组合数学中的排列组合问题的模型建立
cnq-ygz_i排列组合问题的非常规解题数学思想方
BBA1BA! _世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。
在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便 十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。
－－别林斯基排列组合问题的非常规解题数学思想方法分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路． 一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?解法一: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 只能上行或右行共有514(51)(81)11C C --+-=条不同的路径.解法二:设i a (1,2,3,4,5,6,7)i =表示经过第i 列的水平路段;设j b (1,2,3,4)j =表示经过第j 行的竖直路段; 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:可以看出这是i a (1,2,3,4,5,6,7)i =与j b (1,2,3,4)j =的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.所以从A 到B 只能上行或右行共有11411117474A C A A =条不同的路径.二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
解法一：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，按一下分类进行： 先将两个黄格■■插入到两个红格 ■ ■ 的两端或中间，有5种情况: ■ ■■ ■， ■■■■， ■■■■， ■■■ ■， ■ ■■■， ■■■■， 再将两个蓝格分别插入到四个红黄间隔的的两端或中间，有 4+1+1+10+10+4=30种方法； 所以，共有30种涂法。
组合数学中的数列和排列问题
组合数学中的数列和排列问题组合数学是研究集合的计数和组合规则的数学学科。
在组合数学中，数列和排列问题是其中的重要内容。
数列和排列问题涉及到集合中元素的排列组合方式以及它们的性质和应用。
一、数列问题数列是按一定顺序排列的一组数字。
在组合数学中，数列问题主要涉及到数列的性质、递推关系和求和公式等方面。
首先，我们来讨论数列的性质。
数列可以是有限的也可以是无限的，可以是递增的也可以是递减的。
对于有限数列，研究其特定位置的元素值、元素间差值的规律是常见的问题。
而对于无限数列，我们主要关注其收敛性和极限。
接下来，数列的递推关系在组合数学中扮演着重要的角色。
递推关系指的是通过已知的数列元素来求解后续元素的关系。
递推关系的建立可以通过观察数列的特点、利用数学归纳法或者递推公式等方式。
递推关系可以用来求解数列的任意位置的元素。
另外，数列的求和公式是数列问题中常用的工具。
数列的求和问题是通过对数列的各个元素进行相加来得到总和。
常用的数列求和公式有等差数列的求和公式、等比数列的求和公式以及算术级数的求和公式等。
通过应用这些求和公式，我们可以快速计算数列的和。
数列在组合数学中有着广泛的应用。
它们可以用来刻画自然现象中的规律，研究计算机算法的性能，解决概率和统计问题等。
二、排列问题排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方式。
在组合数学中，排列问题主要涉及到排列的计数、排列的性质和排列的应用等方面。
首先，我们来讨论排列的计数问题。
计数问题是指给定一组元素，求出可以由这组元素构成的不同排列的个数。
在计数排列时，可以使用基本原理、乘法原理和组合数等方法。
对于有限元素的排列，我们可以使用阶乘运算来计算。
对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的情况。
其次，排列的性质是组合数学中的重要内容。
排列可以是有序的，也可以是无序的。
有序排列可以通过交换元素的位置来得到不同的排列。
而无序排列可以看作是有序排列去除元素位置的不同，因此无序排列的计数可以转化为有序排列的计数问题。
组合数学之排列组合生成算法
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例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式 排序, 它的下一个排列是谁?
(q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数
] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为
p1…pi-2 pj pnpj+1pi-1pj-1 ….pi+1 pi
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例2.4 设S=1,2,3,4, 用字典序法求出S的 全部排列.
解 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,
1. 序数法 2. 字典序法 3. 邻位互换法(Johnson-Trotter) 4. 轮转法
3
1. 序数法
序数法基于一一对应概念. 先在排列和一种特殊的序列之间建立
一种一一对应关系, 然后再给出由序列 产生排列的方法
因为序列的产生非常方便, 这样我们就 可以得到一种利用序列来生成排列的方 法.
+…+ C(m,m)C(n,m), m n.
l 满足条件(2.1)的n!个序列很容易产生 如何建立这种一一对应?
第二讲: 排列组合的生成算法 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.
的, 利用这些序列就可以得到全体n阶 轮转法是我国数学家于1996年提出的.
因为序列的产生非常方便, 这样我们就可以得到一种利用序列来生成排列的方法. 312
高二年级数学排列组合问题的几种常用方法课件
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次 依次插入共有 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法， 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 人身高各不相等 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
一般地,元素分成多排的排列问题 一般地 元素分成多排的排列问题, 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑,再分段研究. 可归结为一排考虑后排 再分段研究 前排
练习题
有两排座位，前排11个座位， 有两排座位，前排11个座位，后排 11个座位 12个座位 现安排2 个座位， 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻， 不左右相邻，那么不同排法的种数 346 是______
小集团排列问题中， 小集团排列问题中，先整体后局 3 1524 再结合其它策略进行处理。 部，再结合其它策略进行处理。
小集团
计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 １.计划展出 幅不同的画 其中 幅水彩画 ４ 计划展出 幅不同的画,其中 幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 幅油画 ５幅国画 排成一行陈列 要求同一 品种的必须连在一起， 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 那么共有陈列方式的种数为_______ 端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像 男生相邻 女 男生和５ 男生相邻,女 男生和 女生站成一排照像,男生相邻 2 5 5 生也相邻的排法有_______种 生也相邻的排法有 A2 A5 A5 种
高考数学 解排列组合问题的常用方法课件 大纲人教版
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
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判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有 2( A55 A41 A41 A44 ) 1008(种）.
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练习题
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 且能被五整除的五位数？
分类：个位数字为5或0： 个位数为0：A54 个位数为5：A41 A43
A54 A41 A43 216
解的含性有质（约进7束行×条分5 件类+ 7的，×排按4列事+ 组件5×合发4问生=题的83，连）可续按过元程素分
步，做到标准明确。分步层次于解题过程的
始终。
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回目录
基本方法 (一) 特殊元素和特殊位置问题
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特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
组合
高中排列组合最短路径问题(二)
高中排列组合最短路径问题(二)高中排列组合最短路径问题什么是高中排列组合最短路径问题？高中排列组合最短路径问题是一个经典的数学问题，涉及到组合数学以及图论的知识。
该问题描述了一个图，其中包括多个顶点和边，要求找到从起点到终点的最短路径。
相关问题在高中排列组合最短路径问题中，还存在许多相关问题，包括：1.如何表示图中的顶点和边？2.如何使用排列和组合的知识来解决最短路径问题？3.如何使用算法来解决最短路径问题？4.最短路径问题存在什么应用场景？5.与最短路径问题相关的数学公式和定理有哪些？解决问题的方法在解决高中排列组合最短路径问题时，可以采用以下方法：1.构建图：将问题抽象为一个图的模型，其中顶点表示路径上的节点，边表示节点之间的连接关系。
2.确定起点和终点：根据具体问题，确定起点和终点的位置。
3.应用排列和组合知识：使用排列和组合的知识，对图中的节点进行排列组合，生成所有可能的路径。
4.使用算法求解：采用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Bellman-Ford算法，来找到最短路径。
5.实践应用：将解决方案应用到具体实际问题中，例如在地图导航、网络路由等领域。
应用场景高中排列组合最短路径问题的解决方法可以应用于多个领域，例如：•地图导航：在导航系统中，需要找到最短路径来指导驾驶员到达目的地。
•网络路由：在网络中，需要将数据包从源地址传输到目的地址，需要找到最短路径来确保数据传输的效率。
•机器人路径规划：在机器人的行走路径规划中，需要找到最短路径以节省时间和能源。
•物流配送路径规划：在物流配送中，需要确定最短路径以提高配送效率和降低成本。
相关数学公式和定理高中排列组合最短路径问题与数学中的排列组合有关，与图论中的最短路径算法有关。
其中涉及到一些常用的数学公式和定理，例如：•排列数：用于计算从n个元素中取出m个元素进行排列的情况。
•组合数：用于计算从n个元素中取出m个元素进行组合的情况。
数学排列组合
dab dba
dac dca dbc dcb
第一步 组合
a b c a b d a c d abc acb abd adb
第二步 排列
bac bca bad bda cab cba dab dba
acd adc
bcd bdc
cad cda
cbd cdb
dac dca
dbc dcb
b c d
C
3 4
从甲、乙、丙三名同学中选两名同学担任正 副班长，共有多少种不同的方法。 思考：若从甲、乙、丙三名同学中选出两名 班长候选人有多少种方法？ 2 A3 6 共3种 班长候选人 正副 正副
无 顺 序
甲乙
甲丙 乙丙
甲乙 乙甲
甲丙 丙甲 乙丙 丙乙
有 顺 序
概括为
从3个不同的元素中取出2个合成一组,一共有 多少个不同的组?
一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
六.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7 种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法， 依此类推,由分步计
从n个不同元素中取出 相同点 m(m≤n)个元素 不同点 与元素的 顺序有关 与元素的 顺序无关
组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不 同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数 记C m n
从a:拙政园，b:西园，c:留园，d:狮子林这四 个风景点中任选三个景点，有多少种方法？ 选三个景点
数学解排列组合问题的常用方法 (2)
彭湃中学吴崇东复习巩固计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难发现。
因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题方法、策略、模型是必要的。
基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n 类办法，第一类办法中有m 1种不同的方法，第二类办法中有m 2种不同的方法…，第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m 3+…m n 种不同的方法做一件事，完成它可以有n 个步骤，做第一步中有m 1种不同的方法，做第二步中有m 2种不同的方法……，做第n 步中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1·m 2·m 3·…·m n 种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）：分步计数原理各步相互依存，每步只能完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．12nN=m m m 3.分类计数原理、分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
1.分类计数原理(加法原理)：12nN=m +m ++m 注意：排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质mnA mnC(1)(1)mnA n n n m=-⋅⋅⋅-+!()!mnnAn m=-!0!1nnA n==!)1()1(mmnnnC mn+-⋅⋅⋅-=)!(!!mnmnC mn-=10=nCm m mn n mA C A=⋅mnnmnCC-=11-++=mnmnmnCCC从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11m mn nA nA--=解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事。
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组合数学中的排列组合问题的模型建立
组合数学是数学中一个重要的分支，主要研究离散对象的组合、计数以及排列组合的问题。
在实际应用中，排列组合问题经常出现，如组队、选课、抽奖等场景。
为了解决这些问题，我们需要建立模型，以便得到准确的答案。
一、排列问题的模型建立
排列是指从给定的元素集合中选择若干元素，按照一定顺序排列的方式。
排列问题中最经典的例子就是“从n个不同元素中取出m个，按顺序排列，有多少种排法？”这个问题的模型可以用P(n,m)来表示，其中P表示排列的意思。
模型建立的关键是确定问题中的要素，即n和m的取值范围。
在实际问题中，要根据具体情况来确定。
例如，在一场比赛中，有10个选手参加，要确定前3名的排名，那么n=10，m=3。
根据排列问题的模型，可以得出P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10*9*8 = 720。
二、组合问题的模型建立
组合是指从给定的元素集合中选择若干元素，不考虑顺序的方式。
组合问题中的经典例子是“从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序，有多少种选择方式？”这个问题的模型可以用C(n,m)来表示，其中C表示组合的意思。
与排列问题不同，组合问题的关键在于不考虑顺序，即相同的元素组合方式被视为同一种情况。
以选取彩票号码为例，假设每注彩票由6
个数字组成，范围是1到49。
那么问题就是“从49个数字中选取6个数字，不考虑顺序，有多少种选择方式？”根据组合问题的模型，可以得出C(49,6) = 49!/(6!(49-6)!) = 13,983,816。
三、模型建立的应用举例
排列组合问题在实际生活中有广泛的应用。
举几个例子来说明模型建立的应用过程。
例1：选课排考
假设某学校有5门选修课，学生需要选择其中3门进行学习，并进行考试。
如果已知每门课的选课人数不超过40人，那么有多少种不同的选课排考情况？
根据问题描述，可以得出排列问题的模型 P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 60。
则学生有60种不同的选课排考情况。
例2：组队竞赛
假设某竞赛需要从12个参赛者中组队参赛，每队3人。
那么有多少种不同的组队方式？
根据问题描述，可以得出组合问题的模型 C(12, 3) = 12!/(3!(12-3)!) = 220。
则有220种不同的组队方式。
例3：抽奖活动
某公司举办了一次抽奖活动，奖品有10个，并且参与抽奖的人员共有20人。
那么中奖的概率是多少？
根据问题描述，每个人中奖的概率可以表示为抽取1个中奖人员的
组合数除以总的抽取人数的组合数，即 C(10, 1)/C(20, 1) = 10/20 = 0.5。
所以每个人中奖的概率是0.5。
通过以上的例子，我们可以看到排列组合问题的模型建立在解决实
际问题中的重要性。
通过准确建立模型，我们可以计算出精确的结果，为实际问题的解决提供了方向和依据。
总结：
组合数学中的排列组合问题是数学中的重要内容，涉及到在给定元
素集合中选择若干元素并按照一定顺序排列或不考虑顺序选择的方式。
模型建立是解决这类问题的关键，通过确定问题中的要素，我们可以
得出准确的答案。
排列组合问题的模型建立在实际应用中有着广泛的
应用，并为问题的解决提供了方法和依据。