上海市普陀区2019届高三数学一模试卷
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c 16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2019年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2＝4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设球的半径为R，根据题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+1）5按照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【考点】4H：对数的运算性质；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，所以：sin x﹣cos x＝a0＝1，所以：sin x•cos x＝0，则：sin x﹣cos x＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为10.4万元（结果精确到0.1）【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【考点】9E：向量数乘和线性运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由圆的割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|，∴•＝||||cos0＝|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝a2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求出反函数，然后求出f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝a，所以等于a个a．【解答】解：由f（x）＝+log a，得f﹣1（x）＝，∴f﹣1（1﹣x）＝＝，∴f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝+＝a，∴原式＝a•a＝a2，故答案为：a2【点评】本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，即可得答案．【解答】解：关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，则渐近线方程为x±y＝0；焦点为（±3，0）；实轴2a＝2，顶点坐标为（±，0）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称【考点】H7：余弦函数的图象；HB：余弦函数的对称性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：对于选项：A，当x＝0时y＝，故错误．对于选项C：当x＝0时，y＝，故错误．对于选项D：当x＝时，y＝﹣，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C 中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．【解答】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a∥c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】分别作出y＝f（x）与直线y＝a（1＜a≤）的图象，观察交点个数即可【解答】解：由图可知：直线y＝a（0）与y＝f（x）在区间[﹣4，5]上的交点有8个，故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin C，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．（2）由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b＞c＝2，即可得解a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴2cos2+2sin2C＝1+cos（A+B）+2sin2C＝1﹣cos C+4sin C cos C＝1﹣+4×＝．…（6分）（2）∵c＝2，cos C＝，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴可得：（a+b）2＝4+ab≤，可得：a+b≤，当且仅当a＝b时等号成立，∵a+b＞c＝2，∴a+b的取值范围为：（2，]．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4C：分类法；4I：配方法；5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1•k2是定值；（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合＝λ（λ＞0），求得λ的值．【解答】（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），则，，∴k1•k2＝＝为定值；（2）解：设C（m，0）（﹣4＜m＜4），则＝＝．若m≥0，则＝7，解得m＝3．此时，，，由＝λ，得λ＝7；同理，若m＜0，可得m＝﹣3，此时求得．故λ的值为7或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，由此能求出OA1与平面A1A2A3所成角的大小．（2）推导出＝3，A1A2＝a，从而a＝cm，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料的长度．【解答】解：（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4＝l，则A1B＝，在Rt△A4A1B中，＝，即，∴l＝a，∴，cos∠OA1B＝＝（其中0＜），∴∠OA1B＝，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos．（2）＝3，根据（1）可得A1A2＝a，∴a＝cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：＝2（米）．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料2米．【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用关系式求出结果．（2）利用定义证明数列{﹣1}是等比数列，并求出极限值．（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k的值．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：，，（2）由于数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：（常数），所以：：{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，＝，＝2．（3）由于：，所以，，，所以：a n+1﹣a n＝＜0，所以：数列{a n}为递减数列，则：当n≥2时，k≤S2＝，所以：k＝1．所以：存在k＝1，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立．【点评】1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k 的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，可得解集；（2）根据g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；（3）根据h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），x∈[0，1]，均有|h（k）|，建立关系即可求解a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，即有2x≤3，解得x≤log23，即解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，即为1+2﹣2＝k（2﹣2）2，设t＝2﹣2，在（1，2]递增，可得＜t≤，（2+2）2＝2+2+2＝t2+4，即有1+＝kt2，则k＝+，设m＝，m∈[，），即有y＝m+，在m∈[，）递增，可得y∈（，]，即有k∈（，]，（3）h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，∵x∈[0，1]，∴v∈[1，2]，∴h（x）＝φ（v）＝4v2+av+b．若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（x）|，即对任意v∈[1，2]，|φ（v）|＝|4v2+av+b|．∴，解得：a＝﹣12，b＝13.5．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学(理)
上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学（理）一． 填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分、1.函数()22sin cos 22x x f x =-的最小正周期是 、 2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 、〔请用数值作答〕3.函数y =的定义域是 、 4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，那么当,,A B D 三点共线时，k = 、5.各项均为正数的等比数列{}n a中，131,1a a =那么此数列的各项和S = 、6.直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，那么点B 的坐标为 、7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 、8.假设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为)，那么该双曲线的标准方程为 、9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，那么这张纸的最小面积是 2cm 、10.给出问题：ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形、〔ii 〕设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔=故ABC ∆是等腰三角形、综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形、请问：该学生的解答是否正确？假设正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；假设不正确，请在下面横线中写出你认为此题正确的结果 、11.数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，假设102020,60,S S ==那么3010S S = 、12.假设一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，那么此球的体积为 、13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形〔如右图〕，需满足任意相邻〔有公共边的〕小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，那么符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 、14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，那么数列{}n a 的通项公式n a = 、二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个〔无论是否都写在空格内〕，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分、15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 〔 〕A 、充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，那么θ的值为〔 〕A 、arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 〔 〕A 、M N ⋃B 、M N ⋂C 、RC M N ⋂D 、R M C N ⋂A 、假设,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，那么a α⊥；B 、假设//,,a b b α≠⊂那么//a α；C 、假设,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，那么//a β；D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=那么//a b 、【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤、19、〔此题总分值12分〕函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数()26g x x x =--、当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值、20、〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点、（1） 求圆锥体的体积；（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小〔结果用反三角函数表示〕21、〔本大题总分值14分，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分〕ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1） 求()f x 的解析式及定义域； （2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由、22、〔本大题总分值16分，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分〕数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 假设抽去数列中的第一项、第四项、第七项、、、、、、、、第32n -项，、、、、、、，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在〔2〕的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？假设存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，假设不存在，请说明理由。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。
2019年上海市高三数学一模分类汇编：立体几何
2（2019杨浦一模）. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 5（2019普陀一模）. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 5（2019长嘉一模）. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 5（2019虹口一模）. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为5（2019青浦一模）. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为6（2019杨浦一模）. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm8（2019浦东一模）. ，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为8（2019崇明一模）. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9（2019普陀一模）. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为9（2019闵行一模）. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10（2019金山一模）. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是10（2019静安一模）. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）10（2019宝山一模）. 将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是14（2019徐汇一模）. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B. 163C. 163D. 128314（2019金山一模）. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2019虹口一模）. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14（2019奉贤一模）. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14（2019闵行一模）. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14（2019浦东一模）. 下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行15（2019黄浦一模）. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 615（2019青浦一模）. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15（2019普陀一模）. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥17（2019浦东一模）. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=.（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.17（2019金山一模）. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2019黄浦一模）. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30︒.（1）求该量杯的侧面积S ；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？17（2019奉贤一模）. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的 体积是83，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.17（2019青浦一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.17（2019闵行一模）. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.17（2019宝山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.17（2019崇明一模）. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.17（2019徐汇一模）. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.17（2019虹口一模）. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.17（2019杨浦一模）. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18（2019静安一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA AC AB ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（2019长嘉一模）. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19（2019普陀一模）. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学〔理〕考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟. 一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，那么A B =. 4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.5.【理科】假设函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，那么=--)8(1f .6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式 为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕.（第4题图）8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-〕的部分图像如右图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11.【理科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=-)10(f _.12.【理科】假设)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，那么11MC MD+的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的〔〕（第13题图）SBAEHGFA.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16.【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--〔22b a >>λ〕的焦点坐标为〔〕 A.)0,(22b a +±.B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a .D.),0(22b a +±. 17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是〔〕 A.7B.8C.9D.1018.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断 正确的选项是．．．．．．〔〕 A.满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个. C.λμ+的最大值为3. D.λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .P（第18题图）〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，假设AF AK 2=，求△AFK 的面积21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题题8分.a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈（第20题图）都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、 23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； 〔2〕假设函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上的解析式.参考答案【一】填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 605.936.32n a n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题15. 16. 17. 18. BBDC三、解答题19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p ，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分〔2〕过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.【解】〔1〕在ABC △中，…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分 由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，那么11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分 设),(n n n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121210911092323n n n n n nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有pa n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立 (2)分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
上海普陀区2019高考一模--数学(文科)
上海普陀区2019高考一模--数学（文科）考生注意：2018.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,,2,}3，那么A B =. 4.【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为.5.【文科】假设函数x x f 3log 1)(-=，那么=--)8(1f.6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意 取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕. 8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB .11.【文科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=)10(f _. 12.【文科】假设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，那么（第13题图）S B ACE HGFA BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）2111MF MF +的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………〔〕 〔A 〕充分非必要条件.〔B 〕必要非充分条件. 〔C 〕充要条件.〔D 〕非充分非必要条件. 16.【文科】双曲线17922=-+-λλy x 〔97<<λ〕的焦点坐标为…………………………〔〕〔A 〕)0,4(±.〔B 〕)0,2(±. 〔C 〕)4,0(±.〔D 〕)2,0(±.17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是…………………〔〕 〔A 〕7.〔B 〕8.〔C 〕9.〔D 〕10.18.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．…………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. 〔B 〕满足1λμ+=的点P 有且只有一个.P（第18题图）〔C 〕λμ+的最大值为3. 〔D 〕λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程； （2）记点)0,2(-K ，假设AFAK 2=，求△AFK 的面积.21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题6分，第2a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、 〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕假设函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.〔2〕假设集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M上是否互为“H 函数”，并说明理由.（第20题图） 6cm〔3〕函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点nA 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点nA 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n AB B A ++的面积为n a ，求na 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的na ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、2018学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.[1,3]2.π3.}0,1{- 4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.的规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克. 20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AK 是等腰直角三角形………2分其中|所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.ABC △A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，那么11=-+n n x x，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n=⋅-+=1)1(1………2分 即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分 〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n-)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(nn n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121************n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈ ))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分. 当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈ (2)分(假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学（理）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定旳区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号旳空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式1|2|≤-x 旳解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=旳最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成旳角旳大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.【理科】若函数3()log f x a x =-旳图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .6. 若等差数列}{n a 旳前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 旳通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地旳五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第4题图）取两个，则编号旳和是奇数旳概率为 （结果用最简分数表示）. 8.在210(2x 旳二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）旳部分图像如右图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上旳动点，则11MC MD+ 旳最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 旳中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分旳体积之比为 . 14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅旳取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸旳相应编号上，将代表答案旳小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.（第13题图）S BAEHGF15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”旳（ ）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）旳焦点坐标为（ ） A.)0,(22b a +±. B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a . D.),0(22b a +±. 17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +旳值不可能．．．是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形旳边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断 正确．．旳是（ ） A.满足λμ+2=旳点P 必为BC 旳中点. B.满足1λμ+=旳点P 有且只有一个. C.λμ+旳最大值为3. D.λμ+旳最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.P（第18题图）如图，某种水箱用旳“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球旳直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”旳体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 旳距离相等. （1）求动点A 旳轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 旳面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠旳对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（第20题图）（第19题图）6cm（2）求)42cos(π-B 旳值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 旳坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++旳面积为n a ，求na 旳表达式；（3）对于（2）中旳na ，是否存在最小旳正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 旳值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上旳函数,对于任意旳x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； （2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上旳解析式.参考答案一、填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-（*N n ∈） 7.53 8.180 9.1-10.3 11.【理科】1021【文科】102 12.1 13.1:114.)2,43[二、选择题15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”旳表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”旳表面积旳和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶旳质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球旳体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 旳轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 旳轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形 ………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分 （2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a b A B=则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. (1)分（证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴旳交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项旳最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小旳正整数p旳值为6，所以，存在最小旳自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 （2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意旳M x ∈ ))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(l o g --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出旳答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π旳非空子集，扣1分，以示区别。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市普陀区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数2()f x x
的定义域为 2. 若1sin 3
，则cos()2 3. 设11{,,1,2,3}32 ，若()f x x 为偶函数，则 4. 若直线l 经过抛物线2:4C y x 的焦点且其一个方向向量为(1,1)d ，则直线l 的方程为
5. 若一个球的体积是其半径的43
倍，则该球的表面积为 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中 随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）
7. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x ），则3a （结果用数值表示）
8. 设0a 且1a ，若log (sin cos )0a x x ，
则88sin cos x x
9. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为4，
记1111A C B D F ，11BC B C E ，若AE BF ，
则此棱柱的体积为
10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工 资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）
11. 已知点(2,0)A ，设B 、C 是圆22:1O x y 上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC （其中t 为实数），则AB AC
12. 记a 为常数，记函数1()log 2
a x f x a x （0a 且1a ，0x a ）的反函数为1()f x ，则11111232()()()()21212121
a f f f f a a a a
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列关于双曲线22:163
x y 的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y B. 焦点坐标为(3,0)
C. 实轴长为12
D. 顶点坐标为(6,0)
14. 函数2cos(2)4y x
的图像（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于点3(,0)8
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线4x
轴对称
15. 若a 、b 、c 表示直线， 、 表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是 （ ）
A. a b ，b c
B. a ∥ ，b ∥
C. a ，b
D. a ∥c ，b c
16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x
，记 ()()g x f x a ，若102
a ，则函数()g x 在区间[4,5] 上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4
C
. （1）求22cos 2sin 22A B C 的值； （2）设2c ，求a b 的取值范围.
18. 已知曲线22:11612
x y 的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线 上的任意一点. （1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 是定值； （2）设点C 满足AC CB （0 ），且||PC 的最大值为7，求 的值.
19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后， 总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i ）.
（1）记i OA a （0a ），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100 枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？
20. 设数列{}n a 满足135a ，132n n n a a a （n *N ）. （1）求2a 、3a 的值；
（2）求证：1{1}n a 是等比数列，并求1
2111lim()n n n a a a 的值； （3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n *N 且2n ）均有n S k 成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.
21. 已知函数()2x f x （x R ），记()()()g x f x f x .
（1）解不等式：(2)()6f x f x ；
（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ，使得200(2)()1g x k g x 成立，求k 取值范围；
（3）记()(22)()h x f x a f x b （其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ，均 有1|()|2
h x
，求a 、b 的值.
参考答案
一. 填空题
1. (,0)(0,1]
2. 13
3. 2
4. 1y x
5. 4
6. 712
7. 0 8. 1
9. 10. 10.4 11. 3 12. 2a
二. 选择题
13. B 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）68 ；（2）(2,]3.
18.（1）3
4 ；（2）7或1
7.
19.（1）arccos 3（2）3
4200.6.
20.（1）29
13a ，327
35a ；（2）2；（3）1k .
21.（1）2(,log 3] ；（2）271
19
[,)2259；（3）12a ，17
2b .。