通州中学2009高三数学培优专题

通州中学2009高三数学培优专题(数列部分A) 一、知识要点 1 数学归纳法 （第二数学归纳法）

2 递推数列 （1）1nnaafn （2）1nnaafn

（3）1nnapaq （4）21nnnapaqa（5）1qnnapa

（6）1nnnaaa 3 周期数列 二、有关基本题

1、若数列nx满足11x并且

11(14124)(1)16nnnxxxn求数列nx的通项公式。

解：设124nnbx，有2115,24nnbbx 221123,0,23nnnnnbbbbb

2

111133()322nnnbbb



1

1

32nb



111213,23234nnnnnbx



也可以用 1nnapaq 的方法

2、若数列na；11,a并且12(1)nnnaana求通项公式

解：方程2xxx，递推函数的不动点2,1pq

12222nnnnnaaaaa

122211nnnnnaaaaa

11111222111121212nnnnnnaaaaaa













1112(1)22121nnnnnnnnaaa











3 .定义数列na， 11111,,1,0,1,,2,3,41nnnaaRaana







判断其周期性。

解：递归函数 1,,1xfxfxxx的不动点xi

则 11111111111111nnnnnnnnnnaiaiaaiiaaaiaiiaia11nnaiiai 211212nnnnnnnaiaiaiaiiiiaiaiaiai







 设aiAai，11,1,2,3,4,1nnniAianAi 因为ni是周期为4的周期数列 ，所以na是周期为4的周期数列 4、设210,1,2,3,4,nnnnaaaan求证 1nan

证明：（1）121111,0,011naaaaa （2）假设1,knkak 当1nk时

若111,111kkkkkaaaaakk 若111kakk则 11111111kkkaaakkk







所以1nk命题成立 5. 已知数列na的前n项的和Sn，满足3212nnnaSn*()(N) ． （1）求数列na的通项公式．

（2）设1231111nnTaaaa„＋ ，是否存在正整数k，使得当n≥3时，11010nkkT

,

如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由 解： （1）n≥2时，由3212nnnaSn*()(N)，得1113212nnnaS()． 相减，得13412nnnaan()()≥，11131nnnnaa()(())．

11nna{()}是等比数列．113nnna()，31nnna()．

（2）123111111112102631nnnnTaaaa()„＋„＋， 当k为偶数时，

111111131313131kkkkkk()()

11133113333kkkkkk



．

当n为奇数且n≥3时，

123111111112102631nnnnTaaaa()„＋„＋

2311111111111712626103333nna()„„＋．

当n为偶数且n≥3时，11111117210261031nnniinTa()„＋， 所以存在k=6．

6. 已知 2122,(2)2nnnxxxnx求nx

简解：（1）fxx，不动点2x 2

2

12222222nnnnnnxxxxxx





2

2

12222222nnnnnnxxxxxx





2112222nnnnxxxx







 所以 2221212222222nnnnnnxxxxxx 

1111112211222222222222222222nnnnnnnxxx















7.设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，„）．（1）证明：p，q；（2）求

数列{}nx的通项公式；

（3）若1p，14q，求{}nx的前n项和nS．

【解析】（1）由求根公式，不妨设，得2244,22ppqppq 224422ppqppq

p，

224422ppqppq

q

（2）设112()nnnnxsxtxsx，则12()nnnxstxstx，由12nnnxpxqx得stpstq，

消去t，得20spsq，s是方程20xpxq的根，由题意可知，12,ss ①当时，此时方程组stpstq的解记为1212sstt或

112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx

即11nnxtx、21nnxtx分别是公比为1s、2s的等比数列， 由等比数列性质可得2121()nnnxxxx,2121()nnnxxxx, 两式相减，得2212121()()()nnnxxxxx 221,xpqxp，222x

，1x

22221()nnnxx，22221()nnnxx

1()nnnx，即1nnnx，11nnnx

②当时，即方程20xpxq有重根，240pq， 即2()40stst，得2()0,stst，不妨设st，由①可知 2121()nnnxxxx，，2121()nnnnxxxx

即1nnnxx，等式两边同时除以n，得111nnnnxx，即111nnnnxx 数列{}nnx是以1为公差的等差数列，

12(1)111nnxxnnn

,nnnxn

综上所述，11,(),()nnnnnxn （3）把1p，14q代入20xpxq，得2104xx，解得12 11()()22nnnxn

232311111111()()()...()()2()3()...()22222222nnnSn







23111111()()2()3()...()22222nnn







111111()2()()3(3)()2222nnnnnn

8. 过曲线）（上1113y,xPxy:C 点作曲线C的切线1l与曲线C交）（222y,xP，过2P作