2019年数学高考一模试卷(及答案)
南通市2019届高三一模数学试卷及答案
南通市2019届高三一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。
10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ④ 数列{lg a 2n }是等比数列.其中正确的命题有 个.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 .13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点.已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|a m b m＝3a p b p，m ，p ∈N *.2019届高三年级第一次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程；(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.南通市2019届高三一模数学参考答案1. {0，1，3}2. 53. 34. 75. 23 6. 547. －6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 2 5 13. ⎝⎛⎭⎫－4，43 14. 337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点， 所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， 所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ， 所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点， 从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin Bcos B ＝1.又因为0<B<π， 所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63， 由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22， 所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5 m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.① 当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)② 如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC 2＋CD 2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax 2. ① 当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ② 当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ① 由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2. 因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0， 所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ① 设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)② 由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2n －1， 所以c n ＋1c n ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p，得c m ＝3c p >c p ， 所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意； 当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln 2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21. A. 由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002， 则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0， 所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)C. 由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个； 第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个， 所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个.同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则律得零分。
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝（﹣∞，0），则A∩B＝．2．（4分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题．3．（4分）不等式2＜（）3（x﹣1）的解集为．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为．5．（4分）已知直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为．6．（4分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||＝．7．（5分）已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是．8．（5分）设函数f（x）＝sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω＝．9．（5分）2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有种．10．（5分）设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则＝．11．（5分）已函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、、满足||＝1，||＝||＝2，且＝0，则当0≤λ≤1时，|﹣λ﹣（1﹣λ）|的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则律得零分。
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为（）A．B．1C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a时，f（x）＝e x﹣2a．若A，B是函数f（x）图象上的两个动点，点P（a，0），则当的最小值为0时，函数f（x）的最小值为（）A．e B．e﹣1C．e D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．14．（5分）（2x+）4展开式的常数项是．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，，则a5＝．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，P A ⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMD；（Ⅱ）当P A＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y之间的关系，经统计得到如下数据：（Ⅰ）已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）；（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线＝x的斜率和截距最小二乘估计分别为：＝，＝．参考数据：x i y i＝8440，x＝25564．20．（12分）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P 满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|．（Ⅰ）求不等式f（x）﹣3＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱AO与底面OCB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是直角三角形，直角边长为2；4；∴OA＝6，∴棱锥的体积V＝＝8．故选：B．4．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（0，1），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z＝1．故选：A．5．【解答】解：执行如图所示的程序框图如下，n＝1时，S＝＝，n＝3时，S＝+＝，n＝5时，S＝++＝，n＝7时，S＝+++＝，满足循环终止条件，此时n＝9，则输出的n值是9．故选：C．6．【解答】解：∵2+a5＝a6+a3，∴a4＝2，S7＝＝7a4＝14．故选：B．7．【解答】解：“x＜﹣2”推不出“ln（x+3）＜0”，反正成立，所以“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件，所以A不正确；函数的最小值为3+；所以B不正确；当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”是真命题，所以它的逆否命题为真命题；所以C正确；命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”不满足命题的否定形式，所以D不正确；故选：C．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+2cos x，其导数函数f′（x）＝3﹣2sin x，则有f′（x）＝3﹣2sin x＞0在R上恒成立，则f（x）在R上为增函数；又由2＝log24＜log27＜3＜，则b＜c＜a；故选：D．9．【解答】解：高各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱长为2，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），M（，1，1），B（，1，0），N（0，1，0），＝（，﹣1），＝（﹣，0，0），设异面直线A1M与BN所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线A1M与BN所成角的正切值为．故选：C．10．【解答】解：设齐王上等，中等，下等马分别为A，B，C，田忌上等，中等，下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，b），（B，c），（C，c），共6种，∴齐王的马获胜的概率为p＝＝．故选：C．11．【解答】解如图，显然的模不为0，故当最小值为0时，只能是图中的情况，此时，P A⊥PB，且P A，PB与函数图象相切，根据对称性，易得∠BPD＝45°，设B（x0，y0），当x≥a时，f′（x）＝e x﹣2a，∴∴x0＝2a∵P（a，0）∴PD＝a，∴BD＝a，即B（2a，a），∴e2a﹣2a＝a，∴a＝1，∴当x≥1时，f（x）＝e x﹣2，递增，故其最小值为：e﹣1，根据对称性可知，函数f（x）在R上最小值为e﹣1．故选：B．12．【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则，则m＝，n＝，∴mn＝＝，∴（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）＝＝，令＝t＞1，则f（t）＝．f′（t）＝＝，∴当t＝2时，函数f（t）取得最小值f（2）．∴．∴e＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则F到渐近线的距离为d＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2415．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，a n+1＝S n，①，则：当n≥2时，a n＝S n﹣1②①﹣②得：a n+1﹣a n＝a n，所以：（常数），所以：数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以：（首项不符合通项）．故：，当n＝5时，．故答案为：3216．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝（2分）即＝，（4分）∴a＝（6分）（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝（8分）∵a＞b，∴B＝，（9分）C＝π﹣A﹣B＝（10分）∴S△ABC＝＝＝（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结AC，交BD于点O，连结MO，∵M，O分别为PC，AC的中点，∴P A∥MO∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（Ⅱ）如图，取线段BC的中点H，连结AH，∵ABCD为菱形，∠ABC＝，∴AH⊥AD，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∴A（0，0，0），B（），C（），P（0，0，），M（），∴＝（，），＝（0，2，0），＝（），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，∴＝（1，0，1），设直线AM与平面PBC所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＝（38+48+58+68+78+88）＝63，＝（16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8）＝21.5，＝≈0.2，＝﹣＝8.9，故所求回归方程是：＝0.2x+8.9；（Ⅱ）由题意知X的所有可能为0，1，2，∵P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为：故E（X）＝0×+1×+2×＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），∵，∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），即，∴，∵|AB|＝4，∴m2+n2＝16，∴，∴曲线C的方程为：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得﹣，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴k HM+k HN＝＝＝4﹣＝1，解得t＝3，故t的值为3．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（x）＝，∵当a＜0，x＞0时，有ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由题意当a＝1时，不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，即xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣恒成立，设g（x）＝e x﹣﹣，则g′（x）＝，设h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+，当x＞0时，有h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，故函数h（x）有唯一零点x0，且＜x0＜1，故当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增，即g（x0）为g（x）在定义域内的最小值，故b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0，得x0＝﹣，＜x0＜1，…（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，故方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，即lnx0＝﹣x0，＝，故g（x）的最小值g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x+2y，整理得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．得到：，化简得：，所以：（t 1和t2为A、B对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当x≥，f（x）﹣3＝2x﹣1++1﹣3＜0，解得x＜，即有≤x ＜；当﹣2＜x＜时，f（x）﹣3＝1﹣2x++1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有﹣＜x＜；当x≤﹣2时，f（x）﹣3＝1﹣2x﹣﹣1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有x∈∅．综上可得原不等式的解集为（﹣，）：（Ⅱ）由f（x）＝，可得f（x）的值域为[，+∞），关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，可得m2+2m+＜，即m2+2m＜0，解得﹣2＜m＜0，则m的范围是（﹣2，0）．。
2019年上海市金山区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{2，4，5，6，8}，则A∩B＝．2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是．3．（4分）计算：＝．4．（4分）不等式|3x﹣2|＜1的解集为．5．（4分）若复数z＝（3+4i）（1﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝．6．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，则f﹣1（5）＝．7．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．8．（5分）在（x3）10二项展开式中，常数项的值是．（结果用数值表示）9．（5分）无穷等比数列{a n}各项和S的值为2，公比q＜0，则首项a1的取值范围是．10．（5分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是．11．（5分）设函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，则使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、满足条件：＝0，||＝cosα，||＝sinα，α∈（0，），若向量＝（λ，μ∈R）．且（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则||的最小值为．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣114．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要15．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位，x∈R，e为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程f（x+﹣2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（）A．5个B．6个C．7个D．8个三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）（1）求行列式的值；（2）若函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα（x∈R），求函数f（﹣2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时x的值．19．（14分）设函数f（x）＝2x﹣1的反函数为f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）若f﹣1（x）≤g（x），求x的取值范围D；（2）在（1）的条件下，设H（x）＝g（x）﹣f﹣1（x），当x∈D时，函数H（x）的图象与直线y＝a有公共点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆C以坐标原点为中心，焦点在y轴上，焦距为2，且经过点（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；（3）在（2）的条件下，当0＜a＜1时，设△QOA的面积为S1（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为S2•若正数m满足S1≤mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．21．（18分）在等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝15，a6＝1l．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m+1，22m+1）内的项的个数记为{b m}，记数列{b m}的前m项和S m，求使得S m＞2018的最小整数m；（3）若n∈N*，使不等式a n+≤（2n+1）λ≤a n+1+成立，求实数λ的取值范围．2019年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．【解答】解：A∩B＝{5，6}．故答案为：{5，6}．2．【解答】解：∵2p＝4，∴p＝2，开口向右，∴准线方程是x＝﹣1．故答案为x＝﹣1．3．【解答】解：．故答案为：．4．【解答】解：∵|3x﹣2|＜1⇔﹣1＜3x﹣2＜1⇔1＜3x＜3，∴＜x＜1∴不等式|3x﹣2|＜1的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．5．【解答】解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝7+i，∴|z|＝．故答案为：．6．【解答】解：根据题意，令f（x）＝1+log2x＝5，得log2x＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．7．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为＝；故答案为：．8．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．9．【解答】解：由题意可得，，﹣1＜q＜0a1＝2（1﹣q）∴2＜a1＜4故答案为：（2，4）10．【解答】解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又120°的二面角内，故∠AOB＝60°∵半径为10cm的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的最短距离是6×＝2π．故答案为：2π．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，∴f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是∪（2，+∞）．故答案为：∪（2，+∞）．12．【解答】解：由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设∵＝＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则，即，∴C在以D（）为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴||mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为：．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．14．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选：C．15．【解答】解：e2018i＝cos2018+i sin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＞0．sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，∴e2018i表示的复数在复平面中位于第一象限．故选：A．16．【解答】解：如图所示：∵函数f（x）＝，即f（x）＝．因为当f（x）＝1时，求得x＝﹣4，或，或1，或3．则①当a＝1时，由方程f（x+﹣2）＝a（a∈R），可得x+﹣2＝﹣4，或，或1，或3．又因为x+﹣2≥0，或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时，只有一个x＝﹣2 与之对应，其它3种情况都有2个x值与之对应．故此时，原方程f（x+﹣2）＝a的实数根有7个根．②当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故原方程有8个根．②当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故原方程有6个根．综上：不可能有5个根，故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．【解答】解：（1）因为P A⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB＝2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN＝1，异面直线PM与AC所成的角为18．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣3，）可得：sinα＝，cosα＝，tanα＝．（1）行列式＝sinαcosα﹣tanα＝；（2）函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα＝cos x那么函数y＝f（﹣2x）+2f2（x）＝cos（）+2cos2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，当2x+＝时，即x＝kπ，函数y取得最大值为3．19．【解答】解：（1）f﹣1（x）＝log2（x+1），…（3分）由log2（x+1）≤log4（3x+1），∴…．（6分）解得0≤x≤1，∴D＝[0，1]﹣﹣﹣．（8分）（2），…..（10分）∴，…（12分）当x∈[0，1]时，单调递增，∴H（x）单调递增，…．（14分）∴因此当时满足条件．…（16分）20．【解答】解：（1）由题意得：2c＝2，b＝1，故a2＝b2+c2＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）设P（x，y），则y2＝2﹣2x2．∴|P A|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2＝﹣（x+a）2+2a2+2，令f（x）＝﹣（x+a）2+2a2+2，x∈[﹣1，1]，所以，当﹣a＜﹣1，即a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上是减函数，[f（x）]max＝f（﹣1）＝（a+1）2；当﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，﹣a]上是增函数，在[﹣a，1]上是减函数，则[f（x）]max＝f（﹣a）＝2a2+2；当﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，[f（x）]max＝f（1）＝（a﹣1）2．所以，d（a）＝．（3）当0＜a＜1时，P（a，±），于是S1＝a，S2＝2a2+2，若正数m满足条件，则a≤m（2a2+2），即m≥，m2≥．令f（a）＝，设t＝a2+1，则t∈（1，2），则a2＝t﹣1．于是f（a）＝＝（﹣+﹣1）＝﹣（﹣）2+，∴当＝时，即t＝∈（1，2）时，[f（a）]max＝，即m2≥，m≥．所以，m存在最小值21．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由，解得，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）对任意m∈N*，若2m+1＜2n﹣1＜22m+1，则，∴b m＝22m﹣2m，m∈N*，S m＝（22+24+26+…+22m）﹣（2+22+23+…+2m）＝﹣＝．令＞2018，解得m ＞≈5.3，∴所求的最小整数m为6．（3）≤（2n+1）λ≤，，记A n ＝，B n＝1+，n∈N*，由A n+1﹣A n ＝﹣＝，知A1＝A2，且从第二项起，{A n}递增，即A1＝A2，A3＜A4＜…＜A n，∵B n＝1+递减，∴实数λ的范围为[A1，B1]，即[]．第11页（共11页）。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，∴∁U A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，所对应的直线的倾斜角分别为90°，∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积＝×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】无穷等比数列{a n}中，，推出0＜|q|＜1，然后求出首项a1的取值范围．【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0∴0＜a1＜1且a1≠故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先化简集合A，由B⊆A，得，得﹣1≤a≤0．【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．故答案为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是﹣1．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）＝A32＝﹣＝﹣（4×2x﹣4×4x）＝﹣2x+2（1﹣2x），令y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x）＝0，解得：x＝﹣1，即可求得y ＝1+f（x）的零点．【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，解得：2x＝，x＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合∠Z1OZ2＝90°可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期．【解答】解：由题意，Z1（cos x，2f（x）），，∴∠Z1OZ2＝90°，∴，即2f（x）＝﹣，∴f（x）＝．则函数f（x）的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+[+]+[+]，利用均值不等式得出式子的最小值．【解答】解：∵（+）a2＝（+）[x+（a﹣x）]2＝（+）[x2+2x（a﹣x）+（a﹣x）2]＝2+[+]+[+]≥2+4+2＝8∴+≥∴≥2'∴0＜a≤2．【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为3，4．【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】求得n＝1，2，3，4，5时，数列{b n}的前5项，即可求出通项公式，再求得d 和首项a1，得到等差数列{a n}的通项公式，求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k ＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．【解答】解：T n+＝（﹣1）n b n（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，d＝a5＝b2，可得d＝a1+4d＝，解得a1＝﹣，d＝，a n＝，设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可看出f（x）＝arcsin x在[﹣1，1]上单调递增，y＝lg|x|和f（x）＝cos x都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．【解答】A．f（x）＝arcsin x在区间[﹣1，1]上单调递增；∴该选项错误；B．y＝lg|x|为偶函数，∴该选项错误；C．f（x）＝﹣x是奇函数，且在[﹣1，1]上单调递减；∴该选项正确；D．f（x）＝cos x是偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，再比较，，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），∴sinθ∈（0，1），故f（x）在（0，+∞）上为减函数．∵a＝f（），b＝f（），c＝f（），∵≥＞0，∴a＝f（）≤b＝f （），a≤b．又≤＝，即）≥，∴b＝f（）≤c＝f（），即b≤c．综上，a≤b≤c，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【考点】19：集合的相等．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合．【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵P A＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又P A⊥BC，BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF⊂平面P AB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，由sin B＞sin A，可得A为锐角，可求cos A，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos C 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac≤13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∵sin B＝＞sin A＝，∴B＞A，可得A为锐角，∴cos A＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．（2）证明：∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：a2+c2﹣ac＝16，∵a2+c2≥2ac，∴解得：ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立，∴＝ac cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣ac≥﹣5．得证．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解出即可得出．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．可得获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解得：3≤x≤10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为[3，10]．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．则获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．由反比例函数的单调性可得：f（t）在t∈[90，900]单调递减．∴t＝90时，即该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．故该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值．【解答】（1）解：由抛物线C：y2＝4x，得2p＝4，则p＝2，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（x M，y M），则M（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得，，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，可得；（3）解：若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，由（2）可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|＝（）•＝[﹣]•＝（），令t＝＝＝，得时，t取得最大值．x P＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S＝在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，∴△P AB面积的最小值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a n＝2n+cos，可得a1＝2，a2＝3，a3＝8，M3，m3．即可得出b3．（2）充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，可得b n＝，b n+1＝．b n+1﹣b n＝常数，即可证明“数列{b n}是等差数列”．必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n ＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．由|b n|＝1，b n＝1或﹣1，对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反．在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…．﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…，＝﹣1，＝1.＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，必有＞，＝．可得＝+4.＝＝+4．k i＞k i﹣1，k i≥k i﹣1+1，≥+1，≥+4，﹣≥4．利用累加求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵a n＝2n+cos，∴a1＝2，a2＝3，a3＝8，∴M3＝8，m3＝2．∴b3＝＝5．（2）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n＝，b n+1＝．∴b n+1﹣b n＝，故“数列{b n}是等差数列”必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′则b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，则b n+1﹣b n＝﹣＝＝d′，即a n+1﹣a n＝2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．∵|b n|＝1，∴b n＝1或﹣1，∴对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反∴在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…且﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…∵＝﹣1，＝1即＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，∴必有＞，＝．可得＝+4．∴＝＝+4．∵k i＞k i﹣1∴k i≥k i﹣1+1∴≥+1∴≥+4∴﹣≥4．利用累加求和方法可得：≥+4（m﹣1），∴≥+4×（1010﹣1）＞﹣2018+4036＝2018．这与|a n|＜2018矛盾，故假设错误，∴存在K∈N*，使∀n≥K，有b n+1＝b n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
[数学]2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷带答案解析
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-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。
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A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
6．函数 f (x) x ln x 的大致图像为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知 m, n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m ， m n ，则 n ；
②若 m ， n ，则 m n ；
，已知曲线
C
:
x
3 cos a （ a 为参数），在以 O 原点为极点，
y sin a
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
2 cos( ) 1 ．
2
4
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）过点 M 1,0 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A ， B 两点，求点 M 到 A ， B 的距
y 0
16．已知 sin cos 1， cos sin 0 ，则 sin __________．
17． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2 ， c 3， C 2B ，则 ABC 的面积为______．
x 2y 2 0
18．若
x
，
y
满足约束条件
③若 m, nn 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.
其中为真命题的是（ ）
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④
8．已知双曲线 C
：
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的焦距为 2c ，焦点到双曲线 C
的渐近线的距
离为 3 c ，则双曲线的渐近线方程为（） 2
A． y 3x
B． y 2x
C． y x
D． y 2x
9．函数
f
x
sin
2x
2
的图象向右平移
6
个单位后关于原点对称，则函数
f
x
在
2
,
0
上的最大值为（）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
10．一个样本 a,3,4,5,6 的平均数是 b，且不等式 x2－6x＋c＜0 的解集为(a，b)，则这个
A． 45
B． 50
C． 55
D．
二、填空题
13．若三点 A(2,3), B(3, 2),C(1 , m) 共线，则 m的值为
．
2
14．函数
f
x
x2 2, x 0
的零点个数是________．
2x 6 lnx, x 0
2x y 4 15．已知实数 x ， y 满足 x 2 y 4 ，则 z 3x 2y 的最小值是__________．
样本的标准差是( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
11．已知锐角三角形的边长分别为 2，3， x ，则 x 的取值范围是（ ）
A． 5 x 13
B． 13 x 5
C． 2 x 5
D． 5 x 5
12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
20, 40,40,60,60,80,[80,100]. 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是( )
（1）求证:平面 EAC 平面 PBC ；
（2）若 E 是 PB 的中点，且二面角 P AC E 的余弦值是 6 ，求直线 PA 与平面 EAC 3
所成角的正弦值.
24．设函数 f (x) x 1 x 5 , x R .
（1）求不等式 f (x) 10 的解集；
（2）如果关于 x 的不等式 f (x) a (x 7)2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
A．（-1,2）
B．（0，1）
C．（-1,0）
D．（1,2）
4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“三个人去
的景点各不相同”，事件 B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则 P(A | B)
等于（ ）
A． 4 9
B． 2 9
C． 1 2
D． 1 3
5．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；
（1）证明：函数 f (x) 在 (1, ) 上为增函数； （2）用反证法证明： f (x) 0 没有负数根．
22．如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D,E 分别是 AB，BB1 的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面 A1CD;
（Ⅱ）设 AA1= AC=CB=2，AB=2 2 ，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积. 23．如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PC 底面 ABCD ， AB AD ， AB / /CD ， AB 2 ， AD CD 1， E 是 PB 上一点.
2019 年数学高考一模试卷(及答案)
一、选择题
1．如图，点 是抛物线
的焦点，点 , 分别在抛物线 和圆
线部分上运动，且 总是平行于 轴，则
周长的取值范围是( )
的实
A．
B．
C．
D．
2．设函数
f
x
l4oxg, 2x1
0
x
,
x
0
，则
f
3
f
log2 3
（
）
A．9
B．11
C．13
D．15
3．已知集合 P x -1<x 1，Q=x 0 x 2 ，那么 P Q=
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
19．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ .
20．函数 y= 3 2x x2 的定义域是 . 三、解答题
21．已知函数 f (x) ax x 2 (a 1) ． x 1
25．选修 4-5：不等式选讲
设函数 f (x) | x 2 | | x 1| . （1）求 f (x) 的最小值及取得最小值时 x 的取值范围； （2）若集合{x | f (x) ax 1 0} R ，求实数 a 的取值范围.
26．（选修 4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系
xOy
离之积．
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1），半径 r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2， |AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，即可得出三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，利用 1＜ yB＜3，即可得出． 【详解】 抛物线 x2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为 y＝﹣1， 圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径 r＝2， ∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA， ∴三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3， ∵1＜yB＜3， ∴三角形 ABF 的周长的取值范围是（4，6）．