安徽省合肥市2016届高三数学下学期第二次教学质量检测试题 理

安徽省合肥市2016届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合20,1x M x RN x ⎧+⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭为自然数集，则下列选项正确的是（ ） A ．{}1M x x ⊆≥ B ．{}2M x x ⊆>- C ．{}0M N = D ．M N N = 2.若i 是虚数单位，复数z 满足()11i z -=，则23z -=（ ）A 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9161,=0a S =，当n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 4.若,a b 都是正数，则411b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．105.已知抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．．1± C ．34±D ．± 6、点G 为△ABC 的重心（三角形三边中线的交点O ，设7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．14 BC ．22 D8.执行下面的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．1024D ．20489.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，=602BAC AB AC PA ∠== ，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10.已知实数,x y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，若z kx y =-的最小值为-5，则实数k 的值为（ ）A ．-3B ．3或-5C ．-3或-5D ．3±11.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为（ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．32012.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{}1x x ≠± B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.命题“20,1x x x ∀>+>”的否定是 ．14.双曲线222:1y M x b-=的左，右焦点分别为12,F F ，记12=2F F c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若1=2PF c +，则P 点的横坐标为 ． 15.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，若22111=2,32n n n n S S a S a ++-=，则n a = ．16.若函数()()2221f x x x a x a =---+有4个零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()()()sin 22f x x B x B =++为偶函数，12b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求b ；（2）若3a =，求ABC ∆的面积S .18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x 个月）和市场占有率（%y ）的几组相关对应数据；（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx ==-⋅==--∑∑. 19.如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD 为菱形，,,,AE BF CG DH 都垂直于平面ABCD ，若4,3DA DH DB AE CG =====.（1）求证：EG DF ⊥；（2）求BE 与平面EFGH 所成角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()，12,F F 是椭圆E 的左，右焦点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若点,A B 是椭圆上E 关于y 轴对称两点（,A B 不是长轴的端点），点P 是椭圆E 上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 分别交y 轴于点,N M ，求证：直线1MF 与直线2NF 的交点G 在定圆上. 21.已知函数()32g x ax x x =++（a 为实数）. （1）试讨论函数()g x 的单调性； （2）若对()0,x ∀∈+∞恒有()1ln g x x x≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，//PA BD .（1）求证：ACB ACD ∠=∠；（2）若3,6,1PA PC AM ===，求AB 的长.23.在直角坐标系xOy中，曲线1:1x C y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线:sin cos l m ρθρθ+=. （1）若0m =，判断直线l 与曲线C 的位置关系； （2）若曲线C 上存在点P 到直线l，求实数m 的取值范围. 24.已知函数()4f x x x a =-+-（a R ∈）的最小值为a . （1）求实数a 的值； （2）解不等式()5f x ≤.合肥市2016届高三第二次教学质量检测 数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 20000,1x x x ∃>+≤ 15. 12,12,2n n n a n -=⎧⎨≥⎩＝ 16. 3210027a a a a ⎧⎫--<<>⎨⎬⎩⎭＝或或三、解答题17.解：（1）()()()sin 222sin 23f x x B x B x B π⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭＝ 由()f x 为偶函数可知32B k k Z πππ+=+∈，，所以6B k k Z ππ=+∈，又0B π<<，故6B π＝所以()2sin 22cos 2,212f x x x b f ππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝……………6分当23A π＝时，C AB ∆的面积S = ...............12分 18.解：（1）经计算ˆˆ0.042,0.026b a =-＝，所以线性回归方程为ˆ=0.0420.026y x -； (6)分（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由ˆ=0.0420.0260.5yx ->，解得13x ≥预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5% ……………12分19.解：（1）连接AC ，由,AE CG AE CG = 可得AEGC 为平行四边形，所以EG AC ，而,AC BD AC BF ⊥⊥，所以EG BD EG BF ⊥⊥，，因为BD BF B = ，所以E G BDHF ⊥平面，又B DF DHF ⊆平面，E G DF ∴⊥ ……………5分（2）设,A C B D O E G H F P == ，由已知可得：ADHE BCGF 平面平面，所以EH FG ，同理可得：EH HG ，所以EFGH 为平行四边形，所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以,OP AE AE OP = ，从而OP ABCD ⊥平面，又OA OB ^，所以,,OA OB OP 两两垂直，由平几知识，得2BF =如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()0,2,0,,0,2,2,0,0,3B E F P()()()2,3,,0,2,1BE PE PF \=-==-设平面EFGH 的一个法向量为(),,z n x y =，由0PE n PF n ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩＝可得：020x y z =⎧⎨-⎩＝，令1y =，则2z =()0,1,2n \= 设BE 与平面EFGH 所成角为q ，则sin 25BE n BE nq ×==×……………12分20.解：（1）由条件得4,a b c ===C 的方程221168x y += …………5分 （2）解设()()0011,,P ,B x y x y ，则()00,A x y -直线PA 的方程为()101110y y y y x x x x --=-+，令0x =，得100110x y x y y x x +=+ 故1001100x y x y M x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，同理可得1001100x y x y N x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，10011001121010x y x y x y x y F M F N x x x x ⎛⎫⎛⎫+-==- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以，2222100110011001121010108x y x y x y x y x y x y F M F N x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--⋅=⋅--+⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ＝ 222201102210818116168880x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-+=-＝ 所以，12F M F N ^，所以直线1F M 与直线2F N 交于点G 在以12F F 为直径的圆上 ……………12分21.解：（1）()2321g x ax x '++＝1）当0a =时，()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭－单调减和12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调增； 2）当0a ¹时，=412a D -当13a ³时，()23210g x ax x '++≥＝恒成立，此时()g x 在R 单调增； 当103a <<时，由()2321=0g x ax x '++＝得，121133x x a a---==， ()g x 在()12,x x 单调减，在()()12,x x -∞+∞和，单调增；当0a <时，()g x 在()21,x x 单调增，在()()21,x x -∞+∞和，单调减， ……………5分（2）令()1ln f x x x =+，则()211f x x x'-＝ 因此，()f x 在()0,1单调减，在()1,+∞单调增()()min 11f x f \==当1a >-时，()()1211g a f =+>=，显然，对()0,x ∀∈+∞ 不恒有()()f x g x ≥；当1a ≤-时，由（1）知，()g x 在()10,x 单调增，在()1,x +∞单调减211321=0ax x ++，即()2111213ax x =-+ 所以，在()0,+?上，()()()2322max 1111111121113333g x g x ax x x x x x ==++=+=+-又(]10,1x ==所以()()()2max 1min 1111=33g x x f x =+-?， 即满足对()0x ∀∈+∞， 恒有()()f x g x ≥综上，实数(]1a ∈-∞-， ……………12分 22.解：（1）PA 为切线，PAB ACB ∴∠=∠,PA BD PAB ABD ACD ∴∠=∠=∠ACB ACD ∴∠=∠ ……………5分（2）已知3,6,1PA PC AM ===，由切割线定理2PA PB PC =?得：39,B ,22PB C PA BD == ，得,3AM PBMC MC BC=∴= 又知AMB ABC ∆∆ ，所以AB ACAM AB= 所以24AB AM AC =⋅=，所以2AB = (10)分23.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22112x y -+-=，是一个圆；直线l 的直角坐标方程为：0x y +=圆心C 到直线l的距离d r =，所以直线l 与圆C 相切 ……………5分（2）由已知可得：圆心C 到直线l的距离d =≤解得15m -≤≤ ……………10分 24.解：（1）()44f x x x a a a =-+-?=，从而解得2a = ……………5分（2）由（1）知，()()()()26242224264x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<≤⎨⎪->⎩ 综合函数()y f x =的图象知，解集为11122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ ……………10分。