材料力学课件第五章 弯曲应力要点
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学第五章 弯曲应力1-2-2
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
max
M max WZ
[ ]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可 能地小，使WZ尽可能地大。
1、梁的合理截面
使用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数。 离中性轴较远的位置配置较多的材料。
WZ
bh2 6
h
zb
b
z
h
z
G
2、变截面梁与等强度梁 梁的各横截面上的最大正应力都相等，称为 等强度梁。
Z的静矩
A
中性轴过形心
M y
zdA 0
A
zE ydA 0
A
I yz yzdA 0
横截面对轴y
A
和z的惯性积
Mz y dA M
A
y
y E dA M
A
M E y2dA EIZ
A
1M
EIZ
正应力计 算公式：
E y M y Iz
max
M ymax IZ
M WZ
q
A
B
300
1400
M/(kNm)
455
210
C
D 300
解：（1）对跨中危险截面
W2
d
3 2
32
(0.32m)3
32
3.22103 m3
max2
M max W2
4 5 51 03 3.2 21 03
141MPa
超过许用应力 ，但仅相差1％，因此，
210
跨中截面满足梁的强度要求。
（2）校核AB段的强度 （最大弯矩在B截面）
C
B
D
1m
c B
M B(h Iz
yc )
材料力学第五章__弯曲应力(1)
整理课件
正应力分析方法
变 形 平面假定 应变分布 物性关系 应力分布 静力方程 应力表达式
整理课件
Bending stress in pure bending beams Deformation relation Physics relation statics relation
整理课件
1. 变形几何关系
但是对于细长梁（横截面h远小于跨度l的 梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽 略不计。
整理课件
My
适用于下述条件: I z
(1)小变形； (2)材料处于比例极限范围内； (3)纯弯曲梁或l>5h的横力平面弯曲的梁； (4)直梁或小曲率的曲梁(ρ>5h)。
整理课件
例题受均布载荷作用简支梁如图所示，试求：
3、变形后，纵向线 弯曲成为弧线，横向 线仍保持为直线，且 垂直与弯曲了的弧线。
（二）基本假设
1、平面假设：
横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏
转一个角度。
整理课件
假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧 纤维缩短，凸出一侧纤维伸长
2、假设纵向纤维之间无挤压应力
整理课件
梁的一些特殊位置
q=60kN/m
A
FAY
1m
C
l = 3m
B
x
FBY
120
30
K
z
180
1.C 截面上K点正应力
2.C 截面上最大正应力
y
3.全梁上最大正应力
4.已知E=200GPa，C 截整面理课件的曲率半径ρ
q=60kN/m
120 解： 1. 求支反力
A
1m
FAY
C
l = 3m
正应力分析方法
变 形 平面假定 应变分布 物性关系 应力分布 静力方程 应力表达式
整理课件
Bending stress in pure bending beams Deformation relation Physics relation statics relation
整理课件
1. 变形几何关系
但是对于细长梁（横截面h远小于跨度l的 梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽 略不计。
整理课件
My
适用于下述条件: I z
(1)小变形； (2)材料处于比例极限范围内； (3)纯弯曲梁或l>5h的横力平面弯曲的梁； (4)直梁或小曲率的曲梁(ρ>5h)。
整理课件
例题受均布载荷作用简支梁如图所示，试求：
3、变形后，纵向线 弯曲成为弧线，横向 线仍保持为直线，且 垂直与弯曲了的弧线。
（二）基本假设
1、平面假设：
横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏
转一个角度。
整理课件
假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧 纤维缩短，凸出一侧纤维伸长
2、假设纵向纤维之间无挤压应力
整理课件
梁的一些特殊位置
q=60kN/m
A
FAY
1m
C
l = 3m
B
x
FBY
120
30
K
z
180
1.C 截面上K点正应力
2.C 截面上最大正应力
y
3.全梁上最大正应力
4.已知E=200GPa，C 截整面理课件的曲率半径ρ
q=60kN/m
120 解： 1. 求支反力
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学5弯曲应力_图文
（1）合理安排载荷 （2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
材料力学-第五章-弯曲应力
弯曲正应力强度条件的应用：
max
M max WZ
1、强度校核
M max
WZ
2、梁的截面尺寸设计
M max
WZ
3、确定许可载荷
Mmax WZ
例1 已知：F=10KN，a=1.2m F
3F
F
b
[σ]=10MPa，h/b=2
试：选择梁的截面尺寸。 解： 由对称性，可得：
故： b 121.6mm h 2b 243.2mm
选取截面为： 125 250 mm 2
例2 已知：l=1.2m[σ]=170MPa，
18号工字钢，不计自重。
F
A
求：F的最大许可值。
解： 作弯矩图，由图可得：
M
| M |max Fl 1.2F N m
查附录A表4，
Wz 185103 mm3 1.85104
的变形：
变形前： bb oo d x
变形后： oo d d x
b'b' ( y)d
bb的线应变为
( y)d d d
即： y
由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0
2、物理关系
由假设（2）知，各纵向纤维
（3）矩形横截面上宽下窄。
二、两个假设
（1）平面假设
（2）单向受力假设： 纵向纤维间互不挤压， 即单向拉压。
Fa
D
B
z y
z y
三、理论分析
从以下三方面来分析：
1、变形几何关系
中性层：梁中纤维即不 伸长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截 面的交线。
工程力学5第五章弯曲应力 ppt课件
M
dM Iz
S
* z
dF ddx
dM dx = FS
FS
S
* z
Izd
S
* z
b( h 2
h1 2
)[ h1 2
1 2
(h 2
h1 2
)]
d
(
h1 2
y)[ y
1 2
(
h1 2
y)]
1 h2 [b(
h12
)
d ( h12
y2 )]
2 44
2PPT课件
z
280
PPT课件
60
y
4.13MPa 4.34MPa
38
例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁
中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单
元体上的应力，并写出应力的表达式。
q
1
A
l /4
2
4 h /4
3
B
l
l /4
h
z τmax
bτ
PPT课件
39
解：(1)求支座反力:
q
3 FA 4 ql
腹板
δ d
yz
FS——横截面上剪力。
y
翼缘
矩形截面的两个假定同样适用。
PPT课件
24
δ
h h1
y
δ
FN1
b
dF z
dx
dF FN 2 FN1
FN2
式中：FN1
dA M
A*
Iz
A*
材料力学课件ppt-5弯曲应力
z
h b
Iz
1 bh3, 12
Wz
1 bh2 6
d
z
Iz
d4,
64
Wz
d3,
32
D
Iz
(D4
64
d4) D4(14)
64
d
z
Wz 32D3(14)
20
目录
§5-2
横力弯曲
横力弯曲正应力
21
目录
§5-2 横力弯曲正应力
横力弯曲正应力公式 弯曲正应力公式 My IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
（3）结论
c,max46.1MPa t,max28.8MPa
27
目录
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql2/867.5kNm
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
x
IZ5.83120 5m 4 1M
EI
M
90kN
ql2 /867.5kNm
C
材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力
关于中性层的历史
1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层； 英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴 过截面形心。
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
σmax
M y max max
M
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh 3 12
材料力学 第五章 弯曲应力
h
z y D d
空心圆截面 W
D 3
32
(1 )
4
d α D
z y
( Stresses in Beams) （2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 y c max 和
y t max 直接代入公式 My 求得相应的最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正应力 Iz
( Stresses in Beams)
My 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: Iz
M为梁横截面上的弯矩 y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离 Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩 讨论
(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号). (2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
( Stresses in Beams)
Mechanics of
Materials
Chapter5 Stresses in beams
( Stresses in Beams)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5–1 引言 ( Introduction) §5–2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §5–3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §5–4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §5–5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
材料力学第五章弯曲应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 一、横力弯曲(Nonuniform bending)
当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力
使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压
20
80
F1=9kN
F2=4kN
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
120
y2
20
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
BD
M C 2.5kN m
1m
最大负弯矩在截面B上
-
+
M B 4kN m
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
d
图（a）
OO
zb
Oy x b
y
图（b）
O’
x
O’
b’
b’
z
y 图（c）
bb ( y)d
( y)d d y
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.
当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力
使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压
20
80
F1=9kN
F2=4kN
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
120
y2
20
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
BD
M C 2.5kN m
1m
最大负弯矩在截面B上
-
+
M B 4kN m
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
d
图（a）
OO
zb
Oy x b
y
图（b）
O’
x
O’
b’
b’
z
y 图（c）
bb ( y)d
( y)d d y
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.