2C y px (0)p 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP 中，若sin sin EFP FEP ，则 的最大值为（ ）A.2B. 2C.D. 【解析】根据题意，作出图像，∵sin sin EFP FEP ， 由正弦定理，即PE PF ，再由抛物线定义，PF PH ， ∴1sin PF PH PEH PE PE， 要取最大值，即PEH 取最小值，∴PE 与抛物线相切时，可求 的最大值. 设2px my，联立22y px ，得2220y pmy p ， 222440p m p ，∴1m ，即4PEH，max. 故选C.三. 宝山区11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，已知b 45A ，求边c . 显然缺少条件，若他打 算补充a 的大小，并使得c 只有一解，，那么a 的可能取值是 （只需填写一个合适的答案）【解析】由正弦定理，2sin sin sin a b B A B a ，∵c 只有一解，即sin y B ，3[0,4B与2y a仅有一解，∴2{1}(0,2a，即{2})a ，a 在此范围内即可. 或数形结合，根据题意，如图所示，以C 为圆心的圆与射线AB 仅有一个交点，观察可得，{2})a .12. 如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ），若满足对于任意n *N ，都有n n b a kd ，其中k 为常数，k *N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a ，公差2d ，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b，则k 【解析】由题知21n a n ，又{}n b 为{}n a 的“同宗”数列，所以2n n b a k ， 则221n b k n . ∴11111((21)(212)221221n n a b n n k k n k n ∴1122111111111[(1()(22132321221n n a b a b a b k k k n k n∴1122111111lim((1)23213n a b a b k k， 设111(1)2321k c k k， 则11111111(1)(1)23212232121k k c c k k k k k111111(2223212221k k k k k 211211(2(22)22212(22)321k k k k k k k1211()02(21)2(22)321k k k k k，即{}k c 单调递减，∵213c ，∴当且仅当2k 时，11221111lim()3n n n a b a b a b，故2k .16. 设点M 、N 均在双曲线22:143x y C 上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则 12|2|MF MF MN的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对 【解析】∵O 为1F 、2F 的中点，则12|2|MF MF MN |22|2||MO MN NO ，∵||2NO ，∴12|2|4MF MF MN，故选B.四. 松江区10. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC的最小值是【解析】法一：由题意，作OD AB ，OE AC ，设AD x ，OAD ，∴cos x ， 2cos cos221BAC x ，2AB AC x ，∴4222cos 284AB AC x x x x221118()422x ，即AB AC 的最小值为12.法二：建系，设(0,1)A ，(cos ,sin )B ，(cos ,sin )C ，∴(cos ,sin 1)AB， (cos ,sin 1)AC ，∴222cos (sin 1)2sin 2sin AB AC21112(sin )222 ，即AB AC 的最小值为12 .11. 已知向量1e ，2e是平面 内的一组基向量，O 为 内的定点，对于 内任意一点P ， 当12OP xe ye时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)x x y y ；② A 、B ；③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y ；④ 向量OA 垂直于向量OB的充要条件是12120x x y y .其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）【解析】由题知1112OA x e y e ，2122OB x e y e，设向量1e 、2e 的夹角为 ，① 若线段AB 的中点为C ，则1212121()222x x y y OC OA OB e e，则1212(,)22x x y y C ，∴①正确；② 由211212()()AB OB OA x x e y y e，两边平方得：||AB ，若2，则不成立；③ 若OA ∥OB 存在非零实数k ，有OA kOB ，则11122122()x e y e k x e y e ，即121122()()0x kx e y ky e ，∴1212x kx y ky ，∴1221x y x y 成立；④ 若0OA OB OA OB，11122122()()OA OB x e y e x e y e122212212()cos x x y y x y x y ，若2，则不成立. ∴真命题为①③.12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x 和(1)(1)4f x f x 对任意的x R 都成立，若当[0,1]x 时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x 时，函数()f x的值域为【解析】由(1)(1)4f x f x 可得()(2)4f x f x ，当[0,1]x 时，()[1,2]f x ； 当[1,0]x 时，则[0,1]x ，∴11()[,1]()2f x f x ； 当[1,2]x 时，则2[0,1]x ，∴4()[2,4](2)f x f x ；当[2,1]x 时，则[1,2]x ，∴111()[,]()42f x f x ； 当[2,3]x 时，则2[1,0]x ，∴4()[4,8](2)f x f x ；当[3,2]x 时，则[2,3]x ，∴111()[,()84f x f x ； ……当[,1]x n n 时，1()[2,2]n n f x ； 当[(1),]x n n 时，111()[,]22n n f x ； ∴当[100,100]x 时，()f x 的值域为989999100100100999998100111111[,][,][,1][1,2][2,2][2,2][,2]222222 .15. 将函数()2sin(34f x x的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ，其中12,[0,4]x x ，则12x x 的最大值为（ ） A. 9 B. 375C. 3D. 1 【解析】g()2sin(3)1[3,1]4x x，∵12()()9g x g x ，∴12()()3g x g x ， ∴25g()2sin(3)134312k x x x，25[0,4]312k ，∴543[,88k ，∵k Z ，∴0k 时，min512x ，5k 时，max 154x ，∴max 12min 9x x x x ，故选A.16. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C 所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36C. 36D. 36 【解析】由题意可知，满足条件的区域为以正三角形边 上的点为圆心，1为半径的圆扫过的区域，如图面积为226361(63644， 故选D.五. 杨浦区11. 当0x a 时，不等式22112()x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 【解析】2222112282(()()x a x x a x x a x a ，当且仅当x a x 时等号成立， ∴2211()x a x 的最小值为28a，题中不等式恒成立，即282a ，∴2a ，即最大值为2. 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n nT b （n *N ）， 且52d a b ，若实数23{|}k k k m P x a x a （k *N ，3k ），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n *N ，21n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为【解析】由关系式1(1)2nn n n T b（n *N ），可得1112b b ，122212b b b ，1233312b b b b，12344412b b b b b ，∴114b ，123116b b b ，3116b ，214b ，∴514d a ，∴可求得14n na .当2n k ，k *N ，22221212k k k k k T b T T ，∴21212k k T ；当21n k ，k *N ，212122212112k k k k k T b T T ，∴220k T ；即n 为奇数时，112n n T ；n 为偶数时，0n T .∴2111111(1416434n n n H ，而2213k n k a H a （k *N ，3k ），即6111(14344n k k ，整理得1111141343334n n k ，∴1433k ， ∵k *N ，∴3k 或4.16. 已知函数2()2x f x m x nx ，记集合{|()0,}A x f x x R ，集合{|[()]0,}B x f f x x R ，若A B ，且都不是空集，则m n 的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)C. [3,5]D. [0,7)【解析】设0x A ，∴0()0f x ，∵A B ，∴0x B ，∴0[()]0f f x ，即(0)0f ， ∴0m ，2()f x x nx . 当0n ，{0}A B ，符合题意. 当0n ，{0,}A n ，{|()0,(),}B x f x f x n x R ，∵A B ，∴()f x n 无解，即20x nx n 无解， 24004n n n ，∵0m ，∴综上所述，[0,4)m n ，故选A.本题与2018虹口一模12题类似，可对比思考（2018虹口一模12）设2()22x f x x a x b ，其中,a b N ，x R ，如果函数()y f x 与函数(())y f f x 都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为【解析】设零点0x ，0()0f x ，0(())0(0)0f f x f ，∴0b ，∴2()2f x x ax ， 当0a ，2()f x x ，4(())f f x x ，有唯一零点0x ，符合；当0a ，()(2)f x x x a ， 有两个零点10x 和22x a ，(())()[()2]0()0f f x f x f x a f x 和()2f x a ， ∵()0f x 已满足有两个相同的零点10x 和22x a ，∴方程()2f x a 无解， 即2220x ax a 无解，248002a a a ，∴1a ； 综上，(,)a b 为(0,0)或(1,0).六. 徐汇区11. 已知 R ，函数24()43x x f x x x x，若函数()f x 恰有2个零点，则 的取 值范围是【解析】4y x 的零点为4x ，243y x x 的零点为1x 或3x ，若函数恰有两个零点，结合图像可得，(1,3](4,) .12. 已知圆22:(1)1M x y ，圆22:(1)1N x y ，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y 上 任意一点，则PA PB PC PD的最小值为【解析】设(,)P x y ，其中22194x y ，(0,1)M ，(0,1)N ，()()PA PB PM MA PM MB 2(()()||1PM MA PM MA PM ，同理，2||1PC PD PN， ∴22||||2PA PB PC PD PM PN222222(1)(1)22()x y x y x y ，∵点P 在椭圆22194x y上，∴2PO ，即222()8x y ，∴min ()8PA PB PC PD.15. 对于函数()y f x ，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x ；②y ；下列结论正确的是（ ）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数” 【解析】平面区域{(,)|()()0}x y y x y x 为图中红色阴影部分，∵|sin |||x x 对x R 恒成立，∴① 符合“蝶型函数”的条件；y 为等轴双曲线221x y 的0y 的部分，由双曲线渐近线的几何意义可知，② 也符合“蝶型函数”的条件. 故选B.16. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n *N ，都有3n S S ，则65a a 的值不可能为（ ） A. 2 B.53 C. 32 D. 43【解析】法一：111331140,00,02032300n a d a d a S S a a d d a d a， ∴61151151311[,2]4424a a d d a a a d a d d，由于43[,2]32 ，∴选D. 法二：A 选项，不妨设62a ，51a ，∴40a ，31a ，符合题意；B 选项，同理，设65a ，53a ，∴41a ，31a ，符合题意；C 选项，设63a ，52a ，∴41a ，30a ，符合题意；D 选项，设64a ，53a ，∴42a ，31a ，不符题意，故选D.七. 长宁（嘉定）区11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为【解析】1221234112lim ()()2813k k a a S a a a a q，232112345111111lim ()()41613k k a a S a a a a a a a a q ， 由题意，lim n n S A ，∴11121333A a a ，即首项1a 取值的集合为1{}3.12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b 的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素【解析】转化为123()||||||f x x a x a x a 和123()||||||g x x b x b x b 图像交点，由此类函数的图像可知，如图最多可有3个交点，即集合A 中最 多有3个元素.16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x 的定义域为D ，12,x x D ，① 若当12()()0f x f x 时，都有120x x ，则函数()y f x 是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x 时，都有12x x ，则函数()y f x 是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题【解析】对于命题①，首先定义域关于原点对称没有说明，其次不能表示任意性，即存在12()()0f x f x ，有120x x ，不符合奇函数的定义；对于命题②，同样也不能表示任意性，即存在12()()f x f x ，有12x x ，也不符合单调增函数的定义. 故选C.八. 普陀区11. 已知点(2,0)A ，设B 、C 是圆22:1O x y 上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC（其中t 为实数），则AB AC【解析】根据题意，A 、B 、C 三点共线， 作OD BC ，∴BD CD ，∴()()AB AC AB AC AD BD AD CD22222()AD BD AD OB OD22222413AD OD OB OA OB ，即3AB AC12. 记a 为常数，记函数1()log 2axf x a x（0a 且1a ，0x a ）的反函数为1()f x ，则11111232()()()()21212121af f f f a a a a【解析】11()log log 22a a a x x f a x x a x ，∴()()1f a x f x ，∴11()(1)f x f x a ，（原函数关于点1(,)22a 对称，反函数关于点1(,22a 对称）∴倒序相加可得11111232()()()(21212121af f f f a a a a222a a a 16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x，记()()g x f x a ，若102a，则函数()g x 在区间[4,5] 上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【解析】数形结合，转化为()y f x ([4,5])x与y a 1(0)2a 的交点个数问题，画出图像， 观察可得，交点个数为8个，即()g x 在区间[4,5] 上有8个零点，故选D.九. 青浦区11. 已知函数()2f x，当(0,1]x 时，2()f x x ，若在区间[1,1] 内()()(1)g x f x t x 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是【解析】当(1,0]x (0,1]，1f x ，2()21f x x，作出()f x 图像如图所示，根据题意，即 ()y f x 与(1)y t x 有两个不同交点，t 即直线(1)y t x 的斜率，数形结合，观察图像可得1(0,2t .12. 已知平面向量a 、b 、c 满足||1a，||||2b c ，且0b c ，则当01 时， |(1)|a b c的取值范围是【解析】如图所示，OB b ，OC c ，OA a，||1a ，∴点A 在以O 为圆心，1为半径的圆上. (1)b c 表示OD（∵(1)1 ，01 ，∴D 在线段BC 上）， |(1)||((1))|||||a b c a b c OA OD AD ，即求AD 的取值范围. ∵OD ，∴结合图像可得，min max OD OA AD OD OA ，即1,3]AD ，∴|(1)|a b c的取值范围为1,3] .16. 记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若2()[30x f x ，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f 的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902【解析】令2()30x g x ，()h x ，则()[()][()]f x g x h x ，(1)(2)(30)f f f [(1)][(2)][(30)][(1)][(2)][(30)]g g g h h h ，其中：[()]g x 对应函数值表示落在2()30x g x 图像下方的整点个数，如[(10)]3g （如图1）；则[(1)][(2)][(30)]g g g 表示落在函数2()30x g x （030x ）图像上以及图像的下方的整点个数（如图2），同理，[(1)][(2)][(30)]h h h 表示落在函数()h x （030x ）图像上以及图像的下方的整点个数（如图3），这里，我们观察到2()30x g x ，()h x 互为反函数，两者函数关于y x 对称，那么函数()h x （030x ）下方的整点个数（如图3）可等价为落在2()30x g x 图像上及左侧的整点个数（030y ），如图4；结合图2及图4，则(1)(2)(30)f f f [(1)][(2)][(30)][(1)][(2)][(30)]g g g h h h ， 可等价为()y g x （030x ，030y ）图像下方及左方的整点个数（有两个相同的点(30,30)），即：落点030x ，030y 内所有的整点个数再加上(30,30)这个唯一重复的点（如图5），则2(1)(2)(3)(29)(30)301901f f f f f . 故选C.十. 浦东新区10. 已知函数()2||1f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 【解析】本题可分类讨论，亦可转化为||y x a 与12y x的交点个数问题，结合函数图像可得，要有三个不同的交点， 即y x a 与12y x必须有两个交点，∴12x a x， 即22210x ax ，2480a ，∵0a 明显成立，∴(,a本题与2018松江一模第10题类似，可类比思考.（2018松江一模10）已知函数()|2|1f x x x a 有三个零点，则实数a 的范围为 【解析】分类讨论，设()|2|g x x x a ，可以看作()g x 与1y 有三个交点，当0a ，()g x 图像如图所示，易知与1y 只有1个交点，不符；当0a ，()g x 图像如图所示，要与1y 有3个交点，需满足()14a f，即a . 解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a 与1()h x x有三个交点，结合图像可知，当2ax 时，()g x 与()h x 恒有一个交点，∴当2ax 时，()g x 与()h x 有两个不同 交点，即12a x x在(0,)x 有两个解， 2210x ax ，280a ，且0a，∴a11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ()n *N ，11a ，22a ， 若1limn n na A a ，则A【解析】由211007(1)2018(1)n n n na n a n a 两边同除1n na 得：22111111111007(1)2018(1)lim lim[1007(1)2018(1)]n n n n n n n n n n a a a aa n n a a n n a ，∵1limn n na A a ，∴20181007A A，解得：1009A 或2A ，∵0n a ，∴1009A . 12. 已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x，若对任意的1[2,)x ，都存在唯一的 2(,2)x ，满足12()()f x f x ，则实数a 的取值范围为【解析】当2x ，21()164164xf x x x x，∵164y xx 在x [2,) 的值域为[16,) ，且单调递增，∴()f x 在x [2,) 的值域为1(0,]16，且单调递减. 数形结合，分析||1()()2x a f x (2)x 与2()416xf x x(2)x 的图像关系由题意，当2a ，需满足211()216a ，即2a ，∴[2,2)a ；当2a ，需满足211()216a ，即6a ，∴[2,6)a ；综上所述，[2,6)a . （图中函数图像为了视觉效果，已按比例更改，非真实情况，但不妨碍解题理解）16. 已知点(1,2)A ，(2,0)B ，P 为曲线y 上任意一点，则AP AB 的取值范围为（ ）A. [1,7]B. [1,7]C. [1,3D. [1,3【解析】法一：曲线y 为椭圆22143x y 的上半部分，设(2cos )P ，[0,] ，∴2cos 34sin(36AP AB，由[0,] ，则7[,666 ，∴1sin()[,1]62，∴[1,7]AP AB . 故选A.法二：由向量数量积的几何意义，分析AP 在AB上的投影的范围.由图得，AB AC AP AB AB AD，:24AB l y x ， 11:12PC l y x ，∴68(,)55C ，设21:2P D l y x b ，联立y ，由0 得，2b ，∴21:22P D l y x ，由:24AB l y x ，∴124(,)55D 55AP AB ，即[1,7]AP AB .十一. 闵行区11. 已知向量(cos ,sin )a ，(cos ,sin )b ，且3，若向量c 满足||1c a b ，则||c的最大值为【解析】由题意，||||1a b ，且a 与b 夹角为3，结合图像，如图，OA a ，OB b ，OC c ，∴a b OD，||OD ，∵||1c a b ，∴||||1OC OD DC，∴||||||1OC OD CD ，即||c1.12. 若无穷数列{}n a 满足：10a ，当n *N ，2n 时，1121||max{,,,}n n n a a a a a （其中121max{,,,}n a a a 表示121,,,n a a a 中的最大项），有以下结论： ① 若数列{}n a 是常数列，则0n a （n *N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d 的等差数列，则0d ； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q ；④ 若存在正整数T ，对任意n *N ，都有n T n a a ，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号） 【解析】由题意：2112||0a a a a 或212a a ，命题①：若数列{}n a 是常数列，则21100n a a a a ，∴命题①正确；命题②：若数列{}n a 是公差0d 的等差数列，则10d a 或10d a ，若10d a ， 则{}n a 递增，由321122||max{,}a a a a a a，∴3212||max{,}a a a a ，不符题意，∴10d a ，此时{}n a 递减，11121||max{,,,}n n n a a d a a a a ，∴命题②正确；命题③：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则212a a ，2q ，由10a ，∴{}n a 是递增数列，则212111max{,,,}2n n n a a a a a ，1221111||222n n n n n a a a a a ， ∴1121||max{,,,}n n n a a a a a ，∴命题③正确；命题④：当10a 时，则21100n a a a a ，显然成立，当10a 时，数列{}n a 不可能为常数列，∴212a a ，此时数列{}n a 是以周期为T 的周期数列，假设1a 不是{}n a 的最大项，在12,,,T a a a 中，一定存在这一最大项i a （1i T ，i *N ），由21211121||||max{,,,}T T i T a a a a a a a a a ，∴假设不成立，即1a 一定是数列{}n a 的最大项，∴命题④正确. ∴正确结论为①②③④.16. 在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y 上的动点，则a OM的取值范围为（ ）A. [2,2]B. [C. [55D. [5【解析】画出曲线||2||2x y ，即图中菱形PQSR ，a OA，由题意，OA PR ，OA QS ，∴结合向量数量积的几何意义，12OA OM OA OM OA OM，可求出125OM OM ，∴55OA OM ，即[2,2]a OM，故选A.十二. 金山区11. 设函数21()lg(1||)1f x x x，则使(2)(32)f x f x 成立的x 取值范围是 【解析】观察函数结构，可得函数性质，()()f x f x ，为偶函数，且当0x 时，函数 为增函数，∴由(2)(32)f x f x 可得|2||32|x x ，平方整理得251240x x ， 解得2(,)(2,)5x .12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ，||cos a ，||sin b ，(0,)2，若向量c a b (,) R ，且22221(21)cos (21)sin 9，则||c 的最小值为【解析】方法一：如图建系，(cos ,0)a ，(0,sin )b， ∴(cos ,sin )c ，设2(2cos ,2sin )OE c， (cos ,sin )OD a b ，∴||1OD， ∴((21)cos ,(21)sin )DE OE OD，∴由题意，1||3DE ，∴min 12||||||133OE OD DE ，∴min min 11||||23c OE .方法二：由(0,2，则cos (0,1) ，sin (0,1) ，设cos 3(21)cos sin 3(21)sin ，[0,2) ，则cos 16cos 2，sin 16sin 2 ， 则22222222221cos 1sin ||()cos sin (1)cos (1)sin 43cos 43sin c a b5151511(cos cos sin sin )cos()1861861869 ， ∴||c 的最小值为13.16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x，则方程1(2)f x a x （a R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 【解析】作出()f x 图像如图所示，设12u x x，作出12u x x的图像如图所示，当1a 时，则方程()1f u 由图可知有4个解，即1u 、2u 、3u 、4u ， 且14u ，2(0,1)u ，31u ，43u ，再由右图知方程112x u x，212x u x ，312x u x 和412x u x共有7个解，排除选项C ； 当2a 时，方程()2f u 有3个解124u ，2(0,1)u ，32u ， 则12u x x共有6个解，排除选项B ； 当(1,2)a 时，方程()f u a 有4个解1(4,24)u ，2(0,1)u ，3(1,2)u ，4(2,3)u ， 则12u x x共有8个解，排除选项D ；综上所述，选择A.十三. 奉贤区11. 点P1上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158， (0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE，则x y 的最大值是【解析】点1515(,88E，点(4,0)F ，1547EF k ，∴设直线EF 的法向量(15,47)OX， ∴OP OX xOF OX yOE OX ， 即6060OP OX x y，∴欲求x y 的最大值，即确定OP 在OX方向上投影的最大值，结合图像可知点P 在(0,3)处时，投影有最大值，此时1515(0,3)(4,)88OP xOF yOE x y y ，解得34x ，85y ，∴4720x y.12. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y 的两点，则1221x y x y 的最大值是 【解析】曲线方程为22(1)(2)5x y ，表示以(1,2)为半径的圆， 当A 、B 、O （也在圆上）逆时针排列时，112212211111()22001AOBx y S x y x y x y ，∵圆的内接正三角形的面积最大，∴21221max max ()2()242AOB x y x y S. 16. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x ，则称1x 、 2x 、3x 成“ 等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”的个数为（ ）A. 25B. 50C. 51D. 100【解析】由1x 、2x 、3x 成等差数列得：21332122x x x x x x ，代入123112x x x ，化简得：22112220x x x x ，∴122x x 或12x x （舍），当122x x 时，324x x ， 由于1x 、2x 、3{|||100,}x x x x Z ，且1x 、2x 、3x 不为零，∴2[25,0)(0,25]x ， 且2x Z ，∴符合题意的“ 等差数列”的个数为50，选B.十四. 静安区11. 集合12{|log ,12}A y y x x x ，2{|510}B x x tx ，若A B A ，则实数t 的取值范围是【解析】∵12log y x x 在[1,2]x 上单调递减，∴集合[3,1]A ，由题意，A B ，设2()51f x x tx ，即需满足(3)10150f t ，(1)250f t ，∴2(,3t . 12. 若定义在实数集R 上的奇函数()y f x 的图像关于直线1x 对称，且当01x 时，13()f x x ，则方程1()3f x 在区间(4,10) 内的所有实根之和为【解析】根据题意，画出图像，如图所示，可知1()3f x在区间(4,10) 内有8个实根， 由对称关系可知，12382(3)21252924x x x x .16. 设a 、b 表示平面向量，||a 、||b 都是小于9的正整数，且满足()(3)33a b a b， (||||)(||3||)105a b a b ，则a 和b的夹角大小为（ ）A.6 B.3C.23 D. 56 【解析】22||3||433a b a b ，22||3||4||||105a b a b ，设a 和b的夹角为 ，作差可得||||||||(1cos )18a b a b a b ，∵||a 、||b都是小于9的正整数，∴cos 为有理数，排除A 、D 选项. 若3，||||36a b ，由22||3||4||||105a b a b 得22||3||39a b ，不成立，排除B 选项，故选C.十五. 黄浦区11. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a、2a 、3a 、4a 、5a ，若i a 与j a的夹角记为ij ，其中i 、{1,2,3,4,5}j ，且i j ，则 ||cos i ij a的最大值为【解析】由||cos i ij a 几何意义，表示向量i a 在向量j a上的投影大小，如图，设1a AB ，2a AC ，3a AD ，4a AE，5a AF ，结合图像可知，||cos i ij a 的最大值为3a 在2a 或4a方向上的投影，∴3||cos 6a12. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为3的两条直线，且与圆心为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，那么122d d 的最小值为【解析】如图建系，设(cos ,sin )P ，根据题意，1:2l y ，2:2l y ，∴1sin 22d，2sin 22d ，1232sin 322d d ，333122d d 的最小值为3.16. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ）A. 22(||1)(1)0x y x yB. 22(1)0x yC. (||1)0x yD. 0【解析】由题意，A 选项，||1y x 或221x y ，如图①；B 选项，||1y x 或221||1x y y x ，如图②；C 选项，221||1x y y x 或221x y ，如图③；D 选项，||1y x 且221x y ，如图④. 故选C.。
上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测数学试题+Word版含答案
绝密★启用前上海市静安区2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=，)5,3(=，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示） 4．若直线x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-轴平行，则a 的值是__________．5．若α、β是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n ) 7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）8．已知314cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________． 10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π）11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）.（A ）m -42 （B ）2162m - （C ）822-m （D ）42-m15．已知下列4个命题： ①若复数的模相等，则是共轭复数． ②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．。
上海市静安区达标名校2019年高考三月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2019年高考三月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥2．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 3．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．434．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=05．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =6．已知非零向量,a b 满足0a b ⋅=，||3a =，且a 与a b +的夹角为4π，则||b =（ ） A ．6B ．32C ．22D ．37．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．239．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．15 C ．26D ．1510．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．2 C ．2 D ．22-11．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+12．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2πC ．3π D ．4π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测数学试卷(有答案)
静安区2018-2019学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________．5．若α、β是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅14．已知椭圆的标准方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题： ①若复数的模相等，则是共轭复数．②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若（），则.则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（ ）.（A ） （B ）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设，．（1）求函数的最大值；（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为i ni a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．． 5．． 6．.7．13795.16元 8．97． 9．.10．12288π cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD的中点，所以AE CD ⊥，又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥， 所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa aa a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解： (1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。
2019年上海市静安区高考数学模拟试卷
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞013．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小． 17．（14分）设双曲线C ：，F 1，F 2为其左右两个焦点．（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为，求动点P 的轨迹方程．18．（20分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．19．（18分）设集合M a ={f （x ）|存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有f （x +a ）＞f （x ）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2018年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=4．故答案为：4．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=s in[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价于x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x 2＜|x ﹣1|+a 的解集是区间（﹣3，3）的子集， 则，求得a ≤5，故答案为：（﹣∞，5]．9．（5分）已知f （x ）=a x ﹣b （a ＞0且a ≠1，b ∈R ），g （x ）=x +1，若对任意实数x 均有f （x ）•g （x ）≤0，则的最小值为 4 ．【解答】解：f （x ）=a x ﹣b ，g （x ）=x +1，那么：f （x ）•g （x ）≤0，即（a x ﹣b ）（x +1）≤0． 对任意实数x 均成立，可得a x ﹣b=0，x +1=0， 故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论： ①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ． 【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）=4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q=1，则S2015=2015a1＞0；若q≠1，则S2015=，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014=a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选C．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p ＞0），则有=2p （x ≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C 2上，代入求得2p=4，∴抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C 1：（a ＞b ＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C 1的标准方程为+y 2=1；由c==，左焦点（，0），C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离﹣1，故选B ．15．（5分）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a=a ⊕e=a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R ，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R ，使得对任意a ∈R ，都有1×a=a ×1=a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【解答】解：①若A=R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M．故选D．三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）18．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）综上：…（1分）20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5，∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m=3t﹣2（t∈N*）时：，当m=3t﹣1（t∈N*）时：，当m=3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。
2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解1. 选择题（每小题4分，共40分）1. 一辆小汽车以每小时50公里的速度行驶了4小时，再以每小时80公里的速度行驶2小时。
则小汽车这段行程的平均速度是多少？解析：设小汽车行驶的总路程为D，根据速度与时间的关系，可得：50 km/h × 4 h + 80 km/h × 2 h = D。
解方程得D = 400 km + 160 km = 560 km。
所以小汽车这段行程的平均速度为560 km ÷ 6 h = 93.33 km/h。
2. 若函数f(x)=x^2+2ax+a^2与g(x)=px^2+qax+qa^2在区间[-1,1]上的图象重合，且f(x) - g(x) =x 的根的个数为3，则p+q的值为多少？解析：在区间[-1,1]上，f(x)与g(x)重合可以得到以下两个方程：f(-1) - g(-1) = -1 (1)f(1) - g(1) = 1 (2)根据函数定义可得：f(-1) = (-1)^2 + 2a(-1) + a^2 = a^2 - 2a + 1g(-1) = p(-1)^2 + qa(-1) + qa^2 = p + (1-p) a^2f(1) = (1)^2 + 2a(1) + a^2 = a^2 + 2a + 1g(1) = p(1)^2 + q(1) + qa^2 = p + (1+q) a^2将上述结果代入方程(1)和方程(2)中，可得：a^2 - 2a + 1 -[p + (1-p) a^2] = -1 (1')a^2 + 2a + 1 -[p + (1+q) a^2] = 1 (2')将方程(1')和方程(2')展开并整理得：(p - 2) a^2- 2a = 0(1+p-q) a^2 + 2a = 0根据方程(1')和方程(2')同时成立，可得：p - 2 = 0 (3)1 + p - q = 0 (4)由方程(3)得p = 2，代入方程(4)可得q = -3。
静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22． 实数x ，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3） C．（，2） D．（，0）3． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 4． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．35． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°6． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除7． 已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O是坐标原点，且，那么实数a 的取值范围是（ ） A．B．C ．D．8． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i9． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β11．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37 12．已知复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．二、填空题13．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．17．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）． 18．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．三、解答题19．20．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．21．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．22．已知函数，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．23．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.24．在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=27，a 2+a 4=30试求：（1）a 1和公比q ；（2）前6项的和S 6．静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．考点：几何体的结构特征．2．【答案】D【解析】解：由题意作出其平面区域，将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，故由图象可知，使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（，2）成立，而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，故不成立；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．3．【答案】C【解析】考点：茎叶图，频率分布直方图．4．【答案】B【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，所以f（9）=log33=1．故选：B．【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，在点的切线的斜率为k=2×=1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．6．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7．【答案】A【解析】解：设AB的中点为C，则因为，所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，所以2（）2≥1，所以a≤﹣1或a≥1，因为＜1，所以﹣＜a＜，所以实数a的取值范围是，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．8．【答案】A【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，故选A．【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．9．【答案】A【解析】进行简单的合情推理．【专题】规律型；探究型．【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），括号内表示的10进制数，其最大值为9999；从大到小排列，第2013个数为9999﹣2013+1=7987所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7则第2013个数是故选A．【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．10．【答案】D【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．【答案】D【解析】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n中含x 一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，可得2m+5n=16 ①．再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，故含x 2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 12．【答案】D【解析】解：∵复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），∴z==﹣i ﹣1，∴|z|==．故选：D ．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．二、填空题13．【答案】12-考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．14．【答案】.【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，，时，直线y=2mx−1与y=ln x的图象相切，当m=12由图可知,当0<m<1时，y=ln x与y=2mx−1的图象有两个交点，2），则实数m的取值范围是（0,12故答案为：（0,1）.215．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为．∴点到直线l的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】﹣．【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）=，∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．17．【答案】180【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．18．【答案】0.6．【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．三、解答题19．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=为定值；（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（e x+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=e x+mx﹣m2，g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．21．【答案】【解析】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…这40辆小型车辆的平均车速为：（km/t）…（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆）车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f）（e，f）共15种其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共14种所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．22．【答案】【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得，所以．（Ⅱ）由，得，因为，所以对于任意，都有．设，则．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以 ． 所以的最小值为．（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证， 所以只要证．由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）． 所以只要证明当时，即可．设，所以， 令，解得． 由，得，所以在上为增函数．所以，即．所以．故函数的图象在直线的下方．23．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增.（2）7b e a ≤<【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不等式()'0h x >得b x e >求出单调增区间；解不等式()'0h x <得bx e<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35b a be +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7be a≤<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7ba<，由条件得()min 0h x ≤.①当345a b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b ba b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0ba e-+≤得.③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭52?2230553e b ba b e e b e----=>=>，∴当35b e a e >-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 24．【答案】【解析】解：（1）在等比数列{a n }中，由已知可得：…（3分）解得：或…（6分） （2）∵∴当时，．…（10分）当时，…（14分）【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．<2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-轴平行，则a 的值是__________． 5．若、是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率） 11．集合，，若，则实数的取值范围是__________． [12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）.（A ）m -42 （B ）2162m - （C ）822-m （D ）42-m15．已知下列4个命题：①若复数的模相等，则是共轭复数． ②都是复数，若是虚数，则的共轭复数． \③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O为坐标原点．若（），则. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（ ）.（A ） （B ）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）$如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．！—19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） ；设，．（1）求函数的最大值；（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是若存在，求出的值；若不存在，说明理由．FPA B CD E20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值； <（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni 若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测，高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．． 5．． 6．. 7．元 8．97． 9．.10．12288 cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC$ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）{解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，#所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角，设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， FP ABCDE Ga AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 、 解： (1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。
要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增,当时递减，所以根据题意得：， 于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意，122+=m m ，所以1=m ．所以椭圆Γ的方程为1322=+y x ，双曲线C 的方程为．$（2）双曲线C 的右顶点为)0,1(，因为，不妨设01>k ，则02<k ，设直线1l 的方程为)1(1-=x k y ， 由,得，则,()，.同理，，，又，所以，.因为Q P y y =，所以直线PQ 与x 轴平行，即PQ k 为定值0，倾斜角为0． （3）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为n x y +-=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,13,22y x n x y 整理得0336432=-+-n nx x ， △0)4(12)33(16)6(222>-=---=n n n ，故22<<-n ．\2321n x x =+，4)1(3221-=n x x ，设AB 的中点为),(00y x M ，则432210n x x x =+=，400nn x y =+-=， 又),(00y x M 在直线:l b kx y +=上，所以b n n +=434，)1,1(2-∈-=nb ． 因为)2,(11-=y x TA ，)2,(22-=y x TB ，所以)2,()2,()2,()2,(22112211-+-⋅-+-=-⋅-=⋅n x x n x x y x y x TB TA2222121)2(2)2(32)1(3)2())(2(2-+---=-++--=n n n n n x x n x x2525242522<++=+-=b b n n ，所以021<<-b ．又，。
即.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）%由，得,或且，所以61511x x S -=．又111+=+n n n x x x ，所以，615x x P =． 从而=1.（2）由11=x ，121>+=+n n n x x x ，因为11111+-=+n n n x x x ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-=+++1111111111n nn n n n n x x x x x x x ， 所以，2020202020191120181120191x x x x i i i +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+∑=， 因为)1,0(12020∈x ，所以2018120191=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x ． （3）若存在正整数n ，则由已知得，，且，因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，所以，,所以，，解得．所以存在正整数n=166，使得2019)(1=∑=i f ni .。