三角函数-任意角的三角函数
任意角的三角函数课件最后更新
B
c
b
a
C
上述定义只限于直角三角形中的锐角， 而现在角的定义已经拓广到任意角.
如：
2 sin ? 3 cos ? tan(
3
)?
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课
导入
将 Rt⊿ABC 放在直角坐标系中，使得点 A 与坐标原点重合， AC 边在 x 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作：
函 数
然后再根据在各象限角三角函数值的符号来进行判断 .
解
解
27 角为第 （1） 因为 4327º 角为第 5
（2）因为
象限角，
0， 27 0，
象限角，
故 sin
故 sin27 4327
cos 4327
4327 5
0． 0．
三
例 2、根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
由 =m2 -16S 0 m 4 S
∴m的最小值为
4 S，
2S 此时 R= S, = 2 =2 R
1.2.1任意角的三角函数
初中：在直角三角形中锐角A 的三角函数定义:
a BC sin A c AB
AC b cos A AB c
BC a tan A AC b
课前复习： 1.如图，已知长为 3 dm，宽 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动 的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面成 30° 的角， 问点 A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积．
思路点拨：要明确木块翻滚时的路线是圆弧，找出每段弧所对的 圆心角及半径即可．
任意角的 三角函数
OP OM cos a, OP MP b tan OM a
α x O M A(1,0)
任意角的三角函数定义：
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y)，那么：
3.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标(比值)为函数值的函数.
作业:<<自主学习资源>>P73~74
第1,3,5,9,10,12题
谢谢大家!
y
sin
M0 M
α
O
A(1,0) x
P(x,y)
P0(-3,-4)
4 , 5 3 cos , 5 4 tan 3
P0(-3,-4)
| OM | | OM 0 | 3 cos x | OM | | OP | | OP0 | 5 tan y | MP | | M 0 P0 | 4 4 x | OM | | OM 0 | 3 3
实际上
练习2.已知角α 的终边经过点P(2,-3)，求 角α 的正弦、余弦和正切值。
§1.2.1任意角
的三角函数
第一课时
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
对边 斜边
邻边
sin _____; cos _____; tan _____
邻边 斜边
对边 邻边
锐角三角函数坐标化
O重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
《数学》教案：任意角的三角函数
（1） ；（2） ；
（3） ．
提问
巡视
指导
思考
动手
解答
交流
通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况
归纳总结
1．任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．各象限角的三角函数值的正负号。
3．界限角的三角函数值。
回顾
总结
思考
记忆
通过归纳总结，回顾所学知识
课后练习
完成教材中习题4.2
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
通过表格讲述各象限角三角函数的正负号
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
讲解界限角的三角函数值
通过例题加深学生理解
理解应用
练习4.2.1
1．已知点 为角 的终边上的一点，且 ，那么 ______．
2．已知点 为角 的终边上的一点，则 ______．
表4-4
所在象限
点P的坐标
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例2判断下列各三角函数值的正负号：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
解（1）因为 角是第三象限的角，所以 ．
（2）因为 角是第四象限的角，所以 ．
（3）因为 ， 角是第一象限的角，所以 角也是第一象限的角， ．
（4）因为 ， 角是第四象限的角，所以 角也是第四象限的角， ．
第4章三角函数
课题4.2任意角的三角函数
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．掌握三角函数的正负号，了解用计算器进行角度与三角函数值转换。
【教学重点】
任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。
任意角的三角函数
sinα y
cosx
tan y
x
锐角三角函数 可以用单位圆 上的点的坐标 来表示
推广:
我们也可以利用 单位圆定义任意角三角函数
(正弦,余弦,正切)
任意角的三角函数定义:
设α是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y) 则:
y 叫α的正弦
y
P(x, y)
sinα y
O
x叫α的余弦
(2) cos9
4 (3)tan( 11)
6
小结:
(1)任意角的三角函数定义 三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应 关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)
所以三角函数可以记为:
ysinx 定义域为R
x
cosx
y x 叫α的正切
tan y x
问题3:
▪ 如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值 即可求α终边与单位圆交于点的
纵横坐标或坐标的比值.
例题1
▪ 求 5 的正弦,余弦,正切的值
3
例题1 求 5 的正弦,余弦,正切的y 值
3
x 1 2
y 3 r 1 2
5 3
1
O2
sin5y 3
终边相同的角的同一三角函 数值是否相等?
终边相同的角的集合
{| k 2 ,k z}
终边相同
点的坐标相同
同一函数值相同
公式一
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan
(k z)
例题4
▪ 求下列三角函数的值:
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
任意角的三角函数的定义-高中数学知识点讲解
任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α=푦푥．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则 cosα＝（）
43
A．5C．―5B．3
5D．―
4
5
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r =푥2+푦2= 5．
∴cosα=푥
푟=
―4
5=―
4
5
，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
1/ 1。
第1讲 任意角三角函数-简单难度-讲义
任意角的三角函数引入过去我们学习过锐角三角函数的定义，这个定义主要是限制在锐角范围内，本模块开始把角的范围扩充到任意角，那么任意角的三角函数是否存在，又是如何定义的呢？还有终边相同的角的三角函数的关系是什么？原来我们学习过锐角三角函数的定义，对于任意角的三角函数如何定义呢？教材借助单位圆定义任意角的三角函数有什么优越性．解读如果定义不用单位圆与角 终边的交点，而是用角 终边上除了顶点外的任意一点，设这一点到原点的距离为设为 ，其实可以分别定义为角 的正弦、余弦和正切．这二种定义方法都可以，是一致的，只不过教材上那种定义使问题的理解更简洁．由任意角的三角函数的定义，我们不难发现，正弦和余弦的定义域是任意角，而正切定义中的 是不能取０的，所以正切中角 的终边不能在 轴上．三角函数的值在各象限的符号如图所示：（－） （－）（＋）（＋）（＋）（＋） （＋）（＋） （－） （－）（－）（－）终边相同的角的同一三角函数值是相等的，这就是公式一．理解这组公式主要还是运用三角函数的定义．三角函数线设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交于点 .我们分别称图中的有向线段MP 、OM 、AT 为角 正弦线、余弦线、正切线. 注意事项⑴三角函数线是与单位圆有关的平行于坐标轴的某些特定的有向线段，用它们的长度和方向来表示三角函数的值:○1三角函数线的长度等于三角函数的值绝对值;○2方向表示三角函数的值的正负.具体说正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点，与 轴同向的为正值，反向的为负值；余弦线由原点指向垂足，与 轴同向的为正值，与 轴反向的为负值；正切线由切点指向与 的终边的交点，与 轴同向的为正值，反向的为负值.⑵三角函数线的定义不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，还给出了角的三角函数线的画法，体现了数形结合思想，以“形”说“数”，也就是在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，又从图形角度帮助认识任意角的三角函数，即用有向线段来表示三角函数的值，这也是三角函数与其它基本初等函数不同的地方.探究t ）求：的值。
三角函数大全
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
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第二节 任意角的三角函数知识点1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．3.三角函数的定义域4.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .5.三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .6.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.题型一：三角函数的定义【例1】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.【例2】已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为() A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6【过关练习】1.角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．52.已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；3.已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．题型二：三角函数在各象限的符号【例1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．【过关练习】1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角．2.若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型三：诱导公式一的应用【例1】求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.【过关练习】1.求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.2.求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.题型四：三角函数线的应用【例1】在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32.【例3】求下列函数的定义域．(1)f (x )＝sin x ·tan x ；(2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2.【过关练习】1.根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝12；(2)tan α＝－1.2.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α3.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．4.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b 5.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D ．(0，π3)∪(5π3，2π)题型五：同角三角函数关系的应用【例1】已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.【例3】已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求： (1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ.【过关练习】1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．2.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－3103.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.354.已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin αcos α.5.已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．题型六：三角函数化简【例1】若α是第三象限角，化简1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.【例2】求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.【过关练习】1.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．2.证明：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；课后练习【补救练习】1．若sin θcos θ>0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2.设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为() A.25 B.25或－25 C ．－25 D ．与a 有关3.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4；4.在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π5.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 23π________sin 45π；(2)cos 23π________cos 45π；(3)tan 23π________tan 45π.6.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512【巩固练习】1.已知角θ的终边上一点(,2)P m -，且||4OP =，则tan θ＝__________。
2.已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．3.sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.324.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ．5.已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．6.如果3π4<θ<π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ7.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z 8.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ .9.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.4510.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α的值是( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43【拔高练习】1.函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x x y x x x =++的值域是_________。
2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．3．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .4.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 5.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.。