高中数学 2112类比推理同步检测 新人教B版选修22
人教B版选修22高中数学222《反证法》同步练习
反证法[基础训练A 组]一、选择题1。
数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A.28 B 。
32 C 。
33 D 。
272.设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a +++( ） A.都不大于2- B 。
都不小于2-C.至少有一个不大于2-D.至少有一个不小于2- 3。
已知正六边形ABCDEF ,在下列表达式①EC CD BC ++;②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有( ）A.1个 B 。
2个 C.3个 D 。
4个4.函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内( ) A 。
只有最大值 B.只有最小值C 。
只有最大值或只有最小值D 。
既有最大值又有最小值5。
如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则( )A.5481a a a a >B.5481a a a a <C.5481a a a a +>+ D 。
5481a a a a =6. 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=( )A 。
123B 。
105C 。
89D 。
587.函数x y 1=在点4=x 处的导数是 （ ）A.81B.81-C.161 D 。
161- 二、填空题 1.从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________.2.已知实数0≠a ,且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3.已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2,则y x ,的大小关系是_________。
4.若正整数m 满足m m 102105121<<-,则)3010.02.(lg ______________≈=m5.若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法自我小测 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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2-21．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定，即假设;②原命题的条件；③公理、定理、定义等;④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)有有理根，那么a,b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（)A．假设a，b,c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数3．如果两个数之和为正数，则这两个数（)A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数4．已知x1＞0，x1≠1且x n＋1＝错误!（n＝1，2，…）．试证：数列{x n｝或者对任意正整数n都满足x n＜x n，或者对任意的正整数n都满足x n＞x n＋1.当此题用反证法否定结论时，应为＋1（)A．对任意的正整数n，有x n＝x n＋1B．存在正整数n，使x n＝x n＋1C．存在正整数n，使x n≥x n－1且x n≥x n＋1D．存在正整数n,使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥05．设x,y，z∈(0，＋∞),a＝x＋错误!，b＝y＋错误!，c＝z＋错误!，则a，b，c三数（)A．至少有一个不小于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．都大于26．命题“a，b是实数，若|a－1|＋｜b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．7．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a,b,c中至少有一个数不小于__________．8．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b,c，d中至少有一个是负数．9．已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：错误!，错误!,错误!不能构成等差数列．10．求证:过直线a外一点P，有且只有一条直线与这条直线平行．参考答案1．解析：原结论不能作为条件使用．答案:C2．解析：“至少有一个是偶数”的否定是“都不是偶数"．答案：B3．解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案:C4．解析：“或者对任意正整数n都满足x n＜x n＋1，或者对任意正整数n都满足x n＞x n＋1"的否定是“存在正整数n，使x n＝x n＋1”．答案：B5．解析：假设a,b，c三个数均小于2，即x＋错误!＜2，y＋错误!＜2，z＋错误!＜2，于是有错误!＋错误!＋错误!＜6。
高中数学 第二章 推理与证明B章末测试 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修2-2（高考体验卷)（时间：90分钟满分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2．(2013陕西西安高三检测)三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②玉树人是中国人；③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是（）A．①② B．①③C．②③ D．②①3．(2012江西高考）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．1994．（2013大连高三模拟)若a，b,c是不全相等的实数，求证:a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a,b,c不全相等,∴以上三式至少有一个“＝"不成立，∴将以上三式相加得2（a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac）,∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.此证法是（）A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法5．（2014浙江杭州高三质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等A．① B．①②C．①②③ D．③6．（2014山东潍坊高三模拟）当a，b,c∈（0，＋∞)时,由错误!≥错误!，错误!≥错误!，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是（)A。
高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测 新人教B版选修22
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 反证法课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·潍坊高二检测)实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】 用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p ＋q >2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．【答案】 D3．(2013·银川高二检测)用反证法证明命题“若直线AB 、CD 是异面直线，则直线AC 、BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线；③假设直线AC 、BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( )A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B4．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【解析】 (a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，故三个数中至少有一个不小于2.【答案】 D5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个【解析】 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N ＋，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .【答案】 A二、填空题6．(2013·扬州高二检测)用反证法证明“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是________．【解析】 “至多有一个”的否定是“至少有2个”．故正确的假设是“三角形的内角中至少有两个钝角”．【答案】三角形的内角中至少有两个钝角7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．【答案】x＝a或x＝b8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．【解析】据题目要求及解题步骤，∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．又∵a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)＝0.【答案】(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)三、解答题9．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．【解】(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)(1)中命题的逆命题：如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.此命题成立，用反证法证明如下：假设a＋b<0，则a<－b，∴f(a)<f(－b)，同理可得f(b)<f(－a)，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，所以a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．10．证明2，3，5不能为同一等差数列的三项．【证明】 假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m ，n 满足3＝2＋md ，① 5＝2＋nd ，② ①×n －②×m 得：3n －5m ＝2(n －m )．两边平方得：3n 2＋5m 2－215mn ＝2(n －m )2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，所以，假设不正确．即2，3，5不能为同一等差数列的三项．11．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32. 【证明】 假设a ，b ，c 都小于等于32， 即a ≤32，b ≤32，c ≤32. ∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负．又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0.则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a， ∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a＝0的两根， ∴Δ＝a 2－4a≥0，即a 3≥4. ∴a ≥34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾， ∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.。
人教B版选修22高中数学212《演绎推理》同步练习3
演绎推理1. 偷换论题例1求证四边形的内角和等于0360。
证明：设四边形ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角，有 0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ,所以,四边形的内角和等于0360。
剖析:上述推理过程是错误的。
犯了偷换论题的错误。
在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。
2. 虚假论据例2已知2和3是无理数,试证32+也是无理数。
证明：依题设2和3是无理数,而无理数与无理数的和是无理数，所以32+也是无理数。
剖析:上述推理过程是错误的。
犯了虚假论据的错误.使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数.因此,原题的真假性仍无法断定。
3. 循环论证例3在ABC Rt ∆中，090=∠C 求证:222c b a =+。
证明:因为A c b A c a cos ,sin ==, ∴A c A c b a 222222cos sin +=+=2222)cos (sin c A A c =+。
剖析：上述推理过程是错误的.犯了循环论证的错误。
本题的论证就是人们熟知的勾股定理。
上述证明中用了“1cos sin 22=+A A ”这个公式,按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据,犯了循环论证的错误.4. 不能推出 例4设81tan 51tan 21tan 20===∈γβαπγβα，，），且，（、、. 求证：4πγβα=++。
证明:因为γβγαβαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++ =18151815151211815121815121=⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++， 4πγβα=++∴。
剖析:上述推理过程是错误的。
犯了不能推出的错误。
因为1)tan(=++γβα只能推出)(,4Z n n ∈+=++ππγβα。
高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章 推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考
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高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课标人教b版《选修二》《选修2-2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课程标准人民教育B版《选修二》、《选修2-2》、《第二章推理与证明》优秀课后专项练习[6]（含答题和分析）班级:___________姓名：___________分数：___________1.当用反证法证明一个数学命题时，我们应该首先做出与命题结论相矛盾的假设，当否定“自然数是偶数”时，正确的反比是a.自然数B.自然数C.自然数D.自然数【答案】d【考点】高中数学知识点“推理与证明、数系扩展与复数”推理与证明“直接证明与间接证明【分析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：d．考点：命题的否定.中侨油都是奇数都是偶数中至少有两个偶数中至少有两个偶数或都是奇数2.下列命题：（1）如果向量，则与的长度相等且方向相同或相反；而且方向和；（2）对于任何非零向量，如果（3）非零向量与非零向量满足（4）向量（5）若还有，还有是共线向量，则，则，则向量与方向相同或相反；四点共线；正确号码：（）a.0【答案】c【考点】高中数学知识点集与常用逻辑术语命题及其关系【分析】试题分析：由于与可能为零向量，而零向量的方向是任意的，所以（1）若向量与的长度相等且方向相同或相反；不正确。
由相等向量的定义知，（2）对于任意非零向量若而且方向和；正确。
然后b．1c．2d．3根据共线向量的定义，（3）非零向量和非零向量满足正确的要求。
，则向量与方向相同或相反；向量（5）如果与是共线向量，意味着两向量方向相同或相反，说，且然后四点共线；不正确。
.总之，选择C。
，不正确，因为，为零向量时，不一定向量的概念：平面的公共线。
人教B版选修22高中数学212《演绎推理》同步练习4
演绎推理一、选择题1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 答案:Ａ2。
结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确,得到此结论成立的条件可以为( ）Ａ.n *∈N Ｂ。
n *∈N 且3n ≥ Ｃ。
n 为正奇数 Ｄ.n 为正偶数答案：Ｃ3。
在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形 Ｂ。
直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.不确定答案：Ｃ4。
在等差数列{}n a 中,若0n a >,公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质,在等比数列{}n b 中,若01n b q >>，,则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ) Ａ。
4857b b b b +>+ Ｂ。
5748b b b b +>+ Ｃ。
4758b b b b +>+ Ｄ.4578b b b b +>+ 答案:Ｂ5.（1）已知332p q +=,求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥,以下结论正确的是( ） Ａ。
(1)与(2)的假设都错误 Ｂ.(1)与(2)的假设都正确Ｃ.(1)的假设正确;(2)的假设错误 Ｄ.(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6.观察式子:213122+<，221151233++<,222111712344+++<,，则可归纳出式子为（ )Ａ。
22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ。
22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n-++++<≥ Ｄ.22211121(2)2321nn n n ++++<+≥ 答案:Ｃ7.如图,在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥.若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ,则可推算出：ma mbEF m m+=+.试用类比的方法,推想出下述问题的结果.在上面的梯形ABCD 中,延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △,OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ,则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ) Ａ.120mS nS S m n+=+Ｂ。
高中数学 222反证法练习 新人教B版选修2-2
反证法[根底训练A组]一、选择题1．数列…中的等于〔〕A． B． C． D．2．设那么〔〕A．都不大于 B．都不小于C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于3．正六边形，在以下表达式①；②；③；④中，与等价的有〔〕A．个 B．个 C．个 D．个4．函数内〔〕A．只有最大值 B．只有最小值C．只有最大值或只有最小值 D．既有最大值又有最小值5．假设为各项都大于零的等差数列，公差，那么〔〕A． B．C． D．6．假设，那么〔〕A． B． C． D．7．函数在点处的导数是 ( )A． B． C． D．二、填空题1．从中得出的一般性结论是_____________。
2．实数，且函数有最小值，那么=__________。
3．是不相等的正数，，那么的大小关系是_________。
4．假设正整数满足，那么5．假设数列中，那么。
三、解答题1．观看〔1〕〔2〕由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。
2．设函数中，均为整数，且均为奇数。
求证：无整数根。
3．的三个内角成等差数列，求证：4．设图像的一条对称轴是.〔1〕求的值；〔2〕求的增区间；〔3〕证明直线与函数的图象不相切。
参考答案一、选择题1．B 推出2．D ，三者不能都小于3．D ①；②③；④，都是对的4．D ，已经受一个完整的周期，所以有最大、小值5．B 由知道C不对，举例6．C7．D二、填空题1．留意左边共有项2．有最小值，那么，对称轴，即3．4．5．前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成，即三、解答题1. 假设都不是，且，那么2．证明：假设有整数根，那么而均为奇数，即为奇数，为偶数，那么同时为奇数‘或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与冲突。
无整数根。
3．证明：要证原式，只要证即只要证而4．解：〔1〕由对称轴是，得，而，所以〔2〕，增区间为〔3〕，即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线。
高中数学2-2-1同步练习新人教B版选修2-2
一、选择题1． p ＝ ab ＋ cd ， q ＝ ma ＋ nc ·b d( m 、 n 、a 、 b 、 c 、 d 均为正数 ) ，则 p 、q 的＋m n大小为 ()A ． p ≥qB ． p ≤ qC ． p >qD ．不确立[答案]B[分析]q ＝＋ mad nbc＋cd＋abnm≥ ab ＋ 2 abcd ＋cd ＝ ab ＋ cd ＝p . 应选 B.1 xa ＋ b2ab2．已知函数 f ( x ) ＝ 2 ，a 、b ∈ R ＋， A ＝ f2 ， B ＝ f ( ab ) ， C ＝ f a ＋ b ，则 A 、 B 、C 的大小关系为 ()A ． A ≤B ≤C B ． A ≤ C ≤ BC ． B ≤C ≤ AD ． C ≤ B ≤ A[答案]A[分析]a ＋ bab ≥ 2ab f ( x ) ＝1 x在 ( －∞，＋∞ ) 上是单一减函数，∵≥，又函数22a ＋ ba ＋ b2ab∴ f 2 ≤ f ( ab ) ≤ f a ＋ b . 应选 A.3．若 x 、 y ∈ R ，且 2x 2＋ y 2＝ 6x ，则 x 2＋ y 2＋ 2x 的最大值为 ()A ．14B ．15C ．16D ．17[答案] B[ 分析 ]由 y 2＝ 6x － 2x 2≥0得 0≤ x ≤3，进而 x 2＋y 2＋ 2x ＝－ ( x － 4) 2＋ 16，∴当 x ＝ 3时，最大值为 15.4．设 a 与 b 为正数，而且知足a ＋b ＝ 1， a 2＋ b 2≥ k ，则 k 的最大值为 ()1 1A. 8B. 41C. 2D ． 1[答案]C221 21 15．已知 a >0， b >0， 1＋ 3＝ 1，则 a ＋ 2b 的最小值为 ()a bA ． 7＋2 6B ．2 3C ． 7＋2 3D ．14 [答案]A1 33a 2b[分析]a ＋ 2b ＝ ( a ＋ 2b ) · a ＋ b ＝7＋ b ＋ a .3a 2b 3a 2b又∵ a >0， b >0，∴由均值不等式可得： a ＋ 2b ＝ 7＋ b ＋ a ≥7＋ 2b · a ＝ 7＋ 2 6.3 2 b 1 3 2 21 3a且 a ＋b ＝ 1 时等号建立，应选 当且仅当 b ＝ a 且 a ＋ b ＝ 1，即 3a ＝ 2b A.6．已知 y >x >0，且 x ＋ y ＝ 1，那么 ()x ＋ yA ． x < 2 <y <2xyx ＋ yB ． 2xy <x <2 <yx ＋ yC ． x < 2 <2xy <yx ＋ yD ． x <2xy <2 <y[答案]D31x ＋y1 3x ＋ y[分析]∵ y >x >0，且 x ＋ y ＝ 1，∴设 y ＝ 4，x ＝4，则 2 ＝ 2，2xy ＝ 8. 所以有 x <2xy < 2<y ，故清除 A 、 B 、 C.应选 D.7．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( )5－1 5＋1 A.B.225±1 1＋ 3 C.D.22[答案]A[ 分析 ]设三内角为 A ，B, 90°，依题意， sin 2B ＝ sin A ( ∠ A 最小 ) ， sin B ＝ cos A .∴ c os 2A ＝sin A ，即 1－ sin 2A ＝ sin A ，∴ s in 2A ＋sin A － 1＝ 0.∴sin A ＝5－ 1.应选A.28．在不等边三角形中， a 为最大边，要想获得∠ A 为钝角的结论，三边 a ，b ，c 应知足的条件是 ()A ． a 2<b 2＋c 2B ． a 2＝ b 2＋ c 2C ． a 2>b 2＋c 2D ． a 2≤ b 2＋ c 2[答案] C[分析]由 cos A ＝ b 2＋ c 2－a 2<0 知 b 2＋ c 2－a 2<0，2bc∴ a 2>b 2＋ c 2. 应选 C.9．已知实数 a ≥0， b ≥0，且 a ＋ b ＝ 1，则 ( a ＋ 1) 2＋ ( b ＋1) 2 的范围为 ( )A. 9，5B.9，＋∞22 9C. 0，2 D ． [0,5] [答案] A[分析]用数形联合法求解． a ＋ b ＝ 1，a ≥0， b ≥0表示线段 AB ，( a ＋ 1) 2＋ ( b ＋ 1) 2 表示线段上的点与点C ( － 1，－ 1) 的距离的平方．以以下图∴|CD | 2≤(a ＋ 1) 2＋ ( b ＋ 1) 2≤|AC | 2，92 2即 2≤(a ＋ 1) ＋ ( b ＋ 1) ≤5. 应选 A.10．已知 x ＋ ( －x恒建立，则的取值范围是 ()x ∈( －∞，1] 时，不等式 1＋2a 2) ·4>0aa1 1 3 A. － 2，4 B. －2， 21C. －∞， 4 D ． ( －∞， 6)[答案] B[分析]原不等式化为 a － 2－ 1－ 2x， a > x4 21＋ 2 x1 x1 x即 a － a < 4x＝ 4 ＋ 2 .21 x 1 x当且仅当 a － a < 2 ＋ 4 min ，原不等式在 ( －∞， 1] 上恒建立，1 x1 x又因为 2 ＋ 4 为减函数，1 x 1 x 3所以＋min＝ .24 4 2313所以 a －a <4，解得－ 2<a <2. 故应选 B. 二、填空题11．设 p ＝ 2x 4＋ 1，q ＝ 2x 3＋ x 2 ，x ∈ R ，则 p 与 q 的大小关系是 ________． [答案] p ≥ q[分析]∵ p － q ＝ 2x 4＋ 1－(2 x 3＋ x 2) ＝ ( x － 1) 2(2 x 2＋ 2x ＋ 1) ，又 2x 2＋ 2x ＋ 1 恒大于 0，∴ p － q ≥0，故 p ≥ q .12．函数 y ＝ f ( x ) 在 (0,2) 上是增函数，函数 y ＝ ( ＋ 2) 是偶函数，则f (1) ， (2.5) ，f xff (3.5) 的大小关系是 ________________ ．[答案]f (3.5)< f (1)< f (2.5)[分析] 由已知 f ( x ) 对于 x ＝ 2 对称，又 f ( x ) 在 (0,2) 上是增函数，∴联合 f ( x ) 图象得 f (3.5)< f (1)< f (2.5)．13．假如不等式 |x － |<11<3a 的取值范围是建立的充足非必需条件是< ，则实数a2 x 2________．13[答案] 2≤ a ≤ 2[分析]由 | x －a | ＜ 1? a － 1＜ x ＜ a ＋ 111 3( a － 1， a ＋ 1) 则有a －1≤ 2由题意知2，2 ，a ＋ 1≥3213解得 2≤ a ≤ 2.a x2＋1 －214．已知 f ( x ) ＝ 2x ＋ 1是奇函数，那么实数 a 的值等于 ________．[答案]1a 2x ＋ 1 － 2[分析]法 一 ： ∵ f ( x ) ＝2x ＋ 1( x ∈ R) 是 奇 函 数 ， 则 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝a 2－x＋1－2 a 2x＋ 1 － 22－x＋ 1 ＋2x＋ 1 ＝ 0∴＝1.aa 0 － 22 ＋ 1法二：∵ f ( x)为R上的奇函数，∴ f (0)＝0，即 f (0)＝0 ＝ 0，2 ＋ 1∴ a＝1.三、解答题a＋ b15．用剖析法、综合法证明：若a>0， b>0， a≠ b，则2>ab.[ 证明 ] (1) 剖析法a＋ b为了证明2>ab建立，需证明下边不等式建立：a＋ b>2ab因为 a>0， b>0，即要证( a＋ b)2>4ab 建立．睁开这个不等式左侧，即得a2＋2ab＋ b2>4ab即证 a2－2ab＋ b2>0建立．即证 ( a－b) 2>0 建立，以上证明过程步步可逆，2a＋ b∵ a≠ b，∴(a－b) >0建立．故2>ab建立．(2) 综合法由 a>0， b>0， a≠ b，能够推导出以下不等式：( a－b) 2>0? a2－ 2ab＋b2>0? a2＋b2 >2ab另一方面从求证出发找充足条件以下：a＋ b222 2>ab? a ＋2ab＋ b >4ab? a ＋b >2ab.a＋ b故2>ab.16．如图，四棱锥P－ ABCD的底面是平行四边形，E、 F 分别为 AB， CD的中点．求证：AF∥平面 PEC.[ 证明 ]∵四棱锥P－ ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊 CD.又∵ E， F 分别为 AB， CD的中点，∴ CF綊 AE.∴四边形 AECF为平行四边形．∴ AF ∥EC .又 AF ?平面 PEC ， EC ? 平面PEC ， ∴ AF ∥平面 PEC .π π 117．已知函数 f ( x ) ＝ tan x ，x ∈ 0， 2 ，若 x 1、x 2∈ 0， 2 ，且 x 1≠ x 2，求证： 2[ f ( x 1)x 1＋ x 2＋f ( x )]> f.22112x ＋ x2[证明]欲证 2[ f ( x ) ＋ f ( x )]> f12，112x ＋ x 2即 2(tan x ＋ tan x )>tan12，x 1＋x 21 sin x 1 sin x2 sin 2> ， 只要证 ＋ cos x 22 cos x 1 x 1＋x 2cos21 sin x ＋ x2sinx ＋ x2即证 ·1>1cos x 1cos x 22 x 1＋ x 222cos2sinx 1＋ x 2＝1＋ cos x 1＋ x 2.π∵ x 1， x 2∈ 0， 2 ，∴ x 1＋ x 2∈(0 ，π ) ．∴sin( x 1＋ x 2)>0,1 ＋cos( x 1＋x 2)>0 ， cos x 1 cos x 2>0.∴只要证 1＋ cos( x 1＋ x 2)>2cos x 1cos x 2，即证 cos( x 1－ x 2)<1.π∵ x 1， x 2∈ 0， 2 ，且 x 1≠ x 2， ∴cos( x 1－ x 2)<1 明显建立．∴原不等式建立．18．已知： a ， b ， c ∈(0 ，＋∞ ) ，且 a ＋ b ＋c ＝ 1.求证： (1) 2 ＋ 2 ＋21＋＋≤ 3.a b c ≥ ；(2)a c3b[证明](1) ∵ a ＋ b ＋ c ＝1，∴(a ＋ b ＋ c ) 2＝ 1.∴ a 2＋ b 2＋c 2＋ 2ab ＋ 2bc ＋ 2ca ＝1. ①又 2ab ≤ a 2＋ b 2, 2bc ≤b 2＋c 2, 2ca ≤ c 2＋a 2，∴2ab ＋ 2bc ＋ 2ca ≤2( a 2＋b 2＋ c 2) ．∴ a 2＋ b 2＋c 2＋ 2ab ＋ 2bc ＋ 2ca ≤3( a 2＋ b 2＋ c 2) ．2221又由①可得 a ＋ b ＋c ≥3.(2) ∵ a ， b ， c ∈(0 ，＋∞ ) ，∴ a ＋ b ≥2 ab ， b ＋ c ≥2 bc ， c ＋ a ≥2 ca .∴2(＋＋ ) ≥2( ab ＋ bc ＋ca ) ．a b c∴ a ＋ b ＋ c ＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ≤3( a ＋ b ＋ c ) ＝ 3.∴( a ＋b ＋c ) 2≤3.∴ a ＋ b ＋ c ≤ 3.。
高中数学 21合情推理与演绎推理测试1 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理例1．〔1〕观看圆周上n个点之间所连的弦，觉察两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？条直线，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．假设用表示这条直线交点的个数，那么=____________；当时，．〔用表示〕变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两局部;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4局部;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7局部.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成局部?(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成局部?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如下图，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由＞,＞,＞,…假设a＞b＞0,m＞0，那么与之间的大小关系为 .3.以下推理是归纳推理的是〔填序号〕.①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆②由a1=1，a n=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式③由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…那么第60个数对是 .二、类比推理〔一〕数列中的类比中，假设，那么有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，假设，那么有等式成立. 强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，假设每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
数列｛a｝等和数列，且，公和为5。
那么的值为_______________，这个数列前n项和的计算公式为_______________。
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- 1 - 选修2-2 2.1.1 第2课时 类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B [解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180° A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案] C [解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．
3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( ) A．V＝13abc
B．V＝13Sh C．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) - 2 -
D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高) [答案] C [解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．① B．①② C．①②③ D．③ [答案] C [解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对． 5．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质： (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不对 [答案] C [解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确． 6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； - 3 -
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B [解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左
焦点，当FB→⊥AB→时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
A.5＋12
B.5－12 C.5－1 D.5＋1 [答案] A
[解析] 如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)， 则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0) ∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b) 又∵FB→⊥AB→，∴FB→·AB→＝b2－ac＝0 ∴c2－a2－ac＝0 ∴e2－e－1＝0
∴e＝1＋52或e＝1－52(舍去)， 故应选A. - 4 -
8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21
等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA21) B．3(AB2＋AD2＋AA21) C．4(AB2＋AD2＋AA21) D．4(AB2＋AD2) [答案] C [解析] AC21＋BD21＋CA21＋DB21 ＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21) ＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2) ＝4AA21＋2(AC2＋BD2) ＝4AA21＋4AB2＋4AD2，故应选C. 9．下列说法正确的是( ) A．类比推理一定是从一般到一般的推理 B．类比推理一定是从个别到个别的推理 C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理 D．类比推理是从个别到一般的推理 [答案] C [解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C. 10．下面类比推理中恰当的是( ) A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn” [答案] C [解析] 结合实数的运算知C是正确的． 二、填空题 - 5 -
11．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
[答案] 32 [解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，
而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝
＝12＝22，故所求答案为6×22＝32. 12．(2010·广州高二检测)若数列{an}是等差数列，对于bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn
＝________时，数列{dn}也是等比数列．
[答案] nc1·c2·…·cn
13．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则过此点的圆的切线方程为x0x
＋y0y＝r2，而在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴 - 6 -
a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭＝________.类比过圆上一点P(x0，
y0)的圆的切线方程，则过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．
[答案] π·a·b；x1a2·x＋y1b2·y＝1 [解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处
理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得x0r2·x＋y0r2·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆
的切线方程为x1a2·x＋y1b2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立． [答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*) [解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n<19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝(19－2n)(an＋1＋a19－n)2＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n时的情形． 由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1
＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b29＝1，因而得到答
案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)． 解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1) 证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n 即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2) ∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b29＝1. ∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b17－2n9＝1. ∴(2)式成立，即(1)式成立； 当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立； 当8＜n＜17时，(1)式即： b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n
即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b29＝1