6.2第六章 多元回归和相关、偏相关
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06第六章+相关与回归分析
第3节 一元线性回归分析
一、回归分析概念 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变 化。 其主要内容和步骤是： 首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因 变量； 其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量 间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回 归模型进行统计检验；统计检验通过后， 最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。
第六章
相关与回归分析
第一节 基本概念 第二节 简单线性相关分析 第三节 一元线性回归分析
第六章 相关与回归分析
第一节 基 本 概 念
1.1 函数关系与相关关系 1.2 相关关系的种类内容 1.3 相关分析及其 1.4 回归与回归分析 1.5 相关分析与回归分析关系
1.1 函数关系与相关关系 函数关系：
2019/9/12
换算因子的计算
含义
换算公式
xx2
x2 n1x2
yy2
xxyy
y2 n1y2
xyn1xy
第六章 相关与回归分析
27
第六章 相关与回归分析
第三节 一元线性回归分析
3.1 一元线性回归模型的建立 3.2 一元线性回归模型的参数估计 3.3 一元线性回归拟合优度的评价 3.4 回归估计标准误差 3.5 显著性检验（略） 3.6 一元线性回归模型预测
9
910
0.505
5 650
0.567 10 1050
0.436
2019/9/12
第六章 相关与回归分析
19
2.2 相关系数x 的 6 特4 元 征， 7 及y 判0 .5 别8 标 5 准1 .1 8 % 3 3
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
[教育学]第六章 相关与回归分析
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902 902 902 902 915 915 915 915 915 915
853 869 872 873 850 859 863 868 875 898
（二）分组相关表 分组相关表是将原始资料分组后编制而成 的表格，分组相关表有单变量分组相关表 和双变量分组相关表之分。 1、单变量分组相关表 单变量分组相关表是将自变量分组并计算 次数，对应的因变量计算其平均值制成的 表格。
y
x
例：
1、商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 2、商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 3、粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系 4、收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 5、父亲身高(y)与子女身高(之间的关系
三、相关分析的主要内容 （一）确定现象之间有无关系，确定相关关系 的表现形式。这是相关分析的出发点。 主要根据经验、相关图表和相关系数。 （二）确定相关关系的密切程度。 相关系数能从数量上明确说明关系的密切程 度。 （三）测定两个变量之间的一般的关系值。 （四）测定因变量估计值和实际值之间的差异， 用来反映因变量估计值的可靠性。
求解a、b两个参数 统计中采用的是最小平方法。
y yc min
2
利用此法求解a、b的标准方程式为：
y na bx 2 xy a x b x
对其进行数学变换可得：
a y b x nxy xy b 2 2 n x ( x )
例，某地区1997-2001年各年的职工生活费收入 和商品销售额的资料如表6-4所示。计算职工生活 费收入与商品销售额的相关关系
偏相关定义
偏相关定义偏相关是一种统计学概念，用于描述两个变量之间的关系。
在统计学中，我们经常需要分析多个变量之间的关系，以便更好地理解数据背后的规律和趋势。
而偏相关就是其中一种分析方法。
偏相关是指在控制其他变量的影响下，两个变量之间的关系。
通常，我们使用相关系数来衡量两个变量之间的相关性，相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
而偏相关则是在考虑其他变量的情况下，再计算相关系数，以消除其他变量对两个变量关系的影响。
偏相关的概念可以通过一个简单的例子来解释。
假设我们想要研究一个人的身高和体重之间的关系。
通常情况下，我们可以使用相关系数来衡量二者之间的相关性。
但是，如果我们只考虑身高和体重这两个变量，可能会忽略其他因素对身高和体重之间关系的影响，比如年龄、性别等。
这时候，偏相关就可以派上用场了。
偏相关的计算方法相对复杂一些，需要使用到多元回归分析。
在多元回归分析中，我们可以通过建立一个回归模型，将其他变量作为控制变量，然后计算残差项之间的相关系数，即为偏相关系数。
偏相关的应用领域非常广泛。
在经济学中，偏相关可以帮助我们分析经济变量之间的关系，如GDP和通货膨胀率之间的关系。
在医学研究中，偏相关可以用于探索疾病风险因素之间的关系，如吸烟、饮酒和肺癌之间的关系。
在市场研究中，偏相关可以用于分析消费者行为和产品特征之间的关系，如广告投入和销售额之间的关系。
需要注意的是，虽然偏相关可以帮助我们分析两个变量之间的关系，但并不代表因果关系。
偏相关只能告诉我们两个变量之间的相关程度，不能确定其中一个变量的变化是否会导致另一个变量的变化。
因此，在进行偏相关分析时，我们需要谨慎解读结果，避免得出错误的结论。
偏相关是一种用于描述两个变量之间关系的统计学方法。
它通过考虑其他变量的影响，消除了其他变量对两个变量关系的干扰，帮助我们更准确地理解数据背后的规律和趋势。
在实际应用中，偏相关可以帮助我们进行更深入的数据分析和决策制定，从而更好地应对各种问题和挑战。
统计学06第六章相关与回归分析
每一 x Dx 法 则—f 唯一 y Y
相关关系：
确定 x
联系
y
一定范围
一定分布
2020/12/3
第六章 相关与回归分析
3
1.1 函数关系与相关关系
收入
xi
消费 4消 00 费5与00 收入 600 的关700系 800
80
85
95 100
95
现85 收集 90 了1有 00 关1消 10 费115
x x
2
y y 2
Lxx Lyy
nx yxy
n x2 x 2 n y2 y 2
2020/12/3
第六章 相关与回归分析
16
2.2 相关系数的特征及判别标准
1 1 r 1— 取值范围 ；
2 r 0 — x、y 之间存在正相关关系；
r 0 — x、y 之间存在负相关关系； r 1— x、y 完全（正、负）相关； r 0 — x、y 间不存在线性相关关系。
样关本系数Xr的r 标是准总差n1体相x关 Yx系 的y标数准yρ差
相关的系一 数：致估计n1 量 。x x
2
1 n
y y
2
2020/12/3
第六章 相关与回归分析
15
2.1 相关系数的计算公式
r
1 n
x
x
y
y
1
n
x x
2
1 n
y y
2
x x y y
L xy
第六章 相关与回归分析
简单第线二性节相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
• 相关系数计算公式：
相关关系：
确定 x
联系
y
一定范围
一定分布
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第六章 相关与回归分析
3
1.1 函数关系与相关关系
收入
xi
消费 4消 00 费5与00 收入 600 的关700系 800
80
85
95 100
95
现85 收集 90 了1有 00 关1消 10 费115
x x
2
y y 2
Lxx Lyy
nx yxy
n x2 x 2 n y2 y 2
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第六章 相关与回归分析
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2.2 相关系数的特征及判别标准
1 1 r 1— 取值范围 ；
2 r 0 — x、y 之间存在正相关关系；
r 0 — x、y 之间存在负相关关系； r 1— x、y 完全（正、负）相关； r 0 — x、y 间不存在线性相关关系。
样关本系数Xr的r 标是准总差n1体相x关 Yx系 的y标数准yρ差
相关的系一 数：致估计n1 量 。x x
2
1 n
y y
2
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第六章 相关与回归分析
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2.1 相关系数的计算公式
r
1 n
x
x
y
y
1
n
x x
2
1 n
y y
2
x x y y
L xy
第六章 相关与回归分析
简单第线二性节相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
• 相关系数计算公式：
统计学第六章 研究变量的关系：相关与回归
• 例：
第三节 简单线性回归：推断
• 前两节从数据分析的角度对数据之间关系 的模式进行搜寻，如果将可观察的数据作 为总体的一个样本，搜寻到的模式就是总 体变量关系的一种估计，由此需要统计推 断方法来估计与检验此种关系。 • 推断问题开始于对总体模型的假定，本节 仅限于一个解释变量与一个响应变量线性 关系的研究，这被称为简单线性回归或一 元线性回归。
• 最小二乘回归特点：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 可决系数R-squared： 表示在响应变量的总变动中能被回归方程解 释的百分比，用来描述直线关系的强度。 在一元线性回归中，其值等于相关系数的 平方。
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 残差（residuals）：
回归线是解释变量与响应变量之间线性关系整体模 式的数学模型，研究与整体模式的偏差也是很重 要的。
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
残差图：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 回归中的异常观测点和有影响的观测点
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 小心使用相关与回归方法：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 例：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
第一节 分类数据之间关系研究：列联表
模型2：检验独立性
Model for Examining Independence in Two-Way Tables Select an SRS of size n from a population. Measure two categorical variables for each individual. The null hypothesis is that the row and column variables are independent. The alternative hypothesis is that the row and column variables are dependent. CASE7.2
回归方程的偏相关系数
回归方程的偏相关系数
偏相关系数是回归分析中的一种常用指标，它用于描述两个变量之间的关系，而控制其他变量的影响。
在实际应用中，我们往往需要考虑多个因素对目标变量的影响，这时就需要使用偏相关系数来分析变量之间的关系。
具体来说，偏相关系数是在控制其他自变量的影响下，两个自变量之间的相关程度。
它的计算基于多元回归模型，通过回归分析得到两个自变量与因变量之间的关系，然后计算出它们之间的偏相关系数。
偏相关系数的值介于-1和1之间，其意义与普通相关系数相似。
当偏相关系数为正时，表示两个自变量之间的关系是正相关的；当偏相关系数为负时，表示两个自变量之间的关系是负相关的；当偏相关系数接近于0时，表示两个自变量之间的关系很弱或者不存在。
偏相关系数在实际应用中有着广泛的应用，比如在金融、经济学、医学等领域，都可以用它来研究变量之间的关系。
同时，它也是多元回归模型的重要指标之一，可以用于评价模型的拟合程度和解释能力。
总之，偏相关系数是回归分析中非常重要的一个指标，它可以帮助我们分析变量之间的关系，并且排除其他变量的影响，使我们更准确地理解变量之间的联系。
- 1 -。
06第六章 相关与回归分析
3 r — 只是对线性相关关系的 度量 。
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
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2.2 相关系数的特征及判别标准
2. 相关关系密切程度的划分 — 无直线相关； 1 r 0 . 3 2 0 . 3 r 0 . 5 — 低度相关； 3 0 . 5 r 0 . 8 — 显著相关 — 高度相关 4 r 0 . 8
2
y y
0.1017 0.00937 0.0827 0.0677 -0.0143 0.0207 -0.0373 -0.0913 -0.0763 -0.1453
y y x x y y
2
0.01034289 0.00877969 0.00651249 0.00458329 0.00020449 0.00042849 0.00139129 0.00833567 0.00582169 0.02111209
ˆ yi
x n ，y n
残差平方和
Q x1 ，y1
0
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y
i
ˆ yi
2
2 ˆ ˆ yi yˆ y ！！！ β0 β2 xi i i — 1最小的直线
x
第六章 相关与回归分析
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3.2 一元线性回归模型的参数估计
最小二（平方）乘法：
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
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第六章 相关与回归分析
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1.5 相关分析与回归分析的关系
注意：
1. 进行相关和回归分析时要坚持定性分
析和定量分析相结合的原则，在定性 分析的基础上开展定量分析。
2. 只有当变量间存在高度相关时，才进
第6章 多元回归分析：深入专题
• 标准化过程: • 从原有形式的OLS方程开始：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yi = β0 +β1xi1 +β2xi2 +L+βk xik +ui
Hale Waihona Puke （6.1）ˆ • 对式（6.1）求出其平均方程，利用ui 具有 6.1 零样本均值的事实，并将式（6.1）减去平 均方程，我们就得到：
ˆ ˆ ˆ ˆ yi − y = β1(xi1 − x1) + β2(xi2 − x2) +L+ βk (xik − xk ) +ui
6.3拟合优度和回归元选择的进一步探讨
• 1、调整R2 2 • 2、利用调整 R 在两个非嵌套模型中进行选 择 • 3、回归分析中控制了过多的因素 • 4、增加回归元以减少误差方差
k y k ik k k i y
• 将上式中的每个变量都用其z得分而被标准 化，从而得到一些新的斜率参数，如下式: •
ˆ ˆ ˆ z y = b1 z1 + b2 z 2 + L + bk z k + 误差 ˆ 传统上称这些 b 为标准化系数或 β 系数。
j
6.2对函数形式的进一步讨论
• 1、对使用对数函数的进一步讨论 • 2、含二次式的模型的进一步讨论 • 3、含有交互作用项的模型
ˆ σ • 现在令 为因变量的样本标准差，1为 x1 的 ˆ σ 样本标准差， 2 为 x2 的样本标准差，等等。 • 然后经过简单的运算就得到方程:
ˆ ˆ ˆ ˆ （ y i − y ） σ y = (σ 1 σ y ) β 1 [( x i1 − x1 ) σ 1 ] + / ˆ
ˆ σy
ˆ ˆ ˆ ˆ (σ2 σ y )β2[(xi2 − x2 ) σ2 ] +L+ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (σ σ )β [(x − x ) σ ]+u σ
第六章相关与回归分析
80 可支配收
60
入
18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80
可支配收入
2019/8/7
10
如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量 的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
任务二 进行相关分析
2.1 相关关系的测定 2.2 相关系数 2.3 相关系数的特点
2.1 相关关系的测定 P189
1. 单相关系数的定义 X 、Y 的协方差
总体 相关系数：
CovX ，Y VarX VarY
样本
r
X
的标准n1差
x x Yy的 标y 准差
相关系数：
1
n
xx
2
1 n
y y
2
2019/8/7
13
2.2 相关系数 P222
120
100
80
60
300
400
500
600
700
800
2019/8/7
人均 收入
900
5
1.2 相关关系的种类 P188
分类标志
类别
相关程度 完全相关 不完全相关 不相关
相关方向 正相关 负相关
相关形式 线性相关 非线性相关
变量多少 单相关 复相关 偏相关
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6
1.3 相关分析和回归分析 P189 相关分析 — 用一个指标来表明现象间相
互依存关系的密切程度。
相关系数 r
r
较大 — 现象间依存关系强
[课件]第6章 直线回归与相关分析PPT
第四象限： x x 0 , y y 0 ( x x ) ( y y ) 0
进一步讨论
当正相关时，如右图，可见 大多数点子在一、三象限，
2
2
SS . 8183 1 Rdf R 83 F 1940 . 2384 * * SS 0 . 216 5 r df r
F0.05(1, 5)=6.61 F0.01(1, 5)=16.26
因为F > F0.01，所以否定H0，推断回归关
系极显著，即表明蔗糖质量分数x与食品 甜度 y 具有真实的直线关系。
一元直线相关（简单相关）
相关 分析 多元线性相关
复相关 偏相关
回归分析：研究变量之间的联系形式的一种
统计方法。
联系形式用回归方程来表示。由方程次数不
同来分：
线性回归———方程次数为1
如：y＝a＋bx。 非线性回归——方程次数不为1 如：y＝axb（b≠1）
由方程的自变量个数来分 一元回归——只有一个自变量 如：y＝a＋bx，y＝axb 多元回归——自变量个数多于1
2. 控制： 由 y 去控制 x。 这主要在制定生产措施时用。 例，某作物产量y与施肥量x的回归方程如下：
ˆ y 3 9 1 . 9 36 . 6 2 x
若希望y＞600斤/亩，则施肥量至少多少斤/亩？ 由
可推出
ˆ y 3 9 1 . 9 3 6 . 6 2 x 6 0 0
6 0 03 9 1 . 9 3 x 3 1 . 4 ( 斤 / 亩 ) 6 . 6 2
[( y y ) b ( x x )][ b ( x x )]
b ( x x )( y y ) b ( x x )