2013年江西数学(理)高考真题

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2013年新课标2卷理科数学高考真题及答案

答案：49
【解法一】由S10= 0，S15= 25⇒a1=3，公差d=，
⇒Sn=n(n10)
将Sn是关于n的函数，其图像关于n= 5对称，n< 10时，Sn< 0，n> 10时，Sn> 0，
所以nSn的最小值应在n= 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n= 7时nSn最小，最小值为49.
【解法二】同解法一得：Sn=n(n10)
所以ET= 45000×0.1 +53000×0.2 +61000×0.3 +65000×0.4 = 59400
所以T的数学期望为59400
(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：=1(a>b>0)的右焦点的直线x+y= 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（Ι）求M的方程
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100,110),则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110)的概率，求T的数学期望.
答案：A
【解】
（8）设a= log36，b= log510，c= log714，则
（A）c>b>a（B）b>c>a（C）a>c>b（D）a>b>c
答案：D
【解】a= 1 + log32，b= 1 + log52，c= 1 + log72
log23<log25<log27⇒log32>log52>log72⇒a>b>c

2013年高考文科数学(江西卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或43.sin cos 2αα==若 A. 23-B. 13-C. 13D.234.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 A. B.C. D.5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01 6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是 A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9π B. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π 9. 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|= A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。

已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲Word版含答案

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））若对于实数x 的不等式 x 5 x 3 a 无解,则实数a的取值范围是_________【答案】,82．（ 2013 年高考陕西卷（理））(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则( am+bn)( bm+an) 的最小值为 _______.【答案】 23 ．（ 2013 年高考江西卷（理））(不等式选做题) 在实数范围内, 不等式x 2 1 1 的解集为_________【答案】0,44 ．（ 2013 年高考湖北卷（理））设x, y, z R ,且知足:x2y2z21,x 2 y 3z 14,则 x y z _______.【答案】二、解答题314 75 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;不等式选讲设 a,b,c 均为正数,且a b c1,证明:1a2b2c2 ( Ⅰ)ab bc ca;( Ⅱ)c 1.3b a 【答案】6 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲已知函数 f x x a ,此中 a 1 .(I)当 a=2 时,求不等式 f x4x4的解集 ;(II)已知对于 x 的不等式f2x a 2 f x2 的解集为x |1 x 2 ,求a的值 .【答案】7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲:设不等式 x 2a(a N * ) 的解集为A,且3A ,1A . 22(1)求 a 的值;(2) 求函数f ( x)x a x 2 的最小值.【答案】解:( Ⅰ) 由于3A ,且1A,所以32 a ,且12a 2222解得1a3,又由于 a N *,所以 a1 22( Ⅱ) 由于| x 1| | x 2 | |( x 1) ( x 2) | 3当且仅当 ( x 1)(x2) 0,即1x 2 时获得等,所以f (x)的最小值为 38 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD版含附带题））D.[ 选修 4-5: 不定式选讲 ] 本小题满分10 分.已知 a b>0,求证:2a3b32ab 2 a 2 b[ 必做题 ] 第 22、23 题, 每题 10分, 共 20 分. 请在相应的答题地区内作答, 若多做 , 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D证明: ∵2a3b3ab 2a2 b2a32ab22b3) 2( a b2a a 2 b 2b(a 2b2 )a 2b 2 ( 2a b)(a b)(a b)(2a b)又∵ a b>0,∴ a b >0,a b0 2a b0 ,∴ (a b)( a b)(2a b)0∴ 2332220a b ab a b∴2a3b3ab 2a2 b29．（ 2013 年高考新课标 1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数 f ( x) =| 2x 1|| 2x a | , g (x) =x 3.( Ⅰ ) 当a =2 时 , 求不等式f (x)< g( x)的解集 ;( Ⅱ ) 设a >-1, 且当x∈ [a,1) 时, f ( x)≤g( x) , 求a的取值范围 .22【答案】当 a =-2时,不等式 f (x) < g (x) 化为 | 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ,5x,x12设函数 y = | 2x 1| | 2x 2 | x 3 , y = x 2, 1x 1 ,23x 6, x 1其图像如下图从图像可知 , 当且仅当 x (0,2) 时 , y <0, ∴原不等式解集是 { x | 0 x2} .( Ⅱ ) 当 x ∈ [a , 1 ) 时, f ( x) =1 a , 不等式 f (x) ≤ g( x) 化为 1 ax 3 ,2 2∴ x a 2对 x ∈ [a , 1)都建立 ,故 a a 2 , 即 a ≤ 4 ,2 223∴ a 的取值范围为 (-1,4].310．（ 2013 年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系 xOy 中 , 将从点 M 出发沿纵、横方向抵达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径” . 如图 6 所示的路径MM 1M 2 M 3 N 与路径 MN 1N 都是 M 到 N 的“L 路径” . 某地有三个新建的居民区 , 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20), B( 10,0), C (14,0) 处 . 现计划在 x 轴上方地区 ( 包括 x 轴 )内的某一点 P 处修筑一个文化中心 .(I) 写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式 ( 不要求证明 );(II) 若以原点 O 为圆心 , 半径为 1 的圆的内部是保护区 , “L 路径”不可以进入保护区 , 请确立点 P 的地点 , 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小 .【答案】解 : 设点P(x, y),且y 0.( Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离 d ,等于水平距离垂直距离，即 d| x - 3| + | y - 20 | ,此中 y 0, x R.( Ⅱ) 本问考察剖析解决应用问题的能力, 以及绝对值的基本知识 .点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d = 水平距离之和的最小值h +垂直距离之和的最小值 v. 且h 和 v 互不影响 .显然当 y=1时 ,v=20+1=21; 明显当x [ 10,14]时 , 水平距离之和 h=x – (-10)+ 14 – x + |x-3|24 ,且当 x=3 时 , h=24.所以 , 当 P(3,1) 时 ,d=21+24=45.所以 , 当点 P(x,y)知足 P(3,1) 时 , 点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.。

2013年高考江西卷(文)数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅰ卷一.选择题：本大题共10小题、每小题5分、共50分.在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1＝0｝其中只有一个元素、则a=A.4B.2C.0D.0或43.3sin cos23αα==若，则（）A.23- B.13- C.13D.234.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数、则这两数之和等于4的概率是A．23B.13C.12D.165.总体编号为01、02、…19、20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体、选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字、则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.016. 下列选项中、使不等式x＜1x＜2x成立的x的取值范围是（）A.（、-1）B. （-1、0）C.0、1）D.（1、+）7.阅读如下程序框图、如果输出i=4、那么空白的判断框中应填入的条件是A.S＜8B. S＜9C. S＜10D. S＜118.一几何体的三视图如右所示、则该几何体的体积为A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π9. 已知点A （2、0）、抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F 、射线FA 与抛物线C 相交于点M 、与其准线相交于点N 、则|FM|：|MN|=A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。

已知l 1⊥l 2、圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A 、圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动、圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x 、令y=cosx 、则y 与时间t （0≤x ≤1、单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为二．填空题：本大题共5小题、每小题5分、共25分。

历年高考数学真题全国卷版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )．A ．121x -(x ＞0)B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x－1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞) 10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23B ．C ．3D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B ．2 C ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD 都是等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A －PD －C 的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1ln(1+)1x x x xλ(+)-+. (1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n+++，证明：a 2n －a n ＋14n ＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )|m |2－|n |2＝0(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A.6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C. 7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +，2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B. 9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C OBD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则2=2AC OC ，222211293=22222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322222CH ⋅⋅， ∴2=3CH .∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=3t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =. ∴g (t )max，即f (x ).故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα. 14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sinA sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝11+2242⨯=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=⨯⨯因此二面角A －PD －C的大小为π- 解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A(，0,0)，D (0，，0)，C(，，0)，P (0,0，．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z)·(，，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z)·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0. 取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π- 20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0·P (X＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98. 21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b ＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝(3x 1＋1)，|BF 1|3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝23-.故226283k k =--，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝199-.由于|AF 2|＝1－3x 1，|BF 2|3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列． 22．(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝22121x x x λλ(-)-(+)，f ′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若12λ≥，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，即2ln(1)22x x x x (+)>++．取1x k=，则211>ln 21k k k k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3 C ．1372π3cm3 D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n nc a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列 C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，2且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE 交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．答案：C解析：∵c e a ==22222254c a b e a a +===.∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a=±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. ∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C. 8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)，∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1nn a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5-解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos α＝，sin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2 ∴f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15) ＝－9.f(－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA ＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA . 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．11,23⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

2013年高考数学真题(江西卷)文科精编解析word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:D解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选D .2.(2013江西,文2)若集合A={x ∈R |ax 2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ). A.4 B.2 C.0 D.0或4答案:A解析:当a=0时,显然不成立;当a ≠0时.由Δ=a 2-4a=0,得a=4.故选A . 3.(2013江西,文3)若sin α2=√33,则cos α=( ).A.-23B.-13C.13D.23答案:C解析:cos α=1-2sin 2α2=1-2×(√33)2=13.故选C.4.(2013江西,文4)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( ).A.2 3B.12C.13D.16答案:C解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为26=13.故选C.5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01答案:D解析:所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x<1x<x2成立的x的取值范围是().A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案:A解析:原不等式等价于{x>0,x2<1<x3,①或{x<0,x2>1>x3,②①无解,解②得x<-1.故选A.7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是().A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11答案:B解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,结束.所以填入的条件是“S<9”.故选B.8.(2013江西,文8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为().A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π答案:A解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积V=4×10×5+12×π·32·2=200+9π.故选A .9.(2013江西,文9)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( ). A.2∶√5 B.1∶2C.1∶√5D.1∶3答案:C解析:射线FA 的方程为x+2y-2=0(x ≥0).如图所示,知tan α=12,∴sin α=√55.由抛物线的定义知|MF|=|MG|, ∴|FM ||MN |=|MG ||MN |=sin α=√55=√5.故选C .10.(2013江西,文10)如图,已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y 与时间t(0≤t ≤1,单位:s )的函数y=f(t)的图像大致为( ).答案:B解析:假设经过t 秒后,圆心移到O 1,则有∠EO 1F=2∠AO 1F,且cos ∠AO 1F=1-t.而x=1·∠EO 1F,∴y=cos x=cos ∠EO 1F=cos 2∠AO 1F=2cos 2∠AO 1F-1=2(1-t)2-1=2t 2-4t+1=2(t-1)2-1,t ∈[0,1].故选B .第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013江西,文11)若曲线y=x α+1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 答案:2解析:切线斜率k=2-01-0=2,又y'=αx α-1在点(1,2)处,y'|x=1=α,故α=2.12.(2013江西,文12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51,∴n ≥6.13.(2013江西,文13)设f(x)=√3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是 . 答案:[2,+∞)解析:∵f(x)=√3sin 3x+cos 3x=2sin (3x +π6)∈[-2,2],又∵|f (x )|≤a 恒成立,∴a ≥2.14.(2013江西,文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是 . 答案:(x-2)2+(y +32)2=254解析:圆心在直线x=2上,所以切点坐标为(2,1).设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t 2=(1-t)2,∴t=-32,半径r 2=254. 所以圆C 的方程为(x-2)2+(y +32)2=254.15.(2013江西,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .答案:4解析:作FO ⊥平面CED,则EO ⊥CD,FO 与正方体的侧棱平行,所以平面EOF 一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(2013江西,文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足:a n 2-(2n-1)a n -2n=0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =1(n+1)a n,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由a n 2-(2n-1)a n -2n=0,得(a n -2n)(a n +1)=0.由于{a n }是正项数列,所以a n =2n. (2)由a n =2n,b n =1(n+1)a n ,则b n =12n (n+1)=12(1n -1n+1), T n =12(1-12+12−13+…+1n -1−1n +1n −1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1).17.(2013江西,文17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin A sin B+sin B sin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=2π3,求a b的值.解:(1)由已知得sin A sin B+sin B sin C=2sin 2B,因为sin B ≠0,所以sin A+sin C=2sin B. 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c 成等差数列. (2)由C=2π3,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a)2=a 2+b 2+ab , 即有5ab-3b 2=0,所以ab =35.18.(2013江西,文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. (1)写出数量积X 的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共1种; 数量积为-1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共6种; 数量积为0的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种; 数量积为1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种. 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为p 1=715;因为去唱歌的概率为p 2=415,所以小波不去唱歌的概率p=1-p 2=1-415=1115.19.(2013江西,文19)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=√2,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE ⊥平面BB 1C 1C; (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则BF=AD=√2,EF=AB-DE=1,FC=2.在Rt △BFE 中,BE=√3. 在Rt △CFB 中,BC=√6.在△BEC 中,因为BE 2+BC 2=9=EC 2, 故BE ⊥BC.由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1, 所以BE ⊥平面BB 1C 1C.(2)解:三棱锥E A 1B 1C 1的体积V=13AA 1·S △A 1B 1C 1=√2.在Rt △A 1D 1C 1中,A 1C 1=√A 1D 12+D 1C 12=3√2. 同理,EC 1=√EC 2+CC 12=3√2,A 1E=√A 1A 2+AD 2+DE 2=2√3. 故S △A 1C 1E =3√5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d,则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积 V=13·d ·S △A 1C 1E =√5d, 从而√5d=√2,d=√105.20.(2013江西,文20)(本小题满分13分)椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,a+b=3.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m.证明:2m-k 为定值.解:(1)因为e=√32=c a,所以a=√3c,b=√3c.代入a+b=3,得c=√3,a=2,b=1. 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)方法一:因为B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线BP 的方程为y=k(x-2)(k ≠0,k ≠±12),① ①代入x 2+y 2=1,解得P (8k 2-24k 2+1,-4k4k 2+1).直线AD 的方程为:y=12x+1.② ①与②联立解得M (4k+22k -1,4k2k -1).由D(0,1),P (8k 2-24k 2+1,-4k4k 2+1),N(x,0)三点共线知-4k 4k 2+1-18k 2-24k 2+1-0=0-1x -0,解得N (4k -22k+1,0). 所以MN 的斜率为m=4k2k -1-04k+22k -1-4k -22k+1=4k (2k+1)2(2k+1)2-2(2k -1)2=2k+14, 则2m-k=2k+12-k=12(定值). 方法二:设P(x 0,y 0)(x 0≠0,±2),则k=y 0x 0-2,直线AD 的方程为:y=12(x+2), 直线BP 的方程为:y=y 0x0-2(x-2),直线DP 的方程为:y-1=y 0-1x 0x,令y=0,由于y 0≠1可得N (-x 0y0-1,0), 联立{y =12(x +2),y =y 0x 0-2(x -2),解得M (4y 0+2x 0-42y-x0+2,4y 02y0-x 0+2),因此MN 的斜率为m=4y 02y 0-x 0+24y 0+2x 0-42y 0-x 0+2+x 0y 0-1=4y 0(y 0-1)4y 02-8y 0+4x 0y 0-x 02+4=4y 0(y 0-1)2-8y000-(4-4y 02)+4=y 0-100-2,所以2m-k=2(y 0-1)00-2−y 00-2=2(y 0-1)(x 0-2)-y 0(2y 0+x 0-2)(2y 00-2)(x 0-2)=2(y 0-1)(x 0-2)-2y 02-y 0(x 0-2)(2y 0+x 0-2)(x 0-2)=2(y 0-1)(x 0-2)-12(4-x 02)-y 0(x 0-2)(2y 00-2)(x 0-2)=12(定值).21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)={1ax ,0≤x ≤a ,11-a(1-x ),a <x ≤1.a 为常数且a ∈(0,1).(1)当a=12时,求f (f (13));(2)若x 0满足f(f(x 0))=x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3)对于(2)中的x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为S(a),求S(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值.解:(1)当a=12时,f (13)=23,f (f (13))=f (23)=2(1-23)=23.(2)f(f(x))={12x ,0≤x ≤a 2,1a (1-a )(a -x ),a 2<x ≤a ,1(1-a )2(x -a ),a <x <a 2-a +1,1a (1-a )(1-x ),a 2-a +1≤x ≤1.当0≤x ≤a 2时,由1a2x=x 解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当a 2<x ≤a 时,由1a (1-a )(a-x)=x 解得x=a-a 2+a+1∈(a 2,a), 因f (a-a 2+a+1)=1a ·a -a 2+a+1=1-a 2+a+1≠a-a 2+a+1, 故x=a-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点: 当a<x<a 2-a+1时,由1(1-a )2(x-a)=x 解得x=12-a ∈(a,a 2-a+1),因f (12-a )=11-a ·(1-12-a )=12-a ,故x=12-a 不是f(x)的二阶周期点; 当a 2-a+1≤x ≤1时, 由1a (1-a )(1-x)=x 解得x=1-a 2+a+1∈(a 2-a+1,1),因f (1-a 2+a+1)=1(1-a )·(1-1-a 2+a+1)=a -a 2+a+1≠1-a 2+a+1, 故x=1-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x 1=a-a 2+a+1,x 2=1-a 2+a+1. (3)由(2)得A (a-a 2+a+1,a-a 2+a+1), B (1-a 2+a+1,1-a 2+a+1), 则S(a)=12·a 2(1-a )-a 2+a+1,S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2, 因为a ∈[13,12],有a 2+a<1, 所以S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2=12·a [(a+1)(a -1)2+(1-a 2-a )](-a 2+a+1)2>0. (或令g(a)=a 3-2a 2-2a+2, g'(a)=3a 2-4a-2 =3(a -2-√103)(a -2+√103), 因a ∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间[13,12]上的最小值为g (12)=58>0,故对于任意a ∈[13,12],g(a)=a 3-2a 2-2a+2>0, S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2>0),则S(a)在区间[13,12]上单调递增,故S(a)在区间[13,12]上的最小值为S (13)=133,最大值为S (12)=120.。

(江西版)2013年高考数学总复习第三章不等式单元检测理北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第三章不等式单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b 为非零实数且a ＜b ，则下列命题成立的是( )．A ．a 2＜b 2B ．ab 2＞a 2bC ．1ab 2＜1a 2bD ．b a ＜a b2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －1>0，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则“x ∈Q ”是“x ∈P ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．关于x 的不等式2x －1＞a (x －2)的解集为R ，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．{2}C ．(－∞，2)D ．4．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 2＝b 2，a 2 010＝b 2 010，则a 1 006与b 1 006的大小关系是( )．A ．a 1 006＝b 1 006B ．a 1 006＞b 1 006C ．a 1 006＜b 1 006D ．无法判断5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )．A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)6．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域是集合M ，函数g (x )＝x －1的定义域是集合P ，则P ∪M 等于( )．A ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．已知a ，b 均为正数且a ＋b ＝1，则使1a ＋4b≥c 恒成立的c 的取值范围是( )．A ．c ＞1B ．c ≥0C ．c ≤9D ．c ＜－18．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．310．已知x ，y ，z ＞0，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值为( )．A ．32 B ．22 C ．23 D ．33二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是__________．12．若任意a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是__________．13．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为__________．14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝22(1)(2)x y ＋＋－的最小值是__________．15．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设a ，b ，c 都大于0，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.17．(12分)已知不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为，求k 的取值范围．18．(12分)(1)已知a ，b 是正常数，且a ≠b ，x ＞0，y ＞0，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取得最小值时x的值．19．(12分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围．20．(13分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？21．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上单调递增；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2pm ＋1对所有x ∈[－1,1]，p ∈[－1,1](p 是常数)恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：若a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2，知A 不成立．若⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a <b ，可得a 2b ＞ab 2，知B不成立．若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，有b a ＞ab，知D 不成立．2．D 解析：由题意得P ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，Q ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以“x ∈Q ”是“x ∈P ”的既不充分也不必要条件．3．B 解析：原不等式可化为(a －2)x ＜2a －1，当a ＝2时，2a －1＝3，不等式化为0＜3恒成立． ∵不等式的解集为R ，∴a ＝2.4．B 解析：a 1 006＝a 2＋a 2 0102＞a 2a 2 010＝b 2b 2 010＝b 1 006.故选B.5．A 解析：平面区域D 如图阴影部分所示．要使指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3.6．A 解析：M ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，P ＝{x |x ≥1}， ∴P ∪M ＝{x |x ≥1，或x ＜－1}．7．C 解析：关键是求1a ＋4b的最小值，∵1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ×(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋24＝9，∴c ≤9.8．D 解析：由已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4tx ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－4t x ＋1＝0无解，故有248<0t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得t ＞2或t ＜－ 2. 9．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a ＞－1，∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2.∴a ＝3.10．B 解析：方法一：∵y ∈R ＋，∴u ＝xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2＝221x z y y x z y y +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可化为2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2z y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋z y 1u＋1＝0，配方得212x y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212z y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12u 2－1.由上式可得12u 2－1≥0，即－22≤u ≤22.∵x ，y ，z ∈R ＋，由已知，显然有u ＞0，∴0＜u ≤22.∴u max ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x y ＝z y ＝22时，u 取得最大值. 方法二：由已知，得u ＝(x ＋z )yx 2＋y 2＋z 2.∵x ，y ，z ∈R ＋，且22x z +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤x 2＋z22，∴u ≤2(x 2＋z 2)·y (x 2＋z 2)＋y 2≤2y x 2＋z 22y x 2＋z 2＝22，当且仅当x ＝z 且x 2＋z 2＝y 2，即x ＝z ＝22y 时取等号．∴u max＝22. 二、填空题 11．[5,8) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.12．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，任意f (a )在a ∈[1,3]上满足f (a )＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2>0，f (3)＝3x 2＋x －2>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，x >23或x <－1.综上，x ＞2或x ＜－1.13．8 解析：当x ＞1时，y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·16x ＋1x＝216＝8，当且仅当x ＝2＋3时，等号成立．14．165解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝2⎛⎫＝165. 15．f (x )＝(22－2)x ＋1＋1 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 三、解答题16．证明：原不等式可化为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， ∵a ，b ∈R ＋，∴12a ＋12b ≥212ab ＝1ab ≥2a ＋b .同理，12b ＋12c ≥2b ＋c ，12c ＋12a ≥2c ＋a .∴12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，即12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 17．解：(1)∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}．∴k ＜0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根．∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式解集为，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.18．(1)证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2x y＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＞0，∴a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝by时，上式等号成立．(2)解：由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，上式取得最小值，即f (x )min ＝25.19．解：(1)原不等式为(x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2，它是关于p 的一次函数，定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)>0，f (2)＝(x －1)(x ＋1)>0.解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1，或x ＞3}．(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0.∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立，所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1，于是p ＞－1. 故p 的范围是{p |p ＞－1}．20．解：由题设知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )＞0⇔n 2－20n ＋49＜0⇒10－51＜n ＜10＋51. 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入为f (n )n＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n ≤40－2×14＝12(万元)．当且仅当n ＝7时，年平均获利最大．总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.∵当n ＝10时，f (n )max ＝102(万元)．总收益为102＋8＝110(万元)，但7＜10. ∴第一种方案更合算．21．(1)证明：设－1≤x 1＜x 2≤1， ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)．又x 1＜x 2，∴x 2＋(－x 1)＝x 2－x 1＞0，由题设有f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)＞0，∴f (x 2)＋f (－x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解：由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，x ≥2或x ≤0，x <－1或1<x <32⇔－32≤x ＜－1.∴不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1. (3)解：由(1)知对于x ∈[－1,1]，f (x )max ＝f (1)＝1，∴f (x )≤m 2－2pm ＋1对任意x ∈[－1,1]恒成立，只需1≤m 2－2pm ＋1对p ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2pm ≥0对p ∈[－1,1]恒成立．设g (p )＝m 2－2mp ，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ≥0，m 2－2m ≥0，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}．。

2013年高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷01 理 (解析版)

x 10, x 3, 则 f (6) 的值为 f [ f ( x 5), x 10,
B．6 C．7 D． 8
4. 【 2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试】已知 (

2
, ) ， tan 4 5
sin( ) 等于 3 A. 5
【答案】B
1 0. 【原创题】把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 A．l0 3 cm C．10 2 cm B．10 cm D．30cm
【答案】 B 【解析】由题意球心在 AP 上，球心为 O，过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为 20cm，所以 AM=10，BP=20,BM=10，AB= 10 2 , 设 BPA ，在 Rt BPM 中， BP BM PM ,所以， PM 10 3
2013 年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（1）
第I卷一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【江西省临川一中 2012 届高考五月模拟考试（一）】设集合 A x
x 1 0 ， B x x 1 a ，则“ a 1 ”是“ A B ”的（ x 1
1 x ，则 1 x
1 x 1 x F ( x) log 2 log 2 1 x 1 x
数.
1
log 2
1 x F ( x) ，故 f x g ( x) 是奇函 1 x
3. 【浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题】设 f ( x) A．5

历年高考数学真题全国卷整理版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )．A ．121x -(x ＞0)B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x－1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞) 10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． C．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝3-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C＝14，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为2，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1ln(1+)1x x x xλ(+)-+. (1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n+++，证明：a 2n －a n ＋14n ＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )?|m |2－|n |2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y ?x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C OBD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则2==22AC OC，222211293=22222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322222CH ⋅， ∴2=3CH .∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =时，函数值为；当t =. ∴g (t )max＝9，即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝==.故cot α＝cos sin αα. 14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R ∴R ＝2.∴S＝4πR2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n}的公差为d.由S3＝22a得3a2＝22a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得22S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时S n＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{a n}的通项公式为a n＝3或a n＝2n－1.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cos B＝222122a c bac+-=-，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos C－sin A sin C＋2sin A sinC＝cos(A＋C)＋2sin A sin C＝11+2242⨯=，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =，AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A(0,0)，D (0，，0)，C(，0)，P (0,0．PC ＝()，PD ＝(0，，)．AP ＝(0，，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z)·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z)·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0. 取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为πarccos3-. 20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98. 21．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b ＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝＝(3x 1＋1)，|BF 1|＝3x 2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23-.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝＝1－3x1，|BF2|＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为5C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n nc a +，c n＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列 C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．答案：C解析：∵c e a ==22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. ∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C mm +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a .又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为22=1189x y.故选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c＝t a＋(1－t)b，∴b·c＝t a·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1nn a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：解析：f (x )＝sin x －2cos x＝x x ⎫⎪⎭，令cos α＝，sin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2＋.易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－2－)2][(－22＋8(－2－)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA ＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，化简得cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，)，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |＝2118||7x x -=.当k =|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S＝( )．A．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax ＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C．11,23⎛⎤-⎥⎝⎦D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

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绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

数学(理科)

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=
（）
A. -2i B. 2i C. -4i D.4i

2.函数y=ln（1-x）的定义域为（）
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
3.等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）
A.-24 B.0 C.12
D.24
4.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5
个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取
两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728
0198
3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938
7481
A.08 B.07 C.02
D.01

5. 2532()xx展开式中的常数项为（）
A．80 B.-80 C.40 D.-40
则123,,SSS的大小关系为 6.若

123ASSS 213BSSS
231CSSS 321
DSSS
7.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为
A.S=2﹡i-2 B.S=2﹡i-1
C.S=2﹡I D.S=2﹡i+4
8.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体
的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=

A.8 B.9 C.10 D.11
9.过点（，0）引直线ι的曲线21yx相较于A、B两点，O为坐标原点，
当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于
A. B.- C. D-
10.如图，半径为1的半圆O与等边三
角形ABC夹在两平行线ι1，ι2之间，
ι//ι1，ι与半圆相交于F,G两点，
与三角形ABC两边相交于E,D两点。
设弧FG的长为x(0＜x＜
π),y=EB+BC+CD，若ι从ι1平行移
动到ι2，则函数y=f(x)的图像
大致是
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.

12．设e1，e2为单位向量。且e1、e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向
量a在b方向上的射影为________.
13．设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则f’（1）=__________.

14．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 - =1相交于A，
B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.
三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。
本题共5分。
15（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t2 （t
为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，
则曲线C的极坐标方程为_______.
（2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x-2|-1|的解集为___________.

四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）
cosB=0.
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围
17．（本小题满分12分）
正项数列{an}的前n项和Sn满足：222(1)()0nnSnnSnn

（1）求数列{na}的通项公式na；

（2）令221(2)nnnbna ，数列{nb}的前n项和为nT．证明：对于任意*nN，
都有564nT。

18.（本小题满分12分）
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0
为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A1，A2，A3（如图）这8个点中任取两点
分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱
团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望。
19（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△

DAB △DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F

（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值
20．（本小题满分13分）
如图，椭圆经过点P（1. ），离心率e=，直线l
的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；
（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点
M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。问：是否存在常数λ，使
得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由

21.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=a（1-2丨x-丨），a为常数且a＞0.

（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=对称；
（2）若x0满足f（f（x0））= x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶
周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，
f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），
讨论S（a）的单调性。