推荐2018年中考数学总复习第六章统计与概率第32讲简单事件的概率及其应用讲解篇
2018年中考数学复习第一部分考点研究第八单元统计与概率第32课时数据的分析与应用36
第一部分考点研究第八单元统计与概率第32课时数据的分析与应用浙江近9年中考真题精选(2009～2017)命题点1平均数、众数、中位数及方差的计算(杭州必考，台州4考，温州必考，绍兴2012.20)1. (2016湖州5题3分)数据1，2，3，4，4，5的众数是( )A. 5B. 3C. 3.5D. 42. (2017温州5题4分)温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：表中表示零件个数的数据中，众数是( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个3. (2015台州5题4分)若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. (2016宁波7题4分)某班10名学生的校服尺寸与对应人数如下表所示：则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为( )A. 165 cm，165 cmB. 165 cm，170 cmC. 170 cm，165 cmD. 170 cm，170 cm5. (2016杭州4题3分)如图是某市2016年四月份每日的最低气温(℃)的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是( )第5题图A. 14 ℃，14 ℃B. 15 ℃，15 ℃C. 14 ℃，15 ℃D. 15 ℃，14 ℃6. (2015衢州5题3分)某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7.已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是( )A. 7B. 6C. 5D. 47. (2014湖州5题3分)数据－2，－1，0，1，2的方差是( )A. 0B. 2C. 2D. 48. (2013衢州7题3分)一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖)．那么被遮盖的两个数据依次是( )A. 80，2B. 80， 2C. 78，2D. 78， 29. (2017嘉兴3题3分)已知一组数据a、b、c的平均数为5，方差为4，那么数据a －2、b－2、c－2的平均数和方差分别是( )A. 3、2B. 3、4C. 5、2D. 5、410. (2016温州12题5分)某小组6名同学的体育成绩(满分40分)分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是________分．11. (2015杭州11题4分)数据1，2，3，5，5的众数是________，平均数是________．12. (2014丽水14题4分)有一组数据：3，a，4，6，7.它们的平均数是5，那么这组数据的方差是________．13. (2017金华13题4分)2017年5月28日全国部分宜居城市最高气温的数据如下：则以上最高气温的中位数为________℃.14. (2014杭州14题4分)已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是__________℃.第14题图15. (2017温州12题5分)数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据中的中位数，则该组数据的平均数是________．16. (2013杭州14题4分)杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表(单位：分)：杭州市某4所高中最低录取分数线统计表设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为x1，x2，则x2－x1＝________分．17. (2015温州19题8分)某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：(1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁将被录用．18. (2012绍兴20题8分)一分钟投篮测试规定，得6分及以上合格，得9分及以上为优秀，甲、乙两组同学的一次测试成绩统计如图：(1)请你根据上述统计数据，把下面的图和表补充完；第18题图一分钟投篮测试成绩统计分析表(2)下面是小明和小聪的一段对话，请你根据(1)中的表，写出两条支持小聪的观点的理由．19. (2013台州21题10分)有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在扇形的圆心角为36°.被抽取的体育测试成绩频数分布表第19题图根据图表提供的信息，回答下列问题：(1)计算频数分布表中a与b的值；(2)根据C组28<x≤32的组中值30，估计C组中所有数据的和为________；(3)请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分(结果取整数)．命题点2平均数、众数、中位数及方差的应用(台州3考，绍兴3考)20. (2017台州4题4分)有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的( )A. 方差B. 中位数 C .众数 D. 平均数21. (2017绍兴5题4分)下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁22. (2016嘉兴5题3分)某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差23. (2015宁波4题4分)在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中，最值得关注的是( )A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数答案1. D2. C3. C 【解析】先根据众数定义知，数据6出现次数最多，所以x＝6，再把这5个数由小到大排列3，4，5，6，6，根据中位数定义知，位于最中间的那个数据为5，所以中位数为5.4. B 【解析】由于165 cm出现了3次为最多，所以这组数据的众数为165 cm，而这组数据共有10个数，从小到大排列后的第5、6个数的平均数为中位数，从表中可知第5、6个数都为170 cm，故这组数据的中位数为170 cm，所以本题选B.5. A 【解析】从统计图分析，12 ℃的天数为5，13 ℃的天数为2，14 ℃的天数为12，15 ℃的天数为3，16 ℃的天数为4，17 ℃的天数为2，18 ℃的天数为2，将30天的温度值按从小到大的顺序排列，第15、16天的温度均为14 ℃，所以中位数为14 ℃，14 ℃的天数为12，天数最多，所以众数为14 ℃，故选A.6. C 【解析】因为x＝5×7－4－4－5－6－6－7＝3，所以，这组数据按从小到大的顺序可排列为3、4、4、5、6、6、7，中位数是5.7. C 【解析】∵数据－2，－1，0，1，2的平均数是(－2－1＋0＋1＋2)÷5＝0，∴数据－2，－1，0，1，2的方差是15×[(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22]＝2.8. C 【解析】根据题意得：80×5－(81＋79＋82＋80)＝78，方差s 2＝15[(81－80)2＋(79－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋(82－80)2]＝2.9. B 【解析】∵a ，b ，c 的平均数为5，方差为4，∴a ＋b ＋c ＝5×3＝15，4＝（a －5）2＋（b －5）2＋（c －5）23，即(a －5)2＋(b －5)2＋(c －5)2＝12，则数据a －2，b－2，c －2的平均数为：a －2＋b －2＋c －23＝a ＋b ＋c －63＝15－63＝3，方差为：s 2＝（a －2－3）2＋（b －2－3）2＋（c －2－3）23＝123＝4，故选B.10. 37 【解析】把数据按从小到大的顺序排列为32，35，36，38，38，40，则这组数据的中位数是(36＋38)÷2＝37.11. 5，3.2 【解析】5出现两次，出现次数最多，故众数为5；平均数为1＋2＋3＋5＋55＝3.2.12. 2 【解析】根据题意得3＋a ＋4＋6＋7＝25，解得a ＝5，∴这组数据的方差s 2＝15[(3－5)2＋(5－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2]＝2. 13. 29 【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列为25，26，28，30，32，35.数据共6个，是偶数，则中位数是第3和第4个数据的平均数，即中位数为(28＋30)÷2＝29.14. 15.6 【解析】把这些数从小到大排列为4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，最中间的两个数的平均数是(15.3＋15.9)÷2＝15.6(℃)，则这六个整点时气温的中位数是15.6 ℃.15. 4.8或5或5.2 【解析】这组数据共5个，因为a 是中位数，所以3≤a ≤5，因为a 是整数，所以a 的值可以是3，4，5.当a 为3时，这组数据的平均数是15(1＋3＋3＋5＋12)＝4.8；当a 为4时，这组数据的平均数是15(1＋3＋4＋5＋12)＝5；当a 为5时，这组数据的平均数是15(1＋3＋5＋5＋12)＝5.2.16. 4.75 【解析】x 1＝438＋3×4354＝435.75(分)，x 2＝2×442＋2×4394＝440.5(分)，x 2－x 1＝4.75(分)．17. 解：(1)x 甲＝83＋79＋903＝84(分)，x 乙＝85＋80＋753＝80(分)， x 丙＝80＋90＋733＝81(分)， ∵x 甲＞x 丙＞x 乙，∴排名顺序为甲、丙、乙；(4分) (2)由题意可知，甲不符合规定．∵乙的得分：85×60%＋80×30%＋75×10%＝82.5(分)，丙的得分：80×60%＋90×30%＋73×10%＝82.3(分)，∴乙的得分＞丙的得分， ∴乙会被录用．(8分)18. 解：(1)补全统计图如解图；第18题解图补全统计分析表：甲组平均分为6.8，乙组的中位数为7；(4分)(2)答案不唯一，如：甲乙两组的平均分一样，乙组的方差低于甲组，说明乙组成绩比甲组稳定；乙组的合格率比甲组高，所以乙组的成绩好于甲组．(8分)19.解：(1)a＝5÷36°360°＝50，b＝50－(2＋3＋5＋20)＝20；(4分) (2)150；(6分)【解法提示】由题意，得C组中所有数据的和为30×5＝150.(3)150×(22×2＋26×3＋30×5＋34×20＋38×20)＝34.24≈34(分)(9分) 可用样本的平均分来估计总体的平均分，因此该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分约为34分．(10分)20. A21. D 【解析】方差越小，成绩越稳定．甲的方差是6.6，乙的方差是6.8，丙的方差是6.7，丁的方差是6.6，甲与丁的方差最小，而甲的平均数是9.14，丁的平均数是9.15，甲的平均数比丁的平均数小，故选丁．22. B 【解析】共有9名学生参加百米跑，取前4名，所以要想知道自己是否入选需要知道自己的成绩是否进入前4名．我们把所有同学的成绩按从大到小的顺序排列，第5名学生的成绩是这组数据的中位数，所以大家知道这组数据的中位数，就能知道自己是否入选，故选B.23. D 【解析】全校师生最爱吃的粽子肯定是在全校做调查时被选中的次数最多的一家专卖店，根据方差、平均数、中位数、众数各自的特点可知，只有众数能反映“次数最多”，故应关注众数．。
中考数学复习方案 第八单元 统计与概率 第32课时 随机事件与概率课件
D.任意画一个三角形,其内角和是180°
第七页，共四十六页。
D
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
2.[2019·武汉]不透明的袋子中只有4个黑球和2个白
[答案] B
球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中 [解析]A中,3个球都是黑球(hēi qiú)是随机
2 1
1
6 3
3
球的概率 P= = .故答案为 .
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基
础
知
识
巩
固
8.[2018·台州]一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球(xiǎo qiú),把它们分别标号为1, 2, 3.随
机摸出一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球标号相同的概率
是
.
高
频
考
向
探
究
第十五页，共四十六页。
在一定条件下,可能发生也可能不发生
的事件
第三页，共四十六页。
0<P(A)<1
基
础
知
识
巩
固
考点二 概率的概念(gàiniàn)及相关计算
1.概率的定义:
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的
概率,记为P(A).
高
频
考
向
探
究
2.概率的意义(yìyì):概率从数量上刻画了一个随机事件发生的③
guǒ)时易忽略“放回”与“不放回”.
高
频
考
向
探
究
6.[2018·泰州]小亮是一名职业足球队员,根据以往比赛数据统计(tǒngjì),小亮进球率为10%,他
中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第八章 统计与概率 第32讲 概率及其应用课件
由树状图可知共有 12 种等可能结果，积为正的结果有 6 种，积为负的结果有 6
种，则甲胜的概率为162＝12，则乙胜的概率为162＝12，∴游戏是公平的．
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☞ 方法指导
(1)一步概率计算问题，可以用概率公式求解，即 P(A)＝mn，其中 n 为所有事件 的总数，m 为事件 A 发生的总次数．
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
教材同步复习。在一定条件下，③__________________的事件，称为④ ________________。必然事件和不可能(kěnéng)事件统称为⑤________________。可能(kěnéng)
No 发生也可能(kěnéng)不发生。第 3 页。2．过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理
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(2)画树状图如答图 2 所示，
∵共有 12 种等可能的结果，且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况，∴两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率 P＝182＝23.
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• 1．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有 3个分别标有数字1,2,3的小球，乙口袋中装有 2个分别标有数字4,5的小球，它们(tā men)的形状、 大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个
小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球 记下数字．
• (1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)， 表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
【广东中考高分突破】数学教师课件第32节概率
答案：解：（1）∵一个不透明的布袋里装 有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，
∴摸出 1 个球是白球的概率为 ； （2）画树状图得：
∴一共有 9 种等可能的结果，两次摸出的 球恰好颜色不同的有 4 种，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；
（3）由题意得： 解得：n=4．经检验，n=4 是所列方程的解， 且符合题意，∴n=4．
4. （2014广州）某校初三（1）班50名学 生需要参加体育“五选一”自选项目测试， 班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球
5 0.10
合计
50 1
在选报“推铅球”的学 生中，有3名男生，2名 女生，为了了解学生的 训练效果，从这5名学生 中随机抽取两名学生进 行推铅球测试，求所抽 取的两名学生中至多有 一名女生的概率．
第32节 概率
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考纲要求
1.在具体情境中了解概率的意义． 2.运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生
的概率．
3.通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时 频率可作为事件发生概率的估计值．
4.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际 问题．
考点
年份 题型
分值 近 五 年 广 州 高频考点分析 市考试内容
白 （白，白）
（红，白）（红，白）（红，白）
红 （白，红）（白，红）
（红，红）（红，红）
红 （白，红）（白，红）（红，红）
（红，红）
红 （白，红）（白，红）（红，红）（红，红）
所有等可能的情况有 20 种，其中两次摸出的球都是红球
2019年中考数学总复习第一部分考点梳理第六章统计与概率第32课时统计课件PPT
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4பைடு நூலகம்
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精选-中考数学总复习第八单元统计与概率第32课时概率课件湘教版
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课堂考点探究
探究一 生活中的确定事件与随机事件
【命题角度】
判断某个具体事件是确定事件(包括必然事件和不可能事件)还是随机事件.
例1 [2018·淄博] 下列语句描述的事件中,是随机事件的为
A.水能载舟,亦能覆舟
B.只手遮天,偷天换日
C.瓜熟蒂落,水到渠成
D.心想事成,万事如意
(D )
最新
精选中小学课件
A.缘木求鱼
B.杀鸡取卵
C.探囊取物
D.日月经天,江河行地
最新
精选中小学课件
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课堂考点探究
探究二 求简单随机事件的概率
【命题角度】 (1)用列举法求简单事件的概率; (2)求与面积有关的事件的概率. 例 2 [2018·滨州] 若从-1,1,2 这三个数中,任取两个分别作为
点 M 的横、纵坐标,则点 M 在第二象限的概率是
中数学题的概率是 ( C )
A. 1
B.1
C.1
D.1
20
5
4
3
6.在一个口袋中有 4 个完全相同的小球,它们的标号分别为 1,2,3,4,从中随机摸出一个小球记下其标号后
放回,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是
A.38
B.12
C.58
D.34
(C )
最新
精选中小学课件
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课堂考点探究
针对训练
1.[2018·凉山州] 以下四个事件中为必然事件的是 ( B )
①|a|≥0;②a0=1;③am·an=amn;④a-n=������1������ (a≠0,n 为整数).
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
中考数学练习与解析专题32 概率及其求法
故选 C。
考点：必然事件的确定。
3. （年广东佛山中考）掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是【 】
A．正面一定朝上
B．反面一定朝上
C．正面比反面朝上的概率大
D．正面和反面朝上的概率都是 0.5
【答案】D。 【分析】因为掷一枚有正反面的均匀硬币，则根据正反面出现的机会均等得到正反两面的概率相等，因此， 正面和反面朝上的概率都是 0.5。故选 D。 考点：概率的意义。
1 【答案】 。
2 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条 件的情况数目； 二者的比值就 是其发生的概率。因此，
∵“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”四个国家中为亚洲国家的有“中国”、 “韩国”2 个， ∴抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 2 = 1 。
42 考点：跨学科问题，概率。
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件；
C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件；
D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件.
故选 C.
Байду номын сангаас
考点：必然事件.
5. （年江苏南通中考）在如图所示（A，B，C 三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 ▲ 区
域的可能性最大（填 A 或 B 或 C）．
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中考数学练习与解析专题 32 概率及其求法
∴所选出的 m，n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣
4，﹣3）. ∴所选出的 m，n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的概率为： 2 = 1 ． 12 6
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果.
中考数学一轮复习 第八单元 统计与概率 第32讲 数据的收集、整理与描述课件
(2)获得一等奖的同学中有 1 来自七年级,有1 来自八年级,其他同学均来自九
4
4
年级.现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛,请通过
列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.
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解析 (1)10÷25%=40,40-8-6-12-10=4(人). 故获得一等奖的人数为4. 补全条形统计图,如图所示.
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第32讲 数据(shùjù)的收集、整理与描述
第一页，共四十页。
夯基础·学易
考点 一 (kǎo diǎn) 数据的收集(5年2考)
统计调查的常用方法是①普查和②抽样调查. (1)普查:为某一特定目的而对③所有考察对象进行的④全面调查. (2)抽样调查:只抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况. 要考察的全体对象称为⑤总体,组成总体的每一个考察对象称为⑥个体,从总体中被抽 取的那些个体组成一个⑦样本,样本中个体的数目称为⑧样本容量.
我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随 机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根
据统计图所提供的信息解答下列问题: 图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”.
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(1)被调查的总人数是
D.调查某类烟花爆竹燃放的安全情况具有破坏性,适合抽样调查,故D不符合 题意.故选C.
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答案 C 错解 D 错误鉴定 对常采用抽样调查的一些情形判断不清是造成本题错解的主要 原因,常采用抽样调查的情形有:(1)受客观条件限制,无法(wúfǎ)对所有个体进行全 面调查,如选项B;(2)调查具有破坏性,不允许全面调查,如选项D;(3)总体总量 较大,个体分布较广,如选项A.同时注意抽样调查的样本一定要具有广泛性和 代表性.
高考数学总复习考点知识讲解与练习32 概率、随机变量及其分布
高考数学总复习考点知识讲解与练习 第32讲 概率、随机变量及其分布[考情分析]1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度． 考点一 古典概型 核心提炼古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为() A.112 B.16 C.15 D.19答案D解析根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，丙A ，丙B ，丙C ，9种情况，而医生甲和护士A 被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P ＝19.(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.15B.110C.121D.1252 答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410，能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121.规律方法古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．跟踪演练1(1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115 D.118答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为()A.532B.516C.1132D.1116 答案B解析由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516.考点二 随机变量的分布列核心提炼1．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C knp k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向一超几何分布例2(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C212＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C24＋2C23＋C22＝13(种)，所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝13 66 .(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝C04C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C02C26＝25.所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×115＋1×815＋2×25＝43.跟踪演练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为考向二二项分布例3(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ，为了解免费WiFi 在A 市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由列联表可知K 2＝200×(70×40－60×30)2130×70×100×100≈2.198，因为2.198<2.706，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． (2)由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫353＝27125，P(X＝1)＝C13×25×⎝⎛⎭⎪⎫352＝54125，P(X＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P(X＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫253＝8125.所以X的分布列为E(X)＝3×25＝65，D(X)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.规律方法随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．跟踪演练3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝15×15＝125，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝110×110＋15×25×2＝17100，P(X＝3)＝110×25×2＋15×310×2＝15，P(X＝4)＝25×25＋310×110×2＝1150，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为E(Y1)＝14×6000＋15×7500＋1150×9000＋625×10500＋9100×12000＝8580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为E(Y2)＝67100×7740＋625×(7740＋a)＋9100×(7740＋2a)＝7740＋21a50.当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50>0，即0<a<2000时，选择方案二更合算，当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50＝0，即a＝2000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50<0，即a>2000时，选择方案一更合算．专题强化练一、单项选择题1.某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i＝1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.23B.34C.35D.12答案A解析设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”．甲、乙两人同在站点A1下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A2下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A3下车的概率为13×13.所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3×13×13＝13，则P(A)＝1－13＝23.2．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b等于()A.110B．0C．－110D.15答案A解析∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，∴(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， 即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b ＝110.3．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()A.1027B.448729C.100243D.4081 答案B解析由题图可知，A ，C 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.E ，F 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故D ，B 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，D ，B 之间连通的概率是1－2581＝5681，故A ，B 之间连通的概率是89×5681＝448729. 4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于() A.12B.13C.14D.25 答案B解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C16·C16＝36(种)，事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝C13·C1336＝14，P(A2)＝C13·C1336＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝14＋14＝12.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝C13·C13－336＝16，由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.5．(2020·山东枣庄市八中月考)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为() A．150B．200 C．300D．400答案C解析因为P(X<90)＝P(X>120)＝1 5，P(90≤X≤120)＝1－25＝35，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝310，所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×3 10＝300.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )等于() A.12512B.3512C.274D.234答案A解析设A 学生答对题的个数为m ， 则得分X ＝5m ，m ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，14， D (m )＝12×14×34＝94， 所以D (X )＝25×94＝2254；同理设B 学生答对题的个数为n ，则得分Y ＝5n ，n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，D (n )＝12×13×23＝83，所以D (Y )＝83×25＝2003，所以D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.二、多项选择题7．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则下列结论正确的是() A ．E (ξ1)<E (ξ2) B ．E (ξ1)>E (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)>D (ξ2) 答案AC解析∵E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)，∵D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， ∴D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0， 即D (ξ1)<D (ξ2)．8．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则()A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 答案ABD解析设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确．三、填空题9．某校高一新生健康检查的统计结果显示：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一该校高一新生，已知此人体重超重，则他血压异常的概率为________． 答案0.2解析记事件A 表示此人体重超重，事件B 表示此人血压异常，则P (A )＝0.4，P (AB )＝0.08，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.080.4＝0.2. 10．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________． 答案427解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为23×23×13＝427.11．(2020·临沂模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________．答案314解析观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有C 28＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线，四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即C 13＋C 23＝6(种)情况．故所求概率为P ＝628＝314.12．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案131解析方法一1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A 24＝12(种)排列．①红球前面没有黄球，有A13＋1＝4(种)，P(ξ＝0)＝412＝13；②红球前面有1个黄球，有A12＋A12＝4(种)，P(ξ＝1)＝412＝13；③红球前面有2个黄球，有1＋A13＝4(种)，P(ξ＝2)＝412＝13.E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.方法二①第1次就取到红球：P(红)＝1 4；②第2次取到红球：P(黄，红)＝24×13＝16，P(绿，红)＝14×13＝112；③第3次取到红球：P(黄，黄，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，红)＝14×23×12＝112；④第4次取到红球：P(黄，黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，黄，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，黄，红)＝14×23×12＝112.故P(ξ＝0)＝P(红)＋P(绿，红)＝14＋112＝13，P(ξ＝1)＝P(黄，红)＋P(黄，绿，红)＋P(绿，黄，红)＝16＋112＋112＝13，P(ξ＝2)＝P(黄，黄，红)＋P(黄，黄，绿，红)＋P(黄，绿，黄，红)＋P(绿，黄，黄，红)＝112＋112＋112＋112＝13.则E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.四、解答题13．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与均值．解(1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”，事件A1表示“3个人来自于同一个专业”，事件A2表示“3个人来自于三个不同专业”，P(A1)＝C33＋C35C310＝11120，P(A2)＝C12C13C15C310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－11120－30120＝79120.(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，∴X的分布列为E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2020·寿光市第二中学月考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，①P(X≥μ－σ)＝0.5＋0.68272≈0.8414，所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.。
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第32讲 简单事件的概率及其应用
1．事件的分类
考试内容
考试
要求
确定性
事件
必然 事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为
____________________，它发生的概率为1.
a
不可能 事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为
__________________，它发生的概率为0.
必然事件和不可能事件统称为确定性事件．
不确定性事件(随机事件) 在一定条件下，的事件，称为不确定事件(或随机事件)，它发生的
概率介于0与1之间．
2.概率的意义与计算
考试内容
考试
要求
概率的
意义
对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随
机事件发生的． a
概率的 计算 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：
P(A)＝．
c
求概率的
常用方法
①概率的定义； a
②列表法；
c
③画树状图法；
④用频率估计概率(在大量重复试验中，事件A发生的频率为mn，我
们可以估计事件A发生的概率为mn)．
a
考试内容
考试
要求
基本 方法 列表法与树状图法： 列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的； 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为
了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；
当一次试验要涉及三个或更多个因素时，为了不重复不遗漏地列出
所有可能的结果，通常采用树状图法．
c
1．(2017·宁波)一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋
中任意摸出1个球，是黄球的概率为( )
A.12B.15C.310D
.710
2．(2017·舟山)红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是( )
游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，
另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者
胜．若两人出相同的手势，则两人平局．
A
．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为12
B
．红红胜或娜娜胜的概率相等
C
．两人出相同手势的概率为13
D
．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
3．(2017·金华)某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四