2012-2013《高等代数II》春季学期期末试卷B
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
2012-2013学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。
2012-2013-1线代B卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（3分⨯5）1. 13223441a a a a2. 1k ≠-3. 34. n,0,0,….05. 2M 二. 单选题（3分×5）1. B2. A3. D4. C5.B 三. 计算题1．解：1234234134124123 =111123411034124123……………………………………..4分111111110121012110101600121004003210044--===------- …………….10分2. 解：()2A E B A -=……………………………………………………………3分()2330332110110121123A E A ⎛-⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭初等行变换~100033010123001110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭……… 8分 1033(2)123110B A E A -⎛⎫⎪∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………. 10分四、计算题1、解：设矩阵[]123A ααα= …………………………………………………2分因为 ()()212123101t A t t t ⎡⎤⎢⎥=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………………………5分当3t =或者2t =-时，矩阵A 是不可逆的，因此向量组T 是线性相关的……….7分 当3t ≠且2t ≠-时，矩阵A 是可逆的，因此向量组T 是线性无关的…………….10分2、解：方程组的增广矩阵()111112,111111112111~B A b λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()()2112112011311300242002122~~λλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++-+⎝⎭⎝⎭……5分 (1) 若2λ≠-且1λ≠，()()3R A R B ==方程组有唯一解。
…………………8分 (2) 若()()1,R A R B λ=<，方程组无解。
2013-2014(2)线性代数(B)
10 分
8 满分 得分
10 分
三、证明题
1 满分 得分 6分
2 满分 得分
6分
7. 用矩阵符号表示二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2x2 (1 t ) x3 2x1 x2 2 t x1 x3 , 并求 t 的取值范 围使该二次型为正定二次型。 8．求一个正交变换，将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1 x2 x3 4x 2 x3 化为标准形。
满分 得分
满分 得分
题 一 号
1
16 分
2
武汉轻工大学 2013－2014 学年第 2 学期考试答卷
7 1 8 2 3 6 5
4
3 课程名称 线性代数（B 卷） 4 二 5 6 7 8 1 三 2
总分
3 满分 得分
10 分
4 满分 得分
10 分
5 满分 得分
10 分
6 满分 得分
10 分
7 满分 得分
x1 x 2 kx3 4 2 5. 设有线性方程组 x1 kx2 x3 k ，问 k 为何值时，此方程组（1）有唯一解； （2）无解； （3） x x 2 x 4 2 3 1
有无穷多组解？
x1 x 2 2 x3 x 4 3 6、求非齐次线性方程组 x1 2 x 2 x3 x 4 2 的通解和对应的齐次线性方程组的基础解系。 2 x1 x 2 5 x3 4 x 4 7 2 x1 3x 2 3x3 5
1 0 1 3 0 0 1 3．设 A 1 1 0 ， B 0 1 0 ，且 AX B ，求 A 及矩阵 X 。 0 1 2 0 1 4
中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。
2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。
3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。
1η是非齐次线性方程组的特解。
所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。
4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。
2012-2013年高等数学A(二)期末试题
7.计算对坐标的曲面积分 I = 柱面 ������ 2 +������ 2 =1 及 z=0 ,z=2 所围成的柱面。
,其中∑是
8.判断正项级数
的敛性，说明理由。
2x+2y-z+23=0
9.求过点
M(1,1,2)和直线
3x+8y+z-18=0
的平面方程。
10.求曲面 z =2y + ln
������ ������
，其中积分区域������是由 x=0，x=2，y=0，y=2，z=0，z=2 所围成的空间
4.求幂级数
的收敛区间。
三、应用题(2×10’=20’) 1.用钢板做一个容积为 8cm 的无盖长方体箱子，试问其长、宽、高各为多少 cm 时，可使所使用的钢板最省？
3
2.设有连结点 O(0,0) 和 A(1,1) 的一段向上凸的曲线弧 OA，对于曲线弧 OA 上任意一点 P(x,y)，曲线弧 OP 与直线 段 OP 所围图形的面积为������ 2 ，求曲线弧 OA 的方程。
四、证明题(1×6’=6’) 验证 (2������������������������ ������ + ������ 2 cos ������)������������ + (2������������������������ ������ − ������ 2 ������������������ ������)������������ 是某函数 U(x，y)的全微分，并求出 U(x，y)
������ ������
，求全微分 dz
4. 计算重积分
d������
，其中积分区域 D 由 ������ 2 +������ 2 ≥1 与 ������2 +������ 2 ≤4 的公3;| y |=1，计算
(11)--12-13学年高等代数(I)试卷及参考答案
AC BD
(2) eØb AŒ_, þ¡ ª´Ä¤á? `²nd.
( 7 • 1 5•)
© Ê!(15©) A´••r n Ý , y²: (1) •3••r n Ý B¦ ABA = A; (2) ÷vþã^‡ B´•˜ …= AŒ_.
( 7 • 1 6•)
© 8!(10©) •þ|α1, α2, . . . , αm, β1, β2, . . . , βm ••m, …α1, α2, . . . , αm‚5 Ã'. y²•3áõ‡êc¦ cα1 + β1, cα2 + β2, . . . , cαm + βm‚5Ã'.
(g, g′) = x2 + 3x +1 ( 附 辗 转 相 除 法 过 程 ). 从 而 有 f (x) = (x −1)(x2 + 3x +1)2 . 由
x2 + 3x +1 在有理数域上的不可约性知上式即为 f (x) 在有理数域上的标准分解.
2. 解答：
由| A |= 1,| B |= −1可知
⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛ 1 −2 1 a ⎞
⎜ ⎜
2
−1
−1
3
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
3
−3
3
−
2a
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
3
−3
3
−
2a
⎟ ⎟
⎜⎝ 1 1 −2 2a ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 −3 a ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 3a − 3⎟⎠
⎛1
→
⎜ ⎜
0
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完整word版,北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012
北京大学数学学院期末试题2011 - 2012学年第一学期考试科目高等代数I考试时间2012年1月3日11（10分）已知n阶方阵A =求矩阵X ,使得A X = B .对矩阵作初等行变换1a = [ 1 1 0 ] T 构成=2特征子空间的一组基1 1 0二.（15分）设A : X A X 是R 3上的线性变换，其中A =1 1 20 0 2（1） 求线性变换A 像空间的维数和一组基 （2） 求矩阵A 的特征值与特征向量； （3） 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.1 1 01 12 0通解为 X 1 = X 2 , X 3 = 0 , X 2X 1 x 2 x 2x 2X 3解:（1）在标准基下 ,A 像空间就是矩阵A 的列空间，它的一组基A|维数是（入2）2入）入（入2）2 A 的特征值为=2 （代数二重）,对二2解齐次方程组（A - 2 I ） X = 0 :1 1 00 0 10 0 0为自由变量.写成向量形式1 x2 1a= [ 1 1 0 ] T构成=2特征子空间的一组基对二0解齐次方程组A X = 0 :1 1 0 110 1 12 0 0 1 0 0 2 0 0 0X 3⑶由于特征值二2特征子空间的维数1小于其代数重数2,A 不能否对角化. 三. （35分）填空题（多选）.1 .已知3阶矩阵A 的特征值为1, 1/2,0 ,相应的特征向量为[1 0 ]T ,[0 1 0 ]T, [ 1 2 0 则 2 A 3 4 -3 A 2 : 二1 011 00 1 0 11 1 0 1 0 12 0 1/2 0 0 1 2 0 1/2 11 00 0 00 10 010 12.设A =112t.当 t取不等于 1的值 时, 存在矩阵B ,1 t2 43 当 -4/5 < t < 0时，三元二次型X 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t X y -2 X z + 4 y z 正定. 4 设 是n 维欧氏空间里的单位列向量 ，则| 1-5T| = —注：可计算行列式或利用| I m — B | = | I n -B A | . 5.在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是{ABD},{C},通解为 X 1 = - X 2 , X 3 = 0X 2为自由变量•写成向量形式X 1 X 2 X 2 X 2 X 2 1a = [ -1 1 0 ] T 构成=0特征子空间的一组基使得AB= =I.当t取 1 时,存在非E零矩阵C , 使得C A = 0 .相似分类是{A,D},{B},{C},合同分类是{A},{B},{C},{D}1 0 1 0 1 0 1 0 02 1 2A 0 1 0 ,B 1 3 1 ,C 0 1 0 ,D 0 1 01 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 06. 以下说法正确的有(a)(b)(c)(d)多选).a) 如果两个实对称矩阵相似，它们也一定合同；b) 实方阵都能写成P Q的形式，其中P是实对称矩阵，Q是正交矩阵c) 每个矩阵都能写成P J的形式,P是可逆矩阵，J是行简化阶梯矩阵d) 实方阵都能写成Q R的形式,Q是正交矩阵，R是上三角矩阵四.(12分)判断对错，正确的请给出证明，错误的举出反例.1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中，若任意n - 1个向量都线性无关，则整个向量组也线性无关.1 2解：此命题错误.例如，考察向量组o'。
高等代数II期末复习提纲及题型
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， ，那么有 。
22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于 ，都有 ，则称V1与V2是正交的，记作 。
例如：〔1〕 中，子空间 ，，那么有 。
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， 由一些奇函数组成的，那么有 。
15、等价的 矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。
16、 矩阵的标准形是唯一的。 的标准形的主对角线上的非零元素 称为 的不变因子。
17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：
〔1〕特征矩阵 与 等价；
〔2〕特征矩阵 与 有相同的标准形；
〔3〕特征矩阵 与 有相同的不变因子〔 的不变因子以后就简称为A的不变因子〕；
20、正交变换的性质
〔1〕正交变换是可逆的〔因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式= ，是可逆的，所以正交变换是可逆的。〕
〔2〕正交变换的逆变换也是正交变换。〔证明过程？〕
〔3〕两个正交变换的乘积也是正交变换。〔证明过程？〕
〔4〕正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射〔满足同构映射的条件〕。
〔5〕正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的〔旋转〕；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换 是第几类的？
21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于 ，都Biblioteka ，称向量 与子空间W正交，记作 。
〔4〕A与B有相同的不变因子；
〔5〕A与B有相同的初等因子。
18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。
19、行列式因子与不变因子的关系：
山西省忻州市2012-2013学年高二数学下学期期末联考试题(B类)文新人教A版
在 BC上，且 AE AC．
D
( Ⅰ ) 求证： AC DE；
( Ⅱ ) 求点 B 到平面 ACD的距离．
21．（本小题满分 12 分）
A C
B
E
已知椭圆 C ： x 2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 过点 (2,0) ，且离心率为
3． 2
( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程；
( Ⅱ ) 过点 N ( 2，0) 且斜率为 6 的直线 l 与椭圆 C交于 A， B两点， 3
高二数学试题 ( 文科 B 类 ) 双向细目表
内容
选择题
填空题
集合
5
复数
5
外接球
5
三角函数
10
圆锥曲线
5
5
数列
5
导数及其应用
10
5
程序框图
5
简易逻辑
10
独立性检验
5
回归直线方程
5
统计概率
立体几何
合计
60
20
解答题
12 12 10 12
12 12 70
小计 5 5 5 22 22 15 27 5 10 5 5 12 12 150
百分比为
P(K 2 k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A． 25%
B． 75% C． 2.5% D． 97.5%
6．给出下列四个命题：
①空集是任何集合的子集；②若 a b ，则 a b ；
③有的指数函数是增函数；④空间中两条不相交的直线一定互相平行．