西安交通大学苏州附属中学高二5月份月考试题
江苏省苏州市苏州大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及答案
苏大附中2024-2025学年第一学期10月检测高二年级数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）命题人：一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．数列1-，85，157-，249，…的一个通项公式是（）A ．()()2121nn n n a n +=-⋅+B ．()23121nn n a n +=-⋅-C ．()()211121nn n a n +-=-⋅-D ．()2121nn n na n +=-⋅+2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)(1,1)A B 、，直线l 经过点B 且与线段OA 相交．则直线l 倾斜角α的取值范围是（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π0,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦3．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，11a =，15b =，且212134a b -=，则1111a b -的值为（）A ．-17B ．-15C ．17D ．154．已知等比数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（）A ．7B ．9C ．15D ．305．已知{}n a 满足对一切正整数n 均有1n n a a +<且2n a n n λ=-+恒成立，则实数λ的范围是（）A ．0λ>B ．0λ<C ．3λ<D ．3λ>-6．已知*,,,∈m n p q N ，且数列{}n a 是等比数列，则“m n p q a a a a =”是“m n p q +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．数列{}n a 满足18a =，11nn n a a na +=+（*n ∈N ），112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若数列{}n b 是递减数列，则实数λ的取值范围是（）A ．8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．8,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．数列{}n F ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．202220242S F =+B ．202420221F S =+C ．202320242S F =+D ．202320241S F =-二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S （*n ∈N ），公差0d ≠，690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（）A ．122a =B ．2d =-C ．当10n =或11n =时，n S 取得最大值D ．当0n S >时，n 的最大值为2110．数列{}n a 是各项为正的等比数列，n S 为其前n 项和，数列{}n b 满足lg n n b a =，其前n 项和为n T ，则（）A ．数列{}2n n S S +-一定为等比数列B ．数列{}2n n a a +一定为等比数列C ．数列{}n b 一定为等差数列D ．若n T 有最大值，则必有11a >11．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（）A ．－4B ．－2C ．0D ．2三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）12．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则50a =.13．已知直线l 的一个方向向量为(μ=-，则直线l 的斜率为.14．已知函数()2121x x f x -=+，数列的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，()*3n n a a n +=∈N ，()()2340f a f a a ++=，则2024S =.四．解答题（共5小题，共77分）15．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =-，且256,,a a a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32n n S a n =-．(1)求证：{}1n a +是等比数列；(2)若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n T <．17．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润．．为n a （万元），乙方案第n 年的利润．．为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈18．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .19．如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.(1)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等差数列，且253,5==b b ，依次写出数列{}n b 的每一项；(2)设数列{}n c 是项数为21k -(k *∈N 且2k ≥)的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和.①若1c ，2c ，…，k c 构成单调递增数列，且2023k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值?②若12024=c ，且212024k S -=，求k 的最小值.1．A【分析】把数列变形为133⨯-，254⨯，537-⨯，496⨯，•••，由此可得它的通项公式．【详解】数列1-，85，157-，249，…，即数列133⨯-，254⨯，537-⨯，496⨯，•••，故它的一个通项公式是()()2121nn n n a n +=-⋅+，故选：A ．2．B【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解.【详解】根据题意，画出图象如图所示;直线BO 的斜率10110BO k -==-，则直线BO 的倾斜角为π4；直线BA 的斜率12110BA k -==--，则直线BA 的倾斜角为3π4，结合图象由条件可得直线l 的倾斜角α的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B.3．D【分析】结合等差数列的通项公式可求得121910-=d d ，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，又11a =，15b =，且212134a b -=，则()()1112202034+-+=a d b d ，即121910-=d d ，所以()()()1111121112101041015=+-+=--+-=a d b d d a b d ，故选：D.4．C【分析】设公比为q ，根据条件列出方程求解，再由求和公式得解.【详解】等比数列{}n a 中，设公比为q ，11a =，n S 为{}n a 前n 项和，5354S S =-，显然1q ≠±，(如果1q =，可得5154=-矛盾，如果1q =-，可得154-=--矛盾)，可得53115411q q q q--=⋅---，解得24q =，即2q =或2q =-，所以当2q =时，44111615112q S q --===--．当2q =-时，4411165112q S q --===--+．没有选项．故选：C ．5．C【分析】根据题意整理可得21n λ<+对一切正整数n 恒成立，根据恒成立问题分析求解.【详解】因为{}n a 满足对一切正整数n 均有1n n a a +<且2n a n n λ=-+恒成立，即()()2211n n n n λλ-+++<-+恒成立，化为21n λ<+，可知21n λ<+对一切正整数n 恒成立，所以3λ<，故选：C.6．B【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为b ，若m n p q a a a a =，则11111111m n p q a b a b a b a b ----⋅=⋅，因为1a 不等于0，所以22m n p q b b +-+-=，若1b =±时，无法得出m n p q +=+，所以“m n p q a a a a =”不是“m n p q +=+”的充分条件；若“m n p q +=+”，则11222211111111m n m n p q p q m n p q a a a b a b a ba b a b a b a a --+-+---=⋅===⋅=，所以“m n p q a a a a =”是“m n p q +=+”的必要条件.所以“m n p q a a a a =”是“m n p q +=+”的必要不充分条件.故选：B 7．D 【分析】将11n n n a a na +=+取倒数结合累加法求得()22118n n a -=，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，11nn n a a na +=+，两边取倒数可化为1111n n n n na n a a a ++==+，所以21111a a -=，32112a a -=，1111--=-n n n a a ，由累加法可得，()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，因为18a =，所以()()212111288n n n n a --=+=，所以()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为数列{}n b 是递减数列，故1n n b b -<，即()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理可得，2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=，因为2n ≥，*n ∈N ，所以22max5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，故7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故选:D.8．B【分析】根据递推关系采用叠加法即可.【详解】根据题意，11F =，21F F =，321F F F =+，432F F F =+，…，202320222021F F F =+，202420232022F F F =+，则321F F F -=，432F F F -=，…，202320222021F F F -=，202420232022F F F -=，将上述各式两边相加得，202422022F F S -=，所以202420221F S =+.故选：B ．9．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S >解不等式可判断D ．【详解】解：由公差0d ≠，690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错，B 对；由2212144120(1)(2)21224n S n n n n nn ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭因为*n ∈N ，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由0n S >，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC ．10．AC【分析】根据等差数列和等比数列的定义可以判断A,B,C ，再结合C ，通过特殊值法可以判断D.【详解】设{}n a 的公比为()0q q >，10a >.对A ，2210n n n n S S a a +++-=+>，则()12111n n n n n n n nq a a a a q a a a a +++++++==++，恒为定值，则A 正确；对B ，()211121111n n n nn n a a a qa qa qq ---+=+=+，所以()()()()1111211211111n n n n n nn nn na a a q q q qa a qa q q ++++-+++==+++，不恒为定值，则B 错误；对C ，易知0n a >，111lg lg lg lg n n n n n na b b a a q a +++-=-==，恒为定值，由等差数列的定义可知，{}n b 一定为等差数列，则C 正确；对D ，结合C ，{}n b 一定为等差数列，首项为11lg b a =，公差为lg d q =，若10b d ==，则n T 有最大值0，此时11a =，则D 错误.故选：AC.11．AB【解析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，L ，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n-=-，122n a n n ∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.12．2【分析】由递推关系式依次求出数列的前几项，得出数列的周期，由周期性得结论．【详解】因为数列满足111n n a a +=-，且112a =，所以()2341211112,1,11112a a a a a ====-==----，所以数列是以3为周期的周期数列，所以5031622a a ⨯+==.故答案为：2.13．【分析】根据直线方向与直线斜率的关系进行求解即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为(μ=-，所以直线l的斜率为1=-故答案为：14．2【分析】根据函数性质分析可知：()f x 在R 上单调递增，且为奇函数，进而可得2340a a a ++=，结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且022********()()112112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++，即()()f x f x =--，可知()f x 为定义在R 上的奇函数；且212()12121x x xf x -==-++，因为2x y =在R 上单调递增，可知()f x 在R 上单调递增；综上所述：()f x 在R 上单调递增，且为奇函数.因为()()2340f a f a a ++=，则()()()3422f a a f a f a +=-=-，可得342a a a +=-，即2340a a a ++=，由()*3n n a a n +=∈N 可知：3为数列{}n a 的周期，则120n n n a a a ++++=，且202436742=⨯+，所以2024122S a a =+=.故答案为：2.【点睛】易错点睛：本题分析()f x 的奇偶性的同时，必须分析()f x 的单调性，若没有单调性，由()()2340f a f a a ++=无法得出2340a a a ++=.15．(1)213n a n =-(2)36-【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可；（2）先根据基本量运算得出前n 项和，再根据二次函数求出最值即可.【详解】（1）设的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =-+=-+=-+，依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d -+=-+-+，整理得，()1120d d -=，解得，2=d 或0d =（舍），所以()1121213n a n n =-+-=-；（2）21112131222n n a a n S n n n n +-+-=⨯=⨯=-，因为2212(6)3636n S n n n =-=--≥-，当且仅当6n =时，等号成立，所以n S 的最小值为36-．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用数列通项与前n 项和的关系，当1n =时，解得12a =，当2n ≥时，由32n n S a n =-得到()11312n n S a n --=--，两式相减得到132n n a a -=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得31n n a =-，进而得到231n n b =-，利用放缩法得121313n n n b -=≤-，再利用等比数列前n 和公式求解.【详解】（1）当1n =时，11312a a =-，解得12a =，当2n ≥时，由32n n S a n =-，得()11312n n S a n --=--，两式相减并整理得132n n a a -=+，即()1131n n a a -+=+，113a +=∴{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得：13n n a +=，2231,31n n n n n a b a ∴=-==-，当1n ≥时，1111312331310n n n -----⨯=-≥-=，则13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯，1221313n n n n b a -==≤-，∴1121113113131113323213...n n n n n T b b b -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦≤+++=-< ⎪⎝⎭-=+++ ，所以1232n n T b b b =++⋯+<.17．(1)11.3n n a -=，0.50.5n b n =+,N n *∈(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳n 后的利润，即可求解．（2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解．【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为111(10.3) 1.3+=⨯，3年后，利润为211.3(10.3) 1.3+=⨯（万元），……故n 年后，利润为11.3n -（万元），因此11.3n n a -=，N n *∈对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为10.5+，3年后，利润为0.50.510.521++=+⨯（万元），……故n 年后，利润为()10.51n +⨯-（万元），因此()10.510.50.5n b n n =+⨯-=+，N n *∈（2）甲方案十年共获利109(1.3)11(130%)(130%)42.631.31-+++⋯++==-（万元），10年后，到期时银行贷款本息为1010(10.1)25.94+=（万元），故甲方案的净收益为42.6325.9416.7-≈（万元），乙方案十年共获利1 1.5(190.5)32.5++⋯++⨯=（万元），贷款本息为119101111(110%)(110%)(110%)17.530.1⋅-+++⋯++++=≈（万元），故乙方案的净收益为32.517.5315-=（万元），由16.715>，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多18．(1)1(21)2n n a n --⋅=，11(2n n b -=；(2)(23)23n n T n =-⋅+.【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】（1）设等比数列{}的公比为(0)q q >，因为数列{}的前三项和为74，所以21237711442b b b q q q ++=⇒++=⇒=，或302q =-<舍去，所以11()2n n b -=，设等差数列{}n n a b 的公差为d ，因为{}n n a b 前三项和为9，所以有1122339111292a b a b a b d d d ++=⇒++++=⇒=，所以1(1)221n n a b n n =+-⋅=-，因为11()2n n b -=，所以1(21)2n n a n --⋅=；（2）由（1）可知：1(21)2n n a n --⋅=，所以2311325272(21)2(1)n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅ ，234212325272(21)2(2)n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅ ，(1)(2)-，得()2112222(21)2n n n T n --=++++--⋅ ，12(12)12(21)212n n n T n --⇒-=+⋅--⋅-，所以(23)23n n T n =-⋅+.19．(1)1，3，5，7，5，3，1(2)①1012；②2025【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【详解】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以535b b ==，又因为1234,,,b b b b 成等差数列，其公差322d b b -==，…所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；（2）①由1c ，2c ，…，k c 是单调递增数列，数列{}n c 是项数为21k -的“对称数列”且满足12n n c c +-=，可知1c ，2c ，…，k c 构成公差为2的等差数列，k c ，1k c +，…，21k c -构成公差为2-的等差数列，故()211221121...2...k k k k k kS c c c c c c c ----=+++=+++-2(1)22023(2)20232404820232k k k k k -⎡⎤=+⨯--=-+-⎢⎥⎣⎦，所以当404810124=-=-k 时，21k S -取得最大值；②因为12n n c c +-=即12n n c c +-=±，所以12n n c c +-≥-即12n n c c +≥-，于是121242(1)k k k c c c c k --≥-≥-≥≥--…，因为数列{}n c 是“对称数列”，所以()211221121...2...k k k kS c c c c c c c ---=+++=++++21(21)2(2)(1)2(1)240522026k c k k k k k ≥------=-+-，因为212024k S -=，故22405220262024k k -+-≤，解得1k ≤或2025k ≥，所以2025k ≥，当1c ，2c ，…，k c 构成公差为2-的等差数列时，满足12024=c ，且212024k S -=，此时2025k =，所以k 的最小值为2025.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到k c ，1k c +，…，21k c -构成公差为2-的等差数列.。
江苏省西安交通大学苏州附属中学高二数学上学期期初测试试题苏教版
西安交通大学苏州附属中学2013-2014学年高二数学期初测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上． 1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．3．若关于x 的不等式212x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ． 4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ． 6．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝▲ ． 7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ． 8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1n a +=2013a ＝ ▲ ．11．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图象过点A （3，7），则此函的最小值是 ▲． 12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是 ▲ ．13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．（第13题图）EDBA C14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题：① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2）3．若关于x 的不等式212x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ，1n a +=2013a ＝ ▲ ．11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）//b a , 设(,2)b a λλλ==,则222445b λλ=+=, ∴29λ=∴3λ=±∴(3,6)b =或(3,6)b =--.（Ⅱ）cos θ=5a =， ∴1cos 2a c a c c θ⋅==-． 又()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= 解得1c =或59c =-（舍） ∴1c =16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．解：（Ⅰ）22()cos ()sin 121212f πππ=-- cos6π= =． （Ⅱ）11()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x π=+---1[cos(2)cos 2]23x x π=-+132cos 2))223x x x π=+=+因为[0,]2x π∈，所以42[,]333x πππ+∈，所以当232x ππ+=，即12x π=时，()f x ．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．解：（Ⅰ）3cos sin a B b A +=，由正弦定理可得cos sin sin A B B A C +=)A B =+．cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=+．即sin sin sin B A A B =，sin A A ∴=tan A ∴=，60A ∴=︒．注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =同样给分（Ⅱ）b =，ABC ∆，∴1sin 2ABC S ab C ∆==． 2sin 2a C ∴=，22sin C a∴=①由余弦定理2222cos c a b ab C =+- ∴224cos 4a C -=，cos C ∴= ②由①，②得：22221a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得428160a a -+=，()2240a ∴-=， ∴2a =（Ⅱ）或解：由1sin 2ABC S ab C ∆==得 2sin 2a C = ①由224cos 4a C -=得 2(2cos )2a C = ②由①，②得：sin 2C C =，即πsin()13C +=， π6C ∴=，224sin a C==．∴2a =． 18．（本小题满分16分） 已知函数f （x ）=（a ＞0且a≠1）．（1）求函数f （x ）的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）满足：对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a ＞1时，x≤log a 4；当0＜a ＜1时，x≥log a 4． 即当a ＞1时，f （x ）的定义域为（﹣∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f （x ）的定义域为[log a 4，+∞）． 令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t 2，∴f （x ）=g （t ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，当t≥0时，g （x ）是t 的单调减函数，∴g （2）＜g （t ）≤g（0），即﹣5＜f （x ）≤3，∴函数f （x ）的值域是（﹣5，3]．（2）若存在实数a ，使得对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．由（1）知，a ＞1不满足条件；所以0＜a ＜1，且log a 4≤﹣1，即．令t=，由（1）知，f （x ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，由f （x ）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，由题意知对任意x ∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a ＜1，所以对任意x ∈[﹣1，+∞），都有a x≤a ﹣1．所以有a ﹣1≤3，解得，即．∴存在，对任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0． 19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米． （Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？解：（1）如图，等腰梯形EFCD 中，DH 是高，依题意：DH=AB=x ，EH===， ∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=， ∵x ＞0，y ＞0，∴，解得0＜x ＜， ∴所求的表达式为：y=，（0＜x ＜）（2）在RT △DEH 中，∵tan ∠FED=，∴sin ∠FED=， ∴DE===，∴l=（2x+2y ）+2×+（2×）=2y+6x==+≥2=26，当且仅当=，即x=3时取等号，此时y==4，∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少 20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠ ∴12a d =． 又23a =，∴13a d += 12,1a d == 1n a n ∴=+． （Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++． 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++ 1122222(2)n n n n n =+-=+++． （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n nλλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n n λ+++-=--<+对*∈N n 都成立 即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n n λλ++++--<⇒>-++ 设2(3)2()1n n f n n n ++=-+ 2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--++++2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 42621321n n n =+++--++()()()2212n n n n -=++ (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24()13n n n n ++-=+ 所以43λ>．。
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上． 1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲．x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ． 4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ． 6．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ． 7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ． 8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ．11．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图象过点A （3，7），则此函的最小值是 ▲ ． 12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是 ▲ ．13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．（第13题图）EDBA C14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2） x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．26．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ．722- 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ． 3-11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）//b a , 设(,2)b a λλλ==,则222445b λλ=+=, ∴29λ=∴3λ=±∴(3,6)b =或(3,6)b =--.（Ⅱ）cos θ=，5a =， ∴1cos 2a c a c c θ⋅==-． 又()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= 解得1c =或59c =-（舍） ∴1c =16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．。
2018-2019学年江苏省苏州市西安交通附属中学高二数学文联考试卷含解析
2018-2019学年江苏省苏州市西安交通附属中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为等差数列的前n项的和，，，则的值为（）A. 2014B.-2014C.2013D.-2013参考答案：B2. 已知全集，，，则等于（）A. B． C． D ．参考答案：C3. 用反证法证明：若关于的整系数方程(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设中正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数参考答案：B略4. 设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为t的函数，由配方即可得到所求最小值．【解答】解：设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线y2=2x，可得y2﹣2my﹣2t=0，由题意可得△=4m2+8t＞0，且t≠0，设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=2m，y1y2=﹣2t，可得=+y1y2=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，当t=1时，取得最小值﹣1．故选：B．5. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，为线段的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为（）A. 1B.C.D.参考答案：B6. 函数y＝1＋3x－x3有（）A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3参考答案：Dy′=3-3x2=3（1+x）（1-x）．令y′=0得x1=-1，x2=1．当x＜-1时，y′＜0，函数y=1+3x-x3是减函数；当-1＜x＜1时，y′＞0，函数y=1+3x-x3是增函数；当x＞1时，y′＜0，函数y=1+3x-x3是减函数．∴当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3．7. 正四棱柱中，,则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A8. 用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A. 自然数a，b，c都是奇数B. 自然数a，b，c至少有两个偶数或都是奇数C. 自然数a，b，c都是偶数D. 自然数a，b，c至少有两个偶数参考答案：B9. 直线经过点，若可行域围成的三角形的外接圆的直径为，则实数的值是（）A. 3或5B.4或5C. 3或6 D.3或4参考答案：A略10. 设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某程序框图如图所示，若输入的x值为–1，则输出的值为___________。
西北工业大学附中 西安交通大学附中月考试卷调研
（ ｌ 文 已知集合ｓ ｛ ＝ ＥＮｌ２ ｌ４且 Ｉ则集合ｓ － — （ ， ≠１， 的真子集 的个
本套试 卷符合 ＜ 考试 说明＞ 的
要 求 ， 涵 盖 的 知 识 面 广 ， 及 函 所 涉
数是 （
Ａ．３ ２
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数和 导数 、 数列 和不 等式 、 角 函 三 数和 向量 、 直线和 圆 、 线和 圆锥 直
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Ａ．２ ５ ４０ Ｂ．２ ０ ５０ Ｃ．２ ５ ５０ Ｄ．２ ５ ６２
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江苏省苏州市昆山市花桥高级中学、巴城高级中学2023-2024高二下学期5月月考物理试卷
江苏省苏州市昆山市花桥高级中学、巴城高级中学2023-2024高二下学期5月月考物理试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下有关物理学史说法正确的是（ ）A．安培首先发现了电流的磁效应B．爱因斯坦提出了能量子假设C．麦克斯韦预言了电磁波的存在D．奥斯特在实验室捕捉到了电磁波2．下列关于传感器元件说法错误的是（ ）A．如图甲，是一光敏电阻，随着光照的增强，载流子增多，导电性变好B．如图乙，是一电阻应变片，其电阻随受外力而发生机械形变的变化而发生变化C．如图丙，当磁体靠近“干簧管”时，“干簧管”能起到开关的作用是由于电磁感应D．如图丁，是一种电感式微小位移传感器，物体1连接软铁芯2插在空心线圈3中，当物体1向左发生微小位移时，线圈自感系数变大3．关于下列几幅图的说法正确的是（ ）A．图甲中水黾静止在水面上，说明液体表面层分子间表现为斥力B．图乙中布朗运动产生原因的示意图。
说明微粒越大，液体分子沿各方向撞击它的数量越多，布朗运动越明显C ．图丙中石蜡在固体片上熔化成椭圆形，说明该固体是单晶体D ．图丁中的毛细现象是符合实际情况的4．电阻R 、电容C 与一线圈连成闭合回路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N 极朝下，如图所示．现使磁铁开始自由下落，在N 极接近线圈上端的过程中，流过R 的电流方向和电容器极板的带电情况是A ．从a 到b ，上极板带正电B ．从a 到b ，下极板带正电C ．从b 到a ，上极板带正电D ．从b 到a ，下极板带正电5．如图所示的电路中，灯泡1A 和2A 的规格相同。
先闭合开关S ，调节电阻R ，使两个灯泡的亮度相同，再调节电阻1R ，使它们都正常发光，然后断开开关S 。
下列说法正确的是（ ）A ．断开开关S 后，1A 灯闪亮后熄灭B ．断开开关S 的瞬间，1A 灯电流反向C ．重新接通电路，1A 和2A 同时亮起，然后1A 灯逐渐熄灭A．T b＞T c，Q ab＞Q ac B．T b＞T c，Q ab＜Q acC．T b=T c，Q ab＞Q ac D．T b=T c，Q ab＜Q ac9．如图甲所示，在“天宫课堂”中，王亚平演示了“水桥”实验，为我们展示了微重力环境下液体表面张力的特性。
江苏省苏州陆慕高级中学高二数学5月月考试题理(无答案)
江苏省苏州陆慕高级中学高二数学5月月考试题理（无答案） 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知空间向量(1,1,1)=m ，则||m ＝ ．2．设i 为虚数单位，复数2i z i+=，则z 的模||z = . 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22136x y -=的离心率为 ．4.设离散型随机变量X 的概率分布如右表：则m 的值为__________．5.以()()1,2,5,6A B --为直径两端点的圆的标准方程为 ．6. 过点P 21（－，）且到原点距离最远的直线l 的方程 是 ．7. .设R a ∈，若函数)0(>+=x ax e y x 有极值点，则实数a 的取值范围是 ．8．在圆中：半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为.类比到球中：半径为的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________．9．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）10. （x －x 1）8展开式中x 5的系数为_____________. 11. 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于__________. 12.设随机变量()X B 2,P Y B(3,P —，—），若7(1)16P X ≥=,则P Y 2==（） . 13. A 、B 是直线l 上的两点，AB =4，AC ⊥l 于A ，BD ⊥l 于B ，AC =BD =3，又AC 与BD 成60°的角，则C 、D 两点间的距离是_______14.若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 .二.解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15. （本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，DP ⊥平面PBC ，E ，X 1 2 3 p m 14 16F 分别为PA 与BC 的中点．（1）求证：BC ⊥平面PDC ；（2）求证：EF//平面PDC ．16. （本题满分14分）在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba 的范围17. （本题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝2，点M ，N 分別为A 1B 和B 1C 1的中点．（1）求异面直线A 1B 与NC 所成角的余弦值；（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．18. （本题满分16分）袋子中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球中的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；319. （本题满分16分）已知中心在原点O，焦点在x顶点为顶点构成的四边形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A.B 分别是椭圆长轴的左.右端点，动点M 满足0MA MB ⋅=，直线MA 交椭圆于P ，求OM OP ⋅的取值范围.20. （本题满分16分）已知函数ln ()a x f x x=，0a ≠． （1）当a ＝1时，求：①函数()f x 在点P(1，(1)f )处的切线方程；②函数()f x 的单调区间和极值；（2）若不等式1()1f x x≤-恒成立，求a 的值．陆慕高级中学2018—2019学年第二学期高二年级(理科)5月月考数学试卷(二)本试卷共40分，测试时间30分钟命题：张金福21. 已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .(第19题)22.已知矩阵10a A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 的一个特征值为11λ=-，其对应的一个特征向量为111α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知81β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求5A β.23. 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.24.已知直线的参数方程21x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数），圆C 的极坐标方程：2sin 0ρθ+=． （1）将直线的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线的距离最小．。
江苏省西安交通大学苏州附属中学高二数学上学期期初测
西安交通大学苏州附属中学2013-2014学年高二数学期初测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上．1．函数()sin cosf x x x=的最小正周期是▲．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为▲．x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 53．若关于x的不等式2112x ax-+>-的解集为{}12x x-<<，则实数a＝▲．4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为▲．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为▲．6．已知π(,π)2α∈，3sin5α=，则πsin()4α+＝▲．7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为▲．8．已知向量(34)a=-r， ，(11)a=-r， ，则向量ar在br方向上的投影为▲．9．在△ABC中，已知2a=，b x=，30B=o．如果△ABC有两解，那么x的取值范围▲．10．在数列{}n a中，1=0a，1313nnnaaa++=-，则2013a＝▲．11．已知函数()(2)2af x x xx=+>-的图象过点A（3，7），则此函的最小值是▲．12．在△ABC中，若2222sin sin2cos cosb Cc B bc B C+=，则△ABC的形状是▲．13．如图，已知正三角形ABC的边长为2，点D为边AC的中点，点E为边AB上离点A较近的三等分点，则BD CE⋅u u u r u u u r＝▲．EDA14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题：① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a r ，b r ，c r 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a r.（Ⅰ）若b =r //b a r r ，求b r的坐标；（Ⅱ）若c r 与a r 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-r r r r ，求c r .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2） x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．26．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-r ， ，(11)a =-r ， ，则向量a r 在b r 方向上的投影为 ▲ ．722- 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =o ．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ． 3-11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅u u u r u u u r＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a r ，b r ，c r 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a r.（Ⅰ）若b =r //b a r r ，求b r的坐标；（Ⅱ）若c r 与a r 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-r r r r ，求c r .解：（Ⅰ）Q //b a r r , 设(,2)b a λλλ==r r,则222445b λλ=+=r , ∴29λ=∴3λ=± ∴(3,6)b =r 或(3,6)b =--r.（Ⅱ）Q cos θ=，a =r∴1cos 2a c a c c θ⋅==-r r r r r．又Q ()(9)a c a c +⊥-r r r r ，∴()(9)0a c a c +⋅-=r r r r∴22890a c a c -⋅-=r r r r ∴25490c c +-=r r 解得1c =r 或59c =-r （舍）∴1c =r16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．解：（Ⅰ）22()cos ()sin 121212f πππ=-- cos6π= =． （Ⅱ）11()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x π=+---1[cos(2)cos 2]23x x π=-+132cos 2))223x x x π=+=+因为[0,]2x π∈，所以42[,]333x πππ+∈，所以当232x ππ+=，即12x π=时，()f x ．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．解：（Ⅰ）cos sin B b A +=Q，由正弦定理可得cos sin sin A B B A C +=)A B =+．cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=+．即sin sin sin B A A B =，sin A A ∴=tan A ∴=，60A ∴=︒．注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =同样给分（Ⅱ）Q b =，ABC ∆，∴1sin 2ABC S ab C ∆==． 2sin 2a C ∴=，22sin C a∴=①由余弦定理2222cos c a b ab C =+- ∴224cos 4a C -=，cos C ∴= ②由①，②得：2222222213a a a -⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得428160a a -+=，()2240a ∴-=， ∴2a =（Ⅱ）或解：由1sin 32ABC S ab C ∆==得 2sin 2a C = ① 由22423cos 4a a C -=得 2(23cos )2a C -= ② 由①，②得：sin 23cos C C =-，即πsin()13C +=， π6C ∴=，224sin a C==．∴2a =． 18．（本小题满分16分） 已知函数f （x ）=（a ＞0且a≠1）．（1）求函数f （x ）的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）满足：对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a ＞1时，x≤log a 4；当0＜a ＜1时，x≥log a 4． 即当a ＞1时，f （x ）的定义域为（﹣∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f （x ）的定义域为[log a 4，+∞）． 令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t 2，∴f （x ）=g （t ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，当t≥0时，g （x ）是t 的单调减函数，∴g （2）＜g （t ）≤g（0），即﹣5＜f （x ）≤3，∴函数f （x ）的值域是（﹣5，3]．（2）若存在实数a ，使得对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．由（1）知，a ＞1不满足条件；所以0＜a ＜1，且log a 4≤﹣1，即．令t=，由（1）知，f （x ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，由f （x ）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，由题意知对任意x ∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a ＜1，所以对任意x ∈[﹣1，+∞），都有a x≤a ﹣1．所以有a ﹣1≤3，解得，即．∴存在，对任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0． 19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米． （Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？解：（1）如图，等腰梯形EFCD 中，DH 是高，依题意：DH=AB=x ，EH===， ∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=， ∵x ＞0，y ＞0，∴，解得0＜x ＜， ∴所求的表达式为：y=，（0＜x ＜）（2）在RT △DEH 中，∵tan ∠FED=，∴sin ∠FED=， ∴DE===，∴l=（2x+2y ）+2×+（2×）=2y+6x==+≥2=26，当且仅当=，即x=3时取等号，此时y==4，∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少 20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；11 （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠Q ∴12a d =． 又Q 23a =，∴13a d += 12,1a d == 1n a n ∴=+． （Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++．12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++L L1122222(2)nn n n n =+-=+++．（III ）1(2)2()=2()nn n n a n c n n λλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n nc c n n λ+++-=--<+对*∈N n 都成立 即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n n λλ++++--<⇒>-++ 设2(3)2()1n n f n n n ++=-+2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--++++2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++42621321n n n =+++--++()()()2212n n n n -=++(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>L当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24()13n n n n ++-=+所以43λ>．。
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西安交通大学苏州附属中学高二5月月考试题数学（理科） 2014．5数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”． 2． 抛物线y 2 = 4x 的准线方程为 ▲ ． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）． 6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ． 7． 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 ▲ ．8． 已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1，且AC 1，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．9． 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 ▲ 种选法（用数字作答）．10． 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号为 ▲ ． 11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a ，则双曲线22221x y a b -=的离心率为 ▲ ． 12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ．14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5． 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求四面体BCEF 的体积．16．（本小题满分14分）已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．FEDCBA（第15题）17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）．（1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率． 1111FEDC BA D CB A（第17题）19．（本小题满分16分）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值； （2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二5月月考试题数学（理科附加）2014．5数学II试题B1 已知矩阵0101,1010M N-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，在平面直角坐标系中，设直线210x y-+=在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．B2 设矩阵1aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M的属于特征值2的一个特征向量.（1）求,a b的值；（2）若向量31⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求10MαC1 已知圆:2cos C ρθ=，直线:cos 4l sin ρθρθ-=，求过圆心C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．C2： 已知平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为x m ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，2m >），椭圆C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（1）写出直线l 和椭圆C 的普通方程；（2）若椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，求实数m 的值及该点的坐标西安交通大学苏州附属中学高二5月月考试题数学Ⅰ（理科）参考答案 2014．5一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③1112．a <或a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题 15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ．又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ．（条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111123232CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯． ……………14分16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =，23=． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4，所以圆心到直线y = x + m 的距离为88=． ……………12分GF EDC B A17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． (2)设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==． ∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分 又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ． 故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以cos ,||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC ． ……………10分 （3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．所求随机变量ξ的分布列为…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+= 2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a'=--，0 ˃ a ˃ 1，列表：∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a=⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2．………… 3分将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2= 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ = ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0），即 (2k 2 + 1) x 2 + 4kx - 2 = 0． ………… 8分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则1,2x =则 | x 1 - x 2| = PQ= ． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k⋅+++． ………… 12分∵22144k k +≥，在k………… 14分∴PQ 2 = 218(1)44k k⋅+++∈（8，9]．则PQ∈． ………… 15分 由①，②得PQ的取值范围是． ………… 16分参考答案B 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''，则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=． ∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =，于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分 ∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ∴M 10α = M 10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即cos()4πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分 （2）设椭圆C 上一点P的坐标为[)(),sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离d =2cos 2m πα⎛⎫-+ ⎪==．∴2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………… 5分 ∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[)0,2π上有且只有一个解．∴2m =+2m =-+ …………………… 8分若2m =+2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；若22m =-+，不合题意．综上，实数m的值为2+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分。